Euklid

Euclids repræsentation, Oxford University Museum

Euklid af Alexandria ( oldgræsk Εὐκλείδης Eukleídēs , latiniseret euklider ) var en græsk matematiker, der sandsynligvis levede i det 3. århundrede f.Kr. Boede i Alexandria .

Liv

Næsten intet vides om Euklides liv. Af en note i Pappos ^{[1] er det} blevet konkluderet, at han arbejdede i Alexandria, Egypten. Datoer for livet er ukendte. Antagelsen om, at han var omkring 300 f.Kr. BC er baseret på en liste over matematikere i Proklos , ^[2] andre beviser tyder dog på, at Euklides var lidt yngre end Archimedes (ca. 285–212 f.Kr.). ^[3]

Fra et job hos Proklos er det også blevet konkluderet, at han var omkring år 360 f.Kr. Født i Athen , hvor han modtog sin uddannelse på Platons akademi og derefter arbejdede i Alexandria på tidspunktet for Ptolemaios I (ca. 367–283 f.Kr.).

Det skal ikke forveksles med Euclid of Megara , som det ofte var tilfældet indtil den tidlige moderne periode, så navnet Euclid of Megara også optrådte på titlerne på elementernes udgaver.

fabrikker

Euclid, Elements 10, Appendix in the 888 handwriting Oxford, Bodleian Library , MS. D'Orville 301, fol. 268r

De overlevende værker omfatter alle områder af den antikke græske matematik: disse er de teoretiske discipliner i regning og geometri ( elementerne , data ), musikteori ( delingen af kanonen ), en metodisk vejledning til at finde planimetriske problemløsninger fra visse sikre udgangspunkt ( porismer ) såvel som de fysiske eller anvendte værker ( optik , astronomiske fænomener ).

I sit mest berømte værk Elements (oldgræsk Στοιχεῖα Stoicheia , "Beginnings", "Principles", "Elements") samlede han kendskabet til sin tids græsk matematik. Han viste konstruktionen af geometriske objekter, naturlige tal og bestemte størrelser og undersøgte deres egenskaber. Til dette brugte han definitioner, postulater (i henhold til Aristoteles principper , som kan accepteres eller afvises) og aksiomer (ifølge Aristoteles generelle og ubestridelige principper). Mange sætninger om elementerne stammer åbenbart ikke fra Euklid selv.Hans hovedpræstation består snarere i indsamling og ensartet repræsentation af matematisk viden samt den strenge argumentation , som blev forbillede for senere matematik.

Ud over elementerne , dataene og opdelingen af kanonen , overlevende skrifter fra Euklid er: Optika , Om opdeling af figurer (bevaret i uddrag i en arabisk oversættelse), Phainomena (geometrisk behandling af astronomi) (fragmenter redigeret af Johan Ludwig Heiberg ). Kun titlerne på andre værker kendes: herunder Pseudaria (fejlslutninger), Katoptrika .

Elementerne var grundlaget for geometriundervisning mange steder langt ind i det 20. århundrede, især i den angelsaksiske region.

Geometri - aritmetik - proportionalitetsteori

Ud over den pythagoranske geometri indeholder Euclids elementer i bog VII-IX pythagoreansk regning, talteoriens begyndelse (som Archytas fra Taranto allerede kendte) og begreberne delbarhed og den største fælles divisor . For at bestemme dette fandt han en algoritme , den euklidiske algoritme . Euclid beviste også, at der er uendeligt mange primtal , kaldet Euclids sætning efter ham. Euklides musikteori er også baseret på aritmetik. Bog V indeholder også Eudoxus -doktrinen om proportioner, en generalisering af aritmetik til positive irrationelle størrelser .

Illustration af Euklides femte postulat

Det velkendte femte postulat for plan euklidisk geometri (nu kaldet aksiomet for paralleller ) kræver: Hvis et segment $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ved skæring med to lige linjer $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ og $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ forårsager indersiden på samme side af $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ resulterende vinkel $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ og $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ tilsammen er mindre end to rette vinkler, så mødes de to lige linjer $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ og $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ på siden af $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ hvorpå vinklerne $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ og $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ligge. Hvis to lige linjer skærer et segment (eller lige linje) på en sådan måde, at de to vinkler, der er omsluttet af segmentet og de to lige linjer, er mindre end 180 °, så skærer de to lige linjer på denne side og afgrænser sammen med segmentet (eller tredje lige linje) en trekant.

Optagetheden af parallellernes aksiom er af stor betydning for videnskabshistorien, fordi den har bidraget meget til specifikationen af matematiske begreber og bevismetoder. I løbet af dette blev utilstrækkeligheden af de euklidiske aksiomer tydelig i det 19. århundrede. En formel axiomatisk af euklidisk geometri findes i David Hilberts værk Foundations of Geometry (1899), hvilket førte til mange yderligere udgaver og efterfølgende forskning. For første gang udføres en komplet struktur af euklidisk geometri indtil erkendelsen af, at hver model af Hilberts aksiomsystem er isomorf i forhold til det tredimensionelle reelle talrum med de sædvanlige fortolkninger af de grundlæggende geometriske begreber (såsom punkt, lige linje, plan, længde, vinkel, kongruens, lighed osv.) i analytisk geometri. Siden oldtiden har mange vigtige matematikere forgæves forsøgt at bevise aksiomet for paralleller med de andre aksiomer og postulater (det ville da kunne undværes). Det var først i det 19. århundrede, at parallellenes aksiom var uundværlig med opdagelsen af en ikke-euklidisk geometri af Bolyai og Lobachevsky . Poincaré-halvplanet H ( Henri Poincaré ) er en model for et sådant aksiomasystem, hvor det parallelle aksiom ikke gælder. Således kan parallellernes aksiom ikke udledes af de andre aksiomer (se ikke-euklidisk geometri ).

Musik teori

I Euclids musikteoretiske værk Die Teilung des Canon (græsk Katatomē kanonos , Latin Sectio canonis ), ^[4] ^[5], der kan klassificeres som autentisk, tog han Archytas musikteori og placerede det på et mere solidt akustisk grundlag, nemlig på frekvenser af vibrationer (han talte om hyppigheden af bevægelser). Han generaliserede Archytas 'sætning om kvadratrodens irrationalitet ${\sqrt {\tfrac {m+1}{m}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {m + 1} {m}}}}$ ${\ sqrt {{\ tfrac {m + 1} {m}}}}$ og generelt bevist irrationelle enhver rødder ${\sqrt[{n}]{\tfrac {m+1}{m}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ tfrac {m + 1} {m}}}}$ ${\ sqrt [{n}] {{\ tfrac {m + 1} {m}}}}$ . Årsagen til denne generalisering er dens modsætning til harmonien mellem Aristoxenus , der er baseret på rationelle multipler af tonen (halvtone ... n. Tone). For i den pythagoranske harmoni har tonen ( hele tonen ) proportionen 9: 8, hvilket førte Euklid til hans modsætning "Tonen kan ikke opdeles i to eller flere lige store dele"; den forudsætter imidlertid rimelige frekvenser, som blev accepteret i pythagoras harmoni frem til slutningen af 1500 -tallet ( Simon Stevin ). Han baserede antitesen "Oktaven er mindre end 6 hele toner" på beregningen af det pythagoranske komma . Endvidere indeholder Euclids deling af kanonen - som titlen indikerer - den ældste traditionelle fremstilling af et tonesystem på kanonen , en delt streng, nemlig en pytagoransk genfortolkning af det komplette diatoniske tonesystem af Aristoxenus. Euklides tonesystem blev overleveret gennem Boethius ; i tonebogsnotationen Odos blev det grundlaget for det moderne tonesystem.

Eponymer

Følgende matematiske strukturer er opkaldt efter Euklid:

Euklidisk afstand , længden af den direkte forbindelse mellem to punkter i flyet eller i rummet
Euklidisk algoritme , en metode til beregning af den største fælles divisor af to naturlige tal
Euklidisk geometri , den intuitive geometri af plan eller rum
Euklidisk fast stof , et ordnet fast stof, hvor hvert ikke -negative element har en kvadratrod
Euklidisk norm , længden af en vektor i et plan eller i rummet
Euklidisk rum , intuitionsrummet, et ægte affin rum med standard skalarproduktet
Euklidisk relation , en relation, for hvilken følgende gælder: Hvis to elementer hver er relateret til en tredjedel, så er de også relateret til hinanden
Euklidisk ring , en ring, hvor division med resten er mulig
Euklidiske værktøjer , de tilladte handlinger i konstruktion med kompasser og lineal

Desuden er følgende matematiske sætninger og beviser opkaldt efter Euklid:

Euklides bevis på irrationeliteten af roden af 2 , det første bevis for modsigelse i matematikens historie
Euklides højtesætning : I en retvinklet trekant er kvadratet over højden lig med arealet til rektanglet fra hypotenuseafsnitene
Euklides sætning af kateter : I en retvinklet trekant er katetus-firkanterne lig med produktet fra hypotenusen og det tilhørende hypotenuseafsnit
Euklids Lemma : Hvis et primtal deler et produkt på to tal, så også mindst en af de to faktorer
Euklides sætning : Der er uendeligt mange primtal

Også opkaldt efter Euklid:

Euclides (månekrater) , et krater på forsiden af månen
(4354) Euclides , en hovedbælte -asteroide

Udgaver og oversættelser

Johan Ludvig Heiberg , Heinrich Menge (Red.): Euclidis Opera Omnia. 9 bind, Teubner, Leipzig 1888–1916 (græsk / latin), mere præcist 8 bind med et supplement (kommentaren til elementerne i Al-Nayrizi i oversættelsen af Gerhard von Cremona, redigeret af Maximilian Curtze )
Euklid: Elementerne . Bøger I - XIII. Red. Og overs. v. Clemens Thaer . (= Ostwalds klasse af eksakt videnskab 235). 4. udgave. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8171-3413-4 .
Euclid: De tretten bøger af Euclids elementer . Red. Og overs. v. Thomas Heath , 3 bind, Cambridge University Press 1908, genoptryk Dover 1956 (engelsk oversættelse med omfattende kommentarer og introduktion til Euclid)
Euclides: Data . Euklides data , efter Menges tekst fra d. Græsk trans. og red. v. Clemens Thaer. Springer, Berlin 1962.
Den middelalderlige latinske oversættelse af data fra Euclid. Oversat af Shuntaro Ito, Tokyo University Press, 1980, Birkhauser, 1998.
Euclid: Sectio canonis. nyredigeret, oversat og kommenteret i: Oliver Busch: Logos syntheseos. Den euklidiske sektion Canonis, Aristoxenos og matematikkens rolle i gammel musikteori. Hildesheim 2004, ISBN 3-487-11545-X .
Paul ver Eecke Euclide, L'Optique et la catoptrique. Paris, Brugge 1938 (fransk oversættelse af optik )

litteratur

Euclides, 1703

Oversigt over repræsentationer i manualer

Ivor Bulmer-Thomas , John Murdoch: Euclid. I: Dictionary of Scientific Biography . Bind 4, Charles Scribners sønner, New York 1981, ISBN 0-684-16964-9 , s. 414-459
Menso Folkerts , Frieder Zaminer : Eukleides [3]. I: The New Pauly (DNP). Bind 4, Metzler, Stuttgart 1998, ISBN 3-476-01474-6 , Sp. 238-243.
Bernard Vitrac: Euclide. I: Richard Goulet (red.): Dictionnaire des philosophes antiques . Bind 3, CNRS-udgaver, Paris 2000, ISBN 2-271-05748-5 , s. 252-272
Hans-Joachim Waschkies : Euclid. I: Hellmut Flashar (red.): Oversigt over filosofiens historie . Antikkens filosofi , bind 2/1, Schwabe, Basel 1998, ISBN 3-7965-1036-1 , s. 372–392
Hans Wussing : Euclid. I: Arnold Wußing (red.): Biografier om vigtige matematikere. Berlin 1983.

Overordnede præsentationer og undersøgelser

Benno Artmann : Euclid: Oprettelsen af matematik. Springer, 1999.
Jürgen Schönbeck: Euclid: Omkring 300 f.Kr. Chr. Springer, 2002, ISBN 3-7643-6584-6 .
Peter Schreiber : Euklid. Teubner, Leipzig 1987.
Christoph J. Scriba , Peter Schreiber: 5000 års geometri. History, Cultures, People , Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-22471-8 , s. 49-65 (elementerne i Euclid og andre skrifter samt deres kontekst og modtagelse i den videre udvikling af geometri)

reception

Diego De Brasi: Euclid. I: Peter von Möllendorff , Annette Simonis, Linda Simonis (red.): Historiske figurer i antikken. Modtagelse i litteratur, kunst og musik (= Der Neue Pauly . Supplements. Bind 8). Metzler, Stuttgart / Weimar 2013, ISBN 978-3-476-02468-8 , Sp. 433-438.
Max Steck : Bibliographia Euclideana. De åndelige traditioner i udgaverne af "Elements" of Euclid (omkring 365-300). Manuskripter, inkunabler, tidlige tryk (1500 -tallet). Kritiske udgaver af det 17. - 20. århundrede Århundrede. Udgaver af Opera Minora (16. - 20. århundrede). Genoptryk, red. af Menso Folkerts. Gerstenberg, Hildesheim 1981.

Arabisk tradition

Jan Hogendijk : Den arabiske version af Euclids 'On divisions'. I: Vestigia mathematica. Amsterdam 1993, s. 143-162.
Jan Hogendijk: Om Euclids tabte 'porismer' og dets arabiske spor. I: Boll. Storia Sci. Mat. Bind 7, 1987, s. 93-115.

Weblinks

Wiktionary: Euclid - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Commons : Euclid - samling af billeder, videoer og lydfiler

Wikiquote: Euclid -citater

Wikisource: Euclid -kilder og fulde tekster

John J. O'Connor, Edmund F. Robertson : Euklid af Alexandria. I: MacTutor History of Mathematics arkiv .
Litteratur af og om Euclid i kataloget over det tyske nationalbibliotek
Værker af og om Euclid i det tyske digitale bibliotek
Elementerne i Euclid, Euclides: Stoicheia , bøger 1 til 12, fuldstændig på tysk.
Perseus Euklid . Informativ side fra Perseus med oversættelse og yderligere kilder, samt yderligere links.
Euclids elementer , alle 13 bøger på engelsk.
Euclids elementer , alle 13 bøger på græsk med den latinske oversættelse af Heiberg. (PDF)
Tekst udgaver (gamle græske, arabiske, engelske oversættelser), Amund Bjørsnøs et al., Oslo arabisk Seminar.
De seks første bøger om Evclidis, Deß meget velkendt, græsk filosofi og matematik: fra Geometriaes begyndelse og grundlæggende . Amsterdam 1618, onlineudgave af det saksiske statsbibliotek - Dresden stats- og universitetsbibliotek
Euclidis Megarensis… sex libri priores, de Geometricis principiis . Basileae 1550, onlineudgave af det saksiske statsbibliotek - Dresden stats- og universitetsbibliotek
Euclidis Megarensis Mathematici Clarissimi Elementorum geometricorum Lib. XV . Basileae 1537, onlineudgave af det saksiske statsbibliotek - Dresden stats- og universitetsbibliotek
Elementær Geometricum . Argentorati 1529, onlineudgave af det saksiske statsbibliotek - Dresden stats- og universitetsbibliotek
Elementorum Libri XV . Coloniae 1627, onlineudgave af det saksiske statsbibliotek - Dresden stats- og universitetsbibliotek

Bemærkninger

↑ Pappos, matematiske samlinger 2.33–34.
↑ Findes i Proklos 'arbejde: Kommentar til den første bog i Euclids "Elements" .
↑ Hans-Joachim Waschkies: Euclid. I: Hellmut Flashar (red.): Oversigt over filosofiens historie . Gammel filosofi. Bind 2/1, Schwabe, Basel 1998, s. 372–392, her: s. 372.
^ Wilfried Neumaier: Hvad er et lydsystem? Frankfurt am Main / Bern / New York 1986, kap. 6, "Canon's division" af Euklides
↑ Oliver Busch: Logos syntese. Den euklidiske Sectio Canonis, Aristoxenus og matematikkens rolle i gammel musikteori. Berlin 1998, også mag. Skrivning som bind X af publikationer fra State Institute for Music Research Preussisk kulturarv

personlig data
EFTERNAVN	Euklid
ALTERNATIVE NAVNE	Euklides af Alexandria; Eukleids (oldgræsk); Εὐκλείδης
KORT BESKRIVELSE	Græsk matematiker
FØDSELSDATO	omkring 365 f.Kr. Chr.
DØDSDATO	omkring 300 f.Kr. Chr.

[1] Pappos, matematiske samlinger 2.33–34.

[2] Findes i Proklos 'arbejde: Kommentar til den første bog i Euclids "Elements" .

[3] Hans-Joachim Waschkies: Euclid. I: Hellmut Flashar (red.): Oversigt over filosofiens historie . Gammel filosofi. Bind 2/1, Schwabe, Basel 1998, s. 372–392, her: s. 372.

[4] Wilfried Neumaier: Hvad er et lydsystem? Frankfurt am Main / Bern / New York 1986, kap. 6, "Canon's division" af Euklides

[5] Oliver Busch: Logos syntese. Den euklidiske Sectio Canonis, Aristoxenus og matematikkens rolle i gammel musikteori. Berlin 1998, også mag. Skrivning som bind X af publikationer fra State Institute for Music Research Preussisk kulturarv

[1] er det

[2]

[3]

[4]

[5],