Analyse

Analyse [ aˈnaːlyzɪs ] ( ανάλυσις análysis 'opløsning', ἀναλύειν analýein 'opløses') er en gren af matematik , hvis grundlæggende uafhængigt blev udviklet af Gottfried Wilhelm Leibniz og Isaac Newton som uendelig kalkulation . Analyse har eksisteret siden Leonhard Euler som et uafhængigt matematisk underområde sammen med de klassiske underområder geometri og algebra .

De to organer er grundlæggende for al analyse $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ( feltet med reelle tal ) og $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ (kroppen af komplekse tal ) sammen med deres geometriske, aritmetiske , algebraiske og topologiske egenskaber. Centrale begreber i analysen er sådanne med grænseværdien , den sekvens , de serier og især begrebet funktion . Undersøgelsen af reelle og komplekse funktioner med hensyn til kontinuitet , differentierbarhed og integrering er et af hovedemnerne i analysen. Metoderne udviklet hertil er af stor betydning inden for alle natur- og ingeniørvidenskaber .

Delområder for analyse

Gottfried Wilhelm Leibniz

Isaac Newton

Leonhard Euler

Augustin-Louis Cauchy

Bernhard Riemann

Analyse har udviklet sig til en meget generel, ikke klart afgrænselig generisk betegnelse for en lang række områder. Ud over differential- og integralregning inkluderer analyse andre områder, der bygger på den. Disse omfatter teorien om almindelige og delvise differentialligninger , beregningen af variationer , vektoranalyse , måle- og integrationsteori og funktionel analyse . ^[1]

Funktionsteori har også en af sine rødder i analysen. Spørgsmålet om, hvilke funktioner Cauchy-Riemann-differentialligningerne opfylder, kan forstås som et spørgsmål om teorien om partielle differentialligninger.

Afhængigt af visningen kan områderne harmonisk analyse , differentialgeometri med underområderne differential topologi og global analyse , analytisk talteori , ikke-standardanalyse , distributionsteori og mikro-lokal analyse inkluderes helt eller delvist.

Endimensionel reel analyse

Differentialregning

I tilfælde af en lineær funktion eller en lige linje

g(x)=mx+c

{\ displaystyle g (x) = mx + c}

g (x) = mx + c

m er hældningen og c er y-aksens sektion eller ordinat sektion af den lige linje. Du har kun 2 point $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}}$ $(x_0, y_0)$ og $(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}}$ $(x_1, y_1)$ på en lige linje kan hældningen beregnes ved

m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.

{\ displaystyle m = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}.}

m = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}.

Til ikke-lineære funktioner som f.eks B. $f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (x) = x ^ {2}$ hældningen kan ikke længere beregnes, da disse beskriver kurver og derfor ikke er lige linjer. Du kan dog komme til et punkt $(x_{0},f(x_{0}))$ ${\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0}))}$ $(x_ {0}, f (x_ {0}))$ læg en tangent, der igen repræsenterer en lige linje. Spørgsmålet er nu, hvordan man får skråningen af en sådan tangent på et tidspunkt $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ kan beregne. Vælg et job $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ meget tæt på $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ og sætter en lige linje gennem punkterne $(x_{0},f(x_{0}))$ ${\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0}))}$ $(x_ {0}, f (x_ {0}))$ og $(x_{1},f(x_{1}))$ ${\ displaystyle (x_ {1}, f (x_ {1}))}$ $(x_ {1}, f (x_ {1}))$ , hældningen af denne sekant er næsten tangensens hældning. Sekantens hældning er (se ovenfor)

m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

{\ displaystyle m = {\ frac {f (x_ {1}) - f (x_ {0})} {x_ {1} -x_ {0}}}.}

m = {\ frac {f (x_ {1}) - f (x_ {0})} {x_ {1} -x_ {0}}}.

Denne kvot kaldes differencekvotienten eller middelværdien for ændring. Hvis vi nu får jobbet $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ altid på $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ omtrentlige, får vi tangentens hældning fra differenskvotienten. Vi skriver

f'(x_{0})=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}

{\ displaystyle f '(x_ {0}) = \ lim _ {x \ rightarrow x_ {0}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x -x_ {0}}} }

f '(x_ {0}) = \ lim _ {{x \ højre pil x_ {0}}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x -x_ {0}}}

og kalder dette derivatet eller differentialkvotienten af f in $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ . Udtrykket $\lim _{x\rightarrow x_{0}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ højre pil x_ {0}}}$ $\ lim _ {{x \ højre pil x_ {0}}}$ betyder, at x altid er tændt $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ er tilnærmet, eller at afstanden mellem x og $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ bliver vilkårligt lille. Vi siger også: “ x går imod $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ ". Betegnelsen $\lim$ ${\ displaystyle \ lim}$ $\ lim$ står for Limes .

f^{\prime }(x_{0})

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0})}

f ^ {\ prime} (x_ {0})

er grænsen for differenskvoten .

Der er også tilfælde, hvor denne grænse ikke findes. Derfor blev begrebet differentiering introduceret. En funktion f kaldes differentieret på punktet $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ når grænsen $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow x_ {0}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x -x_ {0}}}}$ $\ lim _ {{x \ rightarrow x_ {0}}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x -x_ {0}}}$ findes.

Integreret beregning

Den integrale beregning omhandler klart beregningen af områder under funktionsgrafer. Dette område kan tilnærmes med en sum af delområder og går over i integralet i grænseværdien.

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right).

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x: = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {ba} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f \ venstre (a + i {\ frac {ba} {n}} \ højre).}

\ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, {\ mathrm {d}} x: = \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {ba} {n }} \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} f \ venstre (a + i {\ frac {ba} {n}} \ højre).

Ovenstående sekvens konvergerer, hvis f opfylder visse betingelser (f.eks. Kontinuitet ). Denne klare repræsentation (tilnærmelse ved hjælp af øvre og nedre summer) svarer til det såkaldte Riemann-integral , der undervises i skolerne.

I den såkaldte højere analyse er yderligere integrale udtryk, som f.eks B. betragtede Lebesgue som en integreret del .

Hovedsætning om integral og differentialregning

Ifølge analyseloven er differentialregning og integralregning "omvendt" relateret til hinanden på følgende måde.

Hvis f en på et kompakt interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[væk]$ er en kontinuerlig reel funktion, så holder for $x\in (a,b)$ ${\ displaystyle x \ in (a, b)}$ $x \ in (a, b)$ :

{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}\left(\int _{a}^{x}f({\bar {x}})\mathrm {d} {\bar {x}}\right)=f(x)

{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ left (\ int _ {a} ^ {x} f ({\ bar {x}}) \ mathrm {d} {\ bar { x}} \ højre) = f (x)}

{{\ mathrm d} \ over {\ mathrm d} x} \ left (\ int _ {a} ^ {x} f ({\ bar x}) {\ mathrm d} {\ bar x} \ right) = f (x)

og, hvis f også på $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(væk)$ er ensartet kontinuerligt differentierbar,

\int _{a}^{x}\left({\mathrm {d}  \over \mathrm {d} {\bar {x}}}f({\bar {x}})\right)\mathrm {d} {\bar {x}}=f(x)-f(a).

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x} \ venstre ({\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} {\ bar {x}}} f ({\ bar {x}}) \ højre) \ mathrm {d} {\ bar {x}} = f (x) -f (a).}

\ int _ {a} ^ {x} \ venstre ({{\ mathrm {d}} \ over {\ mathrm {d}} {\ bar x}} f ({\ bar x}) \ right) {\ mathrm {d}} {\ bar x} = f (x) -f (a).

Derfor bliver sættet af alle antiderivativer én funktion $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ også omtalt som den ubestemte integral og ved $\textstyle \int f(x)\mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int f (x) \ mathrm {d} x}$ $\ textstyle \ int f (x) {\ mathrm d} x$ symboliserer.

Multidimensionel reel analyse

Eksempel på en multidimensionel funktion:

f(x,y)=y\cdot \sin(x^{2})

{\ displaystyle f (x, y) = y \ cdot \ sin (x ^ {2})}

{\ displaystyle f (x, y) = y \ cdot \ sin (x ^ {2})}

Mange lærebøger skelner mellem analyse i en og analyse i flere dimensioner. Denne differentiering påvirker ikke de grundlæggende begreber, men der er større matematisk mangfoldighed i flere dimensioner. Multidimensionel analyse ser på funktioner $\textstyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ textstyle f \ colon D \ subseteq \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ textstyle f \ colon D \ subseteq \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ flere reelle variabler, som ofte er repræsenteret som en vektor eller n -dobbelt.

Vilkårene for normen (som en generalisering af det beløb), den konvergens , kontinuiteten og grænseværdierne kan let generaliseres fra en til flere dimensioner.

Funktionsdifferentiering af flere variabler adskiller sig fra endimensionel differentiering. Vigtige begreber er retningsbestemte og partielle derivater , som er derivater i henholdsvis en retning og en variabel. Schwarz sætning bestemmer, hvornår partielle eller retningsbestemte derivater af forskellige retninger kan udskiftes. Derudover er begrebet total differentiering vigtigt. Dette kan tolkes som den lokale tilpasning af en lineær kortlægning til forløbet af den multidimensionelle funktion og er den multidimensionelle analog af (endimensionel) afledning. Sætningen om den implicitte funktion om den lokale, entydige opløsning af implicitte ligninger er en vigtig erklæring i multidimensionel analyse og kan forstås som et grundlag for differential geometri.

I multidimensionel analyse er der forskellige integrale termer, såsom kurveintegralet , overfladeintegralet og rumintegralet . Men fra et mere abstrakt synspunkt fra vektoranalyse adskiller disse udtryk sig ikke. For at løse disse integraler er transformationsteoremet som en generalisering af substitutionsreglen og Fubinis sætning , der gør det muligt at konvertere integraler over n -dimensionelle sæt til itererede integraler, af særlig betydning. De integrale sætninger fra vektoranalysen af Gauss , Green og Stokes er også vigtige i multidimensionel analyse. De kan forstås som en generalisering af hovedsætningen om integral og differentialregning.

Funktionel analyse

Funktionel analyse er et af de vigtigste analyseområder. Den afgørende idé i udviklingen af funktionel analyse var udviklingen af en koordinat- og dimensionsfri teori. Dette medførte ikke kun en formel gevinst, men gjorde det også muligt at undersøge funktioner på uendelig-dimensionelle topologiske vektorrum . ^[1] Ikke alene er reel analyse og topologi forbundet, men metoder til algebra spiller også en vigtig rolle. Nøglemetoder til teorien om partielle differentialligninger kan udledes af vigtige resultater af funktionel analyse, f.eks. Fréchet-Riesz-sætningen . Derudover er funktionel analyse, især med spektralteori , den passende ramme for den matematiske formulering af kvantemekanik og teorier baseret på den.

Teori om differentialligninger

En differentialligning er en ligning, der indeholder en ukendt funktion og dens derivater. Hvis der kun forekommer almindelige derivater i ligningen, kaldes differentialligningen almindelig. Et eksempel er differentialligningen

y''(t)+\omega _{0}^{2}y(t)=0

{\ displaystyle y '' (t) + \ omega _ {0} ^ {2} y (t) = 0}

y '' (t) + \ omega _ {0} ^ {2} y (t) = 0

af den harmoniske oscillator . Man taler om en partiel differentialligning, når der forekommer partielle derivater i differentialligningen. Et eksempel på denne klasse er Laplace -ligningen

\Delta u(x)=0

{\ displaystyle \ Delta u (x) = 0}

\ Delta u (x) = 0

.

Formålet med teorien om differentialligninger er at finde løsninger, løsningsmetoder og andre egenskaber ved sådanne ligninger. Der er udviklet en omfattende teori for almindelige differentialligninger, hvormed det er muligt at give løsninger på givne ligninger, for så vidt de findes. Fordi partielle differentialligninger er mere komplicerede i strukturen, er der mindre teori, der kan anvendes på en stor klasse af partielle differentialligninger. Derfor undersøges normalt kun individuelle eller mindre ligningsklasser inden for partielle differentialligninger. For at finde løsninger og egenskaber ved sådanne ligninger anvendes metoder fra funktionel analyse og også fra distributionsteori og mikro-lokal analyse . Der er imidlertid mange partielle differentialligninger, for hvilke kun få oplysninger om løsningens struktur kunne opnås ved hjælp af disse analysemetoder. Et eksempel på en så kompleks partiel differentialligning, der er vigtig i fysikken, er systemet med Navier-Stokes ligninger . For disse og andre partielle differentialligninger forsøger man at finde omtrentlige løsninger i numerisk matematik .

Funktionsteori

I modsætning til reel analyse, der kun omhandler funktioner af reelle variabler, undersøges funktioner af komplekse variabler i funktionsteori (også kaldet kompleks analyse). Funktionsteorien har adskilt sig fra reel analyse med sine egne metoder og forskellige spørgsmål. Nogle fænomener med reel analyse kan imidlertid kun forstås korrekt ved hjælp af funktionsteori. Overførsel af spørgsmål fra reel analyse til funktionsteori kan derfor føre til forenklinger. ^[1]

litteratur

Herbert Amann, Joachim Escher : Analyse I. Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0 .
Richard Courant : Foredrag om differential og integreret beregning . 2 bind. Springer 1928, ISBN 3-540-02956-7 .
Jean Dieudonné : Grundlaget for moderne analyse . Academic Press, US 1968, ISBN 0-12-215530-0 .
Leonhard Euler: Introduktion til analyse af det uendelige . Første del af Introductio i Analysin Infinitorum. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 (genoptryk af Berlin 1885-udgaven).
Otto Forster : Analyse 1 . Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2 .
Harro Heuser : Lærebog i analyse . Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5 .
Stefan Hildebrandt : Analyse . Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0 .
Konrad Königsberger : Analyse . Bind 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4 .
Vladimir Smirnov : Kursus i højere matematik . Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2 .
Walter Rudin : Virkelig og kompleks analyse . 2. forbedrede udgave. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6 .
Thomas Sonar : 3000 års analyse. Historie - kulturer - mennesker . 2. udgave. Springer, Berlin 2016. ISBN 978-3-662-48917-8 .
Wolfgang Walter : Analyse . Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5 .

Weblinks

Commons : Analyse - samling af billeder, videoer og lydfiler

Wikiversity: Kursus: Analyse (Osnabrück 2014-2016) / Del I - Kursusmateriale

Wikiversity: Kursus: Analyse (Osnabrück 2014-2016) / Del II - Kursusmateriale

Wikiversity: Kursus: Analyse (Osnabrück 2014-2016) / Del III - Kursusmaterialer

Wikibooks: Math for Non -Freaks: Analysis 1 - Learning and Teaching Materials

Wikibooks: Matematik i flere bind, bind 4, analyse - lærings- og undervisningsmaterialer

Wikibooks: Analyse - lærings- og undervisningsmateriale

Wiktionary: Analyse - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Eric W. Weisstein : Beregning . I: MathWorld (engelsk).
Emner om beregning . I: PlanetMath . (Engelsk)
Calculus -siden Calculus.org, ved University of California, Davis - Ressourcer og links til andre websteder

Individuelle beviser

↑ ^a ^b ^c D. Hoffmann: Analyse . I: Guido Walz (red.): Leksikon for matematik . 1. udgave. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .

[LexMathe-1] D. Hoffmann: Analyse . I: Guido Walz (red.): Leksikon for matematik . 1. udgave. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .

[1]