Hvirvelhastighed

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Legeplads -karrusel

Twistprincippet [1] er en fysisk lov i klassisk mekanik, der siger, at et moment skal påføres et legeme for at ændre vinkelmomentet . Andre navne til bevarelse af vinkelmoment er i øjeblikket indstillet [2] , vinkelmoment [2] , vinkelmoment sætning [3] eller vinkelmomentbalance [4] .

Et anvendelseseksempel er legeplads -karrusellen på billedet. For at få dette til at gå, skal du skubbe det. Fra et teknisk synspunkt skaber man et øjeblik, der giver karrusellen vinkelmoment. Bevarelsen af ​​vinkelmomentet sikrer derefter, at karrusellen fortsætter med at rotere et stykke tid. Friktionsmomenter i lejet og luftmodstand skaber imidlertid et modmoment, der forbruger vinkelmomentet og til sidst bringer rotationen i stå igen.

Den matematiske formulering af hvirvel sætningen er:

I det er øjeblikket angriber udefra, kroppens vinkelmoment og dets tidsafledte , der hver især vedrører et fast punkt , som oprindelsen i et inertialsystem ofte bruges til. Af denne grund er indekset c ikke længere eksplicit angivet i det følgende. I det særlige tilfælde, hvor de ydre øjeblikke forsvinder, kan det ses, at vinkelmomentet bevares. Tilsvarende står loven om vinkelmoment også for loven om bevarelse af vinkelmoment . Desuden står momssættet også for momssættet fra statikken . D'Alembert -inertialkraften , der modsætter sig ændringen i vinkelmomentet, bliver mærkbar som en gyroskopisk effekt .

Princippet om ligestilling mellem de tildelte forskydningsspændinger eller symmetrien i (Cauchys) spændingstensoren følger af twist loven [5] . Boltzmann-aksiomet har samme konsekvens, ifølge hvilken interne kræfter i et kontinuum er øjebliksfrie [6] . Således er vridningsteorien, spændingstensorens symmetri og Boltzmann -aksiomet beslægtede udtryk i kontinuummekanik .

Hvirvelhastigheden spiller en central rolle i især gyroteorien . I kontinuummekanik bruges det til klart at bestemme den skæv-symmetriske del af spændingstensoren. [7]

Ud over Newtons love er hvirvelloven et grundlæggende og uafhængigt princip og blev først introduceret som sådan af Leonhard Euler i 1775. [7]

historie

I 1703 anvendte Jakob I Bernoulli sætningen om hvirvel - men uden at udtrykkeligt formulere det - for at finde et pendels centrum for svingning, hvilket han gjorde i et første, noget forkert forsøg i 1686. Clifford Truesdell mistænkte derfor, at vridningssætningen, som en uafhængig mekaniklov og som en kinetisk generalisering af det statiske ligevægtsprincip for drejningsmomenter, først blev brugt af Jakob I Bernoulli i 1686. Princippet om hvirvel ville således gå forud for Newtons love fra 1687. [7]

I et værk fra 1744 var Leonhard Euler den første til at bruge principperne for momentum og vinkelmoment til at oprette bevægelsesligninger for et system. I 1750 offentliggjorde han i afhandlingen "Discovery of a New Principle of Mechanics" de gyroskopiske ligninger , som i dag er afledt af virvelens sætning, men som Euler var i stand til at udlede for det stive legeme fra Newtons anden lov . Det var først i 1775, efter undersøgelser af flade elastiske konti, for hvilke balancen i øjeblikke er uundværlig, at Euler ophøjede vridningsprincippet til et uafhængigt princip til beregning af kropsbevægelser. [5] [7]

Augustin-Louis Cauchy introducerede stress-tensoren i 1822, hvis symmetri, i kombination med momentumloven, sikrer overholdelse af loven om vridning i det almindelige tilfælde af deformerbare legemer. Fortolkningen af vridningshastigheden blev først anerkendt af parlamentsmedlem Saint-Guilhem i 1851. [8] [9]

I 1905 påpegede Ludwig Boltzmann , at når et legeme brydes ned i mindre (uendelige) volumenelementer, skal de interne reaktioner opfylde alle statiske ligevægtsbetingelser. Georg Hamel opfandt navnet Boltzmann -aksiom for denne erklæring.

Rotationens kinetik

Kinetik omhandler tilstande, der ikke er i ligevægt. Ifølge Newtons 2. lov fører en resulterende ekstern kraft på et legeme til en ændring i hastighed ( acceleration ). Analogt betyder et resulterende eksternt drejningsmoment en ændring i vinkelhastigheden hvilket resulterer i en vinkelacceleration . Inertiadfærden med hensyn til rotation afhænger ikke kun af et legems masse, men også af dets rumlige fordeling.

I tilfælde af et stift legeme udtrykkes dette ved inertimomentet Θ. Ved rotation omkring en fast akse gælder følgende for drejningsmomentet i denne akses retning:

Det skal bemærkes, at inertimomentet ikke kun er afhængigt af positionen af ​​rotationsaksen (se Steiners sætning ), men også af dets retning. Hvis ovenstående ligning skal formuleres mere generelt for enhver rumlig retning, skal inertisensoren Θ bruges i stedet:

se nedenunder. Det aritmetiske symbol "×" danner krydsproduktet .

I det todimensionale særlige tilfælde accelererer eller bremser et drejningsmoment kun en rotationsbevægelse. I det generelle tredimensionelle tilfælde kan det imidlertid også ændre retningen af ​​rotationsaksen (se f.eks. Prækession ).

De mange analogier i kinetikken for translation og rotation er givet til rotation .

Formuleringer

Sætning af twist i punktmekanik

Samspil mellem kraft F, moment τ, momentum p og twist L under roterende bevægelse af et massepunkt (kugle)

Forholdet mellem momentumprincippet og twisthastigheden bliver klart i punktmekanikken .

Lad et legeme være gennem n massepunkter m k på stederne givet. I dette system, der er afgrænset fra andre masser, kan der skelnes mellem to typer kræfter: På den ene side er der indre kræfter , som virker mellem to massepunkter m j og m k, der tilhører systemet og derfor altid forekommer modsat i par, se Actio og Reactio . På den anden side er der de ydre kræfter der virker mellem systemmasser og en masse uden for systemet og derfor kun forekommer én gang på systemet [10] . Derefter læser momentumloven for hvert enkelt massepunkt

( ) Kroppens hvirvel omkring oprindelsen er summen af ​​massepunkternes vinkelmoment iflg

og tidsafledningen af dette resulterer i

Accelerationerne kan udtrykkes med momentumloven i form af de virkende kræfter:

fordi de indre kræfter iflg altid forekomme i modsatte par ved to vekselvirkende massepunkter m j og m k .

Massepunkter tillader kun centrale kræfter [6], og Siméon Denis Poisson beviste i 1833, at et system af centrale kræfter, der holdes i ligevægt i par, ikke udøver noget resulterende drejningsmoment [7] , hvilket betyder, at den understregede sum udelades. Med denne forudsætning, som ofte ikke nævnes, opstår princippet om vridning i punktmekanik

hvor er det resulterende eksterne øjeblik, der virker på systemet. Sætningens vridning forekommer i punktmekanikken som en konsekvens af momentums sætning, der dog er resultatet af idealiseringen af masserne som massepunkter, der kun kan absorbere centrale kræfter.

Georg Hamel kaldte punktmekanikken "en intellektuel beskid" og sagde "hvad der menes med punktmekanik, er intet andet end tyngdepunktsprincippet." [5] Punktmekanikken til at udlede spinhastigheden frygteligt utilstrækkelig [6] . Når disse overvejelser overføres til et kontinuum , er antagelsen om centrale kræfter ensbetydende med et aksiom, Boltzmann -aksiomet nedenfor, hvilket fører til symmetrien i Cauchys spændings -tensor.

Isaac Newton udtalte aldrig i sin Principia, at interaktionskræfterne er centrale kræfter [7] . Hvis masserne ikke idealiseres af massepunkter, hjælper hvirvelloven: Ifølge den kan de indre kræfter ikke ændre vinkelmomentet, og dermed skal den understregede sum af de indre øjeblikke forsvinde. Selvfølgelig gælder princippet om vridning også i punktmekanik, men det er ikke en konsekvens af Newtons anden lov.

Swirl på den stive krop

I tilfælde af et stift legeme følger massepunkterne Eulers hastighedsligning , hvilket har vigtige konsekvenser og vektorligningen

fører. Denne ligning kaldes undertiden Euler (gyro) ligningen . Et hvilket som helst ubearbejdet fast punkt eller et hvilket som helst bevægeligt massemidtpunkt i kroppen er egnede som referencepunkt for øjeblikket og inerti tensor Θ . Det første udtryk til højre tager højde for Euler -styrkerne og det andet de fiktive centrifugalkræfter . Ville den stive krop med en konstant vinkelhastighed kredser rundt om den øjeblikkelige rotationsakse, så ville centrifugalkræfterne have et resulterende øjeblik, der er lige svarer til. Men da rotationsaksen konstant ændrer sin position under den stive krops virkelige bevægelse, foreslog Louis Poinsot navnet fiktive centrifugalkræfter for disse centrifugalkræfter [8] .

bevis
Kroppen ligner ovenstående som en forening af stive masser m i med massecentre set i forhold til et referencepunkt er givet. Massernes acceleration er derefter den samme for en stiv kropsbevægelse

Den stive krop roterer med vinkelhastighed omkring referencepunktet .

Ifølge Newtons anden lov er “kraft lig masse gange acceleration”

Er i det ydre kræfter og indre kræfter annullerer hinanden i henhold til handlings- og reaktionsprincippet .

Ifølge princippet om hvirvel er de indre kræfter øjebliksfrie, se det foregående afsnit. Momentene for de ydre kræfter F i, der virker på de enkelte masser, tilføjer derefter til det resulterende ydre moment

Det første udtryk forsvinder, når referencepunktet er fikset i et inertialsystem ( ) eller kroppens massemidtpunkt er valgt som referencepunkt (så er ), og dette antages her.

Det andet udtryk omfatter Euler -styrker hvis øjeblikke resulterer i den gyroskopiske effekt ifølge BAC-CAB-formlen

opsummere. Det understregede udtryk er inerti tensor Θ , som er dannet for det stive legeme med enheden tensor 1 og det dyadiske produkt "⊗" af vektorer. Det dyadiske produkt er med alle tre vektorer defineret af .

Det tredje og sidste udtryk i ovenstående momentligning dannes ud fra centrifugalkræfterne der udgør den gyroskopiske effekt

resultater. Vinkelmomentet beregnes med inerti -tensoren og det stammer så fra tidsafledt :

De gyroskopiske virkninger er d'Alemberts træghedskræfter og er som sådan et angribende øjeblik modsat lige øjeblik, hvilket fører til gyro -ligningerne:

Med hensyn til et orthonormalt grundlag ê 1,2,3 lyder komponentligningerne:

Her er Θ ik komponenterne i inerti-tensoren: Θ ii er inertimomenterne omkring i-aksen, og Θ ik med k ≠ i er afvigelsens øjeblikke . I et kropsfast koordinatsystem er disse komponenter konstante over tid, ellers mest tidsafhængige.

Flybevægelser og hastigheden af ​​vinkelmoment omkring den momentane pol

I tilfælde af en flybevægelse, for eksempel i 1-2-planet, reduceres komponentligningerne til

hvor φ er rotationsvinklen omkring 3-aksen. Som før er inertimomenterne Θ ij (undtagen Θ 33 ) i et referencesystem, der ikke er fastgjort til kroppen, generelt afhængige af orienteringen og dermed af rotationsvinklen φ . De to sidste ligninger bruges mest til at bestemme reaktionsmomenterne i 1 og 2 retning for tvungen drift i 1-2-planet.

Hvis 3-retningen er en inertis hovedakse , resulterer det med det dertil knyttede inertimoment Θ 3 uden sådanne reaktionsmomenter

I tilfælde af en plan stiv kropsbevægelse med eksisterende roterende bevægelse er der altid et punkt i rummet kaldet en momentan pol , hvori for det første en partikel af det stive legeme, der er placeret, står stille, og for det andet er bevægelsen repræsenteret som en ren roterende bevægelse omkring dette punkt. Således lyder hastighedsfeltet med den normale enhedsvektor i bevægelsesplanet ê 3 :

Med hensyn til det øjeblikkelige tyngdepunkt, hvis 3-retningen er en hovedakse, har vinkelmomentloven en lignende form som for massecentret:

hvor nu momentet og massetræghedsmomentet beregnes i forhold til det øjeblikkelige tyngdepunkt.

bevis
For at bevise dette beregnes vinkelmomentet i det stive legeme som en integral:

Der Vektor ist der Abstandsvektor zum Momentanpol, die Masse, der Massenmittelpunkt und ist dessen Geschwindigkeit. Wenn der Momentanpol als Bezugspunkt gewählt wird , dann entfällt der zweite Summand:

Der Trägheitstensor bezüglich des Momentanpols

ist vom aktuell eingenommenen Raumgebiet abhängig und deshalb zumeist nicht konstant.

Substantielle Zeitableitung des Drehimpulses liefert mit :

Wenn der Momentanpol als Bezugspunkt gewählt wird , dann entfällt der letzte Summand, und wenn eine Hauptachse des Körpers parallel zur Winkelgeschwindigkeit ist, also senkrecht zur Bewegungsebene ist, dann entfällt der zweite Summand. Wenn beides zutrifft, hat die Vektorgleichung nur noch eine nichttriviale Komponente

Drallsatz am Kontinuum

Die in der Mechanik für ausgedehnte Körper formulierten physikalischen Gesetze werden in der Kontinuumsmechanik als globale Integralgleichungen ausgedrückt aus denen sich mit geeigneten Annahmen lokale Differentialgleichungen ableiten lassen, die an jedem Punkt im Körper erfüllt sein müssen. Die äußeren Kräfte und die von ihnen ausgeübten Momente werden wie in der Realität flächig mit Spannungs vektoren (mit der Dimension Kraft pro Flächeninhalt ) auf der Oberfläche eingeleitet. Daneben gibt es noch volumenverteilte Kräfte (mit der Dimension Kraft pro Masse oder einer Beschleunigung) wie beispielsweise die Gewichtskraft . Dann lautet der Drallsatz in globaler Formulierung:

Darin ist ρ die Dichte und die Geschwindigkeit am Ort im Volumen des Körpers, der die Oberfläche besitzt. Das Integral auf der linken Seite steht für den Drehimpuls des Körpers bezüglich eines beliebigen, zeitlich fixierten Bezugspunkts und bildet die zeitliche Änderung. Auf der rechten Seite stehen die Momente der äußeren Kräfte. Das erste Integral bestimmt das Moment der volumenverteilten Kräfte und das zweite Integral das Moment der oberflächenverteilten Kräfte . Das Rechenzeichen steht für das Kreuzprodukt .

Die äußeren Kräfte induzieren über (das hochgestellte „⊤“ bedeutet Transposition und ist der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor auf der Oberfläche) und den Divergenzsatz ein Spannungstensorfeld σ , das den ganzen Körper ausfüllt. Der Anteil an den Integralen, der die Bahndrehimpulse der Partikel betrifft, entfällt aufgrund der Impulsbilanz. Übrig bleibt ein wirkungsloses Moment, das von Schubspannungen zwischen den Partikeln verrichtet wird, und damit dieser Beitrag verschwindet, muss der Cauchy'sche Spannungstensor symmetrisch sein:

Bei Lagrange'scher Betrachtungsweise betrifft das den zweiten-Piola-Kirchhoff-Spannungstensor . In Kombination mit der Impulsbilanz ist die Symmetrie des Spannungstensors äquivalent zum Drallsatz.

Boltzmann-Axiom

Spannungen an einem Volumenelement (blau) mit Breite d x und Höhe d y (Maße nicht dargestellt)

Ludwig Boltzmann hat 1905 darauf hingewiesen, dass bei der Zerlegung eines Körpers in (infinitesimal) kleine Volumenelemente jedes im statischen Gleichgewicht sein muss. An den Grenzflächen jedes Volumenelements müssen demnach die resultierenden inneren Kräfte und inneren Momente verschwinden. Das Cauchy'sche Fundamentaltheorem behandelt erstere Bedingung des Verschwindens der inneren Kräfte. Für die Forderung nach dem Verschwinden der inneren Momente prägte Georg Hamel den Namen Boltzmann-Axiom , da Boltzmann erstmals die Eigenständigkeit dieser Überlegung herausstellte. [5] [11] [12] Das Boltzmann-Axiom ist für Starrkörper und viele deformierbare Körper zutreffend. Es gibt allerdings auch Kontinua, bei denen das Boltzmann-Axiom nicht anwendbar ist, siehe den folgenden Abschnitt. [6]

Dieses Axiom ist äquivalent zur Symmetrie des Cauchy'schen Spannungstensors . [6] Denn damit die Spannungsresultierenden am Volumenelement, blau im Bild, kein Moment ausüben, muss die Wirkungslinie der resultierenden Kraft durch die Mitte des Volumenelements gehen. Die Einzelkräfte ergeben sich aus den Spannungen multipliziert mit der Fläche auf der sie wirken. Die Wirkungslinie der Massenkräfte und der Kräfte der Normalspannungen σ xx und σ yy führen durch die Mitte des Volumenelements. Damit die Wirkungslinie der Schubspannungsresultierenden mit Komponenten τ yx · d x in x-Richtung und τ xy · d y in y-Richtung ebenfalls durch das Zentrum gehen, muss

gelten. Letzteres ist gerade die Aussage des Prinzips von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen in der xy-Ebene . [5]

Cosserat-Kontinuum

Neben dem momentenfreien klassischen Kontinuum mit symmetrischem Spannungstensor wurden auch Cosserat-Kontinua (polare Kontinua) definiert, die nicht momentenfrei sind [13] . Eine Anwendung eines solchen Kontinuums ist die Schalentheorie . In den polaren Kontinua gibt es neben den Impulsflüssen und -quellen , siehe oben, auch Drehimpulsflüsse und -quellen. Hier gilt das Boltzmann-Axiom nicht und der Spannungstensor kann unsymmetrisch sein. Werden diese Drehimpulsflüsse und -quellen wie in der Kontinuumsmechanik üblich behandelt, entstehen Feldgleichungen, in denen der schiefsymmetrische Anteil des Spannungstensors keine energetische Bedeutung hat. Der Drallsatz wird vom Energiesatz unabhängig und dient der Bestimmung des schiefsymmetrischen Anteils des Spannungstensors. Truesdell sah hierin den „wahren Grundsinn des Drallsatzes“. [7] [14]

Flächensatz

Die vom Fahrstrahl überstrichene Fläche geht bei kleinem d t in ein Dreieck über

Der Flächensatz ist eine Folgerung aus dem Drallsatz in der Form: Das resultierende Moment ist gleich dem Produkt aus doppelter Masse und der Ableitung der Flächengeschwindigkeit. [15]

Er bezieht sich auf den Fahrstrahl zu einem Massenpunkt mit Masse m . Dieser hat mit der Geschwindigkeit und dem Impuls den Drehimpuls

.

Der Fahrstrahl überstreicht in der (infinitesimalen) Zeit d t ein Dreieck, dessen Inhalt ist, siehe Bild und Kreuzprodukt „ד . So ergibt sich

Mit dem Drallsatz wird daraus:

Der Spezialfall der ebenen, momentenfreien Bewegung in einem Zentralkraft feld wird vom zweiten Kepler'schen Gesetz behandelt, das auch unter dem Namen Flächensatz bekannt ist.

Literatur

  1. Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 571.
  2. a b D. Gross, W. Hauger, J. Schröder , WA Wall: Technische Mechanik 3 . Kinetik. Springer Vieweg Verlag, Heidelberg 2015, ISBN 978-3-642-53953-4 , S.   61 , doi : 10.1007/978-3-642-53954-1 .
  3. Conrad Eller: Holzmann/Meyer/Schumpich. Technische Mechanik. Kinematik und Kinetik. Springer, 12. Auflage, 2016, S. 127.
  4. Stefan Hartmann: Technische Mechanik . John Wiley & Sons, 2014, ISBN 978-3-527-68162-4 , S.   491 .
  5. a b c d e István Szabó : Geschichte der mechanischen Prinzipien . und ihrer wichtigsten Anwendungen. Springer, Basel 1977, ISBN 978-3-0348-5998-1 , S.   22   ff ., doi : 10.1007/978-3-0348-5998-1 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 12. Januar 2018]).
  6. a b c d e H. Bremer: Dynamik und Regelung mechanischer Systeme . BG Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 978-3-519-02369-2 , doi : 10.1007/978-3-663-05674-4 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 12. Januar 2018]).
  7. a b c d e f g Clifford Truesdell : Die Entwicklung des Drallsatzes . In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5 ). Band   44 , April 1964, S.   149 – 158 , doi : 10.1002/zamm.19640440402 ( wiley.com ).
  8. a b Felix Klein , Conr. Müller: Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . Mechanik. Hrsg.: Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien. 4. Band, 1. Teilband. Springer Fachmedien Verlag, Leipzig 1908, ISBN 978-3-663-16021-2 , S.   581   ff ., doi : 10.1007/978-3-663-16021-2 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 12. Februar 2020] siehe auch wikisource ).
  9. MP Guilhem: Neue Studie über die Theorie der Kräfte . In: Joseph Liouville (Hrsg.): Journal de mathématiques pures et appliquées . Band   XVI . Bachelier, Paris 1851, S.   347–374 (französisch, bnf.fr [abgerufen am 11. Februar 2020] Originaltitel: Nouvelle étude sur la théorie des forces . Gl. (4) auf Seite 363 ist der Drallsatz im mitrotierenden System.). , siehe auch Klein und Müller (1908), S. 587.
  10. H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre . Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5 , S.   15 .
  11. Friedrich Pfeiffer , Thorsten Schindler: Einführung in die Dynamik . Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-41046-8 , S.   24 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 13. Januar 2018]).
  12. Rainer Tiemeyer: Axiome der Klassischen Mechanik . Hilberts Problem und Hamels Lösungsversuch in wissenschaftstheoretischer Perspektive. Logos Verlag, Berlin 2016, ISBN 978-3-8325-4292-4 , S.   166 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 12. Januar 2018]).
  13. Clifford Truesdell , Walter Noll , Stuart Antman: Die nichtlinearen Feldtheorien der Mechanik . Band   3 . Springer Science & Business Media, Berlin, Heidelberg 2004, ISBN 978-3-540-02779-9 , S.   389   ff . (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 14. Januar 2018] Originaltitel: The Non-Linear Field Theories of Mechanics .).
  14. RA Toupin: Theories of elasticity with couple-stress . In: Archive for Rational Mechanics and Analysis . Volume 17, Issue 2. Springer-Verlag, Juni 1964, ISSN 0003-9527 , S.   85–112 , doi : 10.1007/BF00253050 (englisch,springer.com [abgerufen am 14. Januar 2018]).
  15. Karl-Heinrich Grote, Jörg Feldhusen (Hrsg.): Dubbel . Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer Vieweg Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38891-0 , S.   B26 , doi : 10.1007/978-3-642-38891-0 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 13. Januar 2018]).