Eigenvalue problem

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
I denne Mona Lisa -forskydning blev billedet deformeret på en sådan måde, at den røde pil (vektor) ikke ændrede retning (langs den lodrette akse), men den blå pil gjorde det. Den røde vektor er en egenvektor for forskydningskortlægningen , mens den blå vektor ikke skyldes dens retningsændring. Da den røde vektor ikke er skaleret, er den tilhørende egenværdi 1.

I lineær algebra er en egenvektor af en kortlægning en vektor, der er forskellig fra nulvektoren , hvis retning ikke ændres af kortlægningen. En egenvektor skaleres kun, og skaleringsfaktoren kaldes kortets egenværdi .

Eigenværdier karakteriserer væsentlige egenskaber ved lineære kortlægninger , for eksempel om et tilsvarende lineært system af ligninger kan løses entydigt eller ej. I mange applikationer beskriver egenværdier også fysiske egenskaber ved en matematisk model . Brugen af ​​præfikset "Eigen-" til karakteristiske mængder i denne forstand kan spores tilbage til en publikation af David Hilbert fra 1904 [1] og bruges også som Germanisme på flere andre sprog, herunder engelsk .

Det matematiske problem, der beskrives i det følgende, kaldes et særligt egenværdiproblem og vedrører kun lineære kortlægninger af et endeligt-dimensionelt vektorrum i sig selv ( endomorfier ), repræsenteret ved kvadratiske matricer .

Spørgsmålet opstår under hvilke betingelser en matrix ligner en diagonal matrix . [2]

definition

er et vektorrum over et legeme (i applikationer mest kroppen af reelle tal eller feltet komplekse tal ) og et lineært kort over i sig selv ( endomorfisme ) kaldes en vektor en egenvektor hvem igennem mange gange af dig selv med er vist:

Faktoren man kalder derefter den tilhørende egenværdi.

Med andre ord: har for en ligningen

en løsning (nulvektoren er naturligvis altid en løsning), såkaldt Eigenværdi af Enhver løsning kaldes egenvektoren for ved egenværdi

Vektorrummet har en endelig dimension så alle kan endomorfisere ved en firkant -Matrix at blive beskrevet. Ovenstående ligning kan derefter bruges som en matrixligning

skrive, hvor betegner her en søjlevektor. I dette tilfælde kalder man en løsning Eigenvector og Eigenværdi af matrixen

Denne ligning kan også skrives i formen

skrive, hvor betegner identitetsmatricen , og svarer til

eller

omforme.

Beregning af egenværdier

I tilfælde af små matricer kan egenværdierne beregnes symbolsk (præcist). Dette er ofte ikke mulig med store matricer, så numeriske matematik metoder anvendes her.

Symbolsk beregning

ligningen

definerer egenværdierne og repræsenterer et homogent lineært system af ligninger .
Der antages, kan dette løses, hvis og kun hvis

er gældende. Denne determinant kaldes det " karakteristiske polynom ". Det er et normaliseret polynom -grad i Dens nuller , dvs. løsningerne til ligningen

om , er egenværdierne. Siden et polynom af grad højst Har nuller, der er højst Eigenværdier. Hvis polynomet helt bryder ned i lineære faktorer, så er der præcis Nuller, hvor flere nuller tælles med deres mangfoldighed. Er graden er et ulige tal og holder , så er mindst en af ​​egenværdierne reelle.

Eigenspace på Eigenvalue

er en egenværdi af den lineære kortlægning , så kaldes sættet for alle egenvektorer for denne egenværdi kombineret med nulvektoren eigenspace for egenværdien . Egenspace er igennem

Er defineret. Hvis dimensionen af eigenspace er større end 1, dvs. hvis der er mere end en lineært uafhængig egenvektor til egenværdien giver, kalder man egenværdien tilhørende eigenspace degenereret.[3] Dimensionen af eigenspace kaldes den geometriske mangfoldighed af udpeget.

En generalisering af eigenspace er hovedrummet .

Spektrum og mangfoldighed

For resten af ​​dette afsnit, lad Så ejer alle jeg er enig Eigenværdier, hvis du tæller dem med deres multipler. Flere forekomster af en bestemt egenværdi opsummeres og opnår således listen efter omdøbning af de forskellige egenværdier med deres multipler det er og

Mangfoldigheden af ​​en egenværdi, der netop er vist som nul for det karakteristiske polynom, kaldes algebraisk multiplicitet. Eigenværdier af algebraisk mangfoldighed kaldes simple egenværdier .

Sættet med egenværdier kaldes spektret og skrevet sådan at

er gældende. Den største mængde af alle egenværdier kaldes spektralradius .

Hvis det gælder for en egenværdi, at dens algebraiske multiplicitet er lig med dens geometriske multiplicitet , taler man om en semi-enkel egenværdi (fra det engelske 'semisimple'). Dette svarer nøjagtigt til blokmatrixens diagonaliserbarhed for den givne egenværdi.

Hvis man kender egenværdierne såvel som deres algebraiske og geometriske multiplikationer (se nedenfor), kan man oprette Jordans normale form for matricen.

eksempel

Lad det være den firkantede matrix

givet. Træk med multiplicerede identitet matrix af resulterer i:

Beregning af determinanten for denne matrix (ved hjælp af Sarrus 'regel ) giver:

Egenværdierne er nuller i dette polynom, vi får:

Egenværdien 2 har algebraisk multiplicitet 2, fordi den er det dobbelte nul for det karakteristiske polynom.

Numerisk beregning

Selvom den nøjagtige beregning af nullerne på det karakteristiske polynom ikke er så let for tre-ræksmatricer, er det normalt umuligt for store matricer, så man derefter begrænser sig til at bestemme omtrentlige værdier. Til dette formål foretrækkes metoder, der er kendetegnet ved numerisk stabilitet og lav beregningsindsats. Dette omfatter metoder til tæt befolkede små til mellemstore matricer, som f.eks

samt særlige metoder til symmetriske matricer samt metoder til sparsomme store matricer som

Der findes også estimeringsmetoder, f.eks. B. ved hjælp af

som altid tillader et groft skøn (under visse betingelser endda præcis bestemmelse).

  • Foldet spektrummetode leverer en egenvektor med hvert løb, som dog også kan komme fra midten af ​​spektret.

Beregning af egenvektorerne

algoritme

For en egenværdi egenvektorerne kan udledes af ligningen

bestemme. Egenvektorerne spænder over eigenspace , hvis dimension kaldes den geometriske multiplicitet af egenværdien. For en egenværdi af geometrisk mangfoldighed så kan lineært uafhængige egenvektorer finde sådan, at sættet af alle egenvektorer bliver lig med sæt af lineære kombinationer af er. Beløbet kaldes derefter et grundlag for egenvektorer for egenværdien tilhørende Eigenraum.

Den geometriske multiplicitet af en egenværdi kan også defineres som det maksimale antal lineært uafhængige egenvektorer for denne egenværdi.

Den geometriske multiplicitet er højst lig med den algebraiske multiplicitet.

eksempel

Som i eksemplet ovenfor er kvadratmatricen givet

Egenværdierne allerede er beregnet ovenfor. Først og fremmest bliver egenvektorerne (og eigenspace dækket af egenvektorerne) til egenværdien beregnet:

Så du skal løse følgende system af lineære ligninger:

Hvis du bringer matrixen til en øvre trekantet form , får du:

Egne vektorer, der søges, er alle multipler af vektoren (men ikke nul gange vektoren, da nulvektoren aldrig er en egenvektor).

Selvom den iboende værdi har en algebraisk multiplicitet på 2, er der kun én lineært uafhængige egenvektor (den eigenspace for egenværdi er endimensionale); så denne egenværdi har en geometrisk multiplicitet på 1. Dette har en vigtig konsekvens: Matricen kan ikke diagonaliseres . Man kan nu prøve at konvertere matricen til jordanske normalform i stedet. For at gøre dette skal en anden egenvektor "tvinges" til denne egenværdi. Sådanne egenvektorer kaldes generaliserede egenvektorer eller hovedvektorer .

For egenværdien gør det samme:

Igen er matrixen trekantet:

Her er løsningen vektoren igen med alle dets multipler forskellige fra nulvektoren.

ejendomme

  • Egenvektorerne bestemmes kun op til en faktor. hvis er en egenvektor, så er det også med enhver Eigenvektor.
  • er en egenværdi af den inverterbare matrix til egenvektoren sådan er det Eigenværdi af den inverse matrix af til egenvektoren
  • Er matrixens egenværdier så gælder
hvor multipliciteten med flere egenværdier skal overvejes. Markeret her sporet af matricen .
Det samme gælder analogt
  • Enhver firkantet matrix over kroppen komplekse tal ligner en øvre trekantet matrix Egenværdierne for er præcis matrixens diagonale poster
  • Eigenvektorer for egenværdien er faste punkter i billedgeometrien. Ifølge sætningen om fodbold , for eksempel, er der to punkter på en fodbold, der er placeret på det samme punkt i rummet inden kick-off for første og anden halvleg.

Især for ægte symmetriske eller komplekse hermitiske matricer :

Egenvektorer til pendlingsmatricer

Til kommutering af diagonaliserbare (især symmetriske) matricer er det muligt at finde et system med fælles egenvektorer:

Pendler to matricer og (så det gælder ) og er en ikke-genereret egenværdi (dvs. det tilhørende eigenspace er endimensionalt) af med egenvektor så gælder

Også selvom er derfor en egenvektor af ved egenværdi Da denne egenværdi ikke er degenereret, skal et multiplum af værende. Det betyder at også en egenvektor af matricen er.

Dette enkle bevis viser, at egenvektorerne for ikke -genererede egenværdier for flere parvis pendlingsmatricer er egenvektorer for alle disse matricer.

Generelt kan der også findes fælles egenvektorer til pendling af diagonaliserbare matricer med degenererede egenværdier. [7] Af denne grund, selv samtidig (dvs. at have en basis -transformationsmatricer for alle) er en flerhed af par, der kommuterer diagonaliserbare matricer diagonaliseret .

Venstre egenvektorer og generaliseret egenværdi problem

Nogle gange kalder man en således defineret egenvektor som en højre egenvektor og derefter defineret i henhold til begrebet links egenvektor ved ligningen

Venstre egenvektorer findes f.eks. B. i stokastik ved beregning af stationære fordelinger af Markov -kæder ved hjælp af en overgangsmatrix .

På grund af er venstre egenvektorer af bare de rigtige egenvektorer i den transponerede matrix I normale matricer falder venstre og højre egenvektorer sammen.

Mere generelt kan man også bruge firkantede matricer og og ligningen

undersøge. Dette generaliserede egenværdiproblem betragtes imidlertid ikke nærmere her.

Spektral teori i funktionel analyse

Eigenværdier og egenfunktioner

I funktionel analyse overvejer man lineære kortlægninger mellem lineære funktionsrum (dvs. lineære kortlægninger mellem uendeligt-dimensionelle vektorrum). Mest taler man om lineære operatorer i stedet for lineære kortlægninger. Være et vektorrum over et legeme med og en lineær operator. I funktionel analyse arrangerer man også et spektrum. Dette består af alle som operatøren er ikke inverterbar. Dette spektrum behøver dog ikke at være diskret - som det er tilfældet med kortlægninger mellem endelige -dimensionelle vektorrum. Fordi i modsætning til de lineære kortlægninger mellem endelige-dimensionelle vektorrum, der kun har forskellige egenværdier, lineære operatorer har generelt et uendeligt antal elementer i spektret. Det er derfor f.eks. Muligt, at spektret af lineære operatorer har akkumuleringspunkter . For at forenkle undersøgelsen af ​​operatøren og spektret er spektret opdelt i forskellige partielle spektre. Elementer, der udgør ligningen for en løse kaldes egenværdier , som i lineær algebra . Egenværdiernes totalitet kaldes punktspektret for Som i lineær algebra tildeles hver egenværdi et rum af egenvektorer. Da egenvektorerne mest forstås som funktioner, taler man også om egenfunktioner.

eksempel

Være åben. Så har den afledte operatør et ikke-tomt punktspektrum. Hvis du ser på det for alle ligningen

og vælg så kan du se, at ligningen for alle er tilfreds. Så hver er en egenværdi med en tilhørende egenfunktion

Nyttige eksempler

Ved at løse et egenværdiproblem beregner man

Eigenværdier spiller en særlig rolle i kvantemekanikken . Fysiske mængder som f.eks B. vinkelmomentet repræsenteres her af operatører . Kun operatørernes egenværdier kan måles. Har z. B. Hamilton -operatøren , der repræsenterer energien i et kvantemekanisk system, et diskret spektrum , energien kan kun antage diskrete værdier , som z. B. er typisk for energiniveauerne i et atom . I løsningerne af den velkendte Schrödinger-ligning (etableret i 1926 af fysikeren Erwin Schrödinger ) repræsenterer egenværdierne elektronernes tilladte energiværdier, og egenfunktionerne repræsenterer elektronernes tilhørende bølgefunktioner.

Umuligheden af ​​samtidig præcis måling af visse størrelser (f.eks. Af position og momentum), udtrykt ved Heisenbergs usikkerhedsprincip , skyldes i sidste ende, at der ikke er et fælles system for egenvektorer for de respektive operatører.

litteratur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. FAQL.de , abgerufen am 10. Juni 2013, zitiert David Hilberts Artikel Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, veröffentlicht 1904 in den Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse.
  2. Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra . 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6 , S.   121 .
  3. Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus: Moderne mathematische Methoden der Physik . Springer, 9. September 2010, ISBN 978-3-642-05184-5 , S. 87 (Abgerufen am 29. Februar 2012).
  4. Reiner Kreissig, Ulrich Benedix: Höhere technische Mechanik: Lehr- und Übungsbuch . Springer DE, 2002, ISBN 978-3-7091-6135-7 , S.   12 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. Symmetrische Abbildungen und Matrizen. Theorem 10.75
  6. PB Denton, SJ Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (pdf) 10. August 2019, S. 1–3 , abgerufen am 29. November 2019 (englisch).
  7. AW Joshi: Matrices and tensors in physics . New Age International, 1995, ISBN 978-81-224-0563-7 , S. 117 (Abgerufen am 29. Februar 2012).