Overførselsfunktion

I ingeniørsystemteori beskriver overførselsfunktionen eller systemfunktionen matematisk forholdet mellem input- og output -signalet fra et lineært dynamisk system i et billedrum . ^[1]

Et dynamisk system kan f.eks. Være en mekanisk struktur, et elektrisk netværk eller en anden biologisk, fysisk eller økonomisk proces. ^[2] Ved hjælp af overførselsfunktionen (som et alternativ til beregningen i tidsdomænet ) kan udgangssignalet, dvs. systemets reaktion, lettere bestemmes for ethvert indgangssignal end ved at løse differentialligninger. Derudover: Subsystemer, der er grafisk arrangeret i et signalflowdiagram, kan transformeres og opsummeres ved hjælp af overførselsfunktioner ved hjælp af enkle beregningsregler.

For kontinuerlige systemer er billedrummet givet af Laplace -transformationen . En akse er Fourier -frekvensparameteren iω. Overførselsfunktionen er derfor også relateret til et systems frekvensrespons .

For diskrete systemer er billedrummet givet af z-transformationen .

Generelt

Under et system menes i systemteorien abstrakt en proces, der konverterer et signal eller sender. ^[3] Signalet, der tilføres det, kaldes derefter indgangssignalet, og det resulterende signal kaldes udgangssignalet . Hvordan signalet konverteres, eller hvordan disse to signaler er relateret til hinanden, beskrives matematisk af overførselsfunktionen.

Overførselsfunktionen beskriver et systems dynamiske adfærd over tid. Det kan bruges til at beregne, hvordan ethvert indgangssignal konverteres af systemet, eller hvilket udgangssignal det producerer. Det beskriver systemets dynamiske adfærd fuldstændigt og uafhængigt af de specifikke signaler. Overførselsfunktionen viser kun den matematiske systemadfærd, men ikke de enkelte komponenter i systemet. Omvendt kan detaljerne i implementeringen ikke læses direkte fra overførselsfunktionen.

Overførselsfunktioner bruges i teknik, hvor ændringer i signaler - uanset om de er tilsigtede eller utilsigtede - beskrives eller beregnes. De bruges mest til analyse af SISO -systemer, typisk inden for signalbehandling , kontrol og kommunikationsteknik samt kodningsteori . ^[4] Alle systemer, der kan repræsenteres ved lineær differential- eller differensligning, kan modelleres matematisk på denne måde. Processen, der ændrer signalet, kan ofte cirka beskrives ved en lineær model . Derefter kan teorien om LZI -systemer bruges; de er let tilgængelige analytisk og godt undersøgt teoretisk.

Da LZI -systemer kun ændrer amplituden og fasevinklen for signalets frekvenskomponenter, er beskrivelsen i frekvensdomænet normalt mere praktisk og også mere kompakt. Beskrivelsen af et LZI -systems tidsadfærd kan foretages i det kontinuerlige tilfælde ved lineære differentialligninger. Det kan overføres til frekvensdomænet ved hjælp af Laplace -transformation . Omvendt kan den inverse Laplace -transformation bruges til at rekonstruere tidsadfærden fra overførselsfunktionen.

I diskrete systemer, som f.eks B. de fleste digitale tekniske systemer (f.eks. Digitale filtre ), er systemets adfærd kun defineret på bestemte tidspunkter . Sådanne systemer kan beskrives i tidsdomænet ved lineære differensligninger og overføres til billeddomænet ved hjælp af z-transformationen . ^[5]

Som en forbindelse mellem kontinuerlige og tidsdiskrete overførselsfunktioner er forskellige transformationer såsom den bilinearære transformation eller impulsinvariant-transformationen tilgængelige for at kunne konvertere overførselsfunktioner mellem disse to former under hensyntagen til visse begrænsninger.

Der er to muligheder for at opnå et systems overførselsfunktion: ^[6]

Systemanalyse: Hvis systemets interne struktur er kendt, kan det matematisk modelleres og dets adfærd beregnes ud fra det.
Systemidentifikation : Med kendte output- og indgangssignaler Y og X, som enten kan måles eller specificeres, opnås overførselsfunktionen ved at danne kvotienten ${\tfrac {Y}{X}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {Y} {X}}}$ ${\ tfrac {Y} {X}}$ .

eksempel

Et enkelt eksempel på en ønsket signalændring er et lavpasfilter : Det filtrerer høje frekvenser fra et indgangssignal og forlader kun de lavere frekvenskomponenter i udgangssignalet. En utilsigtet ændring er z. B. forvrængning under transmission via en kanal (f.eks. Et kobberkabel, et fiberoptisk kabel eller en radioforbindelse). Her ville man generelt ønske, at kanalen ikke ville ændre signalet. Det gør den imidlertid, fordi den ikke er ideel i virkeligheden. Sådanne forvrængninger skal derefter kompenseres enten ved senderen eller modtageren.

Grundlæggende

definition

For kontinuerlige systemer, der er lineære og tidsinvariante (det vil sige, at systemet til enhver tid viser den samme adfærd - givet det samme input), er overførselsfunktionen defineret som

G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\{y(t)\}}{{\mathcal {L}}\{u(t)\}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ {y (t) \}} {{\ mathcal { L}} \ {u (t) \}}}}

G (s) = \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ mathcal L \ {y (t) \}} {\ mathcal L \ {u (t) \}}

eller alternativt i operatørnotation

Y(s)=G(s)\cdot U(s).

{\ displaystyle Y (s) = G (s) \ cdot U (s).}

{\ displaystyle Y (s) = G (s) \ cdot U (s).}

Funktionerne Y (s) og U (s) er Laplace -transformeringerne af output- eller indgangssignalet. G (er) er kvoten af disse to størrelser og beskriver således systemet. ^[7] (Den tosidige Laplace-transformation spiller en underordnet rolle i virkelige tekniske systemer, da disse er kausale .)

Til tidsdiskrete LZI-systemer, såsom dem der bruges f.eks. B. bruges i digital signalbehandling , definitionen er ens, kun at z-transformerne bruges her: ^[8]

G(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[k]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[k]\}}}.

{\ displaystyle G (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {{\ mathcal {Z}} \ {y [k] \}} {{\ mathcal { Z}} \ {x [k] \}}}.}

{\ displaystyle G (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {{\ mathcal {Z}} \ {y [k] \}} {{\ mathcal { Z}} \ {x [k] \}}}.}

Afledning via systemligningerne (systemanalyse)

Hvis den interne struktur af systemet er kendt, kan tidsadfærden beskrives ved den tilhørende systemligning. I tilfælde af kontinuerlige systemer er disse differentialligninger , i tilfælde af tidsdiskrete systemer, differentialligninger . Hvis der stadig er tale om lineære ligninger, er det tilhørende system også lineært og samtidig også tid -invariant - et LZI -system.

I stedet for at beskrive systemets adfærd i tidsdomænet kan det i stedet overføres til det tilhørende frekvensdomæne og analyseres yderligere der. Ved hjælp af den transformerede ligning kan en løsning normalt findes lettere, og dermed kan systemresponsen for ethvert indgangssignal eller overførselsfunktionen bestemmes.

For kontinuerlige systemer bruges Laplace-transformationen som standard, for diskrete tidssystemer z-transformationen. Et sådant forhold mellem tid og billedfunktioner kaldes korrespondance . Da den analytiske bestemmelse af disse transformationer er kompleks, og de samme ofte forekommer igen og igen, findes der såkaldte korrespondancetabeller, hvor ofte anvendte transformationer kan slås op.

Systemligningernes startværdier repræsenterer systemets interne tilstand i begyndelsen, f.eks. B. den af den interne energilagring. I de fleste tilfælde er den oprindelige tilstand uden interesse for systemanalysen, og det antages, at alle startværdier er nul, dvs. at systemets interne energilagre er tomme.

Signalbehandling (systemidentifikation)

I signalbehandling er der normalt ønsket om at konvertere et givet indgangssignal til et specifikt udgangssignal eller ændre spektret af indgangssignalet på en bestemt måde. I. E. I modsætning til systemanalysen er systemets reaktion kendt, men ikke hvordan det fungerer.

I dette tilfælde er systemligningen (i tidsdomænet såvel som i frekvensdomænet) ukendt, og den bestemmes ud fra input- og output -signalet.

I et kontinuerligt system er input- og output -signalerne kortlagt i frekvensområdet:

X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} x (t) \ mathrm {e} ^ {- st} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} x (t) \ mathrm {e} ^ {- st} \, \ mathrm {d} t}

Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t.

{\ displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} y (t) \ mathrm {e} ^ {- st} \, \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} y (t) \ mathrm {e} ^ {- st} \, \ mathrm {d} t.}

Udgangssignalet afhænger derefter af indgangssignalet via overførselsfunktionen:

Y(s)=G(s)\cdot X(s).

{\ displaystyle Y (s) = G (s) \ cdot X (s).}

{\ displaystyle Y (s) = G (s) \ cdot X (s).}

Og ved at omarrangere får du det samme:

G(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}.}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}.}

Metoden fungerer på en tilsvarende måde i diskrete tidssystemer, idet z-transformationen af signalerne bruges her.

Repræsentationsformer

Overførselsfunktionen kan gives enten som en matematisk formel eller som grafiske kurver. Med den formelle repræsentation vælger man normalt mellem den polynomiske repræsentation , dens produktrepræsentation eller den delvise fraktionsnedbrydning .

Grafen kaldes Bode -diagrammet og består af en beskrivelse af amplitudeforstærkningen og faseskiftet, som indgangssignalet oplever.

Form for repræsentation	Notation i frekvensdomænet
polynom	$G(s)={\frac {b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\dotsb +b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dotsb +a_{1}s+a_{0}}}$ ${\ displaystyle G (s) = {\ frac {b_ {m} s ^ {m} + b_ {m-1} s ^ {m-1} + \ dotsb + b_ {1} s + b_ {0}} {a_ {n} s ^ {n} + a_ {n-1} s ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {1} s + a_ {0}}}}$ ${\ displaystyle G (s) = {\ frac {b_ {m} s ^ {m} + b_ {m-1} s ^ {m-1} + \ dotsb + b_ {1} s + b_ {0}} {a_ {n} s ^ {n} + a_ {n-1} s ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {1} s + a_ {0}}}}$
Polnuller	$G(s)=k\cdot {\frac {(s-s_{0,1})(s-s_{0,2})\dotsm (s-s_{0,m})}{(s-s_{\infty ,1})(s-s_{\infty ,2})\dotsm (s-s_{\infty ,n})}}$ ${\ displaystyle G (s) = k \ cdot {\ frac {(s-s_ {0,1}) (s-s_ {0,2}) \ dotsm (s-s_ {0, m})}} {( ss _ {\ infty, 1}) (ss _ {\ infty, 2}) \ dotsm (ss _ {\ infty, n})}}}}}$ $G (s) = k \ cdot \ frac {(s - s_ {0,1}) (s - s_ {0,2}) \ dotsm (s - s_ {0, m})} {(s - s_ { \ infty, 1}) (s - s _ {\ infty, 2}) \ dotsm (s - s _ {\ infty, n})}$
Delvis fraktion	$G(s)={\frac {A_{1}}{s-s_{\infty ,1}}}+{\frac {A_{2}}{s-s_{\infty ,2}}}+\dotsb +{\frac {A_{n}}{s-s_{\infty ,n}}}$ ${\ displaystyle G (s) = {\ frac {A_ {1}} {s-s _ {\ infty, 1}}} + {\ frac {A_ {2}} {s-s _ {\ infty, 2}}} + \ dotsb + {\ frac {A_ {n}} {ss _ {\ infty, n}}}}$ $G (s) = \ frac {A_1} {s-s _ {\ infty, 1}} + \ frac {A_2} {s-s _ {\ infty, 2}} + \ dotsb + \ frac {A_n} {s- s _ {\ infty, n}}$

Funktionens poler og nuller kan meget let aflæses i produktdisplayet. Repræsentationen i delfraktioner er særlig velegnet til den inverse transformation til tidsdomænet.

Eksempler

Systemanalyse

Kontinuerligt LZI -system ^[9]

Et system er beskrevet af følgende DGL:

y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=b_{1}x'(t)+b_{0}x(t).

{\ displaystyle y '' (t) + a_ {1} y '(t) + a_ {0} y (t) = b_ {1} x' (t) + b_ {0} x (t).}

{\ displaystyle y '' (t) + a_ {1} y '(t) + a_ {0} y (t) = b_ {1} x' (t) + b_ {0} x (t).}

Vær der $a_{n},b_{m}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {m}}$ $a_n, b_m$ reelt værdsatte konstanter.

Laplace -transformationen af differentialligningen er

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}{\{y''(t)\}}+a_{1}{\mathcal {L}}{\{y'(t)\}}+a_{0}{\mathcal {L}}{\{y(t)\}}&=b_{1}{\mathcal {L}}{\{x'(t)\}}+b_{0}{\mathcal {L}}{\{x(t)\}}\\\Leftrightarrow \quad (s^{2}Y(s)-sy_{0}-y_{1})+a_{1}(sY(s)-y_{0})+a_{0}Y(s)&=b_{1}(sX(s)-x_{0})+b_{0}X(s).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} {\ {y '' (t) \}} + a_ {1} {\ mathcal {L}} {\ {y '(t) \} } + a_ {0} {\ mathcal {L}} {\ {y (t) \}} & = b_ {1} {\ mathcal {L}} {\ {x '(t) \}} + b_ { 0} {\ mathcal {L}} {\ {x (t) \}} \\\ Venstrehøjre pil \ quad (s ^ {2} Y (s) -sy_ {0} -y_ {1}) + a_ {1 } (sY (s) -y_ {0}) + a_ {0} Y (s) & = b_ {1} (sX (s) -x_ {0}) + b_ {0} X (s). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} {\ {y '' (t) \}} + a_ {1} {\ mathcal {L}} {\ {y '(t) \} } + a_ {0} {\ mathcal {L}} {\ {y (t) \}} & = b_ {1} {\ mathcal {L}} {\ {x '(t) \}} + b_ { 0} {\ mathcal {L}} {\ {x (t) \}} \\\ Venstrehøjre pil \ quad (s ^ {2} Y (s) -sy_ {0} -y_ {1}) + a_ {1 } (sY (s) -y_ {0}) + a_ {0} Y (s) & = b_ {1} (sX (s) -x_ {0}) + b_ {0} X (s). \ end {align}}}

Lad alle startværdier være $y^{(k)}=0\;k=0\dots n-1$ ${\ displaystyle y ^ {(k)} = 0 \; k = 0 \ prikker n-1}$ $y ^ {(k)} = 0 \; k = 0 \ prikker n-1$ og $x(0^{-})=0$ ${\ displaystyle x (0 ^ {-}) = 0}$ $x (0 ^ -) = 0$ . Indsat får du:

Y(s)(s^{2}+a_{1}s+a_{0})=X(s)(b_{1}s+b_{0}).

{\ displaystyle Y (s) (s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {0}) = X (s) (b_ {1} s + b_ {0}).}

{\ displaystyle Y (s) (s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {0}) = X (s) (b_ {1} s + b_ {0}).}

Ifølge definitionen er overførselsfunktionen kvotienten Y / X, hvis man deler sig derefter på begge sider, opnår man:

G(s):={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {b_{1}s+b_{0}}{s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}.

{\ displaystyle G (s): = {\ frac {Y (s)} {X (s)}} = {\ frac {b_ {1} s + b_ {0}} {s ^ {2} + a_ { 1} s + a_ {0}}}.}

{\ displaystyle G (s): = {\ frac {Y (s)} {X (s)}} = {\ frac {b_ {1} s + b_ {0}} {s ^ {2} + a_ { 1} s + a_ {0}}}.}

Diskret tid LZI-system

I lighed med det kontinuerlige system ovenfor beskrives systemfunktionen af et diskret LZI -system ved følgende forskelsligning:

y[k]+a_{1}y[k-1]+a_{0}y[k-2]=x[k]+b_{0}x[k-1]+b_{1}x[k-2].

{\ displaystyle y [k] + a_ {1} y [k-1] + a_ {0} y [k-2] = x [k] + b_ {0} x [k-1] + b_ {1} x [k-2].}

{\ displaystyle y [k] + a_ {1} y [k-1] + a_ {0} y [k-2] = x [k] + b_ {0} x [k-1] + b_ {1} x [k-2].}

Vær der $a_{n},b_{m}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {m}}$ $a_n, b_m$ reelt værdsatte konstanter.

Z-transformen af differensligningen læser derefter

{\begin{aligned}Y(z)+a_{1}Y(z)z^{-1}+a_{0}Y(z)z^{-2}&=X(z)+b_{0}X(z)z^{-1}+b_{1}X(z)z^{-2}\\Y(z)(1+a_{1}z^{-1}+a_{0}z^{-2})&=X(z)(1+b_{0}z^{-1}+b_{1}z^{-2}).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {justeret} Y (z) + a_ {1} Y (z) z ^ {- 1} + a_ {0} Y (z) z ^ {- 2} & = X (z) + b_ {0} X (z) z ^ {- 1} + b_ {1} X (z) z ^ {- 2} \\ Y (z) (1 + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0} z ^ {- 2}) & = X (z) (1 + b_ {0} z ^ {- 1} + b_ {1} z ^ {- 2}). \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {justeret} Y (z) + a_ {1} Y (z) z ^ {- 1} + a_ {0} Y (z) z ^ {- 2} & = X (z) + b_ {0} X (z) z ^ {- 1} + b_ {1} X (z) z ^ {- 2} \\ Y (z) (1 + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0} z ^ {- 2}) & = X (z) (1 + b_ {0} z ^ {- 1} + b_ {1} z ^ {- 2}). \ End {align}}}

Overførselsfunktionen opnås ved omformning

G(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+b_{0}z^{-1}+b_{1}z^{-2}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{0}z^{-2}}}.

{\ displaystyle G (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1 + b_ {0} z ^ {- 1} + b_ {1} z ^ {- 2}} {1 + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0} z ^ {- 2}}}.}

{\ displaystyle G (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1 + b_ {0} z ^ {- 1} + b_ {1} z ^ {- 2}} {1 + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0} z ^ {- 2}}}.}

Ofte anvendte overførselsfunktioner

Inden for signalbehandling og kommunikationsteknologi:

I kontrolteknik:

Se også

litteratur

Wikibooks: Introduktion til systemteori / overførselsfunktion - lærings- og undervisningsmaterialer

Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 .
Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel: Signaler og systemer . 5. udgave. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-59748-6 .
Jan Lunze: Kontrolteknik 1: Systemteoretisk grundlæggende, analyse og design af single-loop kontroller. 7. udgave. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-68907-2 .
Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Lommebog med kontrolteknik med MATLAB og Simulink . 12. udgave. Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6 .

Individuelle beviser

^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 101 .
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 7.
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 6.
^ John G. Proakis, Masoud Salehi: Kommunikationssystemteknik. 2. udgave. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 2002, ISBN 0-13-095007-6 , s. 626 (engelsk).
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 326 .
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 102 .
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 100 .
^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 303
^ Douglas K. Lindner: Signaler og systemer . McGraw-Hill, ISBN 0-07-116489-8 , s. 294 f.

[1] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 101 .

[2] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 7.

[3] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 6.

[proakis1-4] John G. Proakis, Masoud Salehi: Kommunikationssystemteknik. 2. udgave. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 2002, ISBN 0-13-095007-6 , s. 626 (engelsk).

[5] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 326 .

[6] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 102 .

[7] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 100 .

[8] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , s. 303

[9] Douglas K. Lindner: Signaler og systemer . McGraw-Hill, ISBN 0-07-116489-8 , s. 294 f.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]