Eksponentiel funktion

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

I matematik , en eksponentiel funktion er en funktion af formen med et reelt tal som basis (grundnummer). I den mest almindelige form er for eksponenten de reelle tal er tilladt. I modsætning til effektfunktionerne , hvor basen er den uafhængige mængde (variabel) og eksponenten er fast, er eksponenten (også eksponenten) for effektudtrykket, variablen og basen fastgjort i eksponentielle funktioner. Navngivningen vedrører også dette. Eksponentielle funktioner har inden for naturvidenskaben , f.eks. B. i den matematiske beskrivelse af vækstprocesser , en enestående betydning (se eksponentiel vækst ).

Den eksponentielle funktion kaldes den naturlige eksponentielle eller eksponentielle funktion med Eulers nummer som en base; Stavemåden bruges også til dette . Denne funktion har særlige egenskaber i forhold til de andre eksponentielle funktioner. Ved hjælp af den naturlige logaritme kan vi bruge ligningen hver eksponentiel funktion baseret på sådan føre tilbage. Derfor handler denne artikel i det væsentlige om basens eksponentielle funktion .

Graf over den eksponentielle funktion (rød) med tangenten (lyseblå stiplet linje) gennem punktet 0/1

definition

Eksponentiel til basen kan defineres på de reelle tal på forskellige måder.

En mulighed er definitionen som en power-serie , den såkaldte eksponentielle serie

,

hvori fakultetet for udpeget.

En anden mulighed er at definere en sekvens som en grænseværdi :

Begge typer bruges også til at definere den komplekse eksponentielle funktion egnet til komplekse tal (se nedenfor).

Den virkelige eksponentielle funktion er positiv, stabil, strengt monotont voksende og subjektiv . Her udpeget sættet med positive reelle tal.

Det er derfor bijektivt . Derfor findes deres omvendte funktion , den naturlige logaritme .

Dette forklarer udtrykket antilogaritme for den eksponentielle funktion.

Seriens konvergens, kontinuitet

Den eksponentielle funktion er kontinuerlig ved 0.

Seriens punktvise konvergens, der bruges til at definere den eksponentielle funktion

kan bruges til alle reelle og komplekse blot vise med kvotientkriteriet ; dette indebærer endda absolut konvergens . Konvergensradius for kraftserierne er derfor uendelig. Da kraftserier er analytiske på hvert indre punkt i deres konvergensområde [1] , er den eksponentielle funktion også trivielt kontinuerlig i hvert reelt og komplekst punkt [2] .

Beregningsregler

Da den eksponentielle funktion er den funktionelle ligning opfyldt, kan man generalisere eksponentieringen til virkelige og komplekse eksponenter med deres hjælp ved at definere:

for alle og alt virkeligt eller komplekst .

Denne transformation af også for andre værdier som et nyt grundlag:

Sådanne funktioner kaldes eksponentielle funktioner og "transformerer" multiplikation til addition. Følgende love viser dette mere præcist:

og

Disse love gælder for alle positive virkelige og og alle rigtige og . Udtryk med brøker og rødder kan ofte forenkles ved hjælp af den eksponentielle funktion:

Se også beregningsregler for logaritmer .

Afledning

Den eksponentielle funktions store betydning, netop den eksponentielle funktion med basis , er baseret på det faktum, at dets derivat igen giver selve funktionen:

Hvis du derudover

krav, er e-funktionen faktisk den eneste funktion der gør dette. Således kan man også definere e-funktionen som løsningen af ​​denne differentialligning f '(x) = f (x) med denne startbetingelse f (0) = 1.

Mere generelt følger for alvor slutningen

og kædereglen udledningen af ​​vilkårlige eksponentielle funktioner:

I denne formel kan den naturlige logaritme ikke erstattes af en logaritme til nogen anden base; tallet e kommer således i spil på en "naturlig" måde i differentialregning.

Ubestemt integreret

Fra resultaterne af afledningen, resultaterne primitive funktion af den eksponentielle funktion:

.

For enhver eksponentiel funktion med og er gældende:

.

Eksponentiel funktion på de komplekse tal

Farvekodet repræsentation af den komplekse eksponentielle funktion. Mørke farver betyder små funktionelle værdier i form af absolut værdi, lyse / falmede farver betyder store funktionelle værdier. Grundfarven repræsenterer argumentet for funktionsværdien. Dette er den vinkel, funktionsværdien har i forhold til den virkelige akse (synspunkt i koordinaternes oprindelse). Positive reelle værdier vises i rødt, negative reelle værdier i turkis. De gentagne farvebånd viser tydeligt, at funktionen er periodisk i den imaginære retning.
Virkelig del af den komplekse eksponentielle funktion
Imaginær del af den komplekse eksponentielle funktion

Ved hjælp af seriens display

kan være den eksponentielle funktion for komplekse tal Definere. Serien konvergerer for alle absolut.

Den eksponentielle funktion gælder for alle komplekse tal , følgende vigtige egenskaber:

Den eksponentielle funktion er således en surjektiv, men ikke injektiv gruppehomomorfisme fra den abelske gruppe på den abelske gruppe , dvs. fra additivet til kroppens multiplikative gruppe .

I den eksponentielle funktion har en væsentlig singularitet , ellers er den holomorf , dvs. den er en hel funktion . Den komplekse eksponentielle funktion er periodisk med den komplekse periode , så det gælder

Hvis man begrænser sit definitionsdomæne til en strimmel

med , så har den en veldefineret omvendt funktion, den komplekse logaritme .

Den eksponentielle funktion kan bruges til at definere de trigonometriske funktioner for komplekse tal:

Dette svarer til Eulers formel

.

Den specifikke ligning er afledt af dette

den komplekse eksponentielle svingning med vinkelfrekvensen, som er vigtig inden for fysik og teknologi og frekvensen .

Den eksponentielle funktion kan også bruges til at definere de hyperboliske funktioner :

En generel magt kan også defineres i komplekset:

med .

Værdierne for effektfunktionen afhænger af valget af logaritmens enkeltbladsområde , se også Riemann-overflade . Dens tvetydighed skyldes periodiciteten af ​​dens omvendte funktion, netop den eksponentielle funktion. Deres grundlæggende ligning

stammer fra periodiciteten af ​​den eksponentielle funktion med reelt argument . Deres periodelængde er præcis cirkelens omkreds af enhedscirklen, som sinus- og cosinusfunktionerne beskriver på grund af Eulers formel . Eksponentielle, sinus og cosinus funktioner er kun dele af den samme eksponentielle funktion (generaliseret til komplekse tal), hvilket ikke er indlysende i den virkelige verden.

Eksponentiel funktion på vilkårlige Banach -algebraer

Den eksponentielle funktion kan generaliseres til Banach -algebraer , for eksempel matrixalgebraer med en operatørnorm . Hun er der også over serien

som konvergerer absolut for alle begrænsede argumenter fra den overvejede Banach -algebra.

Den væsentlige egenskab ved den reelle (og komplekse) eksponentielle funktion

I denne generalitet er det dog kun gyldigt for værdier og der pendler , dvs. for værdier med (Dette opfyldes naturligvis altid i de reelle eller komplekse tal, da multiplikationen er kommutativ der). Nogle beregningsregler af denne art for eksponentialerne for lineære operatorer på et Banach-rum leveres af Baker-Campbell-Hausdorff-formlerne .

En vigtig anvendelse af denne generaliserede eksponentielle funktion findes i løsning af systemer med lineære differentialligninger af formen med konstante koefficienter. I dette tilfælde er Banach -algebraen sættet med -Matricer med komplekse poster. Ved hjælp af den jordanske normale form kan der findes et grundlag eller en lighedstransformation, hvor den eksponentielle matrix har en endelig beregningsregel. Mere præcist finder du en almindelig matrix , så det , hvori en diagonal matrix og er en nulpotent matrix , som pendler med hinanden. Det er gyldigt med det

Eksponentialet for en diagonal matrix er eksponentialernes diagonale matrix, nilpotentmatrixens eksponential er et matrixværdigt polynom med en grad, der er mindre end dimensionen matrixen er.

Numeriske beregningsmuligheder

Som en grundlæggende analysefunktion er der blevet tænkt meget over måder til effektivt at beregne den eksponentielle funktion op til en ønsket nøjagtighed. Beregningen reduceres altid til evalueringen af ​​den eksponentielle funktion i et lille område omkring nul, og begyndelsen af ​​effektserien bruges. I analysen skal den nødvendige arbejdsnøjagtighed på grund af reduktionen afvejes mod antallet af nødvendige multiplikationer af data med høj præcision.

Resten af th partiel sum har en enkel estimat mod de geometriske serier , der på

for alle med fører.

Den enkleste reduktion bruger identitet , altså til en given vilje bestemt, hvor vælges efter nøjagtighedsovervejelserne. Med dette nu, med en vis arbejdsnøjagtighed, beregnet og -foldet i firkant: . reduceres nu til den ønskede nøjagtighed og gemmes som en vendt tilbage.

Mere effektive processer kræver det , bedre derudover og ( Arnold Schönhage ) er tilgængelige i enhver (i henhold til specifikation) arbejdsnøjagtighed. Så kan identiteterne

eller

plejede til a fra intervallet eller at transformere et meget mindre interval og dermed reducere eller undgå den mere komplekse firkantning.

Når de implementeres i hardware, bruges passende procedurer til deres behov, for eksempel:

Baggrund og beviser

motivering

Den eksponentielle funktion stødes på, når man forsøger at generalisere eksponentieringen til enhver reel eksponent. Man starter med beregningsreglen og søger derfor en løsning på den funktionelle ligning med . Hvis man nu først og fremmest antager, at der faktisk findes en løsning og beregner dens derivat , støder man på udtrykket

Hvad betyder nu ? Vi kalder denne grænseværdi så gælder det igennem

defineret nummer (eller. , logaritmen skal så være basen være) formel i henhold til kædereglen

derefter sandsynligvis opfyldt

Hvordan kan du få dette nummer Beregn? Hvis man udtrykker det rent formelt og løser ligningen

, så får du . For nummeret

så det kan antages at

er gældende.

til får du med også rent formelt repræsentationen

således den ene definition af den eksponentielle funktion.

Taylor -serien

Alternativt kan du prøve funktionen

at udvikle sig til en Taylor -serie . For også ved induktion

skal gælde, så , opnås for Taylor -serien på det tidspunkt

altså præcis den anden definition af den eksponentielle funktion. I det følgende skal det vises, at den eksponentielle funktion, der er defineret på denne måde, faktisk har de ønskede egenskaber. Denne Taylor -serie kan også repræsenteres som en fortsat fraktion : [3]

Konvergens af følgende repræsentation

Sekvensen, der bruges til at definere den eksponentielle funktion

er for alvor konvergent punkt for punkt , fordi det for det første er monotont stigende fra et bestemt indeks, og for det andet er det begrænset opad .

Bevis for monotoni

Af uligheden mellem det aritmetiske og geometriske middel betyder det for

konsekvensen er derfor for næsten alle stiger monotont.

Bevis for begrænsning

Af uligheden mellem det harmoniske og geometriske middel følger det for

til og er derfor konsekvensen for alle begrænset:

til og selvfølgelig gælder grænsen

Funktionel ligning

Der og konvergerer, deres produkt konvergerer også

Er nu , så giver Bernoulli -uligheden tilstrækkeligt stor

;

til opnås ved uligheden, som er let at vise til og også den Bernoullianske ulighed for tilstrækkelig stor

den eksponentielle funktion opfylder så effektivt den funktionelle ligning .

Uligheder

Skøn nedad

Virkelig kan være den eksponentielle funktion med

skøn nedad. Beviset følger af definitionen

og det faktum, at for tilstrækkeligt store . Da sekvensen stiger monotont, er grænseværdien derfor virkelig større end nul.

Dette skøn kan omdannes til en vigtig ulighed

stramme. til følger hun , til ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die bernoullische Ungleichung auf die Definition

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel . Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben

Setzt man in der Abschätzung nach unten statt ein und verwendet , so erhält man durch Umstellen der Ungleichung die für alle gültige Abschätzung nach oben .

Ableitung der Exponentialfunktion

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen :

Wachstum der e-Funktion im Vergleich zu Polynomfunktionen

Oft wird die Aussage benötigt, dass die Exponentialfunktion wesentlich stärker wächst als jede Potenzfunktion , dh

Für ist dies klar, für kann entweder induktiv die Regel von de l'Hospital benutzt werden, oder auch elegant abgeschätzt werden:

Zunächst gilt

Wegen gilt

Dies konvergiert gegen und somit der obige Grenzwert gegen 0.

Basiswechsel

Wie bereits zuvor erwähnt, gilt

Beweis: Nach Definition des Logarithmus ist äquivalent zu , woraus die Identität folgt. Ersetzen von durch liefert

wobei im zweiten Schritt die Logarithmus-Rechenregel für Potenzen angewendet wurde.

Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

Will man die einfache Differentialgleichung : lösen und setzt noch voraus, so erhält man daraus eine Definition von .

Umkehrfunktion

Setzt man nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion von

Denn , und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist

und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält

Da die untere Grenze gleich 1 ist, ist und bei der Umkehrfunktion nach Eigenschaft der Umkehrfunktion: .

Differentialgleichung

Die Differentialgleichung y = y ′ beschreibt den Zusammenhang einer Größe y mit ihrem Wachstum y ′ : beide sind gleich groß. Daher wächst y umso schneller, je größer es bereits ist. Die Grafik zeigt exemplarisch vier Lösungen dieser Differentialgleichung, wobei die Exponentialfunktion e x rot dargestellt ist.

Erweitert man die Differentialgleichung auf für und löst sie, so erhält man für die Form

Speziell für ist

Ist dann eine Lösung und , dann ist

und nach Voraussetzung

Für beliebiges führen wir

ein. Es ergibt sich

und nach Voraussetzung wieder

Man besitzt nun ein Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, in denen man mittels eines Ansatzes vom Typ ein Ergebnis der Form erhält, welches auf der Exponentialfunktion basiert.

Beispiele für Exponentialfunktionen

Physik

Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der Physik seien genannt:

Chemie

Als ein Beispiel in der Chemie sei hier eine einfache chemische Reaktion skizziert. Es wird angenommen, dass wir die Lösung eines Stoffes vorliegen haben, etwa Rohrzucker in Wasser. Der Rohrzucker werde nun durch einen Katalysator zu Invertzucker umgewandelt ( hydrolysiert ). Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Geschwindigkeitsgesetz (unter Vernachlässigung der Rückreaktion ) wie folgt formulieren:

Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz .

Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit , so ist die Reaktionsgeschwindigkeit , und nach dem oben formulierten Geschwindigkeitsgesetz gilt die Gleichung

mit einer reaktionsspezifischen Geschwindigkeitskonstante . Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge des übriggebliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert:

wobei die Konstante die zur Zeit vorhandene Menge bezeichnet. Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand an, der völligen Umwandlung von Rohrzucker in Invertzucker. (Die Vernachlässigung der Rückreaktion ist hier akzeptabel, da das chemische Gleichgewicht der Rohrzucker-Hydrolyse sehr stark auf Seiten des Invertzuckers liegt).

Biologie, Epidemien

Beschreibung des exponentiellen Wachstums in der Anfangszeit einer Population von z. B. Mikroorganismen , Ausbreitung von Infektionen im Rahmen einer Epidemie und Fortpflanzung von Lebewesen, siehe r-Strategie oder SIR-Modell .

Stochastik

Gleiche Anzahl von Münzen und Empfängern

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, zufällig keine, eine oder mehr Münzen zu erhalten, wenn Münzen zufällig auf Empfänger verteilt werden und sehr groß ist?

Die Definitionsformel für die Exponentialfunktion

,

die daraus abgeleitete Näherungsformel

und die eulersche Zahl erlauben eine einfache Abschätzung.

Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Verteilung eine Münze zu erhalten, beträgt und , keine Münze zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine Münze zu erhalten, beträgt: . Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, -mal erfolglos zu sein:

Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten , wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten …):

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze zu erhalten, lautet entsprechend:

Mehr Münzen als Empfänger

Wie viele Münzen müssen es sein, um die Wahrscheinlichkeit , keine zu erhalten, zu verringern, beispielsweise auf 0,1 statt 0,37? Aus obiger Näherungsformel folgt:

Oder anders gefragt: Wie viele Münzen müssen es mehr sein als Empfänger ?

Damit im Mittel nur 10 % der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1 % fast die 5-fache Anzahl.

Logarithmische Darstellung des Nominalwerts des Euro

Wirtschaft

  • Stetige Verzinsung
  • Die Stückelung folgt üblicherweise einer exponentiellen Gesetzmäßigkeit beim Anstieg des Wertes. Am Beispiel des Euro ist zu den Punkten für jede Münze oder Banknote eine Ausgleichsgerade dargestellt. Die geringen Abweichungen von dieser Geraden folgen aus der Forderung nach „runden“ Zahlen, die mit nur einer signifikanten Stelle exakt anzugeben sind (nicht zu verwechseln mit glatten Zahlen ).

Verallgemeinerungen

Wenn eine Größe ist, deren Potenzen für beliebiges nicht-negatives ganzzahliges existieren, und wenn der Grenzwert existiert, ist es sinnvoll, die abstrakte Größe durch die oben angegebene Exponentialreihe zu definieren. Ähnliches gilt für Operatoren , die, einschließlich ihrer Potenzen, eine lineare Abbildung eines Definitionsbereichs eines abstrakten Raumes (mit Elementen ) in einen Wertebereich der reellen Zahlen ergeben: Hier ist es sogar für alle reellen sinnvoll, in ganz (genauer: im zugehörigen Abschlussbereich) Exponentialoperatoren durch den Ausdruck zu definieren, wobei die Konvergenz dieses Ausdrucks zunächst offenbleibt.

Iteration der Exponentiation führt auf die Verallgemeinerte Exponentialfunktion , die in der Gleitkomma-Arithmetik verwendet wird.

Siehe auch

Weblinks

Commons : Natural exponential function – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Christian Blatter, Analysis II . 1. Auflage, Springer Verlag 1974, ISBN 3-540-06914-3 , Kap. 18, § 182, Potenzreihen
  2. Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen . 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3 . S 175, 98 Satz 2 für den reellen und S 418 für den komplexen Fall
  3. Lisa Lorentzen, Haakon Waadeland: A.2.2 The exponential function . In: Continued Fractions – Convergence Theory (= Atlantis Studies in Mathematics for Engineering and Science . Band   1 ). Atlantis Press, 2008, ISBN 978-94-91216-37-4 , ISSN 1875-7642 , Abschnitt: Appendix A – Some continued fraction expansions , S.   268 , doi : 10.2991/978-94-91216-37-4 ( link.springer.com [PDF]).