asymptote

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

En asymptote ( oldgræsk ἀσύμπτωτος asýmptōtos "matcher ikke", [1] fra oldgræsk πίπτω pípto "jeg falder") er en linje ( kurve , ofte som en lige linje ) i matematik , som grafen for en funktion i uendelighed nærmer sig mere og mere. En "særlig form" er det asymptotiske punkt, hvor tilgangen ikke finder sted i det uendelige. Det særegne ved lodrette asymptoter er, at de ikke kan beskrives som en funktion.

Den antonym Symptote er ikke i brug.

En almindelig opfattelse af, at en funktion nærmer sig asymptoten, men aldrig skærer den, er kun sand for nogle af funktionerne med asymptotisk adfærd. Der er nemlig funktioner, der skærer deres asymptote en eller flere gange i deres forløb (og først derefter nærmer sig den uden at krydse den igen). Og der er funktioner, der svinger omkring deres asymptote og dermed skærer dem uendeligt ofte.

Asymptoter af en reel funktion

Være den funktion, der skal overvejes, dens definitionsdomæne en delmængde af de reelle tal er. være deres asymptote (undtagelse: asymptotisk punkt, nedenfor).

Parallelt med klassificeringen af ​​asymptoterne i henhold til deres form og position, der er valgt i denne artikel, kan man skelne mellem asymptoter - eller funktionens adfærd til asymptoten - som følger:

  1. vandret tilnærmelse: den vandrette (vandrette) afstand Δx mellem funktion og asymptote nærmer sig nul ...
    • ... mod uendeligt større / mindre :
      Dette gælder for lodrette lige asymptoter.
    • ... mod et punkt:
      Dette gælder for det asymptotiske punkt.
  2. lodret tilnærmelse: den lodrette (vinkelret) afstand Δy mellem funktioner og asymptote går mod nul ...
    • ... mod uendeligt større / mindre :
      Matematisk udtrykkes dette ved hjælp af grænseværdien :
      eller
      Dette gælder for alle andre lige asymptoter (vandret og skråt) såvel som de ikke-jævne asymptoter.
    • ... mod et punkt:
      Dette gælder for det asymptotiske punkt.

Lige asymptoter

Den hyperbolske funktion med deres lodrette ( ) og vandret ( ) Asymptote (begge stiplede)

Lige asymptoter kan opdeles i tre typer: lodret, vandret og skævt. [2]

Lodret asymptote

Tangentfunktion med et uendeligt antal lodrette asymptoter

Lodrette (eller "vinkelrette") asymptoter er lige linjer, der løber parallelt med y-aksen. En i dette tilfælde ville der være flere "Tildelt". Tilsvarende kan sådanne lige linjer ikke bruges som en graf over en funktion beskrive. Lodrette asymptoter er givet ved ligningen

beskrevet. I punktet den lodrette asymptote skærer koordinatsystemets x-akse.

En funktion at overveje har sådan en lodret asymptote, når funktionsværdien ét sted løber mod uendelighed. Med andre ord: hvis du nærmer dig punktet på x-aksen fra venstre eller højre sådan går det mod positiv eller negativ uendelighed. Matematisk kan dette udtrykkes som følger:

,

eller

.

I modsætning til andre asymptoter nævnt i artiklen , grænseværdier er her mod et reelt tal og ikke imod undersøgt. Derfor kan en reel funktion have flere lodrette asymptoter. Eksempler på sådanne funktioner er tangent og cotangent .

En lodret asymptote af en reel funktion skyldes altid en singularitet . Hvis singulariteten er en pol , kaldes den lodrette asymptote også en polelinje. Der er imidlertid også asymptoter ved væsentlige singulariteter, dvs. på punkter, der ikke er poler. Et eksempel på dette er funktionen .

Horisontal asymptote

f (x) = 1 + 4 (x²-1) / x 4 med en vandret asymptote y = 1, skåret en gang
f (x) = 1 + sin (5x) / (2x) med en vandret asymptote y = 1, skåret uendeligt ofte

Horisontale (eller “vandrette”) asymptoter er lige linjer, der løber parallelt med x-aksen. Du kan bruge ligningen

at blive beskrevet. Dette svarer til en lige linje ligning af formen med . Skrevet som en funktion har vandrette asymptoter formen

.

Værdien svarer derefter til det i ligelinien. I punktet den vandrette asymptote skærer koordinatsystemets y-akse.

En funktion at overveje har sådan en vandret asymptote, når funktionsværdien i den positive eller negative uendelige mod værdien kører. Matematisk kan denne betingelse udtrykkes ved hjælp af en grænseværdi :

eller

Og dette ville blive skrevet analogt med de skæve asymptoter som en forskel:

eller

Kendte funktioner med en vandret asymptote er eksponentielle og hyperbolske funktioner .

Sidstnævnte hyperboler, som f.eks er det klassiske eksempel på funktioner med lodrette og vandrette asymptoter:

  • Den lodrette asymptote for denne funktion er den lige linje viser x-aksen ved punktet skærer, som samtidig repræsenterer polen i denne hyperbolske funktion. Med andre ord: skæringspunktet mellem den lodrette asymptote og x-aksen er i hvilket svarer til koordinatsystemets oprindelse.
  • Den vandrette asymptote af denne funktion er den lige linje , med så . Y-aksen er følgelig i punktet skæres, også i koordinaternes oprindelse.

Skæve asymptoter

Funktionen (rød) har den skæve asymptote (grøn) og den lodrette asymptote (y-akse)

Skæve (eller "skrå", "skrå") asymptoter kan beregnes ved hjælp af den lige linje ligning :

med

eller som funktion:

repræsentere. Vigtigt her: , ellers ville det være en vandret asymptote. Og som vi kender det fra sådanne lineære funktioner , løber grafen fra mod uendelig i x- og y -retningerne.

En funktion at overveje har sådan en skæv asymptote når det nærmer sig dette i det uendelige. Denne tilstand / ejendom ser matematisk ud som følger:

eller

Med andre ord: En tilnærmelse ved uendelighed betyder, at den vinkelrette afstand mellem funktionen og dens asymptote nærmer sig nul ved uendeligt. Matematisk repræsenterer en afstand en forskel. Så hvis du ser på denne forskel mellem funktionen og deres asymptote så forskellen i det uendelige har tendens til nul:

eller

Ikke engang asymptoter

Den rationelle funktion med deres lodrette asymptote og dens asymptotiske omtrentlige parabel (begge stiplede)

Ikke kun lige linjer kan være asymptoter til en funktion, men også ikke-lige kurver eller funktioner. F.eks. Kan enhver polynom ( kvadratiske funktioner osv.) Være asymptoter til andre funktioner. Og som allerede beskrevet ovenfor for de lige asymptoter (bortset fra de lodrette), gælder følgende også her:

eller

Er f.eks en rationel funktion, der skal overvejes (med polynomerne og ), får man deres asymptote fra "hele delen" af den polynomiske opdeling af igennem . Desuden har funktionen lodrette asymptoter på grund af dets poler.

Bemærk: Den vinkelrette afstand fra til er beskrevet af "resten" af polynominddelingen. Dette er en virkelig fraktioneret rationel funktion, der har de samme lodrette asymptoter som og også den vandrette asymptote ejer. Sidstnævnte beskriver igen egenskaben for en asymptote: Hvis afstandsfunktionen (afstand mellem funktion og deres asymptote ) har en vandret asymptote har, afstanden mellem funktion og dens asymptote nærmer sig nul i det uendelige.

Et eksempel (se også figur til højre):

Denne eksempelfunktion har følgende asymptoter:

  • en lodret asymptote ved deres pol og
  • parabolen hentet fra "hele delen" af resultatet af den polynomiske opdeling. En parabel som asymptote kaldes derefter en tilnærmelsesparabel . Den pågældende funktion nærmer sig dette i det uendelige.

Asymptotisk punkt

med det asymptotiske punkt (0 | 0)

I stedet for en kurve eller lige linje kan funktioner kun nærme sig ét punkt asymptotisk. I dette tilfælde gælder betingelsen for de "linjelignende" asymptoter beskrevet ovenfor ikke, hvor funktionen nærmer sig kun asymptoten i det uendelige. Her er et punkt i det "endelige" asymptot.

Asymptoter af yderligere kurver

Hyperbola med to skæve asymptoter

Ud over ovenstående funktionsgrafer for kontinuerlige funktioner Med utallige uendelige definitioner - dette gælder for de fleste af de funktioner, der overvejes i skolen - er der andre matematiske objekter, der kan udvise asymptotisk adfærd, herunder stier eller, mere generelt, algebraiske kurver som spiraler eller clothoids .[3]

For en algebraisk kurve kan udtrykket asymptote også beskrives ud fra projektiv geometri som en tangent i det uendelige.

Et eksempel på en algebraisk kurve med to skæve asymptoter er en hyperbol repræsenteret af ligningen

med de to konstanter og er defineret. Asymptoterne og hyperbolen kan igennem

og

at blive beskrevet.

Hyperbolen kan også beskrives ved to funktionelle ligninger (for den øvre og nedre "halvhyperbola")

og

beskrive. Kendskabet fra artiklens første del kan anvendes på disse funktioner.[3]

Yderligere eksempler:

Se også

litteratur

Weblinks

Commons : Asymptotics - samling af billeder, videoer og lydfiler

Individuelle beviser

  1. ^ Duden, den store udenlandske ordbog, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5 .
  2. E. Zeidler (red.): Springer-Taschenbuch der Mathematik . Grundlagt af IN Bronstein og KA Semendjaew. Fortsættes af G. Grosche, V. Ziegler og D. Ziegler. 3. Udgave. Springer Vieweg, 2013, ISBN 978-3-8348-2359-5 , doi : 10.1007 / 978-3-8348-2359-5 .
  3. a b Asymptote . I: Guido Walz (red.): Leksikon for matematik . 1. udgave. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .