Tryk (fysik)

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Fysisk størrelse
Efternavn Print
Formelsymbol
Størrelse og
Enhedssystem
enhed dimension
SI Pa = N / m 2
= kg · M −1 · S −2
M. · L −1 · T −2
cgs Ba = dyn / cm 2
= g · Cm −1 · S −2
M. · L −1 · T −2
Her er kraften F vinkelret på overfladen A.

I fysikken er tryk resultatet af en vinkelret på en overflade virkende kraft , se billede. Trykket på en flad overflade kan matematisk skrives som en kvotient:

.

Trykket på et legeme er positivt, når kraften rettes mod det, et negativt tryk svarer til et træk. [1] Ifølge Pascals princip (af Blaise Pascal ) spredes tryk i stationære væsker og gasser ( væsker ) på alle sider og virker ifølge Euler [2] i volumen i alle retninger, men altid vinkelret på vægge. Det sædvanlige symbol p er baseret på det latinske eller engelske ord for tryk ( latin pressio , engelsk pres ).

Tryk er en intensiv , skalær fysisk mængde, der spiller en vigtig rolle inden for især væskemekanik og termodynamik . Forholdet mellem kraft og areal er mere præcist det mekaniske tryk , som er en normal spænding, der virker ligeligt i alle rumlige retninger (et særligt tilfælde af mekanisk belastning ). Den termodynamiske tryk er en mængde tilstand , der er defineret for en gas med en tilstandsligning og kan afvige fra den mekaniske tryk i ubalance .

Den Pauli princip af quantum fysik fører til en degenerativ tryk i fermioner , som for eksempel beskytter en hvid dværg stjerne fra yderligere kollaps. Ifølge den generelle relativitetsteori bidrager tryk også til tyngdekraftens virkning .

Den rumlige afhængighed af trykket er ofte også omtalt som et pres felt, da trykket er en skalar felt .

historie

Hydrostatisk paradoks ifølge Stevin: Det lidt vand i fartøjets ABCD -område presser lige så stærkt mod væg -CD'en som det meget vand i CDEF.

I oldtiden var Archimedes , Ktesibios , Philon fra Byzantium , Heron of Alexandria og Sextus Iulius Frontinus allerede bekendt med virkningerne af trykket fra vand og luft. I middelalderen skal Alhazen nævnes, der havde en korrekt idé om lufttryk, inden den hollandske købmand Simon Stevin (1548–1620) formulerede de første principper for hydrostatik og det hydrostatiske paradoks i renæssancen , se billede. [3]

Baro 0.png

Grundforskning begyndte i det 17. århundrede ved hoven til storhertug Cosimo II. De 'Medici [4] . Der var brøndmesteren overrasket over at opdage, at han ikke kunne løfte vand højere end 10,26 m (32 fod) ved hjælp af en sugepumpe. Et vakuum dannet over vandsøjlen - som i røret på billedet i området AC - som forhindrer yderligere stigning. Dette fænomen blev kommunikeret til læreren og retten matematiker Cosimos II, Galileo Galilei , som derefter behandles det i sin Discorsi (pp. 16-17). Vincenzo Viviani , en kollega fra Galileo, var den første til i 1643 at konkludere, at det er lufttrykket, der skubber vandet op i sugerøret (på billedet ved B). Evangelista Torricelli , Galileos assistent og efterfølger, foretog forsøg med et rør fyldt med kviksølv som vist på billedet og forklarede ud fra de forskellige tætheder af vand og kviksølv, hvorfor førstnævnte stiger 13½ gange højere end sidstnævnte med 760 mm . Sådan opfandt Torricelli kviksølvbarometeret . [5] [6]

Nyheden om det "italienske eksperiment" kom til Blaise Pascal i 1644 gennem Marin Mersenne og fysikeren Pierre Petit . Han gentog Torricellis forsøg og konkluderede, at trykket i en væske eller en gas er proportional med dybden. Tilsvarende, hvis kviksølvsøjlen bæres af lufttrykket, skal dens højde på et bjerg være mindre end i dalen. Petit og Pascals svoger Florin Périer udførte de relevante målinger den 19. september 1648 i Clermont-Ferrand og på toppen af ​​den 1465 m høje Puy de Dôme og modtog de forventede resultater. [7] Pascal offentliggjorde sine resultater allerede i oktober som en rapport om det store eksperiment om væskes ligevægt (Pascal: Récit de la grande expérience de l'équilibre des liqueurs ) [5] . I afhandlingen om væskes ligevægt og vægten af ​​luftmassen [8] fra 1653 formulerede Pascal bl.a.

  • Pascals princip , ifølge hvilket trykket i væsker i hvile spredes på alle sider, [9]
  • Pascals lov for det hydrostatiske tryk, som stiger lineært med dybden, se nedenfor og
  • det funktionelle princip for en ny maskine til at multiplicere kræfter (Pascal: machine nouvelle pour multiplier les forces ), dvs. den hydrauliske presse .
Gravering fra Guerickes halvkugleeksperiment

Otto von Guericke udførte sit berømte eksperiment med Magdeburg -halvkuglerne foran Rigsdagen i Regensburg i 1654, se billede.

Nye fund kom fra [10]

definition

Tryk er resultatet af en kraft, der virker på en overflade. Størrelsen af ​​trykket på referenceoverfladen A stammer udelukkende fra kraftkomponenten vinkelret på overfladen . Matematisk for en flad overflade A :

I tilfælde af buede overflader eller stedafhængigt tryk skal et tilstrækkeligt lille overfladeelement d A overvejes:

med:

- Print
- normal kraft og
- Område, som styrken virker på.

I vektortermer er trykket proportionalitetskonstanten mellem vektoroverfladeelementet og normal kraft som påvirker dette element:

.

Den normale enhedsvektor på overfladen er parallel med kraften og peger udad væk fra kroppen. Minustegnet skaber positivt tryk, når kraften rettes mod kroppen . En trykkraft virker parallelt med denne udadrettede normale vektor, dvs. mod kroppen (en kraft, der virker udad i retning af den normale vektor, er en trækstyrke .)

Det siges undertiden, at pres virker i en bestemt retning. Med hensyn til fysik ville det være mere korrekt at tale om den trykkraft, der kan skubbe i en retning. I fysikken er trykket imidlertid som en skalær mængde retningsfrit eller "virker i alle retninger".

For inkomprimerbare og komprimerbare væsker bidrager forskellige komponenter til det samlede tryk. I tilfælde af frit flydende væsker kan inkomprimerbarhed antages til en god tilnærmelse ved hastigheder langt under bølgeudbredelseshastigheden , især i væsker. Statiske gasser er på den anden side komprimerbare.

Definition inden for teknisk mekanik og kontinuummekanik

I styrketeorien om teknisk mekanik og kontinuummekanik er tryk en mekanisk spænding, der virker i alle rumlige retninger. Den mekaniske normale belastning er kraftkomponenten vinkelret på overfladen med normal som det virker på: [12]

Trykket er defineret som en normal belastning, der virker i alle rumlige retninger.

I kontinuummekanik gælder tegnreglen om, at trækkræfter forårsager positiv spænding, og spændinger forårsaget af trykkræfter har et negativt tegn. Samtidig gælder konventionen om, at positivt tryk har en komprimerende effekt: således skaber positivt tryk negativ spænding.

Spændingstilstanden i et legeme opsummeres til et matematisk objekt af spændingstensoren σ . Det mekaniske tryk er defineret som den negative tredjedel af sporet af spændingstensoren: [13]

.

Her er de normale belastninger i -, - og -Retning af et kartesisk koordinatsystem . Fordi spændingstensoren er objektiv og sporet er en hovedinvariant , er denne negative middelværdi af de normale spændinger - det mekaniske tryk - invariant i referencesystemet . I væsker (væsker og gasser) er det absolutte tryk , se nedenfor, altid positivt. Negativt absolut tryk kan også forekomme i faste stoffer. Hvis spændingstensoren er iflg

indeholder kun trykspændinger, kaldes det en tryktensor . Her er 1 enhedens tensor .

I en krop afgrænset af en overflade, lad den normale enhedsvektor være rettet udad på overfladen. Spændingsvektoren på overfladen hentes derefter fra . I det særlige tilfælde af tryk beregnes følgende som ovenfor:

I. E. kraftens retning er altid normal på en overflade og rettes mod kroppen, når trykket er positivt.

Fritflydende væsker er til en god tilnærmelse ukomprimerbare ved hastigheder langt under bølgeudbredelseshastigheden . Så er trykket en " begrænset spænding ", som fastholder inkomprimerbarheden som en reaktion af væsken til kompressionsforsøg. Matematisk er trykket her en Lagrange -multiplikator for den sekundære tilstand "inkomprimerbarhed". Et eksempel til beregning af trykket i fast mekanik er givet i artiklen om hyperelasticitet .

Materialemodeller definerer spændingstensoren som en funktion af kroppens deformation, hvorved udtrykket deformation tages så bredt, at det også omfatter strømmen af ​​en væske eller strømmen af ​​en gas. De materielle modeller, der anvendes fluid mekanik for idealgas og newtonsk væske have form

hvor andelen S i den newtonske væske er forårsaget af viskositet og udelades i den ideelle gas. Trykket p thermo er det termodynamiske tryk , der bestemmes for en gas fra en tilstandsligning og generelt er en funktion af densitet og temperatur . Det mekaniske tryk er derefter:

Hvis væsken har en volumenviskositet , kan den anden sumning i ubalancen være forskellig fra nul, så det mekaniske og termodynamiske tryk i væsken derefter adskiller sig fra hinanden. [14] Forskellen ville være en konsekvens af en øget modstandsdygtighed over for kompression på grund af bulk -viskositeten og ville nærme sig nul, når en ligevægt nærmer sig.

Spændingstensoren er defineret på hvert punkt i væsken og repræsenterer således et felt Et trykfelt, der også fylder hele kroppen, kan udledes af dette felt. Spændingstensorens divergens repræsenterer strømmen af ​​kraft i væsken og bremser derfor i overensstemmelse hermed en stigning i trykket i væskeelementer, se Navier-Stokes ligninger ogEuler ligninger af væskemekanik .

Tryk på væsker

Statisk og dynamisk trykkomponent i et tabsfrit flow
Vand skyder ud af en defekt underjordisk brandhane under højt tryk

Trykket i flydende væsker består af en statisk og en dynamisk komponent. Mens begge dele afhænger af densiteten , adskiller de sig ved, at det hydrostatiske tryk (ved konstant densitet) stiger lineært med væskesøjlens højde. Han er også af accelerationen på grund af tyngdekraften , så tyngdekraften afhænger. Den dynamiske komponent, på den anden side, vokser kvadratisk med strømningshastigheden for fluidet og kun manifesterer sig, når den strømmende fluid forsinkes (dynamisk tryk ).

Summen af dynamisk og statisk tryk, det samlede tryk , er konstant i en viskositetsfri , vandret strømning, se billede. Konstansen af ​​det samlede tryk er en konsekvens af energibesparelsen af væskeelementerne langs et strømtråd i strømmen, hvorfra Daniel Bernoulli stammer fraBernoulli -energiligningen opkaldt efter ham.

I et reelt system skal tryktabet i strømningsforløbet også tages i betragtning, for eksempel på grund af friktionen af ​​væsken på rørledningens væg.

Hydrostatisk tryk

En væske, der hviler i et gravitationsfelt, udøver et alsidigt hydrostatisk tryk på hver krop nedsænket i den i henhold til Pascals princip, som stiger med dybden i henhold til Pascals lov. Eksempler på hydrostatisk tryk er vandtryk og lufttryk .

Der findes kun normale spændinger i den stationære væske, der virker lige meget i alle retninger, netop det hydrostatiske tryk. I den forskydningsfrie hydrostatiske stresstilstand degenererer Mohrs stresskreds til et punkt.

Det hydrostatiske tryk i bunden af ​​en stående kolonne med væske i højden og densiteten under virkningen af tyngdekraftens acceleration resultater fra Pascals lov til

det er en trykkomponent, der påføres af miljøet øverst i væskesøjlen. I en flydende væske kan trykket variere fra sted til sted.

Hydrodynamisk tryk

Det hydrodynamiske tryk svarer til det dynamiske tryk . Det skyldes kinetisk energi af de flydende væskeelementer i et flow. Det hydrodynamiske tryk stiger med kvadratet af strømningshastigheden af væskeelementerne til:

I det er densiteten af det flydende væske.

Det hydrodynamiske tryk kan ikke måles direkte, men med tabsfrit, vandret og stabilt flow kan det bestemmes ved at måle forskellen mellem totaltryk og statisk tryk (se Prandtl-sonde ). Væskens hastighed kan derefter bestemmes ud fra det hydrodynamiske tryk.

Samlet tryk

Det samlede tryk er summen af ​​de navngivne trykkomponenter ved konstant temperatur i væsken:

Ifølge Bernoullis trykligning er det samlede tryk langs en strømningsfilament i en viskositetsfri væske konstant ved konstant temperatur. Ved skift fra et større til et mindre tværsnit, som på billedet ovenfor, skal strømningshastigheden (og dermed også det hydrodynamiske tryk) stige i henhold til kontinuitetsloven . Dette kan kun ske, hvis det statiske tryk er lavere i de mindre tværsnit og omvendt. Den statiske trykkomponent er trykket, der mærkes af et væskeelement, der flyder med strømmen.

Tryktab på grund af tab af momentum i kanterne af strømmen kan tages i betragtning med tryktabskoefficienter i Bernoullis udvidede trykligning for tyktflydende væsker.


Tryk af gasser

Gaspartikler, der er indesluttet i et kar, udøver tryk på beholderens vægge.

Gastrykket opstår som summen af ​​alle kræfter, der virker på en overflade af en gas- eller gasblanding . Hvis en gaspartikel rammer en væg, udveksler begge en impuls . Jo højere gasens indre energi er, jo hurtigere er partiklerne og jo større tryk. Momentumoverførslen afhænger af gaspartikelens kinetiske energi . Momentumoverførslen afhænger også af den retning, hvor partiklen rammer væggen. For mange partikler udgør disse momentumoverførsler en samlet kraft. Dette afhænger af antallet af partikler, der rammer væggen pr. Tidsenhed og deres gennemsnitlige momentum. I en gasblanding opstår gastrykket fra det delvise tryk af blandingens komponenter. Væsker, der fordamper, genererer et damptryk , der kan bygge op til mættet damptryk . Lufttryk er et eksempel på gastryk.

Den kinetiske gasteori leverer tilstandsligningen fra de nævnte mekaniske og statistiske overvejelser

hvormed trykket defineres som en intensiv mængde inden for termodynamik (se også grundligning ). I et andet trin er det vist, at dette tryk faktisk er lig med kvotienten for kraft og areal. [15]

I det særlige tilfælde af en ideel gas gælder den termiske ligning for staten :

Baseret på den kinetiske teori om gasser følger det

De enkelte symboler står for følgende mængder :

- lydstyrke
- Stofmængde
- Universal gas konstant
- temperatur
- molær masse
- den gennemsnitlige firkant af hastigheden

Den gennemsnitlige momentumoverførsel er indeholdt i produktet af gaskonstanten og temperaturen i tilstandsligningen. Gastrykket tilvejebringer materialemodellen for den ideelle gas via tilstandsligningen:

I det er - den specifikke gaskonstant - en materialeparameter for gassen. Strømmen af ​​en ideel gas adlyder Eulers ligninger af væskemekanik , hvor Bernoullis energiligning gælder.

Definition i statistisk fysik og termodynamik

I statistisk fysik er trykket generelt givet af følgende forventede værdi :

er der Hamilton -operatøren af systemet, lydstyrken, et ensemble middel over det respektive statistiske ensemble .

Denne definition fører til i det mikro-kanoniske ensemble

( er den indre energi ), i det kanoniske ensemble til

( er gratis energi ) og i det store kanoniske ensemble

( er det store kanoniske potentiale).

Ifølge Stokes hypotese fra 1845 er mekanisk tryk lig med termodynamisk tryk. Dette gælder dog kun med begrænsninger, [14] se ovenfor.

Absolut / relativt tryk

Det absolutte pres ( Engelsk absolut tryk ) refererer til det perfekte vakuum . I dette absolut partikelfrie rum er nulpunktet for det absolutte tryk defineret. Et eksempel på en værdi, der ofte angives som "absolut", er lufttrykket .

Et relativt trykforhold mellem to volumener kaldes relativt tryk. Det omgivende tryk bruges ofte som referencevariabel, men andre referencevariabler kan også bruges afhængigt af konteksten. Eksempler på et tryk, der ofte gives som ”relative” er dæktrykket af et dæk og blodtrykket .

For at præcisere: Hvis du pumper et dæk op med et lufttryk på 1 bar med et relativ tryk på 2 bar, har dækket et absolut tryk på 3 bar. Tilsvarende skal lufttrykket føjes til blodtrykket for at opnå det absolutte blodtryk.

enheder

Til ære for Blaise Pascal hedder SI -trykkenheden Pascal (med enhedssymbolet Pa), hvilket svarer til en kraft på en Newton (dvs. vægten på cirka 100 gram ) lodret fordelt over et område på en kvadratmeter :

I teknik bruges enheden N / mm² eller MPa også til tryk (såvel som til mekanisk spænding ):

Konvertering mellem de mest almindelige enheder

Andre fælles enheder var eller er:

Konverteringen mellem disse enheder er angivet i tabellen til de nærmeste fem betydende cifre .

Pa bar atm Torr psi
1 Pa = 1 1.0000 · 10 −5 1.0197 · 10 −5 9.8692 · 10 −6 7.5006 · 10 −3 1.4504 · 10 −4
1 bar = 1.0000 · 10 5 1 1.0197 9.8692 · 10 −1 7.5006 · 10 2 1.4504 · 10 1
1 kl = 9.8067 · 10 4 9.8067 · 10 −1 1 9.6784 · 10 −1 7.3556 · 10 2 1.4223 · 10 1
1 atm = 1.0133 · 10 5 1.0133 1.0332 1 7,6000 · 10 2 1.4696 · 10 1
1 torr = 1.3332 · 10 2 1.3332 · 10 −3 1.3595 · 10 −3 1.3158 · 10 −3 1 1.9337 · 10 −2
1 psi = 6,8948 · 10 3 6.8948 · 10 −2 7,0307 · 10 −2 6.8046 · 10 −2 5.1715 · 10 1 1

Flere enheder

Følgende ikke- SI-kompatible trydeenheder findes i litteraturen: [1]

  • 1 meter vandsøjle (mWS) = 0,1 ved = 9,80665 kPa
  • 1 tommer kviksølv ( engelsk tomme kviksølv, inHg) = 25,4 Torr = 3386,389 Pa ved 0 ° C
  • 1 mikron (1 µm) kviksølvsøjle = 1 µm Hg = 1 mTorr = 0,133332 Pa (bruges lejlighedsvis i vakuumteknologi)
  • 1 pund pr. Kvadratfod (pdl / ft²) = 1,4882 Pa
  • 1 inch of water ‚Zoll Wassersäule' (inH 2 O) = 249,089 Pa
  • 1 foot of water ‚Fuß Wassersäule' (ftH 2 O) = 2989,07 Pa

Druckmessgeräte und -verfahren

Ein Druckmessgerät wird auch Manometer genannt. In den meisten Anwendungen wird der Relativdruck – also bezogen auf den atmosphärischen Luftdruck – gemessen. Absolutdruckmessinstrumente verwenden ein Vakuum als Bezugsdruck (z. B. Barometer ). Differenzdruckmessgeräte messen, wie die anderen auch, einen Druckunterschied, jedoch zwischen zwei beliebigen Systemen. Druckmessgeräte beruhen auf verschiedenen Messprinzipien :

  • Zum Messen des Reifendrucks am Auto oder des Hauswasser- und Hausgasdrucks werden einfache Rohrfeder-Manometer oder Bourdonfeder-Manometer verwendet. Diesen liegt das Prinzip eines eingerollten Schlauchs zu Grunde, der sich unter Druck abrollt.
  • Messgeräte für statische Drücke messen meist die Druckdifferenz anhand der Auslenkung einer mechanischen Trennung, indem der Druck mit einem Referenzdruck, etwa Vakuum verglichen wird. So messen etwa die Barometer und die Ringwaage , indem die Auslenkung direkt in eine Anzeige übersetzt wird, oder Differenzdrucksensoren , indem die Kraft der Auslenkung gemessen wird.
  • Indirekte Druckmessung beruht auf Effekten der Teilchenzahldichte
  • Messgeräte für Drücke in fließenden Medien (Fluiden) nutzen die Konsequenzen aus der Bernoulli-Gleichung , etwa das Staurohr (Pitotrohr) oder die Venturidüse
  • Blutdruckmessgeräte messen indirekt, indem akustische Ereignisse beim Entspannen der vorher komprimierten Adern aufgefangen werden
  • Druckmessumformer sind Druckmessgeräte, die in industriellen Umgebungen eingesetzt werden können. Dazu wird das gewonnene Druckmesssignal in ein definiertes Signal umgeformt.
  • Drucksensitive Farben (englisch pressure sensitive paint, PSP) machen lokale Druckverteilungen an Grenzflächen sichtbar.
  • Eine Ringwaage misst sehr kleine Drücke über ein mechanisches Verfahren zwischen zwei beliebigen Systemen.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. a b Druck – Lexikon der Physik. Spektrum Verlag, abgerufen am 20. April 2017 .
  2. a b István Szabó : Geschichte der mechanischen Prinzipien . Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5301-9 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 1. Mai 2021]).
  3. Simon Stevin van Brugghe: De Beghinselen des Waterwichts . Christoffel Plantijn, Leyden 1586, S.   58   f . (niederländisch,archive.org [abgerufen am 27. April 2017]): “t'cleinste water ABCD druckt euen soo stijf teghen den boden CD, als t'grooste water CDEF”
  4. Hans Loeffel: Blaise Pascal 1623–1662 . Birkhäuser Verlag, Basel 1987, ISBN 978-3-0348-7245-4 , doi : 10.1007/978-3-0348-7244-7 ( springer.com [abgerufen am 9. Dezember 2019]).
  5. a b Alexander Odefey: Blaise Pascal. Abgerufen am 20. April 2017 .
  6. Wilhelm H. Westphal : Physik . Ein Lehrbuch. Springer, Berlin/Heidelberg 1953, S.   165 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 25. April 2017]).
  7. Blaise Pascal: Gesamtausgabe von Plaise Pascal . Band   4 . Detune, La Haye 1779, S.   353 – 359   ff . (französisch, archive.org [PDF; abgerufen am 23. April 2017] Originaltitel: Oeuvres de Plaise Pascal . Brief von Périer an Pascal vom 22. September 1648, der das Experiment detailliert beschreibt).
  8. Blaise Pascal: Abhandlung über das Gleichgewicht von Flüssigkeiten und vom Gewicht der Masse der Luft . Paris 1663 (französisch, archive.org [PDF; abgerufen am 21. April 2017] Originaltitel: Traitez de l'équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air . Posthume zweite Veröffentlichung).
  9. Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik . für Wissenschaftler und Ingenieure. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-642-54165-0 , doi : 10.1007/978-3-642-54166-7 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 25. April 2017]).
  10. Ludwig Darmstaedter (Hrsg.): Handbuch zur Geschichte der Naturwissenschaften und Technik . Springer, Berlin/Heidelberg 1908 ( wikimedia.org [PDF; abgerufen am 24. April 2017]).
  11. Thomas Sonar : Turbulenzen um die Fluidmechanik . Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft, 2009, ISBN 978-3-941205-34-5 , S.   64–74 .
  12. H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik . Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer-Vieweg, 2014, ISBN 978-3-642-40980-6 , S.   32 .
  13. Peter R. Sahm, Ivan Egry, Thomas Volkmann: Schmelze, Erstarrung, Grenzflächen. Eine Einführung in die Physik und Technologie flüssiger und fester Metalle . Springer, 2001, S.   17 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  14. a b Franco M. Capaldi: Continuum Mechanics. Constitutive Modeling of Structural and Biological Materials . Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-01181-6 , S.   157 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 17. April 2017]).
  15. F. Schneider: Physikalische Chemie I . Hrsg.: Arbeitsgruppe Physikalische Chemie III an der Universität Siegen. 2007 ( uni-siegen.de [PDF; abgerufen am 25. April 2017] siehe PC I, Teile 1 und 2).