afstand

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Afstand mellem to punkter, er længden af ​​den korteste forbindelse fra til

Afstanden , også afstanden eller afstanden mellem to punkter, er længden af den korteste forbindelse mellem disse punkter.

I det euklidiske rum er dette længden af ​​den lige linje mellem de to punkter. Afstanden mellem to geometriske objekter er længden af ​​den korteste forbindelseslinje mellem de to objekter, dvs. afstanden mellem de to nærmeste punkter. Hvis der ikke tages hensyn til punkterne på to objekter, der er tættest på hinanden, angives dette eksplicit eller skyldes forholdet, såsom afstanden mellem de geometriske centre eller tyngdepunkterne.

Metriket er den del af matematik, der omhandler måling af afstand.

Afstanden , afstanden , afstanden mellem to værdier af en mængde eller mellem to tidspunkter bestemmes ved at danne den absolutte værdi af deres forskel , det vil sige ved at trække dem fra hinanden og danne den absolutte værdi fra resultatet . Den målte afstand er uafhængig af det valgte referencepunkt for koordinatsystemet , men ikke af dets skalering (se også skalafaktor ) .

I observationsastronomi er den tilsyneladende afstand på himlen mellem to himmelobjekter angivet som en vinkelafstand .

Afstanden mellem to sæt i det euklidiske rum (eller mere generelt i et metrisk rum ) kan defineres ved hjælp af Hausdorff -metriken .

Euklidisk afstand

I det kartesiske koordinatsystem beregnes afstanden (euklidisk afstand) mellem to punkter ved hjælp af Pythagoras sætning :

Afstanden mellem to punkter i flyet
[1]

Til flyet ( ):

Til tredimensionelt rum ( ):

[2]

Afstanden fra et punkt fra en lige linje eller en flad overflade er afstanden fra grundpunktet for den vinkelrette faldet på det , at en buet linje altid er en afstand fra en af ​​dens tangenter .

Beregningsmuligheder for afstandene fra punkter til lige linjer eller planer er angivet i den analytiske geometri i formularen .

Afstand i flyet

Afstand mellem punkt og linje

Eksempel: afstand mellem punkt og lige linjer i flyet.

Afstanden mellem punktet og den lige linje med koordinatformen udgør:

Punktet på den lige linje , det er tættest på har koordinaterne

Når den lige linje gennem punkterne og løb er

Disse værdier kan bruges i formlerne . [3]

eksempel

Værdier, der bruges til lige linjer : og til punkt

[LE]

Afstand i tredimensionelt rum

Dynamisk geometri -software (DGS) er påkrævet som et ekstra hjælpemiddel til at konstruere afstanden .

Afstand mellem punkt og linje

Afstanden mellem punktet og den lige linje passerer gennem punkterne og kører, beløber sig til vektorerne :

[4]

eksempel

Eksempel: afstand mellem punkt og lige linjer på værelset.

Konstruktion af afstanden .

Koordinaterne til punkterne er angivet og hvorigennem den lige linje kører, og pointen .

Efter at have tegnet den lige linje igennem , og pointen blive forbindelsesvektorer og tegnet. En endelig etableret vinkelret på den lige linje efter punkt giver afstanden [LE].

Genberegning

Indsættelse af disse værdier i formlen giver

[LE].

Afstand mellem to skæve lige linjer

To skæve straights ( ), den ene gennem prikkerne og og den anden ved punkterne og kører, har med vektorer følgende afstand:

[5]

eksempel

Eksempel: konstruktion af afstanden mellem to skæve straights og på værelset.

Konstruktion af afstanden ved hjælp af et hjælpeplan.

Koordinaterne for de fire punkter er angivet og

Efter at have tegnet den lige linje igennem , og igennem , er først forbindelsesvektorerne og tegnet. En parallel til bruges til at bestemme hjælpeplanet igennem trukket og derefter punktet markeret hvor som helst på parallellen. Ved hjælp af de således givet point og bliver niveauet genereret. VVS -boben falder derefter fra punktet på flyet med fodspids og en parallel til det i (røde) udskæringer. Endelig leverer parallellen fra punktet op til den lige linje afstanden: [LE].

Genberegning

Disse værdier indsættes i formlen

[LE].

Afstand mellem punkt og fly

Afstanden mellem punktet og flyet med koordinatformen [A 1] er:

[A 1]

Følgende gælder for de værdier, der skal bruges:

Hvis tre point , , får det ene niveau bestemme (se trepunktsformular ), så kan afstanden bestemmes ved hjælp af vektorer beregne med følgende formel :

[6] [A 2]

Den står for krydsproduktet , for skalarproduktet og for mængden af ​​vektoren .

eksempel

Eksempel: konstruktion af afstanden mellem punktet og flyet på værelset.

Konstruktion af afstanden [7]

Koordinaterne for de tre punkter i flyet er angivet med samt punktet, der ligger udenfor

Efter at have indtastet punkterne og samt punktet, der ligger udenfor kan niveauet der skal genereres. Derefter taber du lodlinjen fra punktet af koordinaternes oprindelse på flyet med fodspidsen Gennem punkterne og kører også fra den parametriske repræsentation af bestemmelig normal vektor med Endelig leverer parallellen fra punktet op til niveauet afstanden: [LE].

Genberegning

Bestemmelse af de værdier, der skal bruges til formlen

Disse værdier bruges i endelig overgav sig

[LE].

Resultatet er det samme som i eksemplet.

Andre definitioner

Definitionen af euklidisk afstand kan generaliseres ved hjælp af metrik . Den euklidiske afstand er den euklidiske norm (2-norm) for et vektorrum , f.eks. B. det tredimensionelle euklidiske rum , se Metrisk rum - eksempler .

Manhattan metrisk

Linjerne i rød, blå og gul er tre eksempler på Manhattan -metriken mellem de to sorte prikker (hver 12 enheder lange). Til sammenligning repræsenterer den grønne linje den euklidiske afstand, som er en længde på Har enheder.

Den såkaldte Manhattan-metrik er en metrik , hvor afstanden mellem to punkter og er defineret som summen af de absolutte forskelle mellem deres individuelle koordinater : [8]

Manhattan -metriket er metriket genereret af sumnormen (1 norm) for et vektorrum .

Fordi stierne mellem to punkter altid løber i rette vinkler langs de vandrette og lodrette linjer (gader), men ikke gennem de firkantede "byggesten", er afstanden mellem to punkter ikke mindre og generelt større end den euklidiske afstand . Afstanden mellem to punkter med heltal koordinater (kryds) er altid et helt tal .

For eksempel i den grafiske modsætning er Manhattan-metriket i et todimensionalt rum , så det

resultater, hvor og punkterne markeret med sort er.

Afstandsmåling på buede overflader

På den sfæriske overflade bestemmes afstanden langs store cirkler og angives i grader eller radianer . For at beregne afstanden, se Ortodrome .

Den geodetiske linje eller det normale snit bruges på jordens ellipsoide eller andre konvekse overflader.

I geodesi og geovidenskab taler man mere om afstand eller afstand, som er givet metrisk.

Tæteste par point

De to punkter med den mindste afstand er markeret med rødt.

Problemet med det tætteste punktpar (engelsk tætteste poengproblem) er søgen efter de to liggende tættest sammen punkter i et niveau . Et vilkårligt sæt punkter i flyet er givet, og vi leder efter to af disse punkter, så den euklidiske afstand er minimal. Et lignende problem er søgningen efter de to fjerneste punkter i flyet, dvs. de to punkter med den maksimale euklidiske afstand .

Brute force -algoritmen beregner afstandene mellem alle mulige parpar og vælger parret med den mindste afstand. Driftstiden for algoritmen er kvadratisk og ligger i . En divider-og-erob- algoritme har en runtime, der er angivet i løgne.

Se også

Weblinks

Wiktionary: Distance - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Bemærkninger

  1. a b Om et dobbeltnavn for konstanten blev undgået med det passende tegn valgt.
  2. I modsætning til formlen fra den engelsktalende verden blev betegnelsen brugt til distancen i stedet for valgt.

Individuelle beviser

  1. Petra Stein , Sven Vollnhals: 3.5.1 Særlige tilfælde af Minkowski -metriket : Den euklidiske afstandsmåling. 3.5 Afstands- og lighedstiltag for skalavariabler. I: Grundlæggende om klyngeanalysemetoder. University of Duisburg-Essen, 1. april 2011, s. 15 , åbnet 19. oktober 2018 .
  2. Klaus Hefft: 9.1.3 euklidisk rum. 9.1 Tredimensionalt euklidisk rum. I: MATEMATISK FORKURSUS til studier af fysik. Heidelberg University, 8. juli 2018, adgang til 19. oktober 2018 .
  3. ^ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-2-dimensionel
  4. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-3-dimensionel
  5. ^ Wolfram MathWorld:Line-Line Distance
  6. ^ Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
  7. R. Verfürth: I.5.7. Parameterfrie repræsentationer af et fly.; Eksempel I.5.6. Matematik for mekaniske ingeniører, civilingeniører og miljøteknikere I. Ruhr-Universität Bochum, december 2006, s. 37-39 , åbnet den 22. maj 2021 .
  8. ^ Wolfram MathWorld: Taxicab Metric