Moment

Efternavn

Moment

{\vec {M}}

${\ displaystyle {\ vec {M}}}$ ${\ vec {M}}$

Størrelse og Enhedssystem	enhed	dimension
SI	Nm = N • m	M • L ² • T ⁻²
cgs	dyn • cm	M • L ² • T ⁻²

Vektor af drejningsmomentet

{\vec {M}}.

{\ displaystyle {\ vec {M}}.}

{\ displaystyle {\ vec {M}}.}

I det viste tilfælde er kraften på arbejde

{\vec {F}}

{\ displaystyle {\ vec {F}}}

{\ vec {F}}

vinkelret på positionsvektoren

{\vec {r}}.

{\ displaystyle {\ vec {r}}.}

{\ vec {r}}.

Drejningsmomentet (også moment eller moment i kraft, fra den latinske momentumbevægelseskraft ^[1] ) er en fysisk størrelse i klassisk mekanik, der beskriver en kraft , et kraftpar eller et andet kraftsystems rotationsvirkning på et legeme . Det spiller den samme rolle i rotationsbevægelser som kraften i lineære bevægelser . Et moment kan accelerere eller bremse rotation af et legeme og bøje kroppen ( bøjningsmoment ) eller vride det ( torsionsmoment ). I drivaksler bestemmer drejningsmomentet sammen med hastigheden den overførte effekt . Hvert drejningsmoment kan beskrives ved et par kræfter. Momentet for et par kræfter er uafhængigt af referencepunktet, så det kan forskydes som en fri vektor .

Den internationalt anvendte måleenhed for drejningsmoment er newtonmåleren . Som et formelsymbol er $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sædvanlig. Hvis en kraft virker vinkelret på armen på en håndtag , resulterer mængden $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ moment ved at tilføje mængden $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ kraft med længde $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ af løftearmen multipliceret:

M=h\cdot F

{\ displaystyle M = h \ cdot F}

{\ displaystyle M = h \ cdot F}

$M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ er størrelsen af drejningsmomentets vektor ${\vec {M}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$ ${\ vec {M}}$ , Der følger indlæg produkt af positionen vektor og kraftvektoren:

{\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}

{\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}

det er ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ positionsvektoren fra drejningsmomentets referencepunkt til kraftens anvendelse. Momentvektorens retning angiver drejningsmomentets rotationsretning. Referencepunktet kan frit vælges; det behøver ikke at være det punkt, som kroppen drejer rundt om (i nogle tilfælde eksisterer et sådant punkt ikke), og det behøver ikke at være et punkt på kroppen, som kraften virker på. Drejningsmomentet for en enkelt kraft, ligesom vinkelmomentet, er derfor kun defineret med hensyn til et punkt, som undertiden også udtrykkeligt er angivet:

{\vec {M}}^{(A)}

{\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)}}

med referencepunkt

EN.

{\ displaystyle A}

EN.

.

Flere kræfter arbejder ${\vec {F}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$ ${\ vec {F}} _ {i}$ ( $i=1,2,\dotsc$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ dotsc}$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ dotsc}$ ) på forskellige punkter ${\vec {r}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$ ${\ vec {r}} _ {i}$ a, det samlede drejningsmoment er vektorsummen af de enkelte drejningsmomenter:

{\vec {M}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec {F}} _ {i}}

{\ vec {M}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ gange {\ vec {F}} _ {i}

To parallelle kræfter virker på et legeme, selvom de er lige store $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , men har modsat retning, og deres handlingslinjer har en vis afstand $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ de forårsager et drejningsmoment med mængden $M=F\cdot h$ ${\ displaystyle M = F \ cdot h}$ ${\ displaystyle M = F \ cdot h}$ . Man taler derefter om et par kræfter .

Betegnelser og afgrænsning

Moment som et første ordens øjeblik

Udtrykket "øjeblik" bruges generelt om egenskaber ved fordelinger, der vedrører formen

m_{n}=\int _{\mathbb {R} }x^{n}\mathrm {d} \mu (x)

{\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {n} \ mathrm {d} \ mu (x)}

{\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {n} \ mathrm {d} \ mu (x)}

Kom med det. ^[2] Ved et drejningsmoment er for målingen $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ funktionen til at indtage stedet $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ tildeler en kraft og orden $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ at vælge. Momentet er derfor det første ordensmoment ( dipolmoment ) i en kraftfordeling.

I stedet for en kraftfordeling kan andre fysiske størrelser også overvejes, og deres fordelinger, som i tilfælde af en multipoludvidelse , udvikles generelt efter momenter. De resulterende mængder, der ikke er drejningsmomenter, refereres også til med ord, der indeholder slut -momentet . Eksempler er arealmomentet , inertimomentet eller det magnetiske moment .

Valg af ord inden for videnskab og teknologi

I teoretisk mekanik og fysik er den fysiske mængde, der behandles her, generelt omtalt som drejningsmoment . ^[3] I teknisk mekanik såvel som i DIN- og VDI -standarderne omtales variablen normalt som øjeblikket . Det omtales også sjældent generelt som drejningsmoment, ^{[4] i} nogle tilfælde afvises betegnelsesmomentet også som "daglig tale". ^[5] Nogle gange bruges drejningsmoment i øjeblikket af et par kræfter. ^[6] ^[7] Det meste af tiden bruges drejningsmoment kun, når der er en rotation af karosseriet, der overvejes, ^[8] for eksempel ved tilspænding af skruer eller motoraksler, men ikke når der er en deformation (bøjning eller vridningsmoment )) eller effekten er endnu ikke kendt (øjeblik).

I denne artikel bruges udtrykket drejningsmoment i generel forstand, synonymt med teknikkens øjeblik og er ikke begrænset til roterende bevægelser eller par af kræfter.

Der er også en række drejningsmomenter, der dannes med endelsen -moment , såsom bøjningsmomentet, torsionsmomentet eller drivmomentet . Betegnelser som bøjningsmoment eller torsionsmoment bruges ikke.

Særlige drejningsmomenter inden for teknologi

Der skelnes mellem

Type af stress:

Bøjning øjeblik : Et øjeblik, der understreger en komponent i bøjning .
Torsionsmoment : Det øjeblik, hvor en komponent udsættes for torsion .
Klippemoment: Skærereaktion ved fri skæring .

Type bevægelse:

Yaw, pitch, roll moment: øjeblikke omkring særlige akser i en stiv krop, når man gaber , pitcher og svajer .

Type effekt:

Startmoment: Det drejningsmoment, som en primær motor kan levere fra stilstand (mere sjældent også omtalt som udbrydermomentet), eller som en arbejdsmaskine eller et køretøj har brug for ved opstart.
Drivmoment: Det drejningsmoment, der virker på indgangsakslen på en maskine eller gearkasse, på hjulakslen i et køretøj eller på akslen på en propel . For drivmotoren eller drivgearet er drivmoment, Ab.
Moment eller drejningsmoment: Det moment, der ved fastgørelse (stramning) påføres en skrue.
Tipping moment: I mekanik, det øjeblik, der vælter et opretstående objekt. I elektroteknik er det maksimale drejningsmoment i moment / hastighedskurven for en asynkron motor . Se tippunkt for detaljer.
Belastningsmoment : Det drejningsmoment, som en arbejdsmaskine modsætter sig motoren eller gearkassen. For drivmotoren eller gearkassen er det outputmomentet.
Tilbageholdelsesmoment : Et øjeblik, der genereres ved tilbageholdenheden , dvs. fastgørelse af et legeme. Det forhindrer kroppen i at rotere.
Offset moment: moment for en kraft i forhold til referencepunktet for kraften og moment -ligevægten.

Andet:

Nominelt drejningsmoment: Momentet for en komponent i konstruktionen dimensioneret var.
Nominelt øjeblik : Det øjeblik, en komponent var designet til.
Specifikt drejningsmoment: Momentet pr. Liter forskydning for stempelmotorer. De maksimale værdier for firetakts benzinmotorer og for store firetakts dieselmotorer er 200 Nm / dm³. Meget store totakts marine dieselmotorer når 300 Nm / dm³.

Typer af drejningsmomenter

Der skelnes mellem

drejningsmomentet for en enkelt kraft i forhold til et punkt,
drejningsmomentet for en enkelt kraft i forhold til en akse og
drejningsmomentet for et kraftpar .

Med de to første udtryk afhænger drejningsmomentets mængde og rotationsretning af referencestykket (punkt eller lige linje). I tilfælde af kraftparret opnås derimod altid det samme totale drejningsmoment uanset referencestykket, hvis momentene for de enkelte kræfter i kraftparret betragtes og tilføjes.

For alle tre typer er to forskellige, ækvivalente tilgange mulige:

En blandet, geometrisk og algebraisk betragtning, hvor mængden af drejningsmoment er produktet af kraften og håndtaget. Handlingsplanet og rotationsretningen skyldes geometriske overvejelser.
Den anden variant er en rent analytisk. Drejningsmomentet betragtes som en vektor, der resulterer som vektor produkt af positionen vektor og kraftvektoren . Momentvektoren angiver derefter mængden, handlingsplanet og rotationsretningen.

Hvilken overvejelse, der er mere passende, afhænger af det problem, der skal undersøges, og af brugerens matematiske viden. Hvis alle virkende kræfter er i det samme plan, anbefales den geometrisk-algebraiske tilgang, der klarer sig med forholdsvis simpel matematik. Hvis kræfterne danner et rumligt kraftsystem, er en sådan procedure mulig, men vanskelig. Vektorrepræsentationen er derefter passende, men kræver viden om mere avancerede matematikbegreber, såsom vektorproduktet. Derudover kan generelle matematiske forbindelser mellem drejningsmomentet og andre fysiske størrelser, såsom dem undersøgt i teoretisk mekanik, lettere repræsenteres med vektorer. I skolebøger og indledende lærebøger ^[9] ^[10] om teknisk mekanik foretrækkes den geometrisk-algebraiske tilgang i første omgang. I lærebøger om teoretisk mekanik ^[11] og opslagsværker ^[12] om teknisk mekanik er vektorrepræsentationen derimod udbredt.

Følgende gælder for mængden af drejningsmoment for alle tre typer: kraft gange håndtag. Et enkelt drejningsmoment virker i et plan, og det er generelt tilstrækkeligt at overveje dette plan. Drejningsmomentet kan derefter angives med et enkelt tal, hvis tegn angiver rotationsretningen. Drejningsmomenter, der drejer mod uret, dvs. i matematisk positiv forstand, tælles normalt positivt. Hvis der er flere drejningsmomenter, der ikke virker i det samme plan, er det mere nyttigt at beskrive dem med deres momentvektor. Dette er vinkelret på det plan, hvor drejningsmomentet virker.

Forskellige måder er mulige for den teoretiske afledning af drejningsmomenterne. Drejningsmomentet for en enkelt kraft kan defineres ud fra de grundlæggende love i mekanik. Drejningsmomentet for et par kræfter er derefter summen af drejningsmomenterne for de to kræfter. I stedet fører overvejelser om resultatet af et par kræfter direkte til dets drejningsmoment. Drejningsmomentet for en enkelt kraft opnås derefter ved at forskyde kraften på en parallel handlingslinje (forskudt moment, se forskydning af kræfter nedenfor).

Moment af en kraft i forhold til et punkt

Tving omkring et referencepunkt

Momentet eller momentet for en (enkelt) kraft i forhold til et punkt $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ virker i det plan, der indeholder kraften og referencepunktet. Dens beløb er på dette niveau $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ defineret som produktet af håndtaget $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ og mængden af kraft $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ :

M=a\cdot F

{\ displaystyle M = a \ cdot F}

{\ displaystyle M = a \ cdot F}

For at undgå forveksling med andre drejningsmomenter bemærkes også referencepunktet:

M^{(A)}

{\ displaystyle M ^ {(A)}}

{\ displaystyle M ^ {(A)}}

eller

M_{(A)}

{\ displaystyle M _ {(A)}}

{\ displaystyle M _ {(A)}}

.

Håndtaget er den lodrette afstand mellem referencepunktet og kraftens handlingslinje. Dette er generelt ikke den direkte forbindelseslinje mellem referencepunktet og kraftens anvendelsespunkt. Da håndtaget ikke ændres, når kraften forskydes langs dets handlingslinje, ændres dens drejningsmoment heller ikke. Selve referencepunktet kan frit vælges. Det behøver ikke at være det punkt, som den pågældende krop drejer rundt om. Dette er delvist ikke kendt, og der er ikke noget sådant punkt i kroppe, der er fast forbundet med deres miljø. Referencepunktet behøver ikke at være en del af den krop, som kraften virker på. Både mængden og drejningsretningen for drejningsmomentet afhænger af valget af referencepunktet.

Vektordefinitionen er

{\vec {M}}={\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}

.

Det er vektor produkt af positionen vektor ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ , der peger fra referencepunktet til kraftens og kraftvektorens anvendelsessted ${\vec {F}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$ ${\ vec {F}}$ . Størrelsen af positionsvektoren svarer generelt ikke til håndtaget. Mængden af momentvektoren kan beregnes ud fra mængderne af positionen og kraftvektoren og vinklen $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ også mellem de to

M=|{\vec {M}}|=F\cdot r\cdot \sin \varphi =|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \sin \varphi

{\ displaystyle M = | {\ vec {M}} | = F \ cdot r \ cdot \ sin \ varphi = | {\ vec {F}} | \ cdot | {\ vec {r}} | \ cdot \ sin \ varphi}

{\ displaystyle M = | {\ vec {M}} | = F \ cdot r \ cdot \ sin \ varphi = | {\ vec {F}} | \ cdot | {\ vec {r}} | \ cdot \ sin \ varphi}

Det er derfor sandt $a=r\cdot \sin \varphi$ ${\ displaystyle a = r \ cdot \ sin \ varphi}$ ${\ displaystyle a = r \ cdot \ sin \ varphi}$ .

Ofte er drejningsmomentet altid baseret på oprindelsen efter konvention $O$ ${\ displaystyle O}$ $O$ baseret:

{\vec {M}}={\vec {M}}^{(O)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(O)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(O)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}

Placeringsvektoren ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ peger derefter fra oprindelsen til kraftens anvendelse.

Momentvektoren er vinkelret på det plan, hvor drejningsmomentet virker, og dermed også vinkelret på det plan, der spænder over kraften og positionsvektoren. Dens mængde, dvs. dens længde, svarer til mængden af drejningsmoment og arealet af parallelogrammet, som dannes af positionen og kraftvektoren. Rotationsretningen skyldes den højre regel : Hvis du griber fat i momentvektoren i din højre hånd på en sådan måde, at tommelfingeren peger i retning af pilespidsen, angiver de andre fingre rotationsretningen.

Moment af en kraft i forhold til en akse

For en krafts drejningsmoment i forhold til en akse vælges det punkt på aksen, der er tættest på kraftens anvendelsespunkt, som referencepunkt. Afstanden mellem applikationspunktet og aksen er derefter håndtaget. Til beregningen kan man projicere kraften i et plan, der er vinkelret på aksen, og derefter bruge den projicerede kraft til at danne drejningsmomentet i forhold til det punkt, hvor aksen trænger ind i planet. ^[13] Alternativt ^[14] kan drejningsmomentet for den oprindelige kraft også beregnes i forhold til ethvert punkt på den lige linje. Momentvektoren projiceres derefter i et plan, der er vinkelret på den lige linje.

Moment af et par kræfter

Magtpar

Et par kræfter består af to kræfter, der er på parallelle handlingslinjer, har samme mængde og peger i modsatte retninger. I modsætning til en enkelt kraft kan den ikke bevæge et legeme, men det forsøger at vende det. Par af kræfter er ofte til stede, når kroppe roterer; Imidlertid er den ene af de to kræfter ofte ikke umiddelbart genkendelig, fordi den for det meste er en begrænsende kraft . ^[15] Mængden af drejningsmoment, der genereres af et par kræfter, kan beregnes som produktet af mængden $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ en af de to kræfter og afstanden $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ deres handlingslinjer: ^[16] ^[17]

M=F\cdot a

{\ displaystyle M = F \ cdot a}

{\ displaystyle M = F \ cdot a}

Kraftparets momentvektor kan beregnes ved at:

{\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}

{\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}

Placeringsvektoren ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ peger fra ethvert punkt på den ene krafts handlingslinje til ethvert punkt på den anden krafts handlingslinje. Vektoren, der forbinder anvendelsespunkterne for de to kræfter, bruges ofte.

Effekten af kræftpar adskiller sig fra individuelle kræfter på nogle vigtige punkter, hvorfor drejningsmomenterne for par af kræfter også adskiller sig fra andre drejningsmomenter:

Momentet for et kraftpar er uafhængigt af referencepunkter. Det betyder, at et par kræfter kan forskydes til ethvert sted uden at ændre deres effekt eller drejningsmoment.
Et par kræfter kan erstattes af dets drejningsmoment uden at ændre virkningen på den krop, den virker på. En enkelt kraft kan derimod ikke erstattes af dens moment.
Momentvektoren for et par kræfter kan forskydes til ethvert sted. Det er en gratis vektor . Momentvektoren for en kraft er derimod en aksial vektor . Det kan kun flyttes langs den lige linje, som det definerer.

Afledninger og forhold mellem typer moment

Der er forskellige måder at udlede drejningsmomenterne på baseret på de grundlæggende love i mekanik.

I teoretisk mekanik

I teoretisk mekanik antages Newtons anden lov normalt i formen "kraft er lig med masse gange acceleration":

{\vec {F}}=m\,{\ddot {\vec {r}}}(t)

{\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}

Vektoren ${\vec {r}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$ ${\ vec {r}} (t)$ viser på ethvert tidspunkt $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ fra oprindelsen til placeringen af massepunktet, som også er kraftens anvendelsespunkt. Afledningen af positionsvektoren med hensyn til tid giver hastigheden ${\dot {\vec {r}}}(t)$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} (t)}$ , der er angivet med et punkt, giver det andet derivat accelerationen ${\ddot {\vec {r}}}(t)$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$ , som er angivet med to prikker. Hvis ovenstående ligning multipliceres vektorielt med positionsvektoren fra venstre, er resultatet kraftens drejningsmoment i forhold til oprindelsen til venstre og tidsderivatet af vinkelmomentet til højre ${\vec {L}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} (t)}$ :

{\vec {r}}(t)\times {\vec {F}}={\vec {r}}(t)\times m\,{\ddot {\vec {r}}}(t)

{\ displaystyle {\ vec {r}} (t) \ times {\ vec {F}} = {\ vec {r}} (t) \ times m \, {\ ddot {\ vec {r}}} ( t)}

{\ displaystyle {\ vec {r}} (t) \ times {\ vec {F}} = {\ vec {r}} (t) \ times m \, {\ ddot {\ vec {r}}} ( t)}

{\vec {M}}(t)={\dot {\vec {L}}}(t)

{\ displaystyle {\ vec {M}} (t) = {\ dot {\ vec {L}}} (t)}

{\ displaystyle {\ vec {M}} (t) = {\ dot {\ vec {L}}} (t)}

Momentet for et par kræfter ${\vec {M}}_{K}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K}}$ skyldes tilføjelse af de to kræfters drejningsmomenter:

{\vec {M}}_{K}={\vec {M}}_{1}+{\vec {M}}_{2}={\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = {\ vec {M}} _ {1} + {\ vec {M}} _ {2} = {\ vec {r}} _ {1} \ times {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r}} _ {2} \ times {\ vec {F}} _ {2}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = {\ vec {M}} _ {1} + {\ vec {M}} _ {2} = {\ vec {r}} _ {1} \ times {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r}} _ {2} \ times {\ vec {F}} _ {2}}

Som et par ${\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$ holder, følger også

{\vec {M}}_{K}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\times {\vec {F}}_{1}

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = ({\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}) \ gange {\ vec {F}} _ {1}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = ({\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}) \ gange {\ vec {F}} _ {1}}

,

i overensstemmelse med ovenstående definition af momentet for et kraftpar, fordi ${\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}$ .

I teknisk mekanik

I teknisk mekanik fører overvejelser om resultatet af kraftsystemer direkte til et kraftparrets drejningsmoment. Drejningsmomentet for en enkelt kraft kan udledes heraf.

Med parallelogrammet af kræfter kan to kræfter med et fælles anvendelsessted erstattes af en resulterende kraft. Hvis de to kræfter virker på et stift legeme, kan de også kombineres, hvis kun de to kræfteres handlingslinjer krydser hinanden, da kræfterne derefter kan forskydes til skæringspunktet uden at ændre virkningen på kroppen. Med parallelle kræfter er der dog ikke noget skæringspunkt. Hvis de to kræfter har ulige styrke, kan der imidlertid findes et skæringspunkt, og en resulterende kraft kan dannes ved at tilføje yderligere to kræfter, hvis resulterende kraft er nul. For styrkerparret er der dog ikke noget skæringspunkt, men et andet par kræfter, muligvis på et andet sted og med roterede handlingslinjer i en anden afstand fra hinanden og med en anden styrke af de to modsat lige store kræfter. Produktkraften gange afstanden mellem handlingslinjerne , dvs. drejningsmomentet, forbliver altid konstant. Kræfteparret kan ikke erstattes af en enkelt resulterende kraft, men kun af et andet par kræfter med samme drejningsmoment. Kraftparret kan derfor ganske generelt erstattes af dets drejningsmoment.

Fig. 8: En enkelt kraft (a, sort) svarer til en forskydningskraft (c, grøn) og et forskydningsmoment (c, rødt).

Drejningsmomentet for en enkelt kraft i forhold til et punkt stammer fra drejningsmomentet for et par kræfter ved hjælp af forskydningsmomentet (se forskydning af kræfter nedenfor). Man betragter linjen parallelt med handlingslinjen gennem referencepunktet som handlingslinjen for to modsat lige store kræfter af samme størrelse som den enkelte kraft. Den individuelle kraft kombineres med den tilsvarende nye kraft for at danne et kraftpar, og dette erstattes derefter af dets drejningsmoment. Resultatet svarer til forskydningen af den oprindelige individuelle kraft og tilføjelsen af et kraftparrets drejningsmoment. Sidstnævnte er offset -øjeblikket.

Repræsentationer og notationer

Der er mange notationer for drejningsmomenter i ligninger og repræsentationer på tegninger. Hvis et plan, hvor drejningsmomentet virker, er vist på tegninger, er det normalt repræsenteret af en buet pil, der kan variere mellem en kvartcirkel og en trekvartcirkel. Spidsen angiver derefter rotationsretningen. I tredimensionelle repræsentationer bruges pile som trekvartcirkler, der roterer omkring bestemte akser eller lige pile, der viser momentvektorerne. Som det generelt er tilfældet med vektorer, kan disse repræsenteres ved en simpel pil. Da kræfter og drejningsmomenter forekommer samtidigt i mange mekaniske problemer, er momentvektorerne også markeret med et dobbelt punkt for at undgå forvirring. ^[18]

Afhængighed af referencepunktet

I systemer, der ikke er i ligevægt, afhænger momentets værdi generelt af valget af referencepunktet. Bliver referencepunktet omkring ruten ${\vec {s}}$ ${\ displaystyle {\ vec {s}}}$ ${\ vec {s}}$ skiftet, så drejningsmomentet har ${\vec {M}}'$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} '}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} '}$ værdien i forhold til det nye referencepunkt

{\vec {M}}'={\vec {M}}-{\vec {s}}\times {\vec {F}}.

{\ displaystyle {\ vec {M}} '= {\ vec {M}} - {\ vec {s}} \ times {\ vec {F}}.}

{\ displaystyle {\ vec {M}} '= {\ vec {M}} - {\ vec {s}} \ times {\ vec {F}}.}

det er $\textstyle {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}}$ den resulterende kraft , dvs. summen af alle individuelle kræfter ${\vec {F}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$ ${\ vec {F}} _ {i}$ .

Hvis den resulterende kraft er nul, oplever kroppen ingen acceleration, og tyngdepunktet ændrer ikke hastighed eller bevægelsesretning. Kraften ændrer kun vinkelmomentet. I dette tilfælde er drejningsmomentet uafhængigt af referencepunktet og kan forskydes frit uden at ændre virkningen på kroppen. ^[19] Da (mindst) to kræfter er nødvendige for denne situation, det samme beløb $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , men en modsat retning, og deres handlingslinjer en vis afstand $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ man taler om et par kræfter . De to kræfter forårsager et drejningsmoment med mængden $M=aF$ ${\ displaystyle M = aF}$ ${\ displaystyle M = aF}$ .

Måleenhed

Måleenheden for drejningsmoment i SI er newtonmåleren (Nm). Med grundenhederne kilogram, meter og sekunder gælder følgende:

1\ \mathrm {Nm} =1\ {\frac {\mathrm {kg\,m^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}

{\ displaystyle 1 \ \ mathrm {Nm} = 1 \ {\ frac {\ mathrm {kg \, m ^ {2}}} {\ mathrm {s ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle 1 \ \ mathrm {Nm} = 1 \ {\ frac {\ mathrm {kg \, m ^ {2}}} {\ mathrm {s ^ {2}}}}}}

Enheden for mekanisk arbejde er også newtonmåleren og har navnet "Joule" (1 J = 1 N · m). Dog skal enheden navnet ”Joule” ikke anvendes til momentet, ^[20] fordi drejningsmoment og arbejde er forskellige fysiske mængder, der ikke kan konverteres til hinanden. Arbejde udføres, når en kraft (komponent) virker parallelt med bevægelsen, når den bevæger sig langs en sti. I tilfælde af drejningsmoment virker kraften derimod vinkelret på den vej, som håndtaget udgør. Arbejdet er en skalær mængde , hvorimod drejningsmomentet er en pseudovektor .

Sætningen "arbejde = kraft gange afstand" svarer til "arbejde = drejningsmoment gange vinkel". For at vise dette forhold kan enheden også bruges som energien pr. Vinkel for momentet

1\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {rad} }}

{\ displaystyle 1 \ {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {rad}}}}

1 \ {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {rad}}}

kan bruges, ^[20] ^[21], hvor vektorens retning derefter peger i retning af rotationsaksen. det er $\mathrm {rad}$ ${\ displaystyle \ mathrm {rad}}$ $\ mathrm {rad}$ måleenheden radianer for plane vinkler.

I tekniske dokumenter og på typeskilt er momentet angivet i Nm. Andre anvendte enheder er f.eks. B. ${\text{ft}}\cdot {\text{lb}}$ ${\ displaystyle {\ text {ft}} \ cdot {\ text {lb}}}$ ${\ displaystyle {\ text {ft}} \ cdot {\ text {lb}}}$ eller kombinationer af andre (vægt) enheder af kraft og længde.

Tilføjelse af drejningsmomenter

Moment kan tilføjes til et resulterende drejningsmoment, ligesom kræfter kan føjes til en resulterende kraft. Hvis der tages hensyn til alle drejningsmomenter, taler man også om det samlede drejningsmoment. Sættet med momenter laver korrelationer mellem den resulterende kraft og det resulterende drejningsmoment.

Samlet moment

De individuelle drejningsmomenter for to kræfter kan tilføjes, hvis de refererer til det samme punkt $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ forholde sig:

{\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}_{A,F1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{A,F2}\times F_{2}

{\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} _ {A, F1} \ gange {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r} } _ {A, F2} \ gange F_ {2}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} _ {A, F1} \ gange {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r} } _ {A, F2} \ gange F_ {2}}

Hvis der er et antal kræfter, er det totale drejningsmoment summen af alle drejningsmomenter. Hvis de er relateret til oprindelsen, resulterer det

{\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i}}

.

Vektoren ${\vec {r}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$ ${\ vec {r}} _ {i}$ viser fra oprindelsen til basen af kraften ${\vec {F}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$ ${\ vec {F}} _ {i}$ . Hvis der er par af kræfter gennem deres drejningsmomenter ${\vec {M}}^{\mathrm {KP} }$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {\ mathrm {KP}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {\ mathrm {KP}}}$ er blevet udskiftet, skal disse også tilføjes:

{\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}+\sum _{j}{\vec {M}}_{j}^{\mathrm {KP} }

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i} + \ sum _ {j} {\ vec {M}} _ {j} ^ {\ mathrm {KP}}}

{\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i} + \ sum _ {j} {\ vec {M}} _ {j} ^ {\ mathrm {KP}}}

Sætning af statiske øjeblikke

Der Momentensatz der Statik besagt, dass das Moment der resultierenden Kraft $F_{\mathrm {R} }$ $F_{\mathrm {R} }$ $F_{{\mathrm {R}}}$ auf einen Körper dieselbe Wirkung hat wie das Gesamtmoment, das sich aus der Summe der einzelnen Momente ergibt:

a_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {R} }=a_{1}\cdot F_{1}+a_{2}\cdot F_{2}+\dotsb +a_{n}\cdot F_{n}

a_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {R} }=a_{1}\cdot F_{1}+a_{2}\cdot F_{2}+\dotsb +a_{n}\cdot F_{n}

a_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {R} }=a_{1}\cdot F_{1}+a_{2}\cdot F_{2}+\dotsb +a_{n}\cdot F_{n}

Die resultierende Kraft, die aus allen vorhandenen Kräften gebildet wird, muss dieselbe Wirkung auf einen Körper haben wie die einzelnen Kräfte. Aus der Vektoraddition der einzelnen Kräfte ergeben sich zwar Betrag und Richtung der resultierenden Kraft, aber weder ihr Angriffspunkt noch ihre Wirkungslinie. Diese werden mithilfe des Momentensatzes bestimmt. Die resultierende Kraft muss auf derjenigen Wirkungslinie liegen, auf der sie dasselbe Moment erzeugt wie die einzelnen Kräfte.

Bedeutung hat der Momentensatz vor allem bei der Überprüfung des Momentengleichgewichtes oder für die Berechnung unbekannter Kräfte mithilfe des Momentengleichgewichtes. Kräfte, die schräg zu den Koordinatenachsen im Raum liegen, können dann aufgespaltet werden in mehrere Kräfte, die senkrecht auf den Achsen stehen. Deren Momente lassen sich einfacher berechnen. Die von diesen Kraftkomponenten bewirkten Momente entsprechen in Summe dem Moment, das durch die ursprüngliche Kraft bewirkt wird.

Gleichgewicht

Wenn sich ein Körper im mechanischen Gleichgewicht befindet, dann ändert er seinen Bewegungszustand nicht. Er wird also weder beschleunigt noch abgebremst.

Befindet sich ein Körper im Gleichgewicht, so befindet er sich sowohl im Kräftegleichgewicht , als auch im Drehmomentengleichgewicht oder Momentengleichgewicht bezüglich eines beliebigen Punktes $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ :

\sum _{i}{{\vec {M}}_{i}^{(A)}}={\vec {0}}

\sum _{i}{{\vec {M}}_{i}^{(A)}}={\vec {0}}

\sum _{i}{{\vec {M}}_{i}^{(A)}}={\vec {0}}

Dies gilt für jeden beliebigen Punkt A und damit sogar für Punkte, die außerhalb des Körpers liegen. Es bietet sich ein Punkt an, an dem sich die Wirkungslinien möglichst vieler Kräfte schneiden. Bei diesen ist die Länge des Hebelarms null, was zu einem Drehmoment von null führt. Diese Drehmomente tauchen folglich in der Gleichung nicht auf, was die Berechnung erleichtert. Wenn sich unter diesen Kräften nur eine einzige unbekannte Kraft befindet, so kann man diese unmittelbar berechnen. Manchmal kann es günstig sein, mehrere Drehmomentengleichgewichte zu bestimmen, wenn sich dadurch jeweils eine andere unbekannte Kraft berechnen lässt.

Wenn sich ein Körper im Drehmomentengleichgewicht bezüglich eines Punktes befindet, so kann man daraus nicht schließen, dass er sich auch insgesamt im Gleichgewicht befindet und ebenso wenig, dass er sich bezüglich anderer Punkte im Drehmomentengleichgewicht befindet. Wenn beispielsweise nur eine einzige Kraft wirkt, so befindet er sich im Drehmomentengleichgewicht bezüglich eines Punktes auf der Wirkungslinie dieser Kraft, aber bezüglich Punkten abseits dieser Linie nicht im Drehmomentengleichgewicht und auch nicht insgesamt im Gleichgewicht, da ja eine Kraft wirkt, für die es keine Gegenkraft gibt. Ein Körper befindet sich jedoch innerhalb einer Ebene insgesamt im Gleichgewicht, wenn er sich bezüglich drei verschiedener Punkte im Drehmomentengleichgewicht befindet, sofern diese drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen. ^[22]

Verschiebung von Kräften

Ein Kraftpfeil darf entlang seiner Wirkungslinie ohne Einschränkung verschoben werden, ohne dabei seine Wirkung auf einen starren Körper zu verändern. In der Position, wo der Abstandsvektor ${\vec {r}}$ ${\vec {r}}$ ${\vec {r}}$ senkrecht zur Wirkungslinie des Kraftpfeils steht, wird er als Hebelarm bezeichnet. Betragsmäßig gilt dann: „Drehmoment gleich Hebelarm mal Kraft“. Bei zwei angreifenden Kräften (die dann als Kraft und Last bezeichnet werden) ist das Drehmomentengleichgewicht äquivalent zum Hebelgesetz :

Kraftarm mal Kraft = Lastarm mal Last.

(Man beachte, dass streng genommen nur die Beträge gleich sind, denn die beiden Drehmomente sind gegensinnig und haben daher unterschiedliche Vorzeichen.)

Wird eine Kraft senkrecht zu ihrer Wirkungslinie um den Abstand $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ verschoben auf eine parallele Wirkungslinie, so ändert sich das von ihr verursachte Drehmoment gegenüber dem Bezugspunkt. Eine Kraft darf folglich nur dann derart verschoben werden, wenn zusätzlich ein Drehmoment eingeführt wird, das diese Änderung wieder ausgleicht. Dieses wird als Versetzungsmoment ^[23] ^[24] oder Versatzmoment ^[25] bezeichnet und hat den Betrag $F\cdot a$ $F\cdot a$ $F\cdot a$ .

Dynamik

Die Dynamik beschäftigt sich mit Zuständen, die sich nicht im Gleichgewicht befinden. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz führt eine resultierende äußere Kraft an einem Körper zu einer Geschwindigkeitsänderung ( Beschleunigung ). Analog dazu bedeutet ein resultierendes äußeres Drehmoment eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ ${\vec {\omega }}$ ${\vec {\omega }}$ ( Winkelbeschleunigung ${\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}$ ${\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}$ ${\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}$ ). Drehmomente im Inneren des Körpers (Biege- oder Torsionsmoment) spielen keine Rolle für die Bewegungsänderung. Das Trägheitsverhalten bezüglich der Rotation hängt nicht nur von der Masse eines Körpers, sondern auch von deren räumlicher Verteilung ab. Dies wird durch das Trägheitsmoment $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ ausgedrückt. Bei einer Drehung um eine feste Achse gilt für das Drehmoment in Richtung dieser Achse:

M=I\,\alpha

M=I\,\alpha

M=I\,\alpha

Hierbei ist zu beachten, dass das Trägheitsmoment nicht nur von der Position der Drehachse (siehe Steinerscher Satz ), sondern auch von ihrer Richtung abhängig ist. Will man die obige Gleichung allgemeiner für jede beliebige Raumrichtung formulieren, so muss man stattdessen den Trägheitstensor $\mathbf {I}$ $\mathbf {I}$ $\mathbf {I}$ verwenden:

{\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}

{\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}

{\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}

Man kann den Zusammenhang von Drehmoment und Änderungsrate des Drehimpulses ( ${\vec {L}}$ ${\vec {L}}$ ${\vec {L}}$ , Drall, Impulsmoment) ausdrücken als:

{\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}

{\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}

{\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}

Diese Gleichung wird in der Technischen Mechanik als Drallsatz, ^[26] Drehimpulssatz, ^[27] Momentensatz ^[27] oder Impulsmomentsatz ^[28] bezeichnet. ( Drehimpulssatz steht auch für den Drehimpuls- Erhaltungs satz , Momentensatz steht auch für den Momentensatz aus der Statik .)

Im zweidimensionalen Spezialfall bewirkt ein Drehmoment lediglich eine Beschleunigung oder Abbremsung einer Rotationsbewegung. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall kann es hingegen auch die Richtung der Rotationsachse verändern (siehe z. B.: Präzession ).

Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung

Das Drehmoment ${\vec {M}}$ ${\vec {M}}$ ${\vec {M}}$ nimmt in der klassischen Mechanik für Drehbewegungen eine ähnliche Rolle ein wie die Kraft ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ für geradlinige Bewegungen:

	Geradlinige Bewegung	Drehbewegung
Arbeit	Kraft mal Weg $W=F\cdot \Delta s$ $W=F\cdot \Delta s$ $W=F\cdot \Delta s$ ^{[A 1]}	Drehmoment mal Drehwinkel ( Bogenmaß ) $W=M\,\Delta \varphi$ $W=M\,\Delta \varphi$ $W=M\,\Delta \varphi$ ^{[A 1]}
Arbeit	allgemein: $W=\int {\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ $W=\int {\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ $W=\int {\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$	allgemein: $W=\int {\vec {M}}({\vec {\varphi }})\cdot \mathrm {d} {\vec {\varphi }}$ $W=\int {\vec {M}}({\vec {\varphi }})\cdot \mathrm {d} {\vec {\varphi }}$ $W=\int {\vec {M}}({\vec {\varphi }})\cdot \mathrm {d} {\vec {\varphi }}$
Leistung	Kraft mal Geschwindigkeit $P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ $P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ $P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$	Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit $P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}$ $P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}$ $P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}$
Statisches Gleichgewicht	Kräftegleichgewicht $\sum {\vec {F}}_{i}={\vec {0}}$ $\sum {\vec {F}}_{i}={\vec {0}}$ $\sum {\vec {F}}_{i}={\vec {0}}$	Drehmomentengleichgewicht $\sum {\vec {M}}_{i}={\vec {0}}$ $\sum {\vec {M}}_{i}={\vec {0}}$ $\sum {\vec {M}}_{i}={\vec {0}}$
Beschleunigte Bewegung	Masse mal Beschleunigung ${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$ ${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$ ${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$	Trägheitstensor mal Winkelbeschleunigung ${\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}$ ${\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}$ ${\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}$
Beschleunigte Bewegung	Änderungsrate des Impulses ${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}$ ${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}$ ${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}$	Änderungsrate des Drehimpulses ${\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}$ ${\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}$ ${\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}$

↑ ^a ^b Diese vereinfachten Formeln gelten für eine konstante Kraft entlang eines Weges in Kraftrichtung beziehungsweise ein konstantes Drehmoment um eine Achse in Drehrichtung. Bei veränderlichen Kräften und Drehmomenten oder bei schiefwinkligen Anordnungen sind die allgemeinen Formeln in der Zeile darunter zu verwenden.

Messung des Drehmoments

Ruhender Körper

Der drehbare Körper wird durch ein statisches Gegenmoment in Ruhe gehalten. Das auf den ruhenden Körper wirkende und zu messende Drehmoment ist gleich groß wie das Gegenmoment, das zum Beispiel mit einem Hebel erzeugt wird, und dessen Wert das Produkt aus der Hebelarmlänge und der Gegenkraft am Hebelende ist.

Drehender Körper

Das an einer rotierenden Welle bei bestimmter Drehzahl wirkende Drehmoment wird mit einem Bremsdynamometer, zum Beispiel einem Pronyschen Zaum oder einer Wasserwirbelbremse , gemessen. Diese an die Welle angeschlossene Bremseinrichtung nimmt die gesamte übertragene Leistung auf und misst gleichzeitig das Drehmoment.

Zum Beispiel eine Kraftmaschine , an deren Welle das Drehmoment zu messen ist, oder die Bremseinrichtung werden drehbar um die Rotationsachse der Welle gelagert und am freien Ende eines an der Maschine oder an der Bremseinrichtung befestigten Hebelarms die gegenwirkende Umfangskraft gemessen.

Die Messung wird mehrmals wiederholt und eine Drehmoment/Drehzahl-Kennlinie erzeugt.

Das die Drehgeschwindigkeit verändernde Drehmoment lässt sich durch Messen der Winkelbeschleunigung $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ bestimmen, wenn das Trägheitsmoment $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ bekannt ist. Die Auswertung erfolgt mit der Formel

M=I\,\alpha

M=I\,\alpha

M=I\,\alpha

.

Drehmomente an ausgewählten Maschinen

Elektromotoren

Drehmomentkennlinien eines Asynchronmotors .
Obere Kennlinie: Dreieckschaltung
Mittlere Kennlinie: Sternschaltung

Der Asynchronmotor in der Ausführung als Kurzschlussläufer ist ein häufig verwendeter Elektromotor. Das Bild zeigt das bei Betrieb am Stromnetz (Frequenz und Spannung konstant) typisch erzeugte Drehmoment in Abhängigkeit von der Drehzahl. Der Motor kann über längere Zeit nur in dem kleinen Drehzahlbereich rechts von den Kipppunkten K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve betrieben werden. Links von den Kipppunkten ist der Anlaufbereich, der immer möglichst schnell durchfahren werden muss. Beim Anlauf hat der Asynchronmotor einen schlechten Wirkungsgrad, einen hohen Anlaufstrom und ein geringes Drehmoment. Um diese Nachteile zu vermeiden, wendet man verschiedene Maßnahmen an, zum Beispiel die Stern-Dreieck-Anlaufschaltung oder den Betrieb an einem Frequenzumrichter . Mittels letzterem gelingt der Anlauf mit mehr als dem Nennmoment, sodass der Motor auch bei Fahrzeugantrieben eingesetzt werden kann.

Ein ebenfalls häufig verwendeter Motor ist der Reihenschluss-Gleichstrommotor , der ein besonders hohes Anlaufmoment hat. Er wird daher für Handgeräte, Waschmaschinen oder auch Bahnantriebe genutzt.

Verbrennungsmotoren

Kennlinien zweier Verbrennungsmotoren

In Automobilprospekten ist es üblich, bei Verbrennungsmotoren anstatt der im Volllastbetrieb aufgenommenen Drehmoment/Drehzahl-Kennlinie (siehe Abbildung „Kennlinien zweier Verbrennungsmotoren“) nur deren Maximalwert gemeinsam mit der entsprechenden Drehzahl anzugeben. ^[29]

Da in der Gleichung für die Leistung die Drehzahl nochmals als linearer Faktor enthalten ist, liegt das Maximum der Leistung bei einer höheren Drehzahl als das Maximum des Drehmoments (siehe Abbildung).

Für das Drehmoment $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ von Zweitaktmotoren gilt die Formel:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}

Hierbei ist $V_{h}$ $V_{h}$ $V_{h}$ das Hubvolumen und $p_{e}$ $p_{e}$ $p_{e}$ der Mitteldruck des verbrannten Treibstoffs, $V_{h}p_{e}$ $V_{h}p_{e}$ $V_{h}p_{e}$ also die in dem Zyklus erbrachte Arbeit als „Kraft mal Weg“.

Für das Drehmoment von Viertaktmotoren gilt entsprechend:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{4\pi }}

M={\frac {V_{h}p_{e}}{4\pi }}

M={\frac {V_{h}p_{e}}{4\pi }}

Denn bei zwei Umdrehungen pro Arbeitszyklus halbiert sich die Arbeit pro Umdrehung gegenüber dem Zweitakter.

Zahlenbeispiel: Drehmoment und Leistung eines Viertaktmotors

Ein Serienfahrzeug mit 2000 cm³ (= 0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei einer Drehzahl von 2000/min einen Mitteldruck von 9 bar (= 900.000 Pa ; 1 Pa = 1 N/m²) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet:

M={\frac {0{,}002\,\mathrm {m} ^{3}\cdot 900.000\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}}{4\pi }}=143\,\mathrm {Nm}

M={\frac {0{,}002\,\mathrm {m} ^{3}\cdot 900.000\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}}{4\pi }}=143\,\mathrm {Nm}

M={\frac {0{,}002\,\mathrm {m} ^{3}\cdot 900.000\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}}{4\pi }}=143\,\mathrm {Nm}

Die Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung lautet (siehe oben ; $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ … Drehzahl, Anzahl der Umdrehungen pro Zeitspanne)

P=2\pi \ n\ M\

P=2\pi \ n\ M\

P=2\pi \ n\ M\

und als Funktion der Drehzahl

P(n)=2\pi \ n\ M(n)

P(n)=2\pi \ n\ M(n)

P(n)=2\pi \ n\ M(n)

.

$M(n)$ ${\displaystyle M(n)}$ $M(n)$ ist die für einen bestimmten Motor drehzahlabhängige Drehmomentkennlinie. Sie wird durch Messung erhalten.

Ein Verbrennungsmotor, der bei Drehzahl 2000 Umdrehungen pro Minute das Drehmoment 143 Nm abgibt, hat in diesem Betriebszustand folgende Leistung:

P=2\pi \cdot {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\cdot 143\ \mathrm {Nm} \ \approx 30\ \mathrm {kW}

P=2\pi \cdot {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\cdot 143\ \mathrm {Nm} \ \approx 30\ \mathrm {kW}

P=2\pi \cdot {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\cdot 143\ \mathrm {Nm} \ \approx 30\ \mathrm {kW}

.

Hydraulikmotoren

Die hydraulische Leistung $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ eines Hydraulikmotors errechnet sich aus den Drücken $p_{1}$ $p_{1}$ $p_{1}$ und $p_{2}$ $p_{2}$ $p_{2}$ am Motoreingang oder -ausgang und dem geschluckten Ölvolumen $Q=q\cdot n$ $Q=q\cdot n$ $Q=q\cdot n$ ( $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ ist das Volumen je Umdrehung):

P=(p_{1}-p_{2})\,qn

P=(p_{1}-p_{2})\,qn

P=(p_{1}-p_{2})\,qn

Aus der Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung (siehe oben )

P=2\pi Mn

P=2\pi Mn

P=2\pi Mn

folgt das Drehmoment zu:

M={\frac {(p_{1}-p_{2})\,q}{2\pi }}

M={\frac {(p_{1}-p_{2})\,q}{2\pi }}

M={\frac {(p_{1}-p_{2})\,q}{2\pi }}

Literatur

Wolfgang Nolting : Klassische Mechanik. In: Grundkurs Theoretische Physik. Bd. 1, 8. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0 .
Herbert Goldstein , Charles P. Poole und John L. Safko: Klassische Mechanik (Übersetzung: Michael Baer). 3., vollst. überarb. und erw. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006. (Lehrbuch Physik), ISBN 3-527-40589-5 .
Richard P. Feynman : Feynman-Vorlesungen über Physik. Oldenbourg, München/Wien 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 .
Paul A. Tipler : Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
Ludwig Bergmann , Clemens Schaefer: Mechanik – Akustik – Wärme. In: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 1, 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4 .
Istvan Szabó : Einführung in die Technische Mechanik. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-44248-0 .
Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik. Vieweg, Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-28904-X .

Weblinks

Commons : Drehmoment – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Drehmoment – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Himmelsgesetze der Bewegung/ Drehmoment und Hebelgesetz#Drehmoment – Lern- und Lehrmaterialien

Drehmoment am einarmigen Hebel. Dargestellt am Beispiel eines Schraubenschlüssels. Bei: zum.de.
Wilfried Krimmel: Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik. Bei: lorenz-messtechnik.de.

Einzelnachweise

↑ Das Online-Wörterbuch. In: de.pons.com. PONS GmbH , abgerufen am 23. April 2017 .
↑ Palle ET Jørgensen, Keri A. Kornelson, Karen L. Shuman: Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices . In: Memoirs of the American Mathematical Society . American Mathematical Society, 2011, ISBN 0-8218-8248-1 , S. 2 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Elektronische Stichwortsuche in:
- Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (Hrsg.): Theoretische Physik. Springer, 2015.
- Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013.
- Honerkamp, Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 4. Auflage, 2012.
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 1 – Klassische Mechanik. Springer, 10. Auflage, 2013.
- Norbert Straumann: Theoretische Mechanik. Springer, 2. Auflage, 2015.
↑ Böge, Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, 2015, S. 4.
↑ Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016, S. 43.
↑ Böge: Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C2.
↑ Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 98.
↑ Elektronische Stichwortsuche in:
- Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013.
- Wittenburg ua (Hrsg.): Das Ingenieurwissen – Technische Mechanik. Springer, 2014.
- Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011.
- Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015.
- Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016.
- Richard, Sander: Technische Mechanik – Statik. Springer, 5. Auflage, 2016.
- Dreyer: Technische Mechanik – Kinetik, Kinematik. Springer, 11. Auflage, 2012.
↑ Böge, Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, 2015, S. 4.
Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 20, 23.
↑ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 51, 54.
Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 98, 103.
Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016, S. 43, 46.
↑ Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. Springer, 25. Auflage, 2015, S. 72.
Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (Hrsg.): Theoretische Physik. Springer, 2015, S. 28.
Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013, S. 83.
Torsten Fließbach: Mechanik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. Springer, 7. Auflage, 2015, S. 18.
↑ Wittenburg ua (Hrsg.): Das Ingenieurwissen – Technische Mechanik. Springer, 2014, S. 13.
↑ Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 145.
↑ Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015.
↑ Böge (Hrsg.): Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C2.
↑ Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. Springer, 25. Auflage, 2015, S. 73 f.
↑ Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013, S. 238–240.
↑ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 73.
↑ Drehmoment. In: Lexikon der Physik. Abgerufen am 28. Oktober 2016 .
↑ ^a ^b „Even though torque has the same dimension as energy (SI unit joule), the joule is never used for expressing torque.“ The International System of Units (SI) 9. edition, 2019, Kap. 2.3.4, Seite 140
↑ Das Internationale Einheitensystem (SI) . Deutsche Übersetzung der BIPM-Broschüre „Le Système international d'unités/The International System of Units (8e édition, 2006)“. In: PTB-Mitteilungen . Band 117 , Nr. 2 , 2007, S. 21 ( Online [PDF; 1,4 MB ]).
↑ Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, S. 46.
↑ Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 24.
↑ Mahnken, S. 24.
↑ Böge (Hrsg.): Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C3.
↑ Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 571.
↑ ^a ^b Gross ua: Technische Mechanik 3. Kinetik. Springer, 13. Auflage, 2014, S. 61.
↑ Conrad Eller: Holzmann/Meyer/Schumpich. Technische Mechanik. Kinematik und Kinetik. Springer, 12. Auflage, 2016, S. 127.
↑ Die Messwerte sind zeitliche Mittelwerte über einen vollen Arbeitszyklus, also über eine Umdrehung der Kurbelwelle beim Zweitaktmotor , über zwei Umdrehungen beim Viertaktmotor .

[vereinfacht-29] Diese vereinfachten Formeln gelten für eine konstante Kraft entlang eines Weges in Kraftrichtung beziehungsweise ein konstantes Drehmoment um eine Achse in Drehrichtung. Bei veränderlichen Kräften und Drehmomenten oder bei schiefwinkligen Anordnungen sind die allgemeinen Formeln in der Zeile darunter zu verwenden.

[1] Das Online-Wörterbuch. In: de.pons.com. PONS GmbH , abgerufen am 23. April 2017 .

[memoirs-2] Palle ET Jørgensen, Keri A. Kornelson, Karen L. Shuman: Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices . In: Memoirs of the American Mathematical Society . American Mathematical Society, 2011, ISBN 0-8218-8248-1 , S. 2 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[3] Elektronische Stichwortsuche in:
Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (Hrsg.): Theoretische Physik. Springer, 2015.
Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013.
Honerkamp, Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 4. Auflage, 2012.
Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 1 – Klassische Mechanik. Springer, 10. Auflage, 2013.
Norbert Straumann: Theoretische Mechanik. Springer, 2. Auflage, 2015.

[5] Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (Hrsg.): Theoretische Physik. Springer, 2015.

[6] Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013.

[7] Honerkamp, Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 4. Auflage, 2012.

[8] Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 1 – Klassische Mechanik. Springer, 10. Auflage, 2013.

[9] Norbert Straumann: Theoretische Mechanik. Springer, 2. Auflage, 2015.

[4] Böge, Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, 2015, S. 4.

[5] Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016, S. 43.

[6] Böge: Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C2.

[7] Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 98.

[8] Elektronische Stichwortsuche in:
Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013.
Wittenburg ua (Hrsg.): Das Ingenieurwissen – Technische Mechanik. Springer, 2014.
Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011.
Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015.
Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016.
Richard, Sander: Technische Mechanik – Statik. Springer, 5. Auflage, 2016.
Dreyer: Technische Mechanik – Kinetik, Kinematik. Springer, 11. Auflage, 2012.

[15] Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013.

[16] Wittenburg ua (Hrsg.): Das Ingenieurwissen – Technische Mechanik. Springer, 2014.

[17] Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011.

[18] Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015.

[19] Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016.

[20] Richard, Sander: Technische Mechanik – Statik. Springer, 5. Auflage, 2016.

[21] Dreyer: Technische Mechanik – Kinetik, Kinematik. Springer, 11. Auflage, 2012.

[9] Böge, Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, 2015, S. 4.
Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 20, 23.

[10] Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 51, 54.
Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 98, 103.
Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016, S. 43, 46.

[11] Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. Springer, 25. Auflage, 2015, S. 72.
Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (Hrsg.): Theoretische Physik. Springer, 2015, S. 28.
Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013, S. 83.
Torsten Fließbach: Mechanik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. Springer, 7. Auflage, 2015, S. 18.

[12] Wittenburg ua (Hrsg.): Das Ingenieurwissen – Technische Mechanik. Springer, 2014, S. 13.

[13] Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 145.

[14] Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015.

[15] Böge (Hrsg.): Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C2.

[16] Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. Springer, 25. Auflage, 2015, S. 73 f.

[17] Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013, S. 238–240.

[18] Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 73.

[19] Drehmoment. In: Lexikon der Physik. Abgerufen am 28. Oktober 2016 .

[SI-Brosch-20] „Even though torque has the same dimension as energy (SI unit joule), the joule is never used for expressing torque.“ The International System of Units (SI) 9. edition, 2019, Kap. 2.3.4, Seite 140

[21] Das Internationale Einheitensystem (SI) . Deutsche Übersetzung der BIPM-Broschüre „Le Système international d'unités/The International System of Units (8e édition, 2006)“. In: PTB-Mitteilungen . Band 117 , Nr. 2 , 2007, S. 21 ( Online [PDF; 1,4 MB ]).

[22] Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, S. 46.

[23] Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 24.

[24] Mahnken, S. 24.

[25] Böge (Hrsg.): Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C3.

[26] Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 571.

[Gross61-27] Gross ua: Technische Mechanik 3. Kinetik. Springer, 13. Auflage, 2014, S. 61.

[28] Conrad Eller: Holzmann/Meyer/Schumpich. Technische Mechanik. Kinematik und Kinetik. Springer, 12. Auflage, 2016, S. 127.

[30] Die Messwerte sind zeitliche Mittelwerte über einen vollen Arbeitszyklus, also über eine Umdrehung der Kurbelwelle beim Zweitaktmotor , über zwei Umdrehungen beim Viertaktmotor .

[1]

[2]

[3]

[4] i

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21],

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[A 1]

[29]