Udvidet symbolsk metode til vekselstrømsteknik

Den udvidede symbolske metode til vekselstrømsteknologi er en generalisering af den komplekse vekselstrømberegning til eksponentielt stigende og faldende sinusformede signaler. Dette forårsager overgangen fra den imaginære frekvens $j\omega$ ${\ displaystyle j \ omega}$ $j \ omega$ på den komplekse frekvens $s=\sigma +j\omega$ ${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}$ $s = \ sigma + j \ omega$ . Denne formelle udvidelse har forskellige fordele ved den teoretiske behandling af AC -netværk, især til kredsløbssyntese. Samtidig harmonerer denne repræsentation med resultaterne af Laplace -transformationen og operatørberegningen ifølge Mikusiński .

krav

Kendskab til komplekse tal , elektriske netværk og den komplekse vekselstrømberegning er nødvendig for at forstå de følgende forklaringer.

Hvad angår det komplekse vekselstrømforslag, der er fastlagt i praksis, gælder følgende også for dets forlængelse:

Begge metoder kan kun bruges til lineære tidsinvariante systemer .
Kun den såkaldte steady state kan bestemmes.

Signaler

Den udvidede symbolske metode til vekselstrømsteknologi er baseret på eksponentielt stigende eller faldende sinusformede indgangssignaler . I steady state af et lineært tidsinvariant system forekommer kun de signaler med den samme frekvens i systemet $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ og den samme konvolutkonstant $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ på. I praksis er sådanne signaler imidlertid af ringe betydning, men deres overvejelse har forskellige matematiske fordele. Hvis du sætter $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ er lig med 0, opnås straks de sædvanlige sinusformede signaler. I det følgende betragtes spændingen altid som et eksempel, selvom alle udsagn naturligvis også gælder for de nuværende og andre fysiske størrelser.

Matematisk grundlag

Udgangspunktet er de relationer, der kan udledes af Eulers formel

\cos \varphi ={\frac {e^{j\varphi }+e^{-j\varphi }}{2}}=\operatorname {Re} (e^{j\varphi })

{\ displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {e ^ {j \ varphi} + e ^ {- j \ varphi}} {2}} = \ operatorname {Re} (e ^ {j \ varphi})}

\ cos \ varphi = {\ frac {e ^ {j \ varphi} + e ^ {- j \ varphi}} {2}} = \ operatorname {Re} (e ^ {j \ varphi})

og

\sin \varphi ={\frac {e^{j\varphi }-e^{-j\varphi }}{2j}}=\operatorname {Im} (e^{j\varphi })

{\ displaystyle \ sin \ varphi = {\ frac {e ^ {j \ varphi} -e ^ { - j \ varphi}} {2j}} = \ operatorname {Im} (e ^ {j \ varphi})}}

\ sin \ varphi = {\ frac {e ^ {j \ varphi} -e ^ { - j \ varphi}} {2j}} = \ operatorname {Im} (e ^ {j \ varphi})

.

Disse tillader repræsentation af de trigonometriske funktioner som en superposition af to eksponentielle funktioner med imaginære argumenter. Dette resulterer f.eks. For en generaliseret af $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ karakteriseret eksponentielt stigende eller faldende sinusformet vekselstrøm

u(t)={\hat {U}}e^{\sigma t}\cos {(\omega t+\varphi _{0})}={\hat {U}}\cdot {\frac {e^{\sigma t+j{(\omega t+\varphi _{0})}}+e^{\sigma t-j{(\omega t+\varphi _{0})}}}{2}}=\operatorname {Re} ({\hat {U}}{e^{\sigma t+j(\omega t+\varphi _{0})}})

{\ displaystyle u (t) = {\ hat {U}} e ^ {\ sigma t} \ cos {(\ omega t + \ varphi _ {0})} = {\ hat {U}} \ cdot {\ frac {e ^ {\ sigma t + j {(\ omega t + \ varphi _ {0})}} + e ^ {\ sigma tj {(\ omega t + \ varphi _ {0})}}}} {2 }} = \ operatorname {Re} ({\ hat {U}} {e ^ {\ sigma t + j (\ omega t + \ varphi _ {0})}}))}

u (t) = {\ hat {U}} e ^ {\ sigma t} \ cos {(\ omega t + \ varphi _ {0})} = {\ hat {U}} \ cdot {\ frac {e ^ {\ sigma t + j {(\ omega t + \ varphi _ {0})}} + e ^ {\ sigma tj {(\ omega t + \ varphi _ {0})}}} {2}} = \ operatorname {Re} ({\ hat {U}} {e ^ {\ sigma t + j (\ omega t + \ varphi _ {0})}})

eller.

u(t)={\hat {U}}e^{\sigma t}\sin {(\omega t+\varphi _{0})}={\hat {U}}\cdot {\frac {e^{\sigma t+j{(\omega t+\varphi _{0})}}-e^{\sigma t-j{(\omega t+\varphi _{0})}}}{2j}}=\operatorname {Im} ({\hat {U}}{e^{\sigma t+j(\omega t+\varphi _{0})}})

{\ displaystyle u (t) = {\ hat {U}} e ^ {\ sigma t} \ sin {(\ omega t + \ varphi _ {0})} = {\ hat {U}} \ cdot {\ frac {e ^ {\ sigma t + j {(\ omega t + \ varphi _ {0})}} - e ^ {\ sigma tj {(\ omega t + \ varphi _ {0})}}} {2j }} = \ operatorname {Im} ({\ hat {U}} {e ^ {\ sigma t + j (\ omega t + \ varphi _ {0})}}))}

u (t) = {\ hat {U}} e ^ {\ sigma t} \ sin {(\ omega t + \ varphi _ {0})} = {\ hat {U}} \ cdot {\ frac {e ^ {\ sigma t + j {(\ omega t + \ varphi _ {0})}} - e ^ {\ sigma tj {(\ omega t + \ varphi _ {0})}}} {2j}} = \ operatorname {Im} ({\ hat {U}} {e ^ {\ sigma t + j (\ omega t + \ varphi _ {0})}})

.

\omega

{\ displaystyle \ omega}

\ omega

- Radiusfrekvens for cosinussvingningen

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

- henfaldskonstant

\varphi _{0}

{\ displaystyle \ varphi _ {0}}

\ varphi _ {0}

- nul fasevinkel

Et reelt signal består derfor af to komplekse signaler. Det rigtige udtryk er præcist det konjugerede komplekse venstre udtryk. På grund af den gældende superpositionsteorem er det tilstrækkeligt at udføre alle beregninger kun med det venstre udtryk og bruge den virkelige eller imaginære del af resultatet til sidst.

Kompleks spænding og kompleks strøm

Vi introducerer derfor den komplekse spænding (eller den komplekse strøm ):

{\underline {u}}(t)={\hat {U}}\cdot {e^{\sigma t+j{(\omega t+\varphi _{0})}}}

{\ displaystyle {\ understregning {u}} (t) = {\ hat {U}} \ cdot {e ^ {\ sigma t + j {(\ omega t + \ varphi _ {0})}}}}}}

{\ understregning {u}} (t) = {\ hat {U}} \ cdot {e ^ {\ sigma t + j {(\ omega t + \ varphi _ {0})}}}}

.

Som det er kendt fra komplekse AC -beregninger, kan problemerne med (lineære) AC -kredsløb løses meget lettere med så komplekse signaler end med (reelle) trigonometriske funktioner.

Komplekse amplituder

Med den tidsuafhængige komplekse amplitude, der allerede er brugt i den komplekse AC- beregning

{\underline {U}}={\hat {U}}\cdot {e^{j\varphi _{0}}}

{\ displaystyle {\ understregning {U}} = {\ hat {U}} \ cdot {e ^ {j \ varphi _ {0}}}}

{\ understregning {U}} = {\ hat {U}} \ cdot {e ^ {j \ varphi _ {0}}}

man kan skrive

{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\cdot {e^{(\sigma +j{\omega )t}}}

{\ displaystyle {\ understregning {u}} (t) = {\ understregning {U}} \ cdot {e ^ {(\ sigma + j {\ omega) t}}}}}

{\ understregning {u}} (t) = {\ understregning {U}} \ cdot {e ^ {(\ sigma + j {\ omega) t}}}

.

Kompleks frekvens

Endelig er forkortelsen den komplekse frekvens $s=\sigma +j\omega$ ${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}$ $s = \ sigma + j \ omega$ (I litteraturen er symbolerne $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$ eller $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ bruges) og får derefter til den komplekse spænding

{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\cdot {e^{st}}

{\ displaystyle {\ understregning {u}} (t) = {\ understregning {U}} \ cdot {e ^ {st}}}

{\ understregning {u}} (t) = {\ understregning {U}} \ cdot {e ^ {st}}

.

Med denne signalrepræsentation kan de efterspurgte komplekse signaler nu beregnes.

Omvendt transformation

For at få den reelle spænding (eller den reelle strøm), du leder efter, skal du efter beregning af det komplekse signal kun tilføje dets komplekse konjugerede signal (for cosinus) eller trække det fra (for sinus) og tilføje 2 eller 2j share. Det samme kan lettere opnås ved at skabe virkelige eller imaginære dele:

u(t)={\frac {{\underline {u}}(t)+{\underline {u}}^{*}(t)}{2}}=\operatorname {Re} ({\underline {u}}(t))

{\ displaystyle u (t) = {\ frac {{\ understregning {u}} (t) + {\ understregning {u}} ^ {*} (t)} {2}} = \ operatorname {Re} ({ \ understregning {u}} (t))}

u (t) = {\ frac {{\ understregning {u}} (t) + {\ understregning {u}} ^ {*} (t)} {2}} = \ operatorname {Re} ({\ understregning { u}} (t))

eller.

u(t)={\frac {{\underline {u}}(t)-{\underline {u}}^{*}(t)}{2j}}=\operatorname {Im} ({\underline {u}}(t))

{\ displaystyle u (t) = {\ frac {{\ understregning {u}} (t) - {\ understregning {u}} ^ {*} (t)} {2j}} = \ operatorname {Im} ({ \ understregning {u}} (t))}

u (t) = {\ frac {{\ understregning {u}} (t) - {\ understregning {u}} ^ {*} (t)} {2j}} = \ operatorname {Im} ({\ understregning { u}} (t))

Det er blevet vist, at denne omvendte transformation ikke er nødvendig i praksis, fordi mængden og nulfasen umiddelbart kan aflæses fra den komplekse amplitude af resultatet.

Differentiel operatør

Hvorimod i den komplekse AC -beregning bruges det rent imaginære udtryk som differentialoperatoren $j\omega$ ${\ displaystyle j \ omega}$ $j \ omega$ bruges (derfor er den komplekse vekselstrømsregning ofte også $j\omega$ ${\ displaystyle j \ omega}$ $j \ omega$ Beregning kaldes), den komplekse frekvens s fremstår nu som en differentialoperator , fordi z. B.:

${\frac {d{\underline {u}}(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}({\underline {U}}\cdot e^{st})={\underline {U}}\cdot {\frac {d}{dt}}(e^{st})={\underline {U}}\cdot s\cdot e^{st}=s\cdot ({\underline {U}}\cdot e^{st})=s\cdot {\underline {u}}(t)$ ${\ displaystyle {\ frac {d {\ understregning {u}} (t)} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} ({\ understregning {U}} \ cdot e ^ {st}) = {\ understregning {U}} \ cdot {\ frac {d} {dt}} (e ^ {st}) = {\ understregning {U}} \ cdot s \ cdot e ^ {st} = s \ cdot ( {\ understregning {U}} \ cdot e ^ {st}) = s \ cdot {\ understregning {u}} (t)}$ ${\ frac {d {\ understregning {u}} (t)} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} ({\ understregning {U}} \ cdot e ^ {st}) = {\ understregning {U}} \ cdot {\ frac {d} {dt}} (e ^ {st}) = {\ understregning {U}} \ cdot s \ cdot e ^ {st} = s \ cdot ({\ understregning {U}} \ cdot e ^ {st}) = s \ cdot {\ understregning {u}} (t)$

Impedans og adgangsfunktion

Som i den komplekse AC-beregning defineres impedansfunktionen for et toterminalnetværk som

{\underline {Z}}={\frac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\frac {\underline {U}}{\underline {I}}}

{\ displaystyle {\ understregning {Z}} = {\ frac {{\ understregning {u}} (t)} {{\ understregning {i}} (t)}} = {\ frac {\ understregning {U}} {\ understregning {I}}}}

{\ understregning {Z}} = {\ frac {{\ understregning {u}} (t)} {{\ understregning {i}} (t)}} = {\ frac {\ understregning {U}} {\ understregning {JEG}}}

.

Det gensidige af impedansfunktionen kaldes adgangsfunktionen .

Dette giver følgende elementære impedansfunktioner:

ohmsk modstand R:
${\underline {Z_{R}}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}=R$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z_ {R}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {\ understregning {i}}} = R}$ ${\ understregning {Z_ {R}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {\ understregning {i}}} = R$

Induktans L:
${\underline {Z_{L}}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {L\cdot {\frac {d{\underline {i}}}{dt}}}{\underline {i}}}={\frac {sL\cdot {\underline {i}}}{\underline {i}}}=sL$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z_ {L}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {\ understregning {i}}} = {\ frac {L \ cdot {\ frac {d {\ understregning {i }}} {dt}}} {\ understregning {i}}} = {\ frac {sL \ cdot {\ understregning {i}}} {\ understregning {i}}} = sL}$ ${\ understregning {Z_ {L}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {\ understregning {i}}} = {\ frac {L \ cdot {\ frac {d {\ understregning {i}}} {dt}}} {\ understregning {i}}} = {\ frac {sL \ cdot {\ understregning {i}}} {\ understregning {i}}} = sL$

Kapacitet C:
${\underline {Z_{C}}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {\underline {u}}{C\cdot {\frac {d{\underline {u}}}{dt}}}}={\frac {\underline {u}}{sC\cdot {\underline {u}}}}={\frac {1}{sC}}$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z_ {C}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {\ understregning {i}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {C \ cdot {\ frac {d {\ understregning {u}}} {dt}}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {sC \ cdot {\ understregning {u}}}} = {\ frac {1} {sC} }}$ ${\ understregning {Z_ {C}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {\ understregning {i}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {C \ cdot {\ frac {d { \ understregning {u}}} {dt}}}} = {\ frac {\ understregning {u}} {sC \ cdot {\ understregning {u}}}} = {\ frac {1} {sC}}$

Impedans- eller adgangsfunktionerne for komplekse kredsløb beregnes "som normalt" (og læses ofte bare af):

Serie resonans kredsløb: ${\underline {Z}}=R+sL+{\frac {1}{sC}}$ ${\ displaystyle {\ understregning {Z}} = R + sL + {\ frac {1} {sC}}}$ ${\ understregning {Z}} = R + sL + {\ frac {1} {sC}}$
Parallelt resonanskredsløb: ${\underline {Y}}=G+sC+{\frac {1}{sL}}$ ${\ displaystyle {\ understregning {Y}} = G + sC + {\ frac {1} {sL}}}$ ${\ understregning {Y}} = G + sC + {\ frac {1} {sL}}$

Enhver kompliceret impedans eller adgangsfunktioner kaldes to-polede funktioner . De kan repræsenteres som en brudt rationel funktion i s og er grundlaget for netværkssyntese . Især disse funktioner kan tydeligt vises i pol-nul-diagrammet .

Se også

Phasor

litteratur

Hans Frühauf , Erich Trzeba: Syntese og analyse af lineære højfrekvente kredsløb . Akademisk forlagsfirma Geest & Portig K.-G., Leipzig 1964.
Eugen Philippow (redaktør): Taschenbuch Elektrotechnik, bind 3 . Verlag Technik, Berlin 1969.
Gerhard Wunsch : Elementer af netværkssyntese . Verlag Technik, Berlin 1969.
Gerhard Wunsch : Systemteoriens historie . Akademie-Verlag, Leipzig 1985.