Ændringshastighed

Ændringshastigheden for en tidsafhængig mængde $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ beskriver omfanget af ændringen i $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ over en periode i forhold til længden af denne periode. Grafisk set er det et mål for, hvor hurtigt størrelsen ændres $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ ændringer. Ved at henvise til varigheden indeholder måleenheden i nævneren en tidsenhed; i tælleren er der en enhed på $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ . Hvis ændringen også er relateret til selve størrelsen, taler man om en relativ ændring eller vækst .

Der skelnes også mellem den gennemsnitlige ændringshastighed mellem to målinger og den aktuelle (også lokale ) ændringshastighed som en abstrakt mængde af en model.

Beregning og brug

Middels ændringshastighed

Den gennemsnitlige ændringsrate er den gennemsnitlige ændring i en tidsafhængig målt variabel $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ mellem to tidspunkter $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ og $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_ {2}$ , så i perioden $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ $\ Delta t = t_ {2} -t_ {1}$ . Det beregnes som kvotienten ud fra forskellen mellem de to værdier på disse tidspunkter $\Delta G=G(t_{2})-G(t_{1})$ ${\ displaystyle \ Delta G = G (t_ {2}) - G (t_ {1})}$ $\ Delta G = G (t_ {2}) - G (t_ {1})$ og varigheden $\Delta t$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ af perioden: ${\tfrac {\Delta G}{\Delta t}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta G} {\ Delta t}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta G} {\ Delta t}}}$

I tids-kvantitetsdiagrammet ( funktionsgraf , diagram) af $G(t)$ ${\ displaystyle G (t)}$ $G (t)$ er den gennemsnitlige ændringshastighed mellem $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ og $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_ {2}$ hældningen af sekant gennem punkterne $(t_{1}|G(t_{1}))$ ${\ displaystyle (t_ {1} | G (t_ {1}))}$ $(t_ {1} | G (t_ {1}))$ og $(t_{2}|G(t_{2}))$ ${\ displaystyle (t_ {2} | G (t_ {2}))}$ $(t_ {2} | G (t_ {2}))$ på diagrammet.

Nuværende ændringsrate

Den aktuelle ændringsrate er ændringen i en målt variabel relateret til et "øjeblik" (meget kort periode) $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ . Det kan være matematisk som et resultat af grænseprocessen

{\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta G}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {G(t+\Delta t)-G(t)}{\Delta t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} G} {\ mathrm {d} t}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta G} {\ Delta t}} = \ lim _ {\ Delta t \ til 0} {\ frac {G (t + \ Delta t) -G (t)} {\ Delta t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} G} {\ mathrm {d} t}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta G} {\ Delta t}} = \ lim _ {\ Delta t \ til 0} {\ frac {G (t + \ Delta t) -G (t)} {\ Delta t}}}

som et derivat $G'(t)$ ${\ displaystyle G '(t)}$ ${\ displaystyle G '(t)}$ deres tid $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ -Fungere $G(t)$ ${\ displaystyle G (t)}$ $G (t)$ bliver repræsenteret.

For tidslinjære ændringer er den øjeblikkelige ændringshastighed konstant lig med den gennemsnitlige ændringshastighed.

Ændringshastigheder i en bredere forstand

Udtrykkene bruges i overført betydning til størrelser $G(q)$ ${\ displaystyle G (q)}$ $G (q)$ bruges af en anden parameter $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ end afhænger af tid, så er: ^[1]

den gennemsnitlige ændringsrate svarer til differencekvoten ${\tfrac {\Delta G}{\Delta q}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta G} {\ Delta q}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta G} {\ Delta q}}}$
den øjeblikkelige ændringshastighed svarer til differentialkvotienten ${\tfrac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} q}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} G} {\ mathrm {d} q}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} G} {\ mathrm {d} q}}}$

Er parameteren $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ en vektormængde , bruges udtrykket " gradient " i stedet for udtrykket "hastighed", såsom temperaturgradient eller lufttrykgradient .

Eksempler

Når du bevæger dig i en lige linje , er hastigheden $v(t)$ ${\ displaystyle v (t)}$ $v (t)$ den aktuelle ændringshastighed for tidsdistancefunktionen $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ . Artikelhastigheden i afsnittets definition af hastighed gør forskellen mellem middelværdi og øjeblikkelig ændringshastighed klar.

Et flys stigningsevne angiver, hvor meget højde der kan opnås på en bestemt tid.

litteratur

Harro Heuser: Lærebog i analyse del 1 . 5. udgave. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Fysik: en lærebog til brug foruden foredrag . 16. udgave. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2

Bemærkninger

↑ Helga Lohöfer: Tabel over de sædvanlige ændre vilkårene for variable og funktioner. Script til øvelsen Matematiske og statistiske metoder til farmaceuter , University of Marburg. 2006.

[1] Helga Lohöfer: Tabel over de sædvanlige ændre vilkårene for variable og funktioner. Script til øvelsen Matematiske og statistiske metoder til farmaceuter , University of Marburg. 2006.

[1]