Forfaldskonstant

Repræsentation af størrelsesforløbet

x(t)

{\ displaystyle x (t)}

x (t)

med en fri dæmpet svingning.

Henfaldskonstanten , også dæmpningskonstanten eller henfaldskoefficienten , ^[1] er produktet af den udampede naturlige vinkelfrekvens i lineære svingningssystemer med en frihedsgrad $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ og Lehrscher dæmpning $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ .

\delta =\omega _{0}\cdot D,\,\left|D\right|<1

{\ displaystyle \ delta = \ omega _ {0} \ cdot D, \, \ venstre | D \ højre | <1}

\ delta = \ omega_0 \ cdot D, \, \ venstre | D \ højre | <1

Tidsforløbet for en lineær oscillation kan angives ved ligningen:

x(t)=x_{0}\,e^{-\delta t}\sin(\omega _{d}\,t+\varphi _{0})\,

{\ displaystyle x (t) = x_ {0} \, e ^ {- \ delta t} \ sin (\ omega _ {d} \, t + \ varphi _ {0}) \,}

x (t) = x_0 \, e ^ {- \ delta t} \ sin (\ omega_d \, t + \ varphi_0) \,

, med

\omega _{d}=\omega _{0}\,{\sqrt {1-D^{2}}}

{\ displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} \, {\ sqrt {1-D ^ {2}}}}

\ omega_d = \ omega_0 \, \ sqrt {1 - D ^ 2}

at blive beskrevet. Hvis forfaldskonstantens tegn er positivt, falder svingningen; hvis tegnet er negativt, øges svingningens amplitude eksponentielt .

Med en dæmpet svingning ( $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ ) er amplituden omtrentligt i tid $t_{\mathrm {\mbox{ü}} }={\frac {3}{\delta }}$ ${\ displaystyle t _ {\ mathrm {\ mbox {ü}}} = {\ frac {3} {\ delta}}}$ $t_ \ mathrm {\ mbox {ü}} = \ frac {3} {\ delta}$ henfaldet til under 5% af den oprindelige amplitude.

I tilfælde af målte trinresponser for ethvert oscillationssystem kan henfaldskonstanten tilnærmes fra den logaritmiske formindskelse $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ og oscillationsperioden $T_{\mathrm {d} }$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {d}}}$ $T_ \ mathrm {d}$ blive beregnet.

\delta ={\frac {\Lambda }{T_{\mathrm {d} }}}

{\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ Lambda} {T _ {\ mathrm {d}}}}}

\ delta = \ frac {\ Lambda} {T_ \ mathrm {d}}

Den logaritmiske forringelse beregnes ud fra to amplituder, der er adskilt af oscillationsperioden. To amplituder er tilstrækkelige til lineære systemer. I tilfælde af svagt ikke-lineære systemer skal adskillige logaritmiske fald være gennemsnitlige. I tilfælde af stærkt ikke-lineære systemer er det bedre at bestemme tiden, indtil amplituden er gået ind i en strimmel omkring ± 5 procent af steady-state-værdien. ^[2]

\Lambda =\ln {\frac {A(t)}{A(t+T_{\mathrm {d} })}}

{\ displaystyle \ Lambda = \ ln {\ frac {A (t)} {A (t + T _ {\ mathrm {d}})}}}}

\ Lambda = \ ln \ frac {A (t)} {A (t + T_ \ mathrm {d})}

Systemer med PT1 -adfærd , f.eks. B. serieforbindelsen af en fjeder og et spjæld er givet ved differentialligningen

T_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=x(t)

{\ displaystyle T_ {1} \ cdot {\ dot {y}} (t) + y (t) = x (t)}

T_1 \ cdot \ dot y (t) + y (t) = x (t)

beskrevet. Tidskonstanten $T_{1}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ $T_ {1}$ er det gensidige af forfaldskonstanten.

Se også

litteratur

Hans Dresig , Franz Holzweißig : maskindynamik. 10. udgave. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-16009-7 , s. 44 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).

Individuelle beviser

↑ Indgang IEV 103-05-24. I: DKE-IEV Tysk onlineudgave af IEV. Tysk kommission for elektriske, elektroniske og informationsteknologier i DIN og VDE, december 2009, åbnede den 20. december 2020 : "positiv mængde δ i udtrykket A ₀ e ^−δt f (t), der beskriver en eksponentielt dæmpet svingning; hvor f (t) er en periodisk funktion "
↑ Otto Föllinger : Kontrolteknik . 6. forbedrede udgave. Hüthig Verlag 1985. ISBN 3-7785-1137-8

[1] Indgang IEV 103-05-24. I: DKE-IEV Tysk onlineudgave af IEV. Tysk kommission for elektriske, elektroniske og informationsteknologier i DIN og VDE, december 2009, åbnede den 20. december 2020 : "positiv mængde δ i udtrykket A ₀ e ^−δt f (t), der beskriver en eksponentielt dæmpet svingning; hvor f (t) er en periodisk funktion "

[Föllinger-2] Otto Föllinger : Kontrolteknik . 6. forbedrede udgave. Hüthig Verlag 1985. ISBN 3-7785-1137-8

[1]

[2]