Eulers nummer

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Eulers nummer , med symbolet er en konstant, der spiller en central rolle i hele analysen og alle relaterede underområder i matematik , især i differential- og integralregning , men også i stokastik ( kombinatorik , normalfordeling ). Dens numeriske værdi er

[1]

er et transcendent og derfor også et irrationelt reelt tal . Det er grundlaget for den naturlige logaritme og den (naturlige) eksponentielle funktion . I anvendt matematik , den eksponentielle funktion og dermed spiller spiller en vigtig rolle i beskrivelsen af ​​processer som radioaktivt henfald og naturlig vækst .

Der er mange tilsvarende definitioner af , den mest kendte er:

Tallet blev opkaldt efter den schweiziske matematiker Leonhard Euler , [2] af de mange egenskaber ved beskrevet. Det kaldes også undertiden Napiers konstant (eller Nepers konstant ) efter den skotske matematiker John Napier . Det er en af ​​de vigtigste konstanter i matematik.

Der er en international dag med Eulerian -nummeret . I lande, hvor dagen før måneden (27. januar), som i Tyskland, er skrevet til datoen, er det den 27. januar. [3] I lande, hvor måneden før dagen (2/7) skrives den 7. februar, som i USA.

definition

Nummeret blev defineret af Leonhard Euler ved hjælp af følgende serie : [4]

til er i fakultetet for , så i tilfælde produktet af de naturlige tal af så længe , mens er defineret.

Som Euler allerede beviste, får man Eulers nummer også som en funktionel grænseværdi : [5]

,

hvilket især betyder, at det også kan bruges som grænse for konsekvensen med resulterer i:

.

Dette er baseret på, at

er gældende, dermed funktionsværdien af den eksponentielle funktion (eller " Funktion ”) ved punktet er. Ovenstående serie repræsentation af i denne sammenhæng skyldes det, at Taylor -serien af ​​den eksponentielle funktion omkring ekspansionspunktet på det punkt vurderer.

En alternativ tilgang til definitionen af ​​Eulers nummer er den via indlejringsintervaller , for eksempel på den måde, Konrad Knopps teori og anvendelse af den uendelige serie præsenteres. Herefter gælder det alle : [6]

Lommeregner, regneark og program

Euler havde beregnet 23 decimaler:

 e = 2,71828 18284 59045 23536 028

Lommeregnere og regnearksprogrammer bruger 8 til 16 decimaler:

 e = 2,71828183 (8 decimaler)
e = 2,7182818284 (10 decimaler, Excel)
e = 2.7182818284590452 (16 decimaler)

Regneark bruger konstanten: EXP(1)

I programmer er Eulers nummer normalt defineret som en konstant: const long double euler = 2.7182818284590452353602874713526625 (34 decimaler)

Forhistorien før Euler

Historien om Eulers nummer begynder allerede i 1500 -tallet med tre problemområder, hvor der optræder et tal, som matematikere henvendte sig til dengang, og som senere blev kaldt:

  • Som grundlag for logaritmer i logaritmetabellerne af John Napier og Jost Bürgi . Begge havde udviklet deres borde uafhængigt og tog en idé fra Michael Stifel og brugte resultater fra Stifel og andre matematikere fra 1500 -tallet. I 1620 udgav Bürgi sine "Arithmetic and Geometric Progress Tabules". Som grundlag for sit logaritmiske system bruger Bürgi tilsyneladende instinktivt et tal, der er tæt på løgne. Napier udgav sin "Mirifici logarithmorum canonis descriptio" i 1614 ved også at bruge en forholdsmæssigt grundlag. [7] Napier og Bürgi ønskede at bruge logaritmetabellerne til at reducere multiplikationer til tilføjelser for at gøre omfattende beregninger lettere og mindre tidskrævende.
  • Som grænsen for en sekvens i beregningen af ​​den sammensatte rente. I 1669 satte Jacob Bernoulli opgaven: "Lad et beløb investeres i renter, så der i de enkelte øjeblikke tilføjes en proportionel del af den årlige rente til hovedstaden." I dag kalder vi dette proportionale rentetillæg for "konstant rente". [8] Bernoulli spørger, om vilkårligt store multipler af den indledende sum kan opnås gennem kontrakter, hvor de enkelte øjeblikke bliver kortere og kortere, og som en løsning opnår han et tal, som vi nu kender som Eulers nummer ved godt. [9]
  • Som en uendelig serie (overflade af hyperbolen af Apollonios von Perge ). Det var (i dagens sprog) spørgsmålet om, hvor langt et område strækker sig under hyperbolaen fra strækker sig til højre, hvilket er samme størrelse som arealet af enhedens firkant. Den flamske matematiker Grégoire de Saint-Vincent (latiniseret Gregorius a Sancto Vincentino) udviklede en funktion til den løsning, som vi nu kalder naturlig logaritme og med beskrive. Han opdagede interessante egenskaber, herunder en ligning, som vi nu kalder logaritmens funktionelle ligning, som Napier og Bürgi også brugte til at konstruere og bruge deres logtabeller. [10] Det er ikke sikkert, om han var klar over, at grundlaget for denne logaritme er det tal, der vises senere blev kaldt. Dette blev først bemærket efter offentliggørelsen af ​​hans arbejde. [11] Senest repræsenterede hans elev og medforfatter Alphonse Antonio de Sarasa forbindelsen ved hjælp af en logaritmefunktion. I et essay, der omhandler formidling af Saint Vincent's ideer af de Sarasa, siges det, at " Forholdet mellem logaritmer og hyperbola blev fundet i alle ejendomme af Saint-Vincent, bare ikke i navnet. ” [12] Gennem Newtons og Eulers arbejde blev det derefter klart, at basen er. [13] Leibniz var naturligvis den første til at bruge et bogstav til dette nummer. I sin korrespondance med Christiaan Huygens fra 1690/1 brugte han bogstavet b som basis for en magt. [14]

Symbolets oprindelse e

Som det tidligste dokument til brug af brevet for dette nummer af Leonhard Euler gælder et brev fra Euler til Christian Goldbach af 25. november 1731. [15] Endnu tidligere, i 1727 eller 1728, begyndte Euler at bruge brevet i artiklen "Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta" om eksplosive kræfter i kanoner, som dog blev offentliggjort i 1862. [16] [17] Den næste pålidelige kilde til brugen af ​​dette brev er Eulers værk Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II fra 1736. [6] I Introductio in Analysin Infinitorum udgivet i 1748 tager Euler denne betegnelse op igen. [18]

Der er ingen beviser for, at dette valg af bogstav skete på grundlag af hans navn. Det er også uklart, om han gjorde dette på grundlag af den eksponentielle funktion eller af praktiske årsager til afgrænsning fra de ofte anvendte bogstaver a, b, c eller d . Selvom andre navne også var i brug, såsom c i d'Alemberts Histoire de l'Académie, er blevet til håndhævet.

I formelsættet, ifølge DIN 1338 og ISO 80000-2 ikke sat i kursiv for at skelne tallet fra en variabel. [19] Dog er kursiv også almindelig.

ejendomme

Eulers nummer er en transcendent ( bevis efter Charles Hermite , 1873) og dermed et irrationelt tal (bevis med fortsatte brøker for og dermed allerede i 1737 af Euler, [20] beviser i bevisarkivet eller artiklen ). Så det kan (som cirkelnummeret ifølge Ferdinand von Lindemann 1882) som en brøkdel af to naturlige tal (ikke engang som en løsning på en algebraisk ligning ) og har følgelig en uendelig ikke-periodisk decimalfraktionsudvidelse . Irrationel måling af er 2 og dermed så lille som muligt for et irrationelt tal, især er det ikke liouvillesch . Det vides ikke, om er normalt på et eller andet grundlag. [21]

I Eulers identitet

grundlæggende matematiske konstanter sættes i kontekst: Hele tallet 1, Eulers tal , den imaginære enhed af komplekse tal og cirkelnummeret .

Eulers nummer fremgår også af fakultetets asymptotiske estimat (se Stirlings formel ): [22]

Cauchy -produktformlen for de to (hver absolut konvergente) serie og resultatet af binomiske sætninger

og det følger umiddelbart:

Geometrisk fortolkning

Integralregning giver en geometrisk fortolkning af Eulers tal. Efter det er det entydigt bestemte antal , for hvilket indholdet af området under funktionsgrafen for den reelle gensidige funktion i intervallet præcis det samme er: [23]

Yderligere repræsentationer for Eulers nummer

Eulers nummer kan også passeres igennem

eller ved grænseværdien for fakultetets og underfakultetets kvotient:

En forbindelse til fordelingen af primtal foretages via formlerne

klart, værende primtalfunktionen og symbolet talets overordnede midler.

Den catalanske repræsentation er også mere eksotisk end af praktisk betydning

Fortsatte fraktioner

I forbindelse med nummeret Siden udgivelsen af Leonhard Eulers Introductio i Analysin Infinitorum senest i 1748 har der været et stort antal fortsatte fraktionsudviklinger for og fra afledte mængder.

Så Euler har følgende klassiske identitet for fundet:

(Følg A003417 i OEIS )

Identitet (1) viser tydeligvis et regelmæssigt mønster, der fortsætter på ubestemt tid. Det repræsenterer en regelmæssig fortsat fraktion, som Euler stammer fra følgende: [24]

(Følg A016825 i OEIS )

Denne fortsatte fraktion er til gengæld et specielt tilfælde af følgende med :

En anden klassisk fortsat fraktionsudvidelse, som dog ikke er regelmæssig , kommer også fra Euler: [25]

(Følg A073333 i OEIS )

En anden fortsat fraktionsudvidelse af Eulers antal går tilbage til Euler og Ernesto Cesàro , som har et andet mønster end i (1): [26]

I forbindelse med Eulers tal er der også et stort antal generelle kædebrudsteoretiske funktionelle ligninger. Oskar Perron navngiver følgende generelle præsentation af -Funktion: [26]

Et andet eksempel på dette er udviklingen af ​​den hyperboliske tangent fra Johann Heinrich Lambert , som regnes blandt de lambertiske fortsatte fraktioner : [27] [28]

Det var først i 2019, at et team ledet af Gal Raayoni ved Technion fandt en anden og tidligere ukendt fortsat fraktionsudvidelse for Eulers nummer ved hjælp af et computerprogram opkaldt efter Srinivasa Ramanujan som Ramanujan-maskinen , i sidste ende baseret på en trial-and- fejlmetode . Sammenlignet med alle tidligere kendte fortsatte brøkudvidelser, der alle stiger fra et vilkårligt heltal, der er mindre end Eulers tal, er det første gang, vi har at gøre med et fra hele tallet 3 , et heltal, der er større end Eulers tal, sænker sig. [29] Bare opdagelsen af ​​en (enkelt) sådan faldende fortsat brøkdel af et helt tal større end Eulers tal antyder, at der er uendeligt mange sådanne faldende fortsatte fraktioner af heltal med det fører også til Eulers nummer.

Illustrative fortolkninger af Eulers nummer

Beregning af sammensatte renter

Følgende eksempel gør ikke kun beregningen af ​​Eulers tal tydeligere, men det beskriver også historien om opdagelsen af ​​Eulers nummer: Dens første cifre blev fundet af Jakob I Bernoulli, mens han undersøgte beregningen af ​​sammensatte renter.

Grænsen for den første formel kan tolkes således: nogen indsætter en euro i banken den 1. januar. Banken garanterer ham en løbende rente til en rente Per år. Hvad er hans saldo den 1. januar i det næste år, hvis han investerer renterne på samme vilkår?

Ifølge formelen for sammensatte renter bliver startkapitalen til Renter med rente hovedstaden

I dette eksempel er og hvis rentetillægget sker årligt, eller når tillægget gange om året, dvs. med rentebetalinger i løbet af året .

Med et årligt tillæg ville det være

Med et seks måneders tillæg har du ,

så lidt mere. Med daglig interesse du får

Hvis renterne betales løbende i hvert øjeblik, vil uendelig stor, og du får den første formel for .

sandsynlighedsberegning

findes også ofte i sandsynlighedsteorien : For eksempel antages det, at en bager lægger en rosin i dejen for hver rulle og ælter den godt. Efter det indeholder statistisk set hver -te bun no rosin. Sandsynligheden at kl Boller ingen af Rosiner i et fast valgt udbytte i grænse for ( 37% -regel ):

Bogstaver og de tilhørende konvolutter med adresserne skrives uafhængigt af hinanden. Derefter, uden at se, det er tilfældigt, bliver bogstaverne lagt i konvolutterne. Hvad er sandsynligheden for, at der ikke er et bogstav i den korrekte kuvert? Euler løste dette problem og offentliggjorde det i 1751 i essayet "Calcul de la probabilité dans le jeu de rencontre." Det er bemærkelsesværdigt, at sandsynligheden næppe ændrer sig fra et antal på 7 bogstaver. Hun vil klare sig meget godt tilnærmede grænsen for sandsynlighederne, når antallet af bogstaver stiger.

Kun et skud er tilgængeligt for en jæger. Han burde være fra en flok duer, deres antal han ved, hvem der flyver forbi ham i tilfældig rækkefølge, skyder den største. Hvad er den bedste strategi for hans maksimale chancer for at slå den største due? Dette due problem blev formuleret af den amerikanske matematiker Herbert Robbins (* 1915). Det samme beslutningsproblem eksisterer også, når man ansætter den bedste medarbejder med n ansøgere ( sekretærproblem ) og lignende forklædninger. Løsning: Den optimale strategi er at først Duer at lade den flyve forbi, og derefter skyde den næste due, som er større end nogen, der har fløjet hidtil, eller den allersidste, hvis der ikke er passeret en større på det tidspunkt. Med denne optimale strategi er sandsynligheden for at fange den største due cirka uafhængig af n, som dog ikke bør være for lille. Hvis vi som et skøn for vælg, så følger: . Så du bør kun lade 10 flyve forbi med 27 duer. Det er bemærkelsesværdigt, at der omkring i alle tilfælde ikke får den ønskede optimale løsning. [30]

Med Poisson , eksponentielle og normalfordelinger , bruges sammen med andre mængder til at beskrive fordelingen.

Karakterisering af Eulers nummer ifølge Steiner

I den fyrtiende bind af Crelles Journal fra 1850 giver den schweiziske matematiker Jakob Steiner en karakterisering af Eulers nummer efter hvilket kan forstås som løsningen på et ekstremværdiproblem . Steiner viste, at tallet karakteristisk end det entydigt bestemte positive reelle tal , som kvadratroden giver sig selv den største rod. Steiner skriver bogstaveligt: "Hvis hvert tal udstråles af sig selv, giver tallet e den allerstørste rod." [31]

Steiner behandler spørgsmålet om, hvorvidt til funktionen

das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in .

In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht von der folgenden wahren Aussage über die reelle Exponentialfunktion aus:

Nach der Substitution folgt für alle reellen Zahlen

mittels einfacher Umformungen weiter

und schließlich für alle positiven durch Radizieren [32] [33]

Bruchnäherungen

Für die Zahl und daraus abgeleitete Größen gibt es verschiedene näherungsweise Darstellungen mittels Brüchen . So fand Charles Hermite die folgenden Bruchnäherungen:

Hier weicht der erstgenannte Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von ab. [34]

Die optimale Bruchnäherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale Bruchnäherung mit , ist

. [35]

Diese Näherung ist jedoch nicht die beste Bruchnäherung im Sinne der Forderung, dass der Nenner höchstens dreistellig sein soll. Die in diesem Sinne beste Bruchnäherung ergibt sich als 9. Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl:

Aus den Näherungsbrüchen der zu gehörenden Kettenbruchentwicklungen (so) ergeben sich Bruchnäherungen beliebiger Genauigkeit für und daraus abgeleitete Größen. Mit diesen findet man sehr effizient beste Bruchnäherungen der Eulerschen Zahl in beliebigen Zahlenbereichen. So erhält etwa im fünfstelligen Zahlenbereich die beste Bruchnäherung

,

die zeigt, dass die von Charles Hermite für die Eulersche Zahl im fünfstelligen Zahlenbereich gefundene Bruchnäherung noch nicht optimal war.

In gleicher Weise hat etwa CD Olds gezeigt, dass durch die Näherung

für die Eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich

,

zu erzielen ist. [36]

Insgesamt beginnt die Folge der besten Näherungsbrüche der Eulerschen Zahl, die sich aus ihrer regelmäßigen Kettenbruchdarstellung ergeben, folgendermaßen: [37]

Berechnung der Nachkommastellen

Zur Berechnung der Nachkommastellen wird meist die Reihendarstellung

ausgewertet, die schnell konvergiert. Wichtig bei der Implementierung ist dabei Langzahlarithmetik , damit die Rundungsfehler nicht das Ergebnis verfälschen. Ein Verfahren, das ebenfalls auf dieser Formel beruht, aber ohne aufwendige Implementierung auskommt, ist der Tröpfelalgorithmus zur Berechnung der Nachkommastellen von , den AHJ Sale fand. [38]

Entwicklung der Anzahl der bekannten Nachkommastellen von
Datum Anzahl Mathematiker
1748 23 Leonhard Euler [39]
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1946 808 ?
1949 2.010 John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC )
1961 100.265 Daniel Shanks und John Wrench
1981 116.000 Steve Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II )
1994 10.000.000 Robert Nemiroff und Jerry Bonnell
Mai 1997 18.199.978 Patrick Demichel
August 1997 20.000.000 Birger Seifert
September 1997 50.000.817 Patrick Demichel
Februar 1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski
Oktober 1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski
21. November 1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon
10. Juli 2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
16. Juli 2000 3.221.225.472 Colin Martin und Xavier Gourdon
2. August 2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
16. August 2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
21. August 2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
18. September 2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon
27. April 2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo und Steve Pagliarulo
6. Mai 2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo und Steve Pagliarulo
20. Februar 2010 500.000.000.000 Alexander Yee [40]
5. Juli 2010 1.000.000.000.000 Shigeru Kondo [40]
24. Juni 2015 1.400.000.000.000 Ellie Hebert [40]
14. Februar 2016 1.500.000.000.000 Ron Watkins [40]
29. Mai 2016 2.500.000.000.000 „yoyo“ – unverifizierte Kalkulation [40]
29. August 2016 5.000.000.000.000 Ron Watkins [40]
3. Januar 2019 8.000.000.000.000 Gerald Hofmann [40]
11. Juli 2020 12.000.000.000.000 David Christle [40]
22. November 2020 31.415.926.535.897 David Christle [40]

Die Eulersche Zahl in den Medien

In der Fernsehserie Die Simpsons und ihrer Nachfolgeserie Futurama kommen viele mathematische Bezüge vor, einige haben es auch mit der eulerschen Zahl und Euler zu tun. [41]

1995 gewährte in der Fernsehserie Akte X – Die unheimlichen Fälle des FBI die Zahlenreihe 2-7-1-8-2-8 zwei FBI-Agenten den Zutritt zu einem geheimen Archiv. Dort war nicht von der Eulerschen Zahl, sondern von Napiers Konstanten die Rede. [42]

Literatur

  • Brian J. McCartin: e: The Master of All. Mathematical Intelligencer, Band 28, 2006, Nr. 2, S. 10–21. Der Artikel erhielt den Chauvenet-Preis . mathdl.maa.org
  • Heinrich Dörrie : Triumph der Mathematik. Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur . 5. Auflage. Physica-Verlag, Würzburg 1958.
  • Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen . Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum . Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 ( MR0715928 – Reprint der Ausgabe Berlin 1885).
  • Ernst Hairer , Gerhard Wanner : Analysis in historischer Entwicklung . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13766-2 .
  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . Band   2 ). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 ( MR0183997 ).
  • Eli Maor : e: the Story of a Number . Princeton University Press, Princeton 1994, ISBN 978-0-691-14134-3 .
  • Eli Maor: Die Zahl e: Geschichte und Geschichten . Birkhäuser Verlag, Basel (ua) 1996, ISBN 3-7643-5093-8 .
  • CD Olds: The simple continued fraction expansion of e . In: American Mathematical Monthly . Band   77 , 1971, S.   968–974 .
  • Oskar Perron : Irrationalzahlen . Nachdruck der 2., durchgesehenen Auflage (Berlin, 1939). 4. durchgesehene und ergänzte. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-11-083604-2 , doi : 10.1515/9783110836042.fm .
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen – Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche . Reprografischer Nachdruck der dritten, verbesserten und durchgesehenen Auflage, Stuttgart 1957. 4. durchgesehene und ergänzte. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X .
  • J. Steiner : Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl . In: Journal für die reine und angewandte Mathematik . Band   40 , 1850, S.   208 ( gdz.sub.uni-goettingen.de ).
  • David Wells: Das Lexikon der Zahlen. Aus dem Englischen von Dr. Klaus Volkert . Originaltitel: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt/Main 1990, ISBN 3-596-10135-2 .

Weblinks

Commons : Eulersche Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: eulersche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise und Fußnoten

  1. Folge A001113 in OEIS
  2. Man beachte: Die Eulersche Zahl ist nicht identisch mit der Euler-Mascheroni-Konstante , die in manchen Quellen den ähnlich klingenden Namen Eulersche Konstante hat.
  3. Fun Holiday – e-Day
  4. Euler: Einleitung … (§ 122) . S.   226–227 .
  5. Euler: Einleitung … (§§ 123,125) . S.   91–94 .
  6. a b Knopp: Theorie und Anwendung… (§ 9) . S.   84 .
  7. H. Wußing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, S. 130.
  8. Peter Mäder: Mathematik hat Geschichte. Metzler Verlag, Hannover, 1992, ISBN 3-8156-3363-X , S. 86–87.
  9. Otto Toeplitz: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1972, ISBN 3-534-06008-3 , S. 25–27.
  10. Toeplitz, S. 53–55.
  11. Toeplitz, S. 91.
  12. RP Burn: Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms, Historia Mathematica 28:1 (2001) – 17
  13. Stefan Krauss: Die Entdeckungsgeschichte und die Ausnahmestellung einer besonderen Zahl: (PDF; 211 kB). In: The Teaching of Mathematics, 1999, Vol.II, 2, S. 105–118.
  14. https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-5.pdf , hier zum Beispiel Brief Nr. 6
  15. http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0729.pdf , S. 58: „…(e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), ...“ deutsch: „… (e bezeichnet die Zahl, deren hyperbolischer [dh natürlicher] Logarithmus gleich 1 ist), … )“
  16. https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1852&context=euler-works , „Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817…“ (deutsch: „Geschrieben für die Zahl, deren Logarithmus die Einheit e hat, die 2,7182817… ist.…“
  17. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/
  18. Euler: Einleitung … (§ 122) . S.   91 . Euler schreibt (gemäß der Übersetzung von Hermann Maser) dazu: „Wir werden nun in der Folge der Kürze wegen für diese Zahl stets den Buchstaben gebrauchen, so dass also die Basis der natürlichen oder hyperbolischen Logarithmen bedeutet, […], oder es soll stets die Summe der unendlichen Reihe bezeichnen.“
  19. Hans F. Ebel, Claus Bliefert, Walter Greulich: Schreiben und Publizieren in den Naturwissenschaften . 5. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim, ISBN 3-527-66027-5 .
  20. Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8 , S. 299.
  21. Richard George Stoneham: A general arithmetic construction of transcendental non-Liouville normal numbers from rational fractions . (PDF; 692 kB). In: Acta Arithmetica , 16, 1970, S. 239–253.
  22. Die Stirling-Formel . (PDF; 76 kB). In: James Stirling: Methodus Differentialis . 1730, S. 1.
  23. Ernst Hairer, Gerhard Wanner : Analysis in historischer Entwicklung. 2011, S. 41.
  24. Perron: Irrationalzahlen . S.   115 .
  25. Euler, S. 305.
  26. a b Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen . Band   II , S.   19 .
  27. Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen . Band   II , S.   157 .
  28. Man beachte die Verbindung zu Identität (3)!
  29. Gal Raayoni et al.: The Ramanujan Machine: Automatically Generated Conjectures on Fundamental Constants . arxiv : 1907.00205 , revidierte Fassung vom 23. Juli 2019, abgerufen am 28. Juli 2019.
  30. P. Mäder, S. 96/7
  31. Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl . In: Journal für die reine und angewandte Mathematik . Band   40 , 1850, S.   208 .
  32. Dörrie, S. 358.
  33. Man kann diese Aufgabe auch mit den bei der Kurvendiskussion in der Differentialrechnung angewandten Methoden lösen.
  34. Maor, S. 185.
  35. Wells, S. 46.
  36. Olds: The simple continued fraction expansion of e . In: Amer. Math. Monthly . 1971, S.   973 .
  37. Siehe Folge A007676 in OEIS für die Zähler und Folge A0A007677 in OEIS für die Nenner.
  38. AHJ Sale: The Calculation of e to Many Significant Digits . In: The Computer Journal . Band   11 , Nr.   2 , August 1968, S.   229–230 , doi : 10.1093/comjnl/11.2.229 .
  39. Leonhardo Eulero : Introductio in analysin infinitorum. Band 1, Marcus-Michaelis Bousquet und socii, Lausannæ 1748 (lateinisch; „2,71828182845904523536028“ auf books.google.de S. 90).
  40. a b c d e f g h i Alexander J. Yee: e. In: numberworld.org. 5. Dezember 2020, abgerufen am 12. Dezember 2020 (englisch).
  41. Simon Singh: Homers letzter Satz. dtv, München 2013, ISBN 978-3-423-34847-8 .
  42. Diplomarbeit: Die Zahl e. (PDF; 1,1 MB), S. 6.