Cent (musik)

Fysisk enhed
Enhedsnavn	cent
Enhedssymbol	¢, $\mathrm {C}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$ $\ mathrm {C}$
Fysisk mængde	Pitch interval
Formelsymbol	$i\!\,,n\,,c$ ${\ displaystyle i \! \ ,, n \ ,, c}$ $i \! \ ,, n \ ,, c$

Centen (fra det latinske centum "hundrede") er en additiv måleenhed (mere præcist: hjælpemåleenhed ), hvormed en meget præcis sammenligning af størrelserne på musikalske intervaller er mulig.

Diatoniske intervaller
Prime anden tredje Fjerde Femte Sjette Syvende oktav Ingen Decime Udezime Duodecime Tredezime Halvton / hel tone
Særlige intervaller
Mikrointerval komma Dette er Limma Apotomer Ditone Tritone Ulv femte Naturlig septime
enheder
cent Millioctaves oktav Savart

definition

Cent er defineret ved:

100 cent = 1 lige halvtone

Da en oktav omfatter tolv halvtoner, gælder følgende også:

1200 cent = 1 oktav

Centen er standardiseret i DIN 13320 ( se nedenfor ).

brug

Af additivstrukturen af intervalstørrelserne følger det:

1 oktav = 1200 cent

2 oktaver = 2400 øre

3 oktaver = 3600 øre

etc.

Som det er kendt, for eksempel, 12 lige femtedele = 7 oktaver, så 1 lige femtedel omfatter 700 cent (i ren tuning, på den anden side - se nedenfor - omkring 702 cent.)

Da dette svarer til den additive intervalopfattelse af hørelsen ( auditiv begivenhed ), er sammenligningen af tonehøjder , tonesystemer og stemninger, der bruger enhedscentret, mere praktisk end oplysninger om frekvensforhold, for hvilke en størrelses sammenligning ikke er direkte mulig. På den ene side giver cent større klarhed ved sammenligning af størrelsen på forskellige intervaller; på den anden side kan rationelle tal, der er grundlaget for mange stemmesystemer, og alle øre (undtagen multipla på 1200) kun sidestilles omtrentligt .

Fremkomst

Betegnelsen cent blev foreslået i 1875 af Alexander John Ellis (1814–1890) i tillægget til hans oversættelse af Hermann von Helmholtz ' teori om tonefornemmelser som en enhed til sammenligning af intervallernes størrelse.

Cent -enheden vælges således, at mærkbare stigningsforskelle kan udtrykkes med tilstrækkelig nøjagtighed som heltal af cent. Groft kan det antages, at den mindste genkendelige frekvensforskel for på hinanden følgende sinustoner hos mennesker ved frekvenser over 1000 Hz er omkring tre til seks cent; Når lyden høres på samme tid, høres signifikant mindre intervalforskelle på grund af beat -effekterne.

Med større tonehøjdeintervaller kan intervalstørrelser bestemmes meget præcist ved at slå de harmoniske overtoner , som normalt er til stede i toner, der bruges musikalsk. Imodsætning hertil stigerdiskriminationstærsklen til over 100 cent, dvs. mere end en halvtone, i tilfælde af dybe sinustoner med et lavere opfattet volumen (på trods af et højt lydtrykniveau ).

Måling af intervallets størrelse

Intervallernes størrelse måles ved hjælp af enhedens oktav og dens underenhedscent. Oktaven og centerne er proportionelle med intervallets størrelse. Måleenheden oktav svarer til frekvensforholdet p = 2: 1.

eksempel
interval	Frekvensforhold (i rent humør)	Størrelse i øre
1 oktav	2	1200 øre
2 oktaver	4.	2400 øre
3 oktaver	8.	3600 øre
...
k oktaver	2 ^k	1200 k øre
log ₂ (p) oktaver (Bemærk: $2^{k}=p\iff \log _{2}(p)=k$ ${\ displaystyle 2 ^ {k} = p \ iff \ log _ {2} (p) = k}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k} = p \ iff \ log _ {2} (p) = k}$ )	s. s	1200 log ₂ (p) øre
mindre tredjedel	⁶ ⁄ ₅	1200 log ₂ ( ⁶ ⁄ ₅ ) cent ≈ 315.641 cent
større tredjedel	⁵ ⁄ ₄	1200 log ₂ ^_(5/4) cents ≈ 386.314 cent
Fjerde	⁴ ⁄ ₃	1200 log ₂ ( ⁴ ⁄ ₃ ) øre ≈ 498.045 øre
Femte	³ ⁄ ₂	1200 log ₂ ( ³ ⁄ ₂ ) cent ≈ 701.955 cent

Hvis intervaller udføres efter hinanden, kan deres størrelser tilføjes, mens deres frekvensforhold (proportioner) skal multipliceres .

Eksempler:

Ren femte + ren fjerde ≈ 702 cent + 498 cent = 1200 cent = oktav. (Frekvensforhold: ^_3/2 · ^_4/3 = ^_2/1).

ren mindre tredjedel + ren større tredjedel ≈ 316 øre + 386 øre = 702 øre ≈ perfekt femtedel. (Frekvensforhold: ^_6/5 × ^_5/4 = ^_3/2).

Ansøgninger i musikalsk praksis

Med centenheden kan de subtile forskelle i intervallerne i de forskellige middeltoner og godt tempererede stemninger godt repræsenteres, f.eks. B. den lille afstemning mod perfekte femtedele og tredjedele, som skal accepteres for at gøre så mange nøgler som muligt (med en tolv-trins skala af oktaven) spilbare:

I mellemtonestemmelserne forekommer afvigelser på op til ca. 8 cent, hvis der kun bruges akkorder tæt på C-dur :

eksempel c'g '	perfekt femte 702 øre (Ingen slag)	betyder femte 697 øre (Lette takter)

Du skal acceptere en afvigelse på op til 14 cent, hvis du vil bruge skalaer på tastaturinstrumenter, der er længere væk fra C -dur. Dette gør brug af det faktum, at det menneskelige øre "lytter til intervaller":

eksempel en cis ' (først den tredje, derefter i en akkord)	ren major tredjedel (220 Hz og 275 Hz) 386 øre (Ingen slag)	lige større tredjedel (220 Hz og 277 Hz) 400 øre (mange slag: intervallet lyder groft )

Musikere vil ikke tolerere endnu større afvigelser, f.eks. Ulvens femtedel af mellemtonen, der indstiller nøgler, der er meget langt fra C-dur.

Tabeller over de mere eller mindre rene tredjedele og femtedele i forskellige tuningsystemer: se tuning .

konvertering

Frekvensforhold i cent

I betragtning af frekvensforholdet (andelen) $p={\frac {f_{2}}{f_{1}}}$ ${\ displaystyle p = {\ frac {f_ {2}} {f_ {1}}}}$ ${\ displaystyle p = {\ frac {f_ {2}} {f_ {1}}}}$ ethvert interval. ^[1] Intervallemålet $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ beregnes derefter logaritmisk ifølge definitionformlen:

i=\log _{2}{p}\,\,{\text{Oktave}}

{\ displaystyle i = \ log _ {2} {p} \, \, {\ text {octave}}}

{\ displaystyle i = \ log _ {2} {p} \, \, {\ text {octave}}}

(se tabel Målingen af intervallets størrelse )

med

1\,{\text{Oktave}}=1200\,\,{\text{Cent}}

{\ displaystyle 1 \, {\ text {octave}} = 1200 \, \, {\ text {cent}}}

{\ displaystyle 1 \, {\ text {octave}} = 1200 \, \, {\ text {cent}}}

vi modtager:

i=1200\cdot \log _{2}{p}\,\,\mathrm {Cent}

{\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {p} \, \, \ mathrm {Cent}}

{\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {p} \, \, \ mathrm {Cent}}

Efter konvertering af logaritmen til to til en logaritme på ti $\log _{2}p={\frac {\lg p}{\lg 2}}$ ${\ displaystyle \ log _ {2} p = {\ frac {\ lg p} {\ lg 2}}}$ $\ log _ {2} p = {\ frac {\ lg p} {\ lg 2}}$ resultatet er en ligning, der er let at bruge til lommeregnere:

i=1200\cdot {\frac {\lg p}{\lg 2}}{\text{Cent}}

{\ displaystyle i = 1200 \ cdot {\ frac {\ lg p} {\ lg 2}} {\ text {Cent}}}

{\ displaystyle i = 1200 \ cdot {\ frac {\ lg p} {\ lg 2}} {\ text {Cent}}}

Følgende konvertering opnås for triadeintervallerne :

Frekvensforhold $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$	interval $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ i øre	interval
$p={\tfrac {6}{5}}$ ${\ displaystyle p = {\ tfrac {6} {5}}}$ ${\ displaystyle p = {\ tfrac {6} {5}}}$	$i=1200\cdot \log _{2}{\tfrac {6}{5}}\mathrm {Cent} \approx 316\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ tfrac {6} {5}} \ mathrm {Cent} \ approx 316 \ mathrm {Cent}}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ tfrac {6} {5}} \ mathrm {Cent} \ approx 316 \ mathrm {Cent}}$	ren mindre tredjedel
$p={\tfrac {5}{4}}$ ${\ displaystyle p = {\ tfrac {5} {4}}}$ ${\ displaystyle p = {\ tfrac {5} {4}}}$	$i=1200\cdot \log _{2}{\tfrac {5}{4}}\mathrm {Cent} \approx 386\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ tfrac {5} {4}} \ mathrm {Cent} \ approx 386 \ mathrm {Cent}}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ tfrac {5} {4}} \ mathrm {Cent} \ approx 386 \ mathrm {Cent}}$	ren større tredjedel
$p={\tfrac {3}{2}}$ ${\ displaystyle p = {\ tfrac {3} {2}}}$ ${\ displaystyle p = {\ tfrac {3} {2}}}$	$i=1200\cdot \log _{2}{\tfrac {3}{2}}\mathrm {Cent} \approx 702\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ tfrac {3} {2}} \ mathrm {Cent} \ approx 702 \ mathrm {Cent}}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ tfrac {3} {2}} \ mathrm {Cent} \ approx 702 \ mathrm {Cent}}$	perfekt femte

Cent i frekvensforhold

Omvendt konvertering af ethvert interval angivet i cent $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ i frekvensforholdet $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$ er nødvendig sjældnere. For at gøre dette løser du ligningen $i=1200\cdot \log _{2}{p}\;\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {p} \; \ mathrm {Cent}}$ ${\ displaystyle i = 1200 \ cdot \ log _ {2} {p} \; \ mathrm {Cent}}$ til $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$ ved at dividere begge sider med 1200 cent og derefter hæve til effekt 2 (dette fjerner logaritmen på den ene side):

p=2^{\frac {i}{1200{\text{Cent}}}}

{\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {i} {1200 {\ text {Cent}}}}}

{\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {i} {1200 {\ text {Cent}}}}}

Følgende konvertering opnås for triadeintervallerne :

interval $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ i øre	Frekvensforhold $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$	interval
i = 316 øre	$p=2^{\frac {316{\text{Cent}}}{1200{\text{Cent}}}}\approx 1{,}2={\tfrac {6}{5}}$ ${\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {316 {\ text {Cent}}} {1200 {\ text {Cent}}}} \ ca. 1 {,} 2 = {\ tfrac {6} {5}}}$ ${\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {316 {\ text {Cent}}} {1200 {\ text {Cent}}}} \ ca. 1 {,} 2 = {\ tfrac {6} {5}}}$	ren mindre tredjedel
i = 386 øre	$p=2^{\frac {386{\text{Cent}}}{1200{\text{Cent}}}}\approx 1{,}25={\tfrac {5}{4}}$ ${\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {386 {\ text {Cent}}} {1200 {\ text {Cent}}}} \ ca. 1 {,} 25 = {\ tfrac {5} {4}}}$ ${\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {386 {\ text {Cent}}} {1200 {\ text {Cent}}}} \ ca. 1 {,} 25 = {\ tfrac {5} {4}}}$	ren større tredjedel
i = 702 øre	$p=2^{\frac {702{\text{Cent}}}{1200{\text{Cent}}}}\approx 1{,}5={\tfrac {3}{2}}$ ${\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {702 {\ text {Cent}}} {1200 {\ text {Cent}}}} \ ca. 1 {,} 5 = {\ tfrac {3} {2}}}$ ${\ displaystyle p = 2 ^ {\ frac {702 {\ text {Cent}}} {1200 {\ text {Cent}}}} \ ca. 1 {,} 5 = {\ tfrac {3} {2}}}$	perfekt femte

Cent til millioctave

1 cent =

{\frac {1}{1,2}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1,2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1,2}}}

Millioctaves ≈ 0,8333 millioctaves

Cent i Savart

1 cent =

{\frac {\log _{10}(2)}{1{,}2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ log _ {10} (2)} {1 {,} 2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ log _ {10} (2)} {1 {,} 2}}}

Savart ≈ 0.2509 Savart

Beregning af frekvenser

Ovenstående faktor ${\sqrt[{1200}]{2}}=2^{\frac {1}{1200}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{1200}] {2}} = 2 ^ {\ frac {1} {1200}}}$ ${\ sqrt [{1200}] {2}} = 2 ^ {{\ frac {1} {1200}}}$ er frekvensforholdet for en toneforskel på en cent. Frekvensberegningen udføres derfor med dette tal som basis og intervallet i cent i eksponenten.

Eksempler på nogle frekvenser, der bruges som tuning a ', fra 440 Hz:

Forøg med 100 øre: $440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{\frac {100}{1200}}\approx 466{,}164\,\mathrm {Hz}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {100} {1200}} \ approx 466 {,} 164 \, \ mathrm {Hz}}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {100} {1200}} \ approx 466 {,} 164 \, \ mathrm {Hz}}$
Stigning med 1 cent: $440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{\frac {1}{1200}}\approx 440{,}254\,\mathrm {Hz}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {1} {1200}} \ approx 440 {,} 254 \, \ mathrm {Hz}}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {1} {1200}} \ approx 440 {,} 254 \, \ mathrm {Hz}}$
Reduktion med 1 cent: $440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{\frac {-1}{1200}}\approx 439{,}746\,\mathrm {Hz}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {-1} {1200}} \ approx 439 {,} 746 \, \ mathrm {Hz}}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {-1} {1200}} \ approx 439 {,} 746 \, \ mathrm {Hz}}$
100 cent reduktion: $440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{\frac {-100}{1200}}\approx 415{,}305\,\mathrm {Hz}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {-100} {1200}} \ approx 415 {,} 305 \, \ mathrm {Hz}}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {-100} {1200}} \ approx 415 {,} 305 \, \ mathrm {Hz}}$

Eksempel fra musikteori

Tonen a ' har frekvensen 440 Hz. Tonen c' ' er en mindre tredjedel ovenfor.

Tonen c '' har derfor

i ren tuning (frekvensforhold 6: 5 af den mindre tredjedel) frekvensen $440\,\mathrm {Hz} \cdot {\tfrac {6}{5}}=528\,\mathrm {Hz} ,$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot {\ tfrac {6} {5}} = 528 \, \ mathrm {Hz},}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot {\ tfrac {6} {5}} = 528 \, \ mathrm {Hz},}$
i lige tuning (mindre tredjedel = 3 halvtoner = 300 cent) frekvensen $440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{\frac {300}{1200}}\approx 523{,}251\,\mathrm {Hz}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {300} {1200}} \ ca 523 {,} 251 \, \ mathrm {Hz}}$ ${\ displaystyle 440 \, \ mathrm {Hz} \ cdot 2 ^ {\ frac {300} {1200}} \ ca 523 {,} 251 \, \ mathrm {Hz}}$ .

DIN standard

I henhold til DIN 13320 “Akustik; Spektra- og overførselskurver; Termer, repræsentation ” ^[2] ,“ Cent ”angiver et frekvensmåleinterval, dets frekvensforhold $2^{\frac {1}{1200}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ frac {1} {1200}}}$ $2 ^ {{{\ frac {1} {1200}}}}$ beløber sig til. Centen kan bruges som en enhed; således kan frekvensmetrisk interval for frekvenser f ₁ og f ₂ > f ₁ betegnes som $1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)\,\mathrm {Cent}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ venstre ({\ frac {f_ {2}} {f_ {1}}} \ højre) \, \ mathrm {Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ venstre ({\ frac {f_ {2}} {f_ {1}}} \ højre) \, \ mathrm {Cent}}$ .

Absolut cent

En skala med faste centværdier kan også tildeles hele frekvensområdet. Denne absolutte cent er så en måleenhed for pitch, ikke intervallets størrelse. 1 Hz = 0 cent er indstillet. Dette resulterer i: 2 Hz = 1200 cent, 4 Hz = 2400 cent osv. Med de tilsvarende mellemværdier. ^[3]

Se også

litteratur

Hermann von Helmholtz :Teorien om tonefornemmelser som et fysiologisk grundlag for teorien om musik. Vieweg, Braunschweig 1863 (Uændret genoptryk: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981, ISBN 3-8102-0715-2 , uddrag ).
John R. Pierce : Lyd. Musik med fysikkens ører. Spektrum-Akademischer Verlag, Heidelberg et al. 1999, ISBN 3-8274-0544-0 .

Weblinks

Individuelle referencer og kommentarer

↑ Normalt burde $f_{2}\geq f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {2} \ geq f_ {1}}$ $f_ {2} \ geq f_ {1}$ værende. Hvis det er omvendt, vil konverteringsresultatet være negativt med den samme absolutte værdi.
↑ https://www.beuth.de/de/norm/din-13320/515781 websted til DIN 13320 på Beuth Verlag
↑ Riemann Music Lexicon. Materialedel. Mainz 1967, s. 150.

[1] Normalt burde $f_{2}\geq f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {2} \ geq f_ {1}}$ $f_ {2} \ geq f_ {1}$ værende. Hvis det er omvendt, vil konverteringsresultatet være negativt med den samme absolutte værdi.

[2] ttps://www.beuth.de/de/norm/din-13320/515781 websted til DIN 13320 på Beuth Verlag

[3] Riemann Music Lexicon. Materialedel. Mainz 1967, s. 150.

[1]

[2]

[3]