Differentialligning

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

En differentialligning er (også ofte forkortet differentialligning med DGL, DG, DGI. Eller Dgl.) En matematisk ligning for en søgt funktion af en eller flere variabler, som også udladninger forekommer denne funktion. Mange naturlove kan formuleres ved hjælp af differentialligninger. Differentialligninger er derfor et vigtigt redskab i matematisk modellering . En differentialligning beskriver disse variablers adfærd i forhold til hinanden. Differentialligninger er et vigtigt emne for analyse i analyse , der undersøger dens løsningsteori. Ikke kun fordi der ikke er mulig eksplicit løsningsrepræsentation for mange differentialligninger, spiller den omtrentlige løsning ved hjælp af numeriske metoder en væsentlig rolle. En differentialligning kan illustreres ved et retningsfelt .

Typer af differentialligninger

Der skelnes mellem forskellige typer differentialligninger. De er groft opdelt i følgende underområder. Alle de følgende typer kan forekomme i det væsentlige uafhængigt og samtidigt.

Almindelige differentialligninger

Hvis den funktion, du leder efter, kun afhænger af en variabel, kaldes den en almindelig differentialligning. Der er kun almindelige derivater ifølge den ene variabel.

Eksempler:

Skriv den almindelige differentialligning for den funktion, du leder efter i formen

så den almindelige differentialligning kaldes implicit .

Hvis differentialligningen løses i henhold til det højeste derivat, det vil sige, den holder

det er det, vi kalder den almindelige differentialligning eksplicit . Ikke alle differentialligninger, der findes i implicit form, kan bringes til en eksplicit form. I applikationerne er eksplicitte almindelige differentialligninger matematisk lettere at behandle. Den højest forekommende afledningsorden kaldes rækkefølgen af ​​differentialligningen . For eksempel har en eksplicit almindelig førsteordens differentialligning formen

Der er en lukket teori om at løse eksplicitte almindelige differentialligninger.

En almindelig differentialligning er lineær, hvis den er lineær i funktion og dens derivater:

Det er semilinear, hvis det er lineært i derivaterne og funktionen til venstre, funktionen men også fra funktionen og dets derivater, bortset fra det højeste derivat: [1]

Delvis differentialligning

Hvis den funktion, du leder efter, afhænger af flere variabler, og hvis der forekommer partielle derivater i ligningen for mere end én variabel, taler man om en delvis differentialligning. Partielle differentialligninger er et stort felt, og teorien er ikke matematisk lukket, men er genstand for aktuel forskning på flere områder.

Et eksempel er den såkaldte varmeledningsligning for en funktion

Der skelnes mellem forskellige typer af partielle differentialligninger. Først er der lineære partielle differentialligninger . Den funktion, du leder efter, og dens derivater er inkluderet lineært i ligningen. Afhængigheden af ​​de uafhængige variabler kan på alle måder være ikke-lineær. Teorien om lineære partielle differentialligninger er den mest avancerede, men langt fra fuldstændig.

Man taler om en quasilinær ligning, hvis alle derivater af højeste orden forekommer lineært, men dette gælder ikke længere funktionen og derivater af lavere orden. En kvasi-lineær ligning er vanskeligere at håndtere. En quasilinær partiel differentialligning er semilinjær, hvis koefficientfunktionen før de højeste derivater ikke afhænger af lavere derivater og den ukendte funktion. De fleste af resultaterne opnås i øjeblikket inden for kvasi-lineære og semilinære ligninger.

Endelig, hvis man ikke kan bestemme en lineær afhængighed med hensyn til de højeste derivater, kalder man ligningen for en ikke -lineær partiel differentialligning eller en helt ikke -lineær delvis differentialligning .

Ligningerne af anden orden er af særlig interesse inden for partielle differentialligninger. I disse særlige tilfælde er der yderligere klassificeringsmuligheder.

Flere typer

I typen af stokastiske differentialligninger forekommer stokastiske processer i ligningen. Faktisk er stokastiske differentialligninger ikke differentialligninger i ovennævnte betydning, men kun visse differentielle forhold, der kan tolkes som differentialligninger.

Typen af algebro -differentialligninger er kendetegnet ved, at der udover differentialligningen også er givet algebraiske relationer som sekundære betingelser .

Der findes også såkaldte retarderede differentialligninger . Her vises sammen med en funktion og dens derivater på et tidspunkt funktionsværdier eller afledninger fra fortiden.

En integro-differentialligning er en ligning, hvor ikke kun funktionen og dens derivater, men også integrationer af funktionen vises. Et vigtigt eksempel på dette er Schrödinger -ligningen i momentumrepræsentationen ( Fredholms integrale ligning ).

Afhængigt af anvendelsesområdet og metodologi er der andre typer differentialligninger.

Systemer med differentialligninger

Man taler om et system med differentialligninger hvis er et vektorværdigt kort og flere ligninger

skal opfyldes på samme tid. Hvis dette implicitte differentialligningssystem ikke kan konverteres lokalt til et eksplicit system overalt, så er det en algebro differentialligning .

Problemer

Generelt kan differentialligninger ikke løses entydigt, men snarere kræve start- eller grænseværdier . Såkaldte initialgrænseværdiproblemer kan også opstå inden for partielle differentialligninger.

I tilfælde af problemer med indledende eller indledende grænseværdier tolkes en af ​​variablerne generelt som tid. Med disse problemer foreskrives bestemte datoer på et bestemt tidspunkt, nemlig starttidspunktet.

I tilfælde af grænseværdi eller indledende grænseværdi problemer søges en løsning af differentialligningen i et begrænset eller ubegrænset område, og vi leverer såkaldte grænseværdier som data, som er givet på områdets grænse. Afhængigt af typen af ​​randbetingelser skelnes der mellem andre typer differentialligninger, såsom Dirichlet -problemer eller Neumann -problemer .

Løsningsmetoder

På grund af mangfoldigheden af ​​både de faktiske differentialligninger og problemdefinitionerne er det ikke muligt at tilvejebringe en generelt anvendelig løsningsmetode. Kun eksplicitte almindelige differentialligninger kan løses med en lukket teori. En differentialligning kaldes integrerbar, hvis det er muligt at løse den analytisk, dvs. at specificere en løsningsfunktion ( integralet ). Mange matematiske problemer, især ikke-lineære og partielle differentialligninger, kan ikke integreres, herunder dem, der virker ganske enkle, såsom tre-kropsproblemet , det dobbelte pendul eller de fleste typer gyroskoper .

Løgneteori

En struktureret generel tilgang til løsning af differentialligninger følges gennem symmetri og kontinuerlig gruppeteori. I 1870 satte Sophus Lie teorien om differentialligninger på et generelt gyldigt grundlag med Lie -teorien . Han viste, at de ældre matematiske teorier til løsning af differentialligninger kan opsummeres ved indførelsen af ​​såkaldte Lie-grupper . En generel tilgang til løsning af differentialligninger drager fordel af symmetriegenskaben ved differentialligninger. Der bruges kontinuerlige uendelige transformationer, som kortlægger løsninger til (andre) løsninger af differentialligningen. Kontinuerlig gruppeteori, Lie -algebraer og differentialgeometri bruges til at forstå den dybere struktur af de lineære og ikke -lineære (partielle) differentialligninger og til at kortlægge de relationer, der i sidste ende fører til de nøjagtige analytiske løsninger af en differentialligning. Symmetri metoder bruges til at løse differentialligninger nøjagtigt.

Eksistens og unikhed

Spørgsmålene om eksistens, entydighed, repræsentation og numerisk beregning af løsninger er derfor helt eller slet ikke løst, afhængigt af ligningen. På grund af betydningen af ​​differentialligninger i praksis er anvendelsen af ​​numeriske løsningsmetoder, især for partielle differentialligninger, mere avanceret end deres teoretiske grundlag.

Et af årtusindproblemerne er beviset på eksistensen af ​​en regelmæssig løsning på Navier-Stokes-ligningerne . Disse ligninger forekommer f.eks. I væskemekanik .

Tilnærmede metoder

Som en løsning har differentialligninger funktioner, der opfylder betingelserne for deres derivater . En tilnærmelse foretages normalt ved at opdele rum og tid i et begrænset antal dele ved hjælp af et beregningsnet ( diskretisering ). Derivaterne repræsenteres derefter ikke længere med en grænseværdi, men tilnærmes af forskelle. I numerisk matematik analyseres og estimeres den resulterende fejl så godt som muligt.

Afhængigt af ligningstypen vælges forskellige diskretiseringsmetoder, f.eks. Metoder til begrænsede forskelle, metoder til begrænset volumen eller endelige elementmetoder i tilfælde af partielle differentialligninger .

Den diskretiserede differentialligning indeholder ikke længere derivater, men kun rent algebraiske udtryk. Dette resulterer i enten en direkte løsningsregel eller et lineært eller ikke-lineært ligningssystem , som derefter kan løses ved hjælp af numeriske metoder.

Udseende og applikationer

Et væld af fænomener i naturen og teknologien kan beskrives ved differentialligninger og matematiske modeller baseret på dem. Nogle typiske eksempler er:

Feltet med differentialligninger har givet matematikken en afgørende impuls. Mange dele af den nuværende matematik undersøger eksistens, unikhed og stabilitetsteori for forskellige typer differentialligninger.

Højere niveauer af abstraktion

Differentialligninger eller differentialligningssystemer kræver, at et system kan beskrives og kvantificeres i algebraisk form . Endvidere at de beskrivende funktioner i det mindste kan differentieres inden for interesseområderne. I det videnskabelige og tekniske miljø er disse forudsætninger ofte opfyldt, men i mange tilfælde er de ikke opfyldt. Så kan strukturen i et system kun beskrives på et højere abstraktionsniveau. Se i rækkefølgen af ​​stigende abstraktion:

Se også

litteratur

  • GH Golub, JM Ortega: Videnskabelig computing og differentialligninger. En introduktion til numerisk matematik . Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0 .
  • G. Oberholz: Differentialligninger for tekniske erhverv. 4. udgave. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, ISBN 3-9801902-4-2 .
  • PJ Olver: Ækvivalens, Invarianter og Symmetri . Cambridge Press, 1995.
  • L. Papula: Matematik for ingeniører og naturforskere bind 2 . Viewegs tekniske bøger om teknologi, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-94237-1
  • H. Stephani: Differentielle ligninger: Deres løsning ved hjælp af symmetrier. Redigeret af M. MacCallum. Cambridge University Press, 1989.
  • H. Benker: Differentialligninger med MATHCAD og MATLAB . Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2005.

Weblinks

Wiktionary: differentialligning - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

  1. ^ Guido Walz (red.), Lexikon der Mathematik, Springer-Spektrum Verlag, 2017, artikel lineær differentialligning, semilinear differentialligning
  2. ^ Peterson, Ivars: Udfyldning af emner . I: Society for Science & # 38 (red.): Science News . 161, nr. 19, s. 299-300. doi : 10.2307 / 4013521 . Hentet 11. maj 2008.