Eigenmode

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Eigenmodes eller normale tilstande er særlige bevægelser af et vibrationssystem . Dette er de bevægelser, som systemet udfører, når det er overladt til sig selv. Dette omfatter den ensartede bevægelse samt alle naturlige vibrationer . Sidstnævnte er frie og ikke -dæmpede vibrationer og anses omtrent for at være harmoniske . Systemets samlede bevægelse kan repræsenteres som en superposition af forskellige egenmoder. Antallet af egenmoder i et sådant system er relateret til dets frihedsgrader : Systemet kan højst have så mange egenfrekvenser, som der er frihedsgrader og har lige så mange egenmoder, som der er frihedsgrader.

Enkelt sagt svinger et system ved sin naturlige frekvens (engl. Naturlig frekvens), hvis hverken en excitation stadig virker dæmpende. [1] Hvis der derimod er en excitation, der resulterer i en oscillation med en særlig stor amplitude, taler man om en resonansfrekvens . I svagt dæmpede systemer er resonansfrekvenser og naturlige frekvenser tæt på hinanden.

De naturlige frekvenser i et system afhænger af dets geometri, dets struktur og dets materialegenskaber. De naturlige frekvenser af et musikinstruments strenge bestemmes f.eks. Af deres længde, materiale og spænding. Det samme gælder for alle vibrationssystemer.

Ordet Eigenmode stammer fra engelsk mode eller latinsk mode , som i begge tilfælde betyder "måde" og fra Eigenwert , et udtryk fra algebra . Fra den teoretiske fysiks synspunkt danner egenmoderne et diskret grundlag for alle systemets bevægelser. De skyldes systemets bevægelsesligninger som egenvektorer for dette ligningssystem. Frekvenserne for egenmodes kaldes systemets egenfrekvenser , de er egenværdierne i systemet med bevægelsesligninger. Den ensartede bevægelse er repræsenteret som en egenmode med nul frekvens.

teori

Lagrangian af et system med Grader af frihed

hvori massematricen og potentialet er. Ved tilnærmelse af Lagrangian -funktionen op til anden orden omkring ligevægtskoordinaterne og forsømmelse af det konstante udtryk bliver det

henholdsvis med den koordinerede transformation og forkortelserne som inden længe

Systemets bevægelsesligninger stammer fra Lagrangian -ligningerne

være begge såvel som -Matricer og -dimensionel vektor er. Da den kinetiske energi altid er større end nul, er positivt bestemt . Så at systemet er i en stabil eller ligegyldig ligevægt , skal være positiv semidefinit. Især er derfor alle egenværdier af og ikke -negativ.

Fremgangsmåden til løsning af ligningen er:

Dette fører til egenværdiproblemet

.

For at løse dette utilsigtet er determinanten forsvinde. Dette er et polynom af grad i og ejer derfor komplekse nuller. Ikke -negativiteten af ​​egenværdierne for og sikrer dog, at de alle er virkelige og ikke-negative. Fysisk kan dette tolkes som følger: Forudsat at der var et nul i det negative eller komplekse, så ville har en imaginær del, og løsningen afviger. Dette er i modstrid med den stabile ligevægtsantagelse.

De (positive) rødder af polynomets rødder

er de naturlige frekvenser af det system, der går igennem og er beskrevet. Et system med Har derfor maksimalt frihedsgrader Naturlige frekvenser.

det De naturlige vibrationer i systemet er dem Eigenvektorer for egenværdiproblemet, der giver ligningen

opfylde. Især er hvert multiplum af en egenvektor også en egenvektor. Det betyder, at disse kan standardiseres og med en kompleks konstant blive multipliceret.

Hvis flere naturlige frekvenser falder sammen, så har ligningen ikke fuld rang og nogle komponenter af de tilhørende kan vælges frit. Har matricen en egenværdi nul, er der en ligegyldig ligevægt. Så er en naturlig frekvens af systemet også nul. I dette tilfælde er egenværdiligningen så løsningen er en ensartet bevægelse af systemet.

Den generelle løsning af ligningssystemet til systemets oscillation er derfor en superposition af dets naturlige svingninger og muligvis en ensartet bevægelse

Der er derfor enten 2 reelle eller 1 komplekse frie parametre for hver frihedsgrad. Det resulterer således Konstanter, der skal specificeres ved indledende betingelser .

Normale koordinater

De normale koordinater af systemet defineres som

hvori

er matrixen for egenvektorerne. Denne matrix af egenvektorer diagonaliserer begge såvel som , fordi fra symmetrien af følger

så for alle egenværdier, der ikke er degenererede, alle ikke-diagonale elementer af nødt til at gå. En tilsvarende normalisering af egenvektorerne fører til orthonormalitetsrelationen

For degenererede egenværdier kan egenvektorerne også vælges, så denne matrix bliver diagonal. Det kan også vises, at også diagonaliseret. med kan bruge bevægelsesligningen som

skrevet, så påstanden ganges med følger direkte fra venstre.

En koordinat -transformation afkobler således afbøjningerne fra ligevægtspositionen i de normale koordinater ved hjælp af ligningssystemet, fordi følgende gælder:

Især er

Eksempler

Forårs pendul

Et fjederpendel er et system, hvorpå en masse hænger op fra en fjeder, og som kun kan bevæge sig i en dimension. Så den har kun en grad af frihed, nedbøjningen fra hvilestilling . Følgende gælder for fjederpendulet og , hvori fjederkonstanten og mængden er. Derfor er matrixligningen forenklet til en skalærligning

med et første graders polynom i

og en egenvektor

.

Så løsningen er

CO 2 -molekyle

Som en første tilnærmelse kan et kuldioxidmolekyle ses som tre masser, hvoraf de to ydre masser er identiske med den midterste masse er forbundet med fjedre. Da bindingerne begge er ens, er fjederkonstanterne begge . Indekserne vælges på en sådan måde, at atomerne nummereres fortløbende fra venstre mod højre, og det antages også, at molekylet kun kan bevæge sig langs molekylæraksen, det vil sige, at kun valensvibrationer men ikke deformationsvibrationer tages i betragtning. Derfor er der tre frihedsgrader i systemet: Afstanden mellem de tre masser fra deres ligevægtsposition. Gælder derefter med

for systemets determinant

Dens tre nuller er inkluderet

og egenvektorerne er

.

Dette giver også den generelle løsning

.

Den første naturlige svingning er translationen af hele molekylet, den anden beskriver den modsatte svingning af de to ydre oxygenatomer, mens carbonatomet forbliver i ro, og det tredje beskriver den ensartede svingning af de to ydre atomer, med det midterste atom svingende i modsatte retninger.

Vibrerende snor

En vibrerende streng har et uendeligt antal frihedsgrader og følgelig et uendeligt antal naturlige frekvenser. Disse skal dog opfylde problemets randbetingelser . Bølgelegningen er

hvori afbøjningen af ​​strengen og er bølgeens fasehastighed . Løser bølge -ligningen for et fast stof er

med . Forholdet imellem og kaldes systemets spredningsforhold . For en streng er en konstant bestemt af spændingen og den lineære massetæthed afhænger af strengen. [2]

Grænsebetingelserne for den vibrerende streng er, at enderne er fastspændt og derfor er egnede til en streng med længde for alle

må være. Dette fører til grænsetilstanden

med enhver og dermed utallige mange forskellige og tilsvarende mange . De naturlige frekvenser af strengen er derfor

og den generelle løsning af bølge -ligningen er en superposition over alle naturlige vibrationer:

Normale vibrationer af molekyler

EN -atomisk molekyle Grader af frihed. Heraf er 3 translationelle frihedsgrader, og i tilfælde af et lineært molekyle er 2 eller, i tilfælde af et vinklet molekyle, 3 rotationsfrihedsgrader. Så bliv eller. Vibrationsfrihedsgrader, der svarer til naturlige frekvenser, der ikke er lig med nul. Symmetrierne ved disse molekylære vibrationer kan beskrives ved de gruppeteoretiske karaktertabeller . De normale vibrationer af en degenereret naturlig frekvens, der er forskellig fra nul, repræsenterer et grundlag for en ureducerbar repræsentation af det vibrerende molekyls punktgruppe .

I ovenstående eksempel er de to andre normale vibrationer de forsømte tværgående vibrationer af atomerne i de to andre rumlige retninger, der ikke er i atomernes linje.

Kvantemekanik

I kvantemekanikken bestemmes et systems tilstand af en tilstandsvektor som er en løsning af Schrödinger -ligningen

er. Hvis Hamilton- operatøren ikke er tidsafhængig, er der en formel løsning på Schrödinger-ligningen

Da Hamilton-operatøren har et komplet system af egen-tilstande, energien egen-tilstande, kan den udvikles i disse. med følger

Beskriv de kvantemekaniske naturlige frekvenser ingen svingning i det rumlige rum, men en rotation i Hilbert -rummet, som tilstandsvektoren er defineret på.

Tekniske eksempler

Resonans af en højttaler
  • En klokke, der rammes, vibrerer derefter med de naturlige frekvenser. Vibrationen falder over tid på grund af dæmpning . Højere frekvenser dæmpes hurtigere end lavere.
  • En stemmegaffel er konstrueret på en sådan måde, at der bortset fra den laveste naturlige frekvens næsten ikke er andre naturlige vibrationer.
  • Naturlige frekvenser kan spændes i bygninger. Hvis naboerne spiller musik, kan det ske, at frekvensen af ​​en bas tone matcher den naturlige frekvens af bygningsvæggen. Vibrationerne i væggen stimuleret af musikken er da undertiden hørbare, selvom selve musikken ikke ville kunne mærkes.
  • Som de fleste musikinstrumenter har trommer flere naturlige frekvenser.
  • I højttalere forringer membranernes delvise vibrationer reproduktionskvaliteten.

Se også

litteratur

  • R. Gasch, K. Knothe, R. Liebich: Strukturel dynamik: Diskrete systemer og continua . 2. udgave. Springer, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-540-88976-2 .
  • Dieter Meschede: Gerthsen Fysik . 23. udgave. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 3-540-25421-8 .
  • Hans-Ulrich Harten: Fysik for læger . 6. udgave. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1993, ISBN 3-540-56759-3 .
  • Torsten Fließbach: Mekanik . 6. udgave. Springer, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7 .
  • Julius Wess: Teoretisk mekanik . 2. udgave. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88574-0 .

Individuelle beviser

  1. College Physics 2012, s. 569 (åbnet 10. januar 2014).
  2. Harro Heuser : Almindelige differentialligninger . 6. udgave. Vieweg + Teubner , 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2 , s.   293