afstand

Afstand mellem to punkter,

d(A,B)

{\ displaystyle d (A, B)}

{\ displaystyle d (A, B)}

er længden af den korteste forbindelse fra

EN.

{\ displaystyle A}

EN.

til

B.

{\ displaystyle B}

B.

Afstanden , også afstanden eller afstanden mellem to punkter, er længden af den korteste forbindelse mellem disse punkter.

I det euklidiske rum er dette længden af den lige linje mellem de to punkter. Afstanden mellem to geometriske objekter er længden af den korteste forbindelseslinje mellem de to objekter, dvs. afstanden mellem de to nærmeste punkter. Hvis der ikke tages hensyn til punkterne på to objekter, der er tættest på hinanden, angives dette eksplicit eller skyldes forholdet, såsom afstanden mellem de geometriske centre eller tyngdepunkterne.

Metriket er den del af matematik, der omhandler måling af afstand.

Afstanden , afstanden , afstanden mellem to værdier af en mængde eller mellem to tidspunkter bestemmes ved at danne den absolutte værdi af deres forskel , det vil sige ved at trække dem fra hinanden og danne den absolutte værdi fra resultatet . Den målte afstand er uafhængig af det valgte referencepunkt for koordinatsystemet , men ikke af dets skalering (se også skalafaktor ) .

I observationsastronomi er den tilsyneladende afstand på himlen mellem to himmelobjekter angivet som en vinkelafstand .

Afstanden mellem to sæt i det euklidiske rum (eller mere generelt i et metrisk rum ) kan defineres ved hjælp af Hausdorff -metriken .

Euklidisk afstand

I det kartesiske koordinatsystem beregnes afstanden (euklidisk afstand) mellem to punkter ved hjælp af Pythagoras sætning :

Afstanden mellem to punkter i flyet

d(A,B)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}{\text{, wobei }}A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle d (A, B) = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}} {\ tekst {, hvor} } A = (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ tekst {og}} B = (b_ {1}, \ dotsc, b_ {n} ) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle d (A, B) = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}} {\ tekst {, hvor} } A = (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ tekst {og}} B = (b_ {1}, \ dotsc, b_ {n} ) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

^[1]

Til flyet ( $A,B\in \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ ):

d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}

{\ displaystyle d (A, B) = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}}}

{\ displaystyle d (A, B) = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}}}

Til tredimensionelt rum ( $A,B\in \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ ):

d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}

{\ displaystyle d (A, B) = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2} + (a_ {3 } -b_ {3}) ^ {2}}}}

{\ displaystyle d (A, B) = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2} + (a_ {3 } -b_ {3}) ^ {2}}}}

^[2]

Afstanden fra et punkt fra en lige linje eller en flad overflade er afstanden fra grundpunktet for den vinkelrette faldet på det , at en buet linje altid er en afstand fra en af dens tangenter .

Beregningsmuligheder for afstandene fra punkter til lige linjer eller planer er angivet i den analytiske geometri i formularen .

Afstand i flyet

Afstand mellem punkt og linje

Eksempel: afstand

d(P,g)

{\ displaystyle d (P, g)}

{\ displaystyle d (P, g)}

mellem punkt

P.

{\ displaystyle P}

P.

og lige linjer

G

{\ displaystyle g}

G

i flyet.

Afstanden mellem punktet $P(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle P (x_ {0}, y_ {0})}$ og den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ med koordinatformen $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ udgør:

d(P,g)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

{\ displaystyle d (P, g) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

{\ displaystyle d (P, g) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

Punktet på den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ , det $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}}$ er tættest på har koordinaterne

\left(x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}},\;y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ left (x = {\ frac {b (bx_ {0} -ay_ {0}) - ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, \; y = {\ frac { a (-bx_ {0} + ay_ {0}) - bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ højre)}

{\ displaystyle \ left (x = {\ frac {b (bx_ {0} -ay_ {0}) - ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, \; y = {\ frac { a (-bx_ {0} + ay_ {0}) - bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ højre)}

Når den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ gennem punkterne $(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}}$ og $(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ løb er

a=y_{2}-y_{1}

{\ displaystyle a = y_ {2} -y_ {1}}

{\ displaystyle a = y_ {2} -y_ {1}}

b=x_{1}-x_{2}

{\ displaystyle b = x_ {1} -x_ {2}}

{\ displaystyle b = x_ {1} -x_ {2}}

c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}

{\ displaystyle c = x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}}

{\ displaystyle c = x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}}

Disse værdier kan bruges i formlerne . ^[3]

eksempel

Værdier, der bruges til lige linjer $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ : $a=-3,\;b=4,\;c=10$ ${\ displaystyle a = -3, \; b = 4, \; c = 10}$ ${\ displaystyle a = -3, \; b = 4, \; c = 10}$ og til punkt $P:\;x_{0}=4,\;y_{0}=6$ ${\ displaystyle P: \; x_ {0} = 4, \; y_ {0} = 6}$ ${\ displaystyle P: \; x_ {0} = 4, \; y_ {0} = 6}$

d(P,g)={\frac {(-3)\cdot 4+4\cdot 6+10}{\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}={\frac {22}{5}}=4{,}4\;

{\ displaystyle d (P, g) = {\ frac {(-3) \ cdot 4 + 4 \ cdot 6 + 10} {\ sqrt {(-3) ^ {2} + 4 ^ {2}}}} = {\ frac {22} {5}} = 4 {,} 4 \;}

{\ displaystyle d (P, g) = {\ frac {(-3) \ cdot 4 + 4 \ cdot 6 + 10} {\ sqrt {(-3) ^ {2} + 4 ^ {2}}}} = {\ frac {22} {5}} = 4 {,} 4 \;}

[LE]

Afstand i tredimensionelt rum

Dynamisk geometri -software (DGS) er påkrævet som et ekstra hjælpemiddel til at konstruere afstanden .

Afstand mellem punkt og linje

Afstanden mellem punktet $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ og den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ passerer gennem punkterne $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ og $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ ${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ ${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ kører, beløber sig til vektorerne ${\vec {p_{0}}},\;{\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {0}}}, \; {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {0}}}, \; {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}}$ :

d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{2}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}

{\ displaystyle d (P_ {0}, g) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ times ({\ vec { p_ {1}}} - {\ vec {p_ {0}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre | }} = {\ frac {\ venstre | ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {2}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre |}}}}

{\ displaystyle d (P_ {0}, g) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ times ({\ vec { p_ {1}}} - {\ vec {p_ {0}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre | }} = {\ frac {\ venstre | ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {2}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre |}}}}

^[4]

eksempel

Eksempel: afstand

d(P_{0},g)

{\ displaystyle d (P_ {0}, g)}

{\ displaystyle d (P_ {0}, g)}

mellem punkt

P_{0}

{\ displaystyle P_ {0}}

P_ {0}

og lige linjer

G

{\ displaystyle g}

G

på værelset.

Konstruktion af afstanden $d(P_{0},g)$ ${\ displaystyle d (P_ {0}, g)}$ ${\ displaystyle d (P_ {0}, g)}$ .

Koordinaterne til punkterne er angivet $P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right)$ ${\ displaystyle P_ {1} = \ venstre (3 {,} 5 \ venstre | 2 {,} 5 \ højre | 0 \ højre)}$ ${\ displaystyle P_ {1} = \ venstre (3 {,} 5 \ venstre | 2 {,} 5 \ højre | 0 \ højre)}$ og $P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right)$ ${\ displaystyle P_ {2} = \ venstre (-1 \ venstre | 7 \ højre | 0 \ højre)}$ ${\ displaystyle P_ {2} = \ venstre (-1 \ venstre | 7 \ højre | 0 \ højre)}$ hvorigennem den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ kører, og pointen $P_{0}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ venstre (5 \ venstre | 6 \ højre | 3 {,} 5 \ højre)}$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ venstre (5 \ venstre | 6 \ højre | 3 {,} 5 \ højre)}$ .

Efter at have tegnet den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ igennem $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_ {1}$ , $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ og pointen $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_ {0}$ blive forbindelsesvektorer ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}}$ og ${\vec {p_{0}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {0}}}}$ tegnet. En endelig etableret vinkelret på den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ efter punkt $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_ {0}$ giver afstanden $d(P_{0},g)=4{,}974\ldots \;$ ${\ displaystyle d (P_ {0}, g) = 4 {,} 974 \ ldots \;}$ ${\ displaystyle d (P_ {0}, g) = 4 {,} 974 \ ldots \;}$ [LE].

Genberegning

Indsættelse af disse værdier i formlen giver

d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-1{,}5\\-3{,}5\\-3{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-15{,}75\\-15{,}75\\22{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}

{\ displaystyle d (P_ {0}, g) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ times ({\ vec { p_ {1}}} - {\ vec {p_ {0}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre | }} = {\ frac {\ left | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} -1 {, } 5 \\ - 3 {,} 5 \\ - 3 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ højre |} {\ venstre | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right |}} = {\ frac {\ left | {\ begin {pmatrix} -15 {,} 75 \\ - 15 {,} 75 \\ 22 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ right |} {\ left | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right |}}}}

{\ displaystyle d (P_ {0}, g) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ times ({\ vec { p_ {1}}} - {\ vec {p_ {0}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre | }} = {\ frac {\ left | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} -1 {, } 5 \\ - 3 {,} 5 \\ - 3 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ højre |} {\ venstre | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right |}} = {\ frac {\ left | {\ begin {pmatrix} -15 {,} 75 \\ - 15 {,} 75 \\ 22 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ right |} {\ left | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right |}}}}

={\frac {\left|{\sqrt {(-15{,}75)^{2}+(-15{,}75)^{2}+22{,}5^{2}}}\right|}{\left|{\sqrt {(-4{,}5)^{2}+4{,}5^{2}+0^{2}}}\right|}}=4{,}974\ldots \;

{\ displaystyle = {\ frac {\ left | {\ sqrt {(-15 {,} 75) ^ {2} + (- 15 {,} 75) ^ {2} +22 {,} 5 ^ {2} }} \ højre |} {\ venstre | {\ sqrt {(-4 {,} 5) ^ {2} +4 {,} 5 ^ {2} + 0 ^ {2}}} \ højre |}} = 4 {,} 974 \ ldots \;}

{\ displaystyle = {\ frac {\ left | {\ sqrt {(-15 {,} 75) ^ {2} + (- 15 {,} 75) ^ {2} +22 {,} 5 ^ {2} }} \ højre |} {\ venstre | {\ sqrt {(-4 {,} 5) ^ {2} +4 {,} 5 ^ {2} + 0 ^ {2}}} \ højre |}} = 4 {,} 974 \ ldots \;}

[LE].

Afstand mellem to skæve lige linjer

To skæve straights ( $g_{1},\;g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {1}, \; g_ {2}}$ ${\ displaystyle g_ {1}, \; g_ {2}}$ ), den ene gennem prikkerne $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ og $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ ${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ ${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ og den anden ved punkterne $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ ${\ displaystyle P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ ${\ displaystyle P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ og $P_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})$ ${\ displaystyle P_ {4} = (x_ {4}, y_ {4}, z_ {4})}$ ${\ displaystyle P_ {4} = (x_ {4}, y_ {4}, z_ {4})}$ kører, har med vektorer ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}},\;{\vec {p_{4}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}, \; {\ vec {p_ {3}}}, \; {\ vec {p_ {4} }}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}, \; {\ vec {p_ {3}}}, \; {\ vec {p_ {4} }}}$ følgende afstand:

d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}

{\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2}) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ cdot (( {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3}}})) \ right |} {\ venstre | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3 }}})) \ højre |}}}

{\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2}) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ cdot (( {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3}}})) \ right |} {\ venstre | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3 }}})) \ højre |}}}

^[5]

eksempel

Eksempel: konstruktion af afstanden

d(g_{1},g_{2})

{\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2})}

{\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2})}

mellem to skæve straights

g_{1}

{\ displaystyle g_ {1}}

g_ {1}

og

g_{2}

{\ displaystyle g_ {2}}

g_ {2}

på værelset.

Konstruktion af afstanden $d(g_{1},g_{2})$ ${\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2})}$ ${\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2})}$ ved hjælp af et hjælpeplan.

Koordinaterne for de fire punkter er angivet $P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right),\;P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right),\;P_{3}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)$ ${\ displaystyle P_ {1} = \ venstre (3 {,} 5 \ venstre | 2 {,} 5 \ højre | 0 \ højre), \; P_ {2} = \ venstre (-1 \ venstre | 7 \ højre | 0 \ højre), \; P_ {3} = \ venstre (5 \ venstre | 6 \ højre | 3 {,} 5 \ højre)}$ ${\ displaystyle P_ {1} = \ venstre (3 {,} 5 \ venstre | 2 {,} 5 \ højre | 0 \ højre), \; P_ {2} = \ venstre (-1 \ venstre | 7 \ højre | 0 \ højre), \; P_ {3} = \ venstre (5 \ venstre | 6 \ højre | 3 {,} 5 \ højre)}$ og $P_{4}=\left(0{,}2\left|2{,}5\right|6\right).$ ${\ displaystyle P_ {4} = \ venstre (0 {,} 2 \ venstre | 2 {,} 5 \ højre | 6 \ højre).}$ ${\ displaystyle P_ {4} = \ venstre (0 {,} 2 \ venstre | 2 {,} 5 \ højre | 6 \ højre).}$

Efter at have tegnet den lige linje $g_{1}$ ${\ displaystyle g_ {1}}$ $g_ {1}$ igennem $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_ {1}$ , $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ og $g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {2}}$ $g_ {2}$ igennem $P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ $P_ {3}$ , $P_{4}$ ${\ displaystyle P_ {4}}$ $P_ {4}$ er først forbindelsesvektorerne ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}\;{\vec {p_{3}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}} \; {\ vec {p_ {3}}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}} \; {\ vec {p_ {3}}}}}$ og ${\vec {p_{4}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {4}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {4}}}}$ tegnet. En parallel til bruges til at bestemme hjælpeplanet $g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {2}}$ $g_ {2}$ igennem $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_ {1}$ trukket og derefter punktet $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ markeret hvor som helst på parallellen. Ved hjælp af de således givet point $A,P_{1}$ ${\ displaystyle A, P_ {1}}$ ${\ displaystyle A, P_ {1}}$ og $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ bliver niveauet $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ genereret. VVS -boben falder derefter fra punktet $P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ $P_ {3}$ på flyet $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ med fodspids $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ og en parallel til $g_{2},$ ${\ displaystyle g_ {2},}$ ${\ displaystyle g_ {2},}$ det $g_{1}$ ${\ displaystyle g_ {1}}$ $g_ {1}$ i $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ (røde) udskæringer. Endelig leverer parallellen ${\overline {P_{3}B}}$ ${\ displaystyle {\ overline {P_ {3} B}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {P_ {3} B}}}$ fra punktet $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ op til den lige linje $g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {2}}$ $g_ {2}$ afstanden: $d(g_{1},g_{2})=4{,}605\ldots \;$ ${\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2}) = 4 {,} 605 \ ldots \;}$ ${\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2}) = 4 {,} 605 \ ldots \;}$ [LE].

Genberegning

Disse værdier indsættes i formlen

d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right)\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}}

{\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2}) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ cdot (( {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3}}})) \ right |} {\ venstre | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3 }}})) \ right |}} = {\ frac {\ left | {\ begin {pmatrix} 1 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ cdot \ venstre ({\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ gange {\ begin {pmatrix} -4 {,} 8 \\ -3 { ,} 5 \\ 2 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ right) \ right |} {\ left | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ slut {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} -4 {,} 8 \\ - 3 {,} 5 \\ 2 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ right |}} = {\ frac { \ venstre | {\ begin {pmatrix} 1 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 11 {,} 25 \\ 11 {,} 25 \\ 37 {,} 35 \ end {pmatrix}} \ højre |} {\ venstre | {\ begin {pmatrix} 11 {,} 25 \\ 11 {,} 25 \\ 37 {,} 35 \ end {pmatrix}} \ right |}}}

{\ displaystyle d (g_ {1}, g_ {2}) = {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ cdot (( {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3}}})) \ right |} {\ venstre | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {4}}} - {\ vec {p_ {3 }}})) \ right |}} = {\ frac {\ left | {\ begin {pmatrix} 1 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ cdot \ venstre ({\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ gange {\ begin {pmatrix} -4 {,} 8 \\ -3 { ,} 5 \\ 2 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ right) \ right |} {\ left | {\ begin {pmatrix} -4 {,} 5 \\ 4 {,} 5 \\ 0 \ slut {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} -4 {,} 8 \\ - 3 {,} 5 \\ 2 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ right |}} = {\ frac { \ venstre | {\ begin {pmatrix} 1 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \\ 3 {,} 5 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 11 {,} 25 \\ 11 {,} 25 \\ 37 {,} 35 \ end {pmatrix}} \ højre |} {\ venstre | {\ begin {pmatrix} 11 {,} 25 \\ 11 {,} 25 \\ 37 {,} 35 \ end {pmatrix}} \ right |}}}

={\frac {\left|186{,}975\right|}{\left|{\sqrt {11{,}25^{2}+11{,}25^{2}+37{,}35^{2}}}\right|}}=4{,}605\ldots \;

{\ displaystyle = {\ frac {\ venstre | 186 {,} 975 \ højre |} {\ venstre | {\ sqrt {11 {,} 25 ^ {2} +11 {,} 25 ^ {2} +37 { ,} 35 ^ {2}}} \ right |}} = 4 {,} 605 \ ldots \;}

{\ displaystyle = {\ frac {\ venstre | 186 {,} 975 \ højre |} {\ venstre | {\ sqrt {11 {,} 25 ^ {2} +11 {,} 25 ^ {2} +37 { ,} 35 ^ {2}}} \ right |}} = 4 {,} 605 \ ldots \;}

[LE].

Afstand mellem punkt og fly

Afstanden mellem punktet $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ og flyet $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ med koordinatformen $ax+by+cz-f=0$ ${\ displaystyle ax + by + cz-f = 0}$ ${\ displaystyle ax + by + cz-f = 0}$ ^{[A 1]} er:

\;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-f|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}

{\ displaystyle \; \; (1) \; \; d (P_ {0}, E) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} -f |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \; \; (1) \; \; d (P_ {0}, E) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} -f |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}}

^{[A 1]}

Følgende gælder for de værdier, der skal bruges:

\;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}\\&\left(3\right)b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}\\&\left(4\right)c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\&\left(5\right)f=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle \; {\ begin {align} & \ left (2 \ right) a = y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} + y_ {2} z_ {3} -y_ { 3} z_ {2} + y_ {3} z_ {1} -y_ {1} z_ {3} \\ & \ venstre (3 \ højre) b = z_ {1} x_ {2} -z_ {2} x_ {1} + z_ {2} x_ {3} -z_ {3} x_ {2} + z_ {3} x_ {1} -z_ {1} x_ {3} \\ & \ venstre (4 \ højre) c = x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} + x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3} \\ & \ venstre (5 \ højre) f = x_ {1} y_ {2} z_ {3} -x_ {1} y_ {3} z_ {2} + x_ {2} y_ {3} z_ {1} -x_ {2} y_ {1} z_ {3} + x_ {3} y_ {1} z_ {2} -x_ {3} y_ {2} z_ {1} \\\ end {align} }}

{\ displaystyle \; {\ begin {align} & \ left (2 \ right) a = y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} + y_ {2} z_ {3} -y_ { 3} z_ {2} + y_ {3} z_ {1} -y_ {1} z_ {3} \\ & \ venstre (3 \ højre) b = z_ {1} x_ {2} -z_ {2} x_ {1} + z_ {2} x_ {3} -z_ {3} x_ {2} + z_ {3} x_ {1} -z_ {1} x_ {3} \\ & \ venstre (4 \ højre) c = x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} + x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3} \\ & \ venstre (5 \ højre) f = x_ {1} y_ {2} z_ {3} -x_ {1} y_ {3} z_ {2} + x_ {2} y_ {3} z_ {1} -x_ {2} y_ {1} z_ {3} + x_ {3} y_ {1} z_ {2} -x_ {3} y_ {2} z_ {1} \\\ end {align} }}

Hvis tre point $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ , $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ ${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ ${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ , $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ ${\ displaystyle P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ ${\ displaystyle P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ får det ene niveau $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ bestemme (se trepunktsformular ), så kan afstanden bestemmes ved hjælp af vektorer ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}, \; {\ vec {p_ {3}}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}}, \; {\ vec {p_ {2}}}, \; {\ vec {p_ {3}}}}}$ beregne med følgende formel :

\;\;(6)\;\;d(P_{0},E)={\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})

{\ displaystyle \; \; (6) \; \; d (P_ {0}, E) = {\ frac {({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} ) \ times ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}})} {\ venstre | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1 }}})) \ times ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ right |}} \ cdot ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {1}}})}

{\ displaystyle \; \; (6) \; \; d (P_ {0}, E) = {\ frac {({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} ) \ times ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}})} {\ venstre | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1 }}})) \ times ({\ vec {p_ {3}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ right |}} \ cdot ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {1}}})}

^[6] ^{[A 2]}

Den står $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle \ times}$ for krydsproduktet , $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ for skalarproduktet og $\left|\quad \right|$ ${\ displaystyle \ venstre | \ quad \ højre |}$ ${\ displaystyle \ venstre | \ quad \ højre |}$ for mængden af vektoren .

eksempel

Eksempel: konstruktion af afstanden

d(P,E)

{\ displaystyle d (P, E)}

{\ displaystyle d (P, E)}

mellem punktet

P.

{\ displaystyle P}

P.

og flyet

E.

{\ displaystyle E}

E.

på værelset.

Konstruktion af afstanden $d(P,E)$ ${\ displaystyle d (P, E)}$ ${\ displaystyle d (P, E)}$ ^[7]

Koordinaterne for de tre punkter i flyet er angivet $E\;$ ${\ displaystyle E \;}$ ${\ displaystyle E \;}$ med $A=\left(1\left|0\right|0\right),\;B=\left(2\left|1\right|1\right),\;C=\left(3\left|0\right|2\right)$ ${\ displaystyle A = \ venstre (1 \ venstre | 0 \ højre | 0 \ højre), \; B = \ venstre (2 \ venstre | 1 \ højre | 1 \ højre), \; C = \ venstre (3 \ venstre | 0 \ højre | 2 \ højre)}$ ${\ displaystyle A = \ venstre (1 \ venstre | 0 \ højre | 0 \ højre), \; B = \ venstre (2 \ venstre | 1 \ højre | 1 \ højre), \; C = \ venstre (3 \ venstre | 0 \ højre | 2 \ højre)}$ samt punktet, der ligger udenfor $P=\left(4\left|5\right|-3\right).$ ${\ displaystyle P = \ venstre (4 \ venstre | 5 \ højre | -3 \ højre).}$ ${\ displaystyle P = \ venstre (4 \ venstre | 5 \ højre | -3 \ højre).}$

Efter at have indtastet punkterne $A,\;B$ ${\ displaystyle A, \; B}$ ${\ displaystyle A, \; B}$ og $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ samt punktet, der ligger udenfor $P.,$ ${\ displaystyle P,}$ ${\ displaystyle P,}$ kan niveauet $E:2x-2z-2=0$ ${\ displaystyle E: 2x-2z-2 = 0}$ ${\ displaystyle E: 2x-2z-2 = 0}$ der skal genereres. Derefter taber du lodlinjen fra punktet $O$ ${\ displaystyle O}$ $O$ af koordinaternes oprindelse på flyet $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ med fodspidsen $D. .$ ${\ displaystyle D.}$ ${\ displaystyle D.}$ Gennem punkterne $O$ ${\ displaystyle O}$ $O$ og $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ kører også fra den parametriske repræsentation af $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ bestemmelig normal vektor med ${\vec {n}}=\left(2\left|0\right|-2\right).$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} = \ venstre (2 \ venstre | 0 \ højre | -2 \ højre).}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} = \ venstre (2 \ venstre | 0 \ højre | -2 \ højre).}$ Endelig leverer parallellen ${\overline {OD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OD}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OD}}}$ fra punktet $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ op til niveauet $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ afstanden: $d(P,E)=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;$ ${\ displaystyle d (P, E) = 3 \ cdot {\ sqrt {2}} \; = 4 {,} 2426 \ ldots \;}$ ${\ displaystyle d (P, E) = 3 \ cdot {\ sqrt {2}} \; = 4 {,} 2426 \ ldots \;}$ [LE].

Genberegning

Bestemmelse af de værdier, der skal bruges til formlen $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$

\;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=0\cdot 1-1\cdot 0+1\cdot 2-0\cdot 1+0\cdot 0-0\cdot 2=2\\&\left(3\right)b=0\cdot 2-1\cdot 1+1\cdot 3-2\cdot 2+2\cdot 1-0\cdot 3=0\\&\left(4\right)c=1\cdot 1-2\cdot 0+2\cdot 0-3\cdot 1+3\cdot 0-1\cdot 0=-2\\&\left(5\right)f=1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 0\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2+3\cdot 0\cdot 1-3\cdot 1\cdot 0=2\\\end{aligned}}

{\ displaystyle \; {\ begynde {justeret} & \ venstre (2 \ højre) a = 0 \ gange 1-1 \ gange 0 + 1 \ gange 2-0 \ gange 1 + 0 \ gange 0-0 \ gange 2 = 2 \\ & \ venstre (3 \ højre) b = 0 \ gange 2-1 \ gange 1 + 1 \ gange 3-2 \ gange 2 + 2 \ gange \ gange 1-0 \ gange 3 = 0 \\ & \ venstre (4 \ højre) c = 1 \ gange 1-2 \ gange 0 + 2 \ gange 0-3 \ gange 1 + 3 \ gange 0-1 \ gange 0 = -2 \\ & \ venstre (5 \ højre ) f = 1 \ cdot 1 \ cdot 2-1 \ cdot 0 \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0-2 \ cdot 0 \ cdot 2 + 3 \ cdot 0 \ cdot 1-3 \ cdot 1 \ cdot 0 = 2 \\\ ende {justeret}}}

{\ displaystyle \; {\ begynde {justeret} & \ venstre (2 \ højre) a = 0 \ gange 1-1 \ gange 0 + 1 \ gange 2-0 \ gange 1 + 0 \ gange 0-0 \ gange 2 = 2 \\ & \ venstre (3 \ højre) b = 0 \ gange 2-1 \ gange 1 + 1 \ gange 3-2 \ gange 2 + 2 \ gange \ gange 1-0 \ gange 3 = 0 \\ & \ venstre (4 \ højre) c = 1 \ gange 1-2 \ gange 0 + 2 \ gange 0-3 \ gange 1 + 3 \ gange 0-1 \ gange 0 = -2 \\ & \ venstre (5 \ højre ) f = 1 \ cdot 1 \ cdot 2-1 \ cdot 0 \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0-2 \ cdot 0 \ cdot 2 + 3 \ cdot 0 \ cdot 1-3 \ cdot 1 \ cdot 0 = 2 \\\ ende {justeret}}}

Disse værdier bruges i $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ endelig overgav sig

\;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|2\cdot 4+0\cdot 5+(-2)\cdot (-3)-2|}{\sqrt {2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}}}=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;

{\ displaystyle \; \; (1) \; \; d (P_ {0}, E) = {\ frac {| 2 \ gange 4 + 0 \ gange 5 + (- 2) \ gange (-3)- 2 |} {\ sqrt {2 ^ {2} + 0 ^ {2} + (- 2) ^ {2}}}} = 3 \ cdot {\ sqrt {2}} \; = 4 {,} 2426 \ ldots \;}

{\ displaystyle \; \; (1) \; \; d (P_ {0}, E) = {\ frac {| 2 \ gange 4 + 0 \ gange 5 + (- 2) \ gange (-3)- 2 |} {\ sqrt {2 ^ {2} + 0 ^ {2} + (- 2) ^ {2}}}} = 3 \ cdot {\ sqrt {2}} \; = 4 {,} 2426 \ ldots \;}

[LE].

Resultatet er det samme som i eksemplet.

Andre definitioner

Definitionen af euklidisk afstand kan generaliseres ved hjælp af metrik . Den euklidiske afstand er den euklidiske norm (2-norm) for et vektorrum , f.eks. B. det tredimensionelle euklidiske rum , se Metrisk rum - eksempler .

Manhattan metrisk

Linjerne i rød, blå og gul er tre eksempler på Manhattan -metriken mellem de to sorte prikker (hver 12 enheder lange). Til sammenligning repræsenterer den grønne linje den euklidiske afstand, som er en længde på

6{\sqrt {2}}\approx 8.5

{\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} \ ca. 8,5}

{\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} \ ca. 8,5}

Har enheder.

Den såkaldte Manhattan-metrik er en metrik , hvor afstanden $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ mellem to punkter $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ og $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ er defineret som summen af de absolutte forskelle mellem deres individuelle koordinater : ^[8]

d(A,B)=\sum _{i}\left|A_{i}-B_{i}\right|

{\ displaystyle d (A, B) = \ sum _ {i} \ venstre | A_ {i} -B_ {i} \ højre |}

{\ displaystyle d (A, B) = \ sum _ {i} \ venstre | A_ {i} -B_ {i} \ højre |}

Manhattan -metriket er metriket genereret af sumnormen (1 norm) for et vektorrum .

Fordi stierne mellem to punkter altid løber i rette vinkler langs de vandrette og lodrette linjer (gader), men ikke gennem de firkantede "byggesten", er afstanden mellem to punkter ikke mindre og generelt større end den euklidiske afstand . Afstanden mellem to punkter med heltal koordinater (kryds) er altid et helt tal .

For eksempel i den grafiske modsætning er Manhattan-metriket i et todimensionalt rum , så det

d(A,B)=\left|A_{1}-B_{1}\right|+\left|A_{2}-B_{2}\right|=\left|0-6\right|+\left|0-6\right|=\left|-6\right|+\left|-6\right|=12

{\ displaystyle d (A, B) = \ venstre | A_ {1} -B_ {1} \ højre | + \ venstre | A_ {2} -B_ {2} \ højre | = \ venstre | 0-6 \ højre | + \ venstre | 0-6 \ højre | = \ venstre | -6 \ højre | + \ venstre | -6 \ højre | = 12}

{\ displaystyle d (A, B) = \ venstre | A_ {1} -B_ {1} \ højre | + \ venstre | A_ {2} -B_ {2} \ højre | = \ venstre | 0-6 \ højre | + \ venstre | 0-6 \ højre | = \ venstre | -6 \ højre | + \ venstre | -6 \ højre | = 12}

resultater, hvor $A=(A_{1},A_{2})=(0,0)$ ${\ displaystyle A = (A_ {1}, A_ {2}) = (0,0)}$ ${\ displaystyle A = (A_ {1}, A_ {2}) = (0,0)}$ og $B=(B_{1},B_{2})=(6,6)$ ${\ displaystyle B = (B_ {1}, B_ {2}) = (6.6)}$ ${\ displaystyle B = (B_ {1}, B_ {2}) = (6.6)}$ punkterne markeret med sort er.

Afstandsmåling på buede overflader

På den sfæriske overflade bestemmes afstanden langs store cirkler og angives i grader eller radianer . For at beregne afstanden, se Ortodrome .

Den geodetiske linje eller det normale snit bruges på jordens ellipsoide eller andre konvekse overflader.

I geodesi og geovidenskab taler man mere om afstand eller afstand, som er givet metrisk.

Tæteste par point

De to punkter med den mindste afstand er markeret med rødt.

Problemet med det tætteste punktpar (engelsk tætteste poengproblem) er søgen efter de to liggende tættest sammen punkter i et niveau . Et vilkårligt sæt punkter i flyet er givet, og vi leder efter to af disse punkter, så den euklidiske afstand er minimal. Et lignende problem er søgningen efter de to fjerneste punkter i flyet, dvs. de to punkter med den maksimale euklidiske afstand .

Brute force -algoritmen beregner afstandene mellem alle mulige parpar og vælger parret med den mindste afstand. Driftstiden for algoritmen er kvadratisk og ligger i $O(n^{2})$ ${\ displaystyle O (n ^ {2})}$ $O (n ^ 2)$ . En divider-og-erob- algoritme har en runtime, der er angivet i $O(n\cdot \log n)$ ${\ displaystyle O (n \ cdot \ log n)}$ ${\ displaystyle O (n \ cdot \ log n)}$ løgne.

Se også

Weblinks

Wiktionary: Distance - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Wikiquote: Distance - Citater

Bemærkninger

↑ ^a ^b Om et dobbeltnavn for konstanten $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ blev undgået med det passende tegn $-f$ ${\ displaystyle -f}$ $-f$ valgt.
↑ I modsætning til formlen fra den engelsktalende verden blev betegnelsen brugt til distancen $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ i stedet for $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ valgt.

Individuelle beviser

↑ Petra Stein , Sven Vollnhals: 3.5.1 Særlige tilfælde af Minkowski -metriket : Den euklidiske afstandsmåling. 3.5 Afstands- og lighedstiltag for skalavariabler. I: Grundlæggende om klyngeanalysemetoder. University of Duisburg-Essen, 1. april 2011, s. 15 , åbnet 19. oktober 2018 .
↑ Klaus Hefft: 9.1.3 euklidisk rum. 9.1 Tredimensionalt euklidisk rum. I: MATEMATISK FORKURSUS til studier af fysik. Heidelberg University, 8. juli 2018, adgang til 19. oktober 2018 .
^ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-2-dimensionel
↑ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-3-dimensionel
^ Wolfram MathWorld:Line-Line Distance
^ Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
↑ R. Verfürth: I.5.7. Parameterfrie repræsentationer af et fly.; Eksempel I.5.6. Matematik for mekaniske ingeniører, civilingeniører og miljøteknikere I. Ruhr-Universität Bochum, december 2006, s. 37-39 , åbnet den 22. maj 2021 .
^ Wolfram MathWorld: Taxicab Metric

[Konstante_f-6] Om et dobbeltnavn for konstanten $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ blev undgået med det passende tegn $-f$ ${\ displaystyle -f}$ $-f$ valgt.

[8] I modsætning til formlen fra den engelsktalende verden blev betegnelsen brugt til distancen $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ i stedet for $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ valgt.

[1] Petra Stein , Sven Vollnhals: 3.5.1 Særlige tilfælde af Minkowski -metriket : Den euklidiske afstandsmåling. 3.5 Afstands- og lighedstiltag for skalavariabler. I: Grundlæggende om klyngeanalysemetoder. University of Duisburg-Essen, 1. april 2011, s. 15 , åbnet 19. oktober 2018 .

[2] Klaus Hefft: 9.1.3 euklidisk rum. 9.1 Tredimensionalt euklidisk rum. I: MATEMATISK FORKURSUS til studier af fysik. Heidelberg University, 8. juli 2018, adgang til 19. oktober 2018 .

[3] Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-2-dimensionel

[4] Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-3-dimensionel

[5] Wolfram MathWorld:Line-Line Distance

[7] Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance

[9] R. Verfürth: I.5.7. Parameterfrie repræsentationer af et fly.; Eksempel I.5.6. Matematik for mekaniske ingeniører, civilingeniører og miljøteknikere I. Ruhr-Universität Bochum, december 2006, s. 37-39 , åbnet den 22. maj 2021 .

[10] Wolfram MathWorld: Taxicab Metric

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[A 1]

[6]

[A 2]

[7]

[8]