Brøker

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

I snævrere forstand, beregning fraktion refererer til beregning med fælles fraktioner (undertiden også almindelige fraktioner) i "tælleren-fraktion-bar-nævneren notation" (se nedenfor). Brøkregning er en del af aritmetik , en gren af matematik .

I en bredere forstand bruges ordet også til regning med rationelle tal , uanset den måde de skrives på.

En vigtigere forlængelse er optagelse af brøktermer , dette er udtryk, der formelt formes som almindelige brøker, men hvor tælleren og nævneren kan være udtryk, der indeholder variabler . Reglerne for beregning af brøker gælder analogt for disse brøktermer. Beregning med brøktermer er en del af algebra .

Brøkreglerne vedrører de grundlæggende aritmetiske operationer , dvs. addition , subtraktion , multiplikation , division og dannelse af gensidige værdier . Især med brøkdele er der også regler for magter og rødder.

Der er også en reduktions- og ekspansionsregel , som er et særligt træk ved brøker. Det er baseret på forskellen mellem en brøkdel og en brøkdel , som er forklaret mere detaljeret i det følgende afsnit.

Fraktioneret stavning, dvs. stavemåden med en brøkdel, går tilbage til Leonardo von Pisa , der introducerede den i 1228. [1] Det bruges ganske generelt inden for forskellige områder af matematik, især i algebra , når de elementære regler for brøker, især reduktions- og ekspansionsreglen, finder anvendelse i den struktur, der undersøges. Også her taler man om "brøker", når disse regler anvendes.

Brøk og brøknummer

Kage kvartaler.svg

Beregningen Fraktionen er baseret på det faktum, at det hele (den ene fra beregning med naturlige tal) stadig kan opdeles. For eksempel kan en kage opdeles i fire dele. Hvis disse stykker er af samme størrelse, er hvert stykke en fjerdedel af kagen. Hvis der som på billedet mangler et af kvartererne, vises tre fjerdedele kager.

Det hele er opdelt i fire lige store dele; tre af dem er ment her. Eller: tre hele er delt op i fire lige store dele; en af ​​de samme dele menes.

Dette skrives normalt i "tæller-brøk-streg-nævnerenotation": Tallet under brøklinjen-den såkaldte nævner eller divisor -angiver, hvor mange dele helheden er blevet delt i; tallet over brøklinjen - tælleren - angiver, hvor mange dele af det der er meningen i dette tilfælde. Sådan får du en brøkdel . Dette kan også tolkes således: Tælleren angiver, hvor mange hele dele der skal opdeles i lige så mange lige dele som nævneren angiver. (Du lægger tre kager oven på hinanden og deler stakken i fire lige store stakke.)

Hvis det hele (kagen) i stedet er opdelt i otte dele, og seks af dem tages, er det en anden brøkdel: i stedet for . Men disse to fraktioner synes at repræsentere den samme mængde kage: de repræsenterer den samme brøkdel .

For hver brøkdel er der mange (uendeligt mange) forskellige repræsentationer , forskellige brøker , som alle legemliggør den samme værdi (den samme mængde ), men på forskellige måder. Man kan komme fra en fraktion til en anden ved at udvide og forkorte . Dette ændrer ikke værdien af en brøk, men du får forskellige måder at repræsentere dette tal på: forskellige brøker.

Definition og vilkår

Brøker kan i første omgang opdeles i almindelige brøker (også kendt som almindelige brøker ) og decimalfraktioner (= decimaltal, i daglig tale: "punktnummer"), og der er også repræsentationen som en blandet brøk. Når man taler om en brøk, betyder man normalt en almindelig brøk, beregning med decimal brøker kaldes normalt ikke en brøk beregning.

Tabellen nedenfor opsummerer almindelige brøktermer, der er forklaret i dette afsnit. Termerne i nedenstående tabel falder ind under de generiske termer ovenfor, for eksempel er hver pseudofraktion en almindelig brøkdel, tilstødende udtryk behøver ikke at være gensidigt udelukkende. Det skal bemærkes, at dette er betegnelser for nummerskrivninger og ikke for de viste tal. Et bestemt antal kan have forskellige repræsentationer, som hver især er betegnet med forskellige udtryk fra tabellen. For eksempel kan du skrive hver forkert brøk som en blandet brøk.

knoglebrud
fælles pause, fælles pause blandet fraktion Decimal brøk
rigtig pause, rigtig pause forkert pause, forkert pause
Knækket bagagerum Grenbrud, afledt pause Sham break, forkert pause forkert brøkdel,
hvilket ikke er en pseudopause

Andre former, hvor brøker kan vises ( fortsat brøk , procentdel og tusind notation , binære brøker osv.) Behandles i hver separate artikel og er ikke inkluderet i denne tabel.

Almindelige brøker

Beskrivelse af en almindelig brøkdel

Almindelige brøker repræsenteres generelt ved at overlejre tælleren og nævneren adskilt af en vandret linje:

Tæller og nævner for en brøk er hele tal . Nævneren er tilladt ikke være nul , da division med nul ikke er defineret.

Hver fraktion kan også forstås som et delingsproblem . Her er tælleren udbyttet , nævneren deleren:

Den afgørende faktor i brøker er, at hver division (undtagen med nul) er mulig og har et resultat, der let kan repræsenteres, mens reglerne for delbarhed gælder for hele tal.

Normalt bruges naturlige tal til tællere og nævnere, og ethvert negativt tegn placeres foran brøken, f.eks. i stedet for eller . Hvis tæller og nævner er negative, betegner dette den positive brøk i henhold til reglerne for opdeling af hele tal:

I en variant af denne notation, som ofte bruges, når almindelige brøker forekommer i tekster, skrives tælleren, brøklinjen og nævneren efter hinanden, og der bruges et skråstreg som brøklinjen, [2] for eksempel 1/2, 3/8. I notationslinjen i stedet for den vandrette brøkstang er (især) ciffer tæller og nævner undertiden reduceret eller skrevet under skråstregen: 6 /. 7 Til dette formål er der specialtegn i mange udskrivningssæt, f.eks. ¾ eller ½.

Ægte og falske brøker

Hvis tællerens mængde er mindre end nævneren i en brøkdel, taler man om en reel eller faktisk brøk (f.eks. eller ), ellers med en falsk eller forkert fraktion (f.eks. eller ).

Så reelle brøker er dem, hvis mængde er mindre end en helhed.

Bagagerumsbrud og grenbrud

Hvis tælleren er lig med 1 i en almindelig brøk (f.eks. eller ), taler man om en stammepause , ellers en afledt pause eller grenbrud .

Pseudo går i stykker

Forkerte brøker, hvor tælleren er et integreret multiplum af nævneren (f.eks. ), kaldes pseudofraktioner , da de kan omdannes til hele tal ved forkortelse (i eksemplet til tallet 4). Især ethvert helt tal som en pseudopause skrive.

Blandede fraktioner

Forkerte brøker, der ikke er pseudo-fraktioner, kan altid repræsenteres som blandede brøker (også: som blandede tal, i blandet notation).

Først skrives hele taldelen, dvs. tallet afrundet mod nul, og derefter umiddelbart efter skrives den resterende del som en reel brøk. For eksempel i stedet for eller i stedet for .

Et problem med blandet stavning er, at det kan misforstås som et produkt:

Så det står mest for og ikke for .

Hvis du skriver imod det , så det er ikke en brøkdel i blandet notation, men (på grund af variablerne) et udtryk . Her skal det udeladte aritmetiske symbol være et malerpunkt (andre aritmetiske symboler må ikke udelades i termer). skal være som blive forstået og aldrig som .

Beregningsregler

Praktisk regning med brøker

Ved beregning med brøker i de fire grundlæggende aritmetiske operationer for addition , subtraktion , multiplikation og division , er to brøker knyttet til at oprette et tredje tal. Dette skal ikke forveksles med omformning af brøker, hvor en enkelt brøkdel får en ny form uden at ændre dens værdi.

Formningen (formændringen) er ofte forudsætningen for, at der kan forventes brud. Derfor behandles det her først.

Ændring i form af brud

Konverter til et decimaltal

Hvis du vil konvertere en brøk til en decimal , skal du blot dividere tælleren med nævneren. giver 0,75 eller 75% af det hele.

Udvid og afkort

Brøkværdien repræsenteret af en brøk ændres ikke, hvis du gange tælleren og nævneren for brøken med det samme tal (ikke lig med 0) ( udvid brøken) eller dividerer brøken med en fælles divisor for tæller og nævner ( forkort fraktionen).

Eksempel: . Læst fra venstre mod højre er brøkdelen blevet udvidet, og fra højre til venstre er den blevet forkortet.

Indstil blandede tal, og del hele

Værdien af ​​en brøkdel, der vises i blandet notation, ændres ikke, hvis heltalsdelen skrives som en dummy -brøk med nævneren af ​​fraktionen, og de resterende brøker tilføjes. Omvendt, i tilfælde af en ukorrekt brøkdel, kan du opdele fraktionerne, der udgør helheden, og tilføje de resterende brøker.

Eksempel: . Hele numre blev opdelt fra venstre til højre, og blandede tal blev oprettet fra højre til venstre.

Lav brøker med samme navn

Almindelige brøker, der har samme nævner, kaldes det samme . Hvis brøker udvides på en sådan måde, at de derefter har den samme nævner, kaldes dette at lave det samme navn . I praktisk aritmetik, den vigtigste bør bestemmes nævneren i fraktionerne, er dette den laveste fælles multiplum (lcm) i nævneren.

Eksempel: Fraktionerne skal laves med samme navn. LCM er nævneren , så alle tre fraktioner udvides, så deres nævner er 42:

.

Repræsentationerne med samme navn kan nu f.eks. Bruges til at bestille de viste fraktioner efter størrelse ved at sammenligne deres tællere:

så skal er gyldige.

Grundregningen

Tilføj og træk fra
Eksempel på tilføjelse af to almindelige brøker med samme navn. Den ene lyder: " tre fjerdedele plus en fjerdedel "

De fraktioner, der skal tilføjes eller trækkes fra, får først samme navn, derefter tilføjes eller trækkes deres tællere.

Eksempel: .

Formere sig

Brøker ganges ved at gange deres tællere og nævnere sammen. Tællerens produkt er derefter tæller af resultatet, nævners produkt er derefter nævneren af ​​resultatet.

Eksempel: .

At dele

En brøkdel divideres med at multiplicere med dens gensidige .

Eksempel: .

Som vist i eksemplet kan mellemresultaterne forkortes (her f.eks. 3 og 2 i det næstsidste trin).

Gør matematik med blandede brøker

Når man multiplicerer eller deler blandede fraktioner, er det normalt nødvendigt først at konvertere dem til almindelige brøker. (Bortset fra meget enkle opgaver som f.eks .)

Når man tilføjer og trækker fra, er det derimod meget billigere at se det hele isoleret og kun bruge brøker til de resterende reelle brøker. Ved tilføjelse kan der vises en ekstra helhed her, når fraktionerne måske ikke er tilstrækkelige, så en af ​​helheden skal opdeles for at danne en tilsyneladende brøk:

;
.

Abstrakte beregningsregler

De følgende regler gælder for både brøker i snævrere forstand og ved beregning med brøktermer. Ved beregning med brøker er variablerne der i reglerne for visse heltal. Hvis du i stedet bruger andre udtryk til disse variabler, f.eks. Hvis du f.eks. Selv indtaster reelle brøker, decimalbrøker eller udtryk, får du regler til beregning med brøktermer, brøker i bredere forstand.

Ved beregning med brøker giver de abstrakte beregningsregler altid korrekte resultater, og beregningen ved hjælp af "praktiske beregningsregler" er ofte mindre tidskrævende.

Udvid og afkort

Forkort
Udvide

Nyttige æselbroer er:

  • Skærefaktorer, det er godt; den, der skærer beløb, er et får.
  • Forskelle og summer skærer kun de dumme.
  • Hvad du gør ovenfor, gør du herunder!

Fra ækvivalensen for alle naturlige tal det følger, at hvert rationelt tal kan repræsenteres af uendeligt mange forskellige brøker, fordi det holder .

tilføjelse

subtraktion

multiplikation

division

Eksempel på division med en brøkdel

Så du dividerer med en brøk ved at multiplicere med brøkens reciprokke , som fungerer som en divisor . Divisionen reduceres derfor til multiplikationen.

Potenser

Herske eksempel

Beregning med brøkdele

Brøkdele, dvs. aritmetiske udtryk i form af almindelige brøker, spiller en vigtig rolle i elementær algebra. Generelt indeholder fraktion Terme også tal næste variabler . Beregningsreglerne for brøker kan også anvendes på brøktermer.

Definitionsdomæne

Ved bestemmelse af definitionsområdet for en brøkterm, skal det bemærkes, at nævneren ikke må have værdien 0. For eksempel den af afhængig brøkdel ved indsætning ikke defineret. Så definitionens domæne er , hvis mængden af reelle tal antages som grundsæt. I mere komplicerede tilfælde bør nævneren opdeles i faktorer, så definitionsområdet kan identificeres.

Eksempel: har definitionens domæne .

Forkort

At forkorte betyder, at du deler tælleren og nævneren med det samme aritmetiske udtryk. Det er vigtigt, at kun produktfaktorer kan fjernes. Summer og forskelle i tæller og nævner skal muligvis først opdeles i produkter ( faktorisering ).

Eksempler:

Ved afkortning af en brøkperiode kan definitionsområdet ændre sig! I det første eksempel er det ikke -forkortede udtryk til venstre kun defineret, hvis gælder, den ene til højre gælder allerede, hvis kun er gældende. I det andet eksempel er det ikke -forkortede udtryk kun defineret, hvis gælder, er den forkortede defineret uden begrænsninger.

Ændring af definitionsintervallet for en brøkterm ved afkortning er en af ​​de teknikker, hvormed funktionsbetingelser kan fortsættes kontinuerligt .

Addition og subtraktion

Som med tal er det nødvendigt at give de givne brøkbetingelser det samme navn, det vil sige at bringe dem til den samme nævner. Den enklest mulige fællesnævner (hovednævner) bestemmes, som er delelig med alle givne nævnere.

Eksempel:

Hovednævneren er . Ekspansionsfaktorerne for de tre givne brøktermer opnås ved at dividere hovednævner fundet med den tidligere nævner. Så ekspansionsfaktorerne er , og .

Ofte kan hovednævneren kun identificeres, hvis nævnerne er opdelt i faktorer (faktorisering). Metoden til factoring bruges ofte eller binomiske formler bruges .

Eksempel:

Multiplikation og division

Ved multiplikation af brøkdele skal både tællere og nævnere multipliceres. Faktorer, der er fælles for tælleren og nævneren, skal afkortes.

Eksempel:

Ved mere komplicerede opgaver bør tæller og nævner opdeles i faktorer for at kunne fjerne dem før den faktiske multiplikation.

Eksempel:

Opdelingen af ​​brøktermer kan reduceres til multiplikation. Du deler med en brøkdel ved at gange med dens gensidige .

Eksempel:

Andre repræsentationsformer

Delvise fraktioner

Brøker kan ofte opdeles i såkaldte delfraktioner , hvis nævnere er hele kræfter i primtal ; z. B.:

Egyptiske brøker

Der er også nedbrydninger som såkaldte egyptiske fraktioner ( stamfraktioner ), f.eks. B.

og
,

de gamle egyptere kendte og beregnede kun sådanne summer.

Pythagoranske fraktioner

Nummeret triplet er et eksempel på en pythagoreansk fraktion (se også Pythagoras tredobbelte ), fordi

.

Rationel tæller eller nævner

Se rationalisering (fraktioner) .

Generaliseringer

Konstruktionen af feltet med rationelle tal som brøker fra ringen med hele tal generaliseres i abstrakt algebra ved begrebet kvotfeltet til eventuelle integritetsringe .

Se også

litteratur

  • Erhard Cramer, Johanna Nešlehová: forkursus i matematik . Arbejdsbog til studiestart på bacheloruddannelser. 3., verb. Udgave. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-78180-6 , s.   77-83 .
  • Friedhelm Padberg: Gemeine Brüche – Dezimalbrüche. Didaktik der Bruchrechnung . BI-Wissenschafts-Verlag, 1989, ISBN 3-411-03207-3 .

Weblinks

Wiktionary: Bruchrechnung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. H. Wußing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979, S. 325
  2. Amtliche Rechtschreibregeln vom 1. August 2006, §106, Canoonet