Forårs pendul

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Bevægelse af en ikke -dæmpet fjederoscillator

Et fjederpendel eller fjederoscillator er en harmonisk oscillator, der består af en spiralformet fjeder og en masse knyttet til den, som kan bevæge sig i en lige linje i den retning, hvor fjederen forlænges eller forkortes.

Når fjederoscillatoren , der er afbøjet fra sin hvilestilling, slippes, begynder en oscillation, som, hvis der ikke er nogen dæmpning, ikke længere henfalder. Hvis massen ikke bevæger sig vandret, afhænger hvilestedet , men ikke svingningsfrekvensen, af tyngdekraften . Svingningen er harmonisk (dvs. sinusformet), så længe fjederen udøver en kraft, der er proportional med afbøjningen.

Denne artikel omhandler ikke pendulbevægelsen til siden, hvilket også er muligt og kan føre til kaotisk adfærd.

funktionalitet

En ideel fjeder udøver en kraft på massen, som er sammensat af kraften i hvilestilling og et forhold, der er proportional med afstanden fra hvilestillingen . Kraften i hvilestilling kompenserer for vægten og har ingen indvirkning på vibrationsadfærden. Delen, der er proportional med afbøjningen, har altid en genoprettende effekt. En afbøjet fjederoscillator stræber derfor altid efter at vende tilbage til hvilestilling. Dens masse accelereres i hvilestillingens retning og svinger ud over den igen på grund af inertiprincippet .

Den potentielle energi, der er lagret i foråret, omdannes til kinetisk energi af massen. Hvis der ikke er nogen dæmpning, trækkes der ingen energi fra systemet, så denne proces gentages periodisk med en konstant amplitude .

Hvis fjederoscillatoren periodisk exciteres af en ekstern kraft, kan amplituden blive meget stor og føre til en resonanskatastrofe .

Afledning af oscillationsligningen

Tving på en fjederoscillator. Fjederkraften F virker mod hvilestilling.

Ifølge Hookes lov er fjederkraften, der virker på massen, proportional med afbøjningen y .

Proportionalitetsfaktoren D er fjederkonstanten eller retningskonstanten.

Ifølge handlingsprincippet får fjederkraften massen til at accelerere mod nedbøjningen. Accelerationen kan også udtrykkes som anden derivat af forskydningen med hensyn til tid.

Efter at have transformeret ligningen opnår man endelig

en lineær homogen differentialligning, der kan løses ved hjælp af en eksponentiel tilgang.

kaldes den ikke -dæmpede naturlige vinkelfrekvens .

Den naturlige vinkelfrekvens er generel , skiftet efter perioden T resultater

Perioden angiver den tid, der kræves for en hel svingning.

Løs oscillationsligningen

Nedbøjningen er en eksponentiel funktion af formularen . Det andet derivat af funktionen er i henhold til kædereglen

Indsættelse af y i oscillationsligningsudbyttet

Ifølge sætningen om nul produkt skal eller Vær nul. e -funktionerne bruges til aldrig nul. Derfor den såkaldte karakteristiske ligning være opfyldt.

til der er to komplekse løsninger:

og

De to løsninger til og kan tilføjes. For fjederoscillatorens afbøjning y får vi:

Konstanterne og skal bestemmes. I begyndelsen af ​​svingningen er og . Efter en kvart periode T har oscillatoren sin maksimale afbøjning opnået.

Den komplekse eksponentielle funktion kan konverteres til sinus og cosinus ved hjælp af Eulers formel .

Indsættelse af forsyninger

og

Man opnår derfor og . Konstanterne kan nu bruges i den trigonometriske repræsentation af afbøjningsfunktionen, som derefter tager højde for kvadrantrelationerne og omformes.

Oscillationsligningen for den ideelle fjederoscillator uden afbøjning i begyndelsen af ​​oscillationen ( ) er

Energi fra en fjederoscillator

En fjederoscillators kinetiske energi med massen m kan beregnes med .

Efter begyndelsen af ​​hastigheden v opnår man

.

Følgende gælder for den naturlige vinkelfrekvens . Derfor kan den kinetiske energi også udtrykkes med:

Den potentielle energi er generel

til

Fordi fjederkraften er, gælder

Den samlede forårsenergi E F består af potentialet og den kinetiske energi.

På grund af de " trigonometriske Pythagoras " gælder , den samlede energi forenkles til:

Masset forår

Bevægelsesligningerne for ideelle fjederoscillatorer gælder kun masseløse fjedre. Hvis den elastiske fjeder antages at have masse, og massen er homogent fordelt, resulterer oscillationsperioden i

Parametrene m og m F svarer til oscillatorens masse og fjederens masse.

Fjederens samlede længde er l , s er afstanden mellem fjederoscillatorens ophængning og ethvert punkt på fjederen. Et afsnit af fjederen med længden d s har derefter massen . Hastigheden på fjedersektionen er , fordi den stiger lineært med stigende afstand til affjedringen. Heraf følger det for kinetisk energi i et fjedersektion

Fjederens samlede kinetiske energi opnås ved at integrere:

En fjederoscillators kinetiske energi under hensyntagen til den masserede fjeder er

Du kan se, at en tredjedel af fjermassen opfører sig som om den var en del af kroppens masse. Fra dette følger den periode, der er beskrevet ovenfor for en masselastet fjeder.

litteratur