Aperiodisk borderline -sag

Normaliseret afbøjning

x/x_{0}

{\ displaystyle x / x_ {0}}

{\ displaystyle x / x_ {0}}

i det aperiodiske borderline -tilfælde som funktion af normaliseret tid

t\cdot \delta

{\ displaystyle t \ cdot \ delta}

{\ displaystyle t \ cdot \ delta}

. Tre kurser med forskellige starthastigheder vises

v_{0}

{\ displaystyle v_ {0}}

v_ {0}

.

Aperiodic limit case beskriver en dæmpningstilstand for en harmonisk oscillator . Det er den mindste dæmpning, hvor nedbøjningen uden overskridelse, det vil sige en ændring af retning, har tendens til ligevægtspositionen, når den frigøres fra en afbøjet tilstand uden en starthastighed. Tilgangen til ligevægt finder sted på meget kort tid. Hvis oscillatoren har en starthastighed, kan der forekomme nulkrydsning i det aperiodiske grænsetilfælde. Hvis dæmpningen er endnu større, man taler om en overperiodic fald eller krybe falde.

Aperiodisk grænsetilfælde svarer til en Lehrs dæmpning af D = 1 eller en kvalitetsfaktor på Q = 0,5.

Lineær dæmpet harmonisk oscillator

Bevægelsesligningen for en dæmpet oscillerende masse er:

m{\ddot {x}}+d\;{\dot {x}}+kx=0

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} + d \; {\ dot {x}} + kx = 0}

m {\ ddot {x}} + d \; {\ dot {x}} + kx = 0

med afbøjningen x , dæmpningskonstanten d , massen m og fjederkonstanten k .

Normalt identificerer man sig $\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ $\ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}}$ end den dæmpede naturlige vinkelfrekvens for den harmoniske oscillator og $\delta ={\frac {d}{2m}}$ ${\ displaystyle \ delta = {\ frac {d} {2m}}}$ $\ delta = {\ frac {d} {2m}}$ end henfaldskonstanten , så bevægelsesligningen for en dæmpet harmonisk oscillator resulterer i følgende form:

{\ddot {x}}+2\;\delta \;{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}\;x=0

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + 2 \; \ delta \; {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \; x = 0}

{\ ddot {x}} + 2 \; \ delta \; {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \; x = 0

Denne ligning kan løses ved hjælp af den eksponentielle tilgang $x(t)\sim e^{\lambda \cdot t}$ ${\ displaystyle x (t) \ sim e ^ {\ lambda \ cdot t}}$ $x (t) \ sim e ^ {{\ lambda \ cdot t}}$ at løse. Resultatet er den karakteristiske ligning :

\lambda ^{2}+2\;\delta \;\lambda \;+\omega _{0}^{2}=0

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} +2 \; \ delta \; \ lambda \; + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}

\ lambda ^ {2} +2 \; \ delta \; \ lambda \; + \ omega _ {0} ^ {2} = 0

Med løsningen:

\lambda _{1,2}=-\delta \pm {\sqrt {\delta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = - \ delta \ pm {\ sqrt {\ delta ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}

\ lambda _ {{1,2}} = - \ delta \ pm {\ sqrt {\ delta ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}

til $\delta =\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ delta = \ omega _ {0}}$ $\ delta = \ omega _ {0}$ resultatet af den aperiodiske borderline -sag, da diskriminanten af denne ligning derefter bliver 0. Oscillatoren svinger derfor ikke periodisk, men vender snarere tilbage til hvilepositionen på en minimal tid.

Det gælder derefter $\lambda =-\delta$ ${\ displaystyle \ lambda = - \ delta}$ $\ lambda = - \ delta$ og den generelle løsning for et dobbelt nul er som følger:

x(t)=c_{1}\cdot e^{-\delta \;t}+c_{2}\cdot t\cdot e^{-\delta \;t}

{\ displaystyle x (t) = c_ {1} \ cdot e ^ {- \ delta \; t} + c_ {2} \ cdot t \ cdot e ^ {- \ delta \; t}}

x (t) = c_ {1} \ cdot e ^ {{- \ delta \; t}} + c_ {2} \ cdot t \ cdot e ^ {{- \ delta \; t}}

Transduceren bliver nul på tidspunktet $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ frigives med nul hastighed, derefter gælder $x(0)=x_{0}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$ $x (0) = x_ {0}$ og ${\dot {x}}(0)=0$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = 0}$ ${\ dot x} (0) = 0$ således at følgende særlige løsning resulterer:

x(t)=x_{0}\cdot (1+\delta \;t)\cdot e^{-\delta \;t}

{\ displaystyle x (t) = x_ {0} \ cdot (1+ \ delta \; t) \ cdot e ^ {- \ delta \; t}}

x (t) = x_ {0} \ cdot (1+ \ delta \; t) \ cdot e ^ {{- \ delta \; t}}

På den anden side bliver transduceren nul på tidspunktet $x(0)=0$ ${\ displaystyle x (0) = 0}$ $x (0) = 0$ med hastighed $v_{0}={\dot {x}}(0)$ ${\ displaystyle v_ {0} = {\ dot {x}} (0)}$ $v_ {0} = {\ dot x} (0)$ "Initieret", dette er løsningen:

x(t)=v_{0}\cdot t\cdot e^{-\delta \;t}

{\ displaystyle x (t) = v_ {0} \ cdot t \ cdot e ^ {- \ delta \; t}}

x (t) = v_ {0} \ cdot t \ cdot e ^ {{- \ delta \; t}}

Hvis begge indledende betingelser er angivet, kan disse løsninger også overlejres lineært, så samlet set for de indledende data $x(0)=x_{0}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$ $x (0) = x_ {0}$ , ${\dot {x}}(0)=v_{0}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = v_ {0}}$ ${\ dot x} (0) = v_ {0}$ løsningen

x(t)={\bigl (}x_{0}+(v_{0}+x_{0}\cdot \delta )\cdot t{\bigr )}\cdot e^{-\delta \;t}

{\ displaystyle x (t) = {\ bigl (} x_ {0} + (v_ {0} + x_ {0} \ cdot \ delta) \ cdot t {\ bigr)} \ cdot e ^ {- \ delta \ ; t}}

x (t) = {\ bigl (} x_ {0} + (v_ {0} + x_ {0} \ cdot \ delta) \ cdot t {\ bigr)} \ cdot e ^ {{- \ delta \; t }}

læser.

brug