Styrke teori

Styrke teorien i teknisk mekanik

Materialernes styrke er en gren af teknisk mekanik . Dets vigtigste anvendelsesområder er konstruktion ( konstruktionsteknik ) og maskinteknik . Deres love bruges til at undersøge, om strukturer eller maskiner kan modstå de belastninger, der pålægges dem, dvs. ikke bryde eller deformere overdrevent. På grund af inkluderingen af deformation bruges ofte det udvidede udtryk styrke og deformationsteori .

Med deres hjælp sammenlignes de belastninger og deformationer, der opstår i kroppen, når de udsættes for stress, med de tilladte værdier. De tilladte spændinger bestemmes i det væsentlige af det anvendte materiale og de tilladte deformationer ved anvendelse af komponenterne.

I tilfælde af elastiske deformationer bruges udtrykket elastostatik ud over styrke teori. Plastiske deformationer er genstand for plasticitetsteori . ^[1]

Spændinger er synlige i gennemsigtigt polycarbonat gennem polariserende dobbeltbrydning

historie

I oldtiden og i middelalderen brugte bygherrer tradition, erfaring og intuition til at bestemme styrken på bygninger og maskiner, så de hverken mislykkedes eller blev overdimensionerede. De første konkrete eksperimenter om, hvordan forskellige materialer opfører sig under belastning, blev udført af Galileo Galilei i begyndelsen af 1600 -tallet. ^[1] Systematiske og pålidelige resultater blev opnået fra omkring 1800 især af Claude Louis Marie Henri Navier , Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant , Gabriel Lamé , Siméon Denis Poisson og Christian Otto Mohr . Navnene på disse forskere kan stadig findes i dag med hensyn til styrke teori opkaldt efter dem. Styrke -teorien omfatter store dele af elasticitet og plasticitetsteori , ^[1] samt krybning (viskositet) af faste stoffer. Styrketeorien bruges i dag især til beregninger inden for konstruktion og maskinteknik .

Grundlæggende

spænding

Kuboid med mekanisk belastning

Hovedspændinger i flyspændingstilstanden

Mekanisk spænding (kort: spænding) og forvrængning er de to grundlæggende størrelser af styrke teori. Styrken styrkes hovedsageligt med mikro- og makroniveauet , hvor der i kontinuummekanik strengt taget kun er spændinger til stede. Disse spændinger kombineres i de resulterende kræfter og momenter på tværsnitsniveau og interagerer med den strukturelle analyse . Materialers styrke omhandler også de spændinger i tværsnittet, der forårsager stressresultaterne - disse sidestilles med de interne kræfter i første ordens teori i konstruktionsteknik. Følgende resultater er af særlig interesse for strukturanalysen: Normal kraft $N$ ${\ displaystyle N}$ $N$ , Forskydningskraft $V$ ${\ displaystyle V}$ $V$ , Bøjningsmomenter $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ og vridningsmoment $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ . Fordelingen af disse belastninger inde i kroppen repræsenteres af spændingen. ^[1] Det elementære begreb om spænding, spænding er lig med kraft pr. Område, blev opfundet af Augustin-Louis Cauchy i 1822. ^[2]

Den normale spænding skabes af normale kræfter eller kraftkomponenter, der er ortogonale i forhold til den observerede overflade $N=\int \sigma _{xx}\,\mathrm {d} A$ ${\ displaystyle N = \ int \ sigma _ {xx} \, \ mathrm {d} A}$ ${\ displaystyle N = \ int \ sigma _ {xx} \, \ mathrm {d} A}$ sat i gang. Således følger det, at middelspændingen er i længderetningen $\langle \sigma _{xx}\rangle ={\tfrac {N}{A}}$ ${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {xx} \ rangle = {\ tfrac {N} {A}}}$ ${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {xx} \ rangle = {\ tfrac {N} {A}}}$ er den normale kraft pr. tværsnitsareal.

Bøjningsmomentet afhænger også af spændingerne i længderetningen: $M_{y}=\int \sigma _{xx}\cdot z\ \mathrm {d} A$ ${\ displaystyle M_ {y} = \ int \ sigma _ {xx} \ cdot z \ \ mathrm {d} A}$ ${\ displaystyle M_ {y} = \ int \ sigma _ {xx} \ cdot z \ \ mathrm {d} A}$ .

Sidekræfter $V_{z}=\int \tau _{xz}\,\mathrm {d} A$ ${\ displaystyle V_ {z} = \ int \ tau _ {xz} \, \ mathrm {d} A}$ ${\ displaystyle V_ {z} = \ int \ tau _ {xz} \, \ mathrm {d} A}$ absorberes af tværsnit gennem forskydningsspænding. I tilfælde af rektangulære tværsnit med en højde h (i z-retningen) og x-aksen i tyngdepunktet, der er spændt i hovedtrækakser , skal det bemærkes, at forskydningsspændingen $\tau _{xz}$ ${\ displaystyle \ tau _ {xz}}$ $\ tau _ {{xz}}$ i teorien om elasticitet have et kvadratisk forløb over tværsnittet, da på den frie overflade (generelt) for forskydningsspændinger $\tau _{zx}=0$ ${\ displaystyle \ tau _ {zx} = 0}$ ${\ displaystyle \ tau _ {zx} = 0}$ gælder, og på grund af spændingstensorens symmetri følger det, at forskydningen spændes $\tau _{xz}=0$ ${\ displaystyle \ tau _ {xz} = 0}$ ${\ displaystyle \ tau _ {xz} = 0}$ til $z=\pm h/2$ ${\ displaystyle z = \ pm h / 2}$ ${\ displaystyle z = \ pm h / 2}$ Er nul.

Ovenstående ligninger er ikke tilstrækkelige til klart at dimensionere et tværsnit, der er et uendeligt antal tværsnitsparameterkombinationer (f.eks. $A,S_{y}$ ${\ displaystyle A, S_ {y}}$ ${\ displaystyle A, S_ {y}}$ ). Endvidere endda spændingskomponentinteraktioner på materialenniveau (f.eks. Sammenligningsspænding, der skal overvejes); og generelt (både i teorien om elasticitet og i teorien om plasticitet ) skal det påvises for hver fiber af materialet, at visse styrke -kriterier er opfyldt.

Strengt taget er spændingen en tensorel størrelse, den kaldes en stress -tensor for at præcisere dette: $\mathbf {\sigma } ={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {xx} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {åå } & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {xx} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {åå } & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {bmatrix}}}$

Der er tre normale belastninger på hoveddiagonalen . Sporet af spændingstensoren er invariant for koordinatsystemet. De andre elementer repræsenterer forskydningsspændinger. På grund af spændingstensorens symmetri er der tre uafhængige forskydningsspændinger. ^[2] Ved at transformere hovedaksen kan hver spændingstilstand konverteres til et koordinatsystem, hvor alle forskydningsspændinger forsvinder (egenværdi / egenvektorproblem).

Mohr -spændingscirklen er en grafisk metode til at bestemme hovedspændinger, deres retninger og hovedforskydningsspændinger.

forvrængning

Definition af forvrængning ved hjælp af et uendeligt lille linjeelement. Til venstre den ubelastede referencetilstand, til højre den indlæste aktuelle tilstand

I mekanismen i deformerbare kroppe ledsages enhver spænding på et legeme af en forvrængning - og dermed en deformation - af denne krop. Det elementære begreb forvrængning forstås generelt ^{[note 1]} som forvrængning, dvs. som kvotienten for ændringen i længde til den oprindelige længde: $\varepsilon ={\tfrac {\Delta l}{l}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {\ Delta l} {l}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {\ Delta l} {l}}}$ ^[2]

Forvrængningen er ligesom spændingen en trækmængde:

Da de observerede forskydningsderivater (dvs. forvrængninger og stive kropsrotationer) generelt er små i teknisk anvendelse i forhold til 1 ( ${\tfrac {\delta u_{i}}{X_{j}}}\ll 1$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ delta u_ {i}} {X_ {j}}} \ ll 1}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ delta u_ {i}} {X_ {j}}} \ ll 1}$ ), er det almindeligt at bruge den lineariserede stamme tensor $\mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} = {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {xx} & \ varepsilon _ {xy} & \ varepsilon _ {xz} \\\ varepsilon _ {yx} & \ varepsilon _ {åå } & \ varepsilon _ {yz} \\\ varepsilon _ {zx} & \ varepsilon _ {zy} & \ varepsilon _ {zz} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} = {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {xx} & \ varepsilon _ {xy} & \ varepsilon _ {xz} \\\ varepsilon _ {yx} & \ varepsilon _ {åå } & \ varepsilon _ {yz} \\\ varepsilon _ {zx} & \ varepsilon _ {zy} & \ varepsilon _ {zz} \ end {bmatrix}}}$ i stedet for Green-Lagrange-stamtenensoren $\mathbf {E} ={\begin{bmatrix}E_{xx}&E_{xy}&E_{xz}\\E_{yx}&E_{yy}&E_{yz}\\E_{zx}&E_{zy}&E_{zz}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ begin {bmatrix} E_ {xx} & E_ {xy} & E_ {xz} \\ E_ {yx} & E_ {yy} & E_ {yz} \\ E_ {zx } & E_ {zy} & E_ {zz} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ begin {bmatrix} E_ {xx} & E_ {xy} & E_ {xz} \\ E_ {yx} & E_ {yy} & E_ {yz} \\ E_ {zx } & E_ {zy} & E_ {zz} \ end {bmatrix}}}$ at bruge.

De vigtigste diagonale elementer i den lineære stamstensor beskriver stammen $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , defineret som den relative ændring i længden af et linjeelement $\varepsilon _{xx}={\tfrac {\partial u}{\partial X}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {xx} = {\ tfrac {\ delvis u} {\ delvis X}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {xx} = {\ tfrac {\ delvis u} {\ delvis X}}}$ . ^{[Note 2]} De resterende elementer i belastningstensoren beskriver forskydningen $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , defineret som den symmetriske halvdel af vinkelændringen mellem to oprindeligt ortogonale linjeelementer ved skæringspunktet. Ændringen i vinkel $\gamma _{ij}=\varepsilon _{ij}+\varepsilon _{ji}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} + \ varepsilon _ {ji}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} + \ varepsilon _ {ji}}$ ^{[Note 3]} svarer til to gange forskydningskomponenterne i belastningstensoren.

Stress-belastningsdiagram

Eksempel på et spændings-belastningsdiagram

Spændings-belastningsdiagrammet stammer ofte fra ^{[note 4]} fra måledata (f.eks. En trækprøvning ) og etablerer et forhold mellem stress og forvrængning ved at vise belastningen på abscissen og belastningen på ordinaten (normalt den normale spænding) fjernes. For duktile materialer kan det funktionelle forhold ofte ^{[Note 5] opdeles} i et lineært-elastisk område, et ikke-lineært-elastisk område og et plastområde. For styrke teori er det lineære-elastiske område tilstrækkeligt, afhængigt af materiale og anvendelse. I stålkonstruktion , betonkonstruktion og trækonstruktion efterlades det elastiske område (undtagen i særlige tilfælde) i en statisk beregning . I træ- og betonkonstruktion antages forvrængningerne generelt at være lineære på tværs af tværsnittet ( Bernoullis antagelser ), men ifølge gældende standarder antages et plastplateau (f.eks. Blokfordeling eller parabolisk-rektangulær fordeling) med hensyn til spændingsfordeling i betonkonstruktion. I stålkonstruktion er der en tværsnitsklassificering i den nuværende standardisering , som definerer, hvilke processer der er tilladte, ^{[Note 6],} hvorved de profiler, der er standardiseret i konstruktion generelt opfylder den højeste klasse (nemlig klasse 1). Imidlertid er de for det meste kun bevist for klasse 2 (blødgøring af tværsnittet, men der forudsættes ingen rotationsevne) eller kun for klasse 3 (elastik) - liggende på den sikre side.

I det lineære-elastiske område beskriver grafen en lige linje; den generaliserede Hookes lov gælder $\sigma =\mathbf {E} \cdot \mathbf {\varepsilon }$ ${\ displaystyle \ sigma = \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle \ sigma = \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ varepsilon}}$ . Her er $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ elasticitet tensor . Elasticitetsmodulerne kan bestemmes ved ultralydstestning . Elasticitetsmodul bestemmes også af (enaksial såvel som multiaxial) komprimerings- eller trækprøvning i det lineære-elastiske område. Elasticitetsmængderne er vigtige størrelser for udformning af legemer inden for styrketeori. ^[1]

Med henvisning til spændings-belastningsdiagrammet er flydespændingen normalt defineret. Fejlkriterier for (enkelt- eller flerakset) styrker er ofte defineret ud fra spændings-belastningsdiagrammet. Disse styrker bruges ved valg af materiale til en given applikation. Armeret beton bruges ofte i konstruktionen , hvorved der i den statiske beregning som regel kun tildeles stålspændinger og kun trykspændinger til beton.

Shear stress-shear diagram

Forskydningsspændings-forskydningsdiagrammet stammer ofte fra måledataene for spændingen på en prøve i forskydning . I diagrammet for forskydningsspænding og forskydning er forskydningen afbildet på abscissen og forskydningsspændingen på ordinaten. I det lineære-elastiske område er grafen for forskydningsspændings-forskydningsdiagrammet lineær. I styrke teorien gælder følgende i det lineære elastiske område: $\tau =G\gamma$ ${\ displaystyle \ tau = G \ gamma}$ $\ tau = G \ gamma$ . Proportionalitetskonstanten er forskydningsmodulet $G$ ${\ displaystyle G}$ $G$ .

Termisk baserede belastninger

Når temperaturen stiger, udvider et materiale sig normalt ( termisk ekspansion ); når temperaturen falder, trækker det sig sammen. Dette forhold kan lineariseres og modelleres ved hjælp af følgende ligninger:

\mathbf {\varepsilon _{T}} =\Delta T\cdot \alpha

{\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon _ {T}} = \ Delta T \ cdot \ alpha}

{\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon _ {T}} = \ Delta T \ cdot \ alpha}

og

\Delta l=L_{0}\cdot \mathbf {\varepsilon _{T,xx}}

{\ displaystyle \ Delta l = L_ {0} \ cdot \ mathbf {\ varepsilon _ {T, xx}}}

{\ displaystyle \ Delta l = L_ {0} \ cdot \ mathbf {\ varepsilon _ {T, xx}}}

.

Her er

$\Delta T$ ${\ displaystyle \ Delta T}$ $\ Delta T$ ændringen i temperatur
$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ termisk ekspansionskoefficient
$\Delta l=l-L_{0}$ ${\ displaystyle \ Delta l = l-L_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta l = l-L_ {0}}$ ændringen i en krops længde
$L_{0}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ $L_ {0}$ dens oprindelige længde.

Hvis udvidelsen forhindres:

\mathbf {\varepsilon } =\mathbf {\varepsilon _{T}+\varepsilon _{\sigma }} =0

{\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} = \ mathbf {\ varepsilon _ {T} + \ varepsilon _ {\ sigma}} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} = \ mathbf {\ varepsilon _ {T} + \ varepsilon _ {\ sigma}} = 0}

,

det følger, at forvrængning på grund af spænding ( begrænsning ) er lig med den negative temperaturudvidelse:

\Rightarrow \mathbf {\varepsilon _{\sigma }} =-\mathbf {\varepsilon _{T}} =-\Delta T\cdot \alpha

{\ displaystyle \ Rightarrow \ mathbf {\ varepsilon _ {\ sigma}} = - \ mathbf {\ varepsilon _ {T}} = - \ Delta T \ cdot \ alpha}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ mathbf {\ varepsilon _ {\ sigma}} = - \ mathbf {\ varepsilon _ {T}} = - \ Delta T \ cdot \ alpha}

.

Områdets inertimoment

Tabel over geometriske inertimomenter fra leksikonet for al teknologi fra 1904

Materialets egenskaber og et legems geometri påvirker dets adfærd under belastning. Det geometriske inertimoment er et rent geometrisk mål for modstanden i et tværsnit gennem et legeme mod deformation gennem bøjning og vridning . Der skelnes mellem polarområdets inertimoment $I_{p}$ ${\ displaystyle I_ {p}}$ $I_p$ , de aksiale geometriske inertimomenter $I_{xx}$ ${\ displaystyle I_ {xx}}$ ${\ displaystyle I_ {xx}}$ og $I_{yy}$ ${\ displaystyle I_ {åå}}$ ${\ displaystyle I_ {åå}}$ samt afvigelsens øjeblikke $I_{xy}=I_{yx}$ ${\ displaystyle I_ {xy} = I_ {yx}}$ ${\ displaystyle I_ {xy} = I_ {yx}}$ .

Arealet af inertimoment kan også tolkes i form af tensor ; det gælder $\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}I_{p}&0&0\\0&I_{yy}&I_{yz}\\0&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} I_ {p} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {yy} & I_ {yz} \\ 0 & I_ {zy} & I_ {zz} \ slut {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} I_ {p} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {yy} & I_ {yz} \\ 0 & I_ {zy} & I_ {zz} \ slut {bmatrix}}}$ . ^[2] Arealet inerti tensor bliver med $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ mathbf {J}}$ henvist til, der $\mathbf {I}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ $\ mathbf {I}$ bruges allerede til identitet .

Egenværdierne for områdets inerti tensor er maksima for det aksiale areal inertimoment i et tyngdepunktssystem og kaldes de vigtigste inertimomenter. ^[2] Transformationsforhold kan bruges til at bestemme de vigtigste inertimomenter.

For lettere at kunne beregne de geometriske inertimomenter for komplekse tværsnitsarealer kan der foretages en opdeling i delområder og beregningen af de geometriske inertimomenter for disse delområder. Hvis tyngdepunktet for et delområde ikke falder sammen med det samlede tyngdepunkt, skal Steiner -andelen føjes til de aksiale areal -inertimomenter og afvigelsesmomenterne ifølge Steiners sætning . ^[2]

Det geometriske inertimoment er af stor praktisk betydning, for med sin viden kan komponenter designes til at være så modstandsdygtige som muligt for en given hovedlastretning og en given materialebrug. Dette er årsagen til den hyppige brug af profilstål , såsom den dobbelte T-bjælke, i stedet for fast materiale.

Erklæringer om tværsnitsbelastning

Efter overvejelser statik (fx strukturelle engineering ) eller dynamik (fx strukturelle dynamik ), er de samme belastninger overdraget til samme belastning, med henvisning til en linie føres gennem en elastisk stang. Emnet styrke er emnet styrketeknik.

Bøje

Erklæringer om belastninger og deformationer på kroppe på grund af bøjning er en elementær komponent i styrkelære. Her er stråleteorien modellen for den anvendte stråle , da et antal komponenter, især strukturelle komponenter og bølger forlader, modelleret som stråler.

Generelt skelnes der mellem lige bøjninger og skrå bøjninger . Den lige bøjning foretages ved belastning langs en bjælkes hovedtrækakse ; for aksialt symmetriske tværsnit er disse symmetriakser.

Bøjning af normal stress

Bøjningens normale spænding ændres lineært langs tværsnittet

Når en stråle er bøjet af et øjeblik eller en belastning, der genererer et bøjningsmoment, opstår der normal belastning i strålen. Da de undersøgte bjælker for det meste er lange i forhold til deres tykkelse ( slank stråle ) og afbøjningerne er relativt små, antages det ofte ^{[Note 7],} at den normale bøjningsspænding ændres lineært over tværsnittet (se figur til højre) . I tilfælde af en lige bøjning afhænger den normale bøjningsspænding kun af en hovedtrækakse. Størrelsen af de største bøjningsnormale spændinger forekommer på fiberen i bjælken, der har den største eller mindste værdi på denne hovedtrækakse. Hvis der ikke er nogen normal kraft , går nuloverskridelsen af spændingen ( nullinjen eller den neutrale fiber ) gennem tværsnittets tyngdepunkt. I dette tilfælde afhænger spændingens tegn kun af tegnet på hovedtrøghedsaksen i tilfælde af en lige bøjning, forudsat at elementets længdeakse er i tyngdepunktet.

Bøjningsspændingen i bøjning kan bestemmes som følger for lineær elasticitet under forudsætning af Bernoulli stråle teori :

$\sigma _{xx}(x,y,z)={\frac {N(x)}{A(x)}}-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{yy}(x)+M_{y}(x)\cdot I_{yz}(x)}{I_{yy}(x)\cdot I_{zz}(x)-I_{yz}^{2}(x)}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{zz}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}(x)}{I_{yy}(x)\cdot I_{zz}(x)-I_{yz}^{2}(x)}}\cdot z.$ ${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, y, z) = {\ frac {N (x)} {A (x)}} - {\ frac {M_ {z} (x) \ cdot I_ {åå } (x) + M_ {y} (x) \ cdot I_ {yz} (x)} {I_ {yy} (x) \ cdot I_ {zz} (x) -I_ {yz} ^ {2} (x )}} \ cdot y + {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot I_ {zz} (x) + M_ {z} (x) \ cdot I_ {yz} (x)} {I_ {yy} (x) \ cdot I_ {zz} (x) -I_ {yz} ^ {2} (x)}} \ cdot z.}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, y, z) = {\ frac {N (x)} {A (x)}} - {\ frac {M_ {z} (x) \ cdot I_ {åå } (x) + M_ {y} (x) \ cdot I_ {yz} (x)} {I_ {yy} (x) \ cdot I_ {zz} (x) -I_ {yz} ^ {2} (x )}} \ cdot y + {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot I_ {zz} (x) + M_ {z} (x) \ cdot I_ {yz} (x)} {I_ {yy} (x) \ cdot I_ {zz} (x) -I_ {yz} ^ {2} (x)}} \ cdot z.}$ ^[3]

I dette tilfælde er spændingskomponenterne i tilfælde af spænding i de vigtigste trækakser ${\frac {M_{y}(x)\cdot z}{I_{yy}(x)}}-{\frac {M_{z}(x)\cdot y}{I_{zz}(x)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot z} {I_ {yy} (x)}} - {\ frac {M_ {z} (x) \ cdot y} {I_ {zz} ( x)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot z} {I_ {yy} (x)}} - {\ frac {M_ {z} (x) \ cdot y} {I_ {zz} ( x)}}}$ Bøjningsspændinger (en type normale belastninger ) som funktion af $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ og $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ afstanden til x-aksen (stangens længdeakse), $M_{y}$ ${\ displaystyle M_ {y}}$ $Min}$ lastning bøjningsmoment omkring y-aksen og $I_{yy}$ ${\ displaystyle I_ {åå}}$ ${\ displaystyle I_ {åå}}$ det aksiale geometriske inertimoment . Hvis en stråle ud over belastningen forårsaget af et bøjningsmoment udsættes for en normal belastning ( begrænsning ) forårsaget af en temperaturændring på grund af forhindret (eller forhindret) forlængelse, kan den resulterende normale spænding bestemmes i den lineære elasticitet teori ifølge superpositionsprincippet ved at tilføje den normale spænding forårsaget af bøjningsmomentet til den termisk inducerede normale spænding. Ved dimensionering af reelle bjælker er kantspændinger ofte afgørende i den lineære elasticitetsteori, da spændingen ^{[Note 8]} i resten af bjælken altid er den samme ^{[Note 9]} eller mindre end ved bøjning af normal kraft torsionsbelastninger belastningen på margenerne. I tilfælde af M - N - V interaktion skal hver fiber verificeres, især i tyngdepunktet, da det er her de største forskydningsspændinger er til stede. For at få en materialeoptimering (større løftearm) kan der produceres tværsnit med (muligvis kontinuerligt) graderede materialestyrker eller materialebredder, eller materialekompositter kan bruges som i armeret betonkonstruktion . ^{[Note 10]} Hvis kanterne af strålen indsættes i formen for bøjningsspænding, med kun en akse større akse bøjet i z-retningen, er resultatet:

$\sigma _{xx}(x,y,z)={\frac {M_{y}(x)\cdot z_{\text{Rand}}(x)}{I_{yy}(x)}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, y, z) = {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot z _ {\ text {Rand}} (x)} {I_ {yy} (x )}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, y, z) = {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot z _ {\ text {Rand}} (x)} {I_ {yy} (x )}}}}$

Som begge $I_{yy}(x)$ ${\ displaystyle I_ {åå} (x)}$ ${\ displaystyle I_ {åå} (x)}$ såvel som $z_{\text{Rand}}(x)$ ${\ displaystyle z _ {\ text {Rand}} (x)}$ ${\ displaystyle z _ {\ text {Rand}} (x)}$ geometriske parametre, der kun afhænger af x-koordinaten, er, bøjning af normale spændinger, for et givet tværsnit, for en given belastning og lineær elasticitet kan bestemmes entydigt og kan omfatte modstand mod drejningsmoment $W.$ ${\ displaystyle W}$ $W.$ opsummeres.

Det gælder $\textstyle W_{u}(x)={\frac {I_{yy}(x)}{z_{u}(x)}},\textstyle W_{o}(x)={\frac {I_{yy}(x)}{z_{o}(x)}}$ ${\ displaystyle \ textstyle W_ {u} (x) = {\ frac {I_ {yy} (x)} {z_ {u} (x)}}, \ textstyle W_ {o} (x) = {\ frac { I_ {åå} (x)} {z_ {o} (x)}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle W_ {u} (x) = {\ frac {I_ {yy} (x)} {z_ {u} (x)}}, \ textstyle W_ {o} (x) = {\ frac { I_ {åå} (x)} {z_ {o} (x)}}}$ ^{[Note 11]} og dermed $\textstyle \sigma _{xx}(x,y,z_{u})=\sigma _{xx}(x,z_{u})={\frac {M_{y}(x)}{W_{u}(x)}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {xx} (x, y, z_ {u}) = \ sigma _ {xx} (x, z_ {u}) = {\ frac {M_ {y} (x)} { W_ {u} (x)}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {xx} (x, y, z_ {u}) = \ sigma _ {xx} (x, z_ {u}) = {\ frac {M_ {y} (x)} { W_ {u} (x)}}}$ .

Sektionsmodulet er også en rent geometrisk variabel og bruges ofte ved dimensionering af bjælker, da de maksimale spændinger, som materialevalget giver, ikke må overskrides, og sektionsmodulet skaber et enkelt forhold mellem den normale bøjningsspænding og spændingen forårsaget af en bøjningsmoment. ^[2]

belastning

Holderen drejede på begge sider på to understøtninger uden en udliggerarm

En bøjningsbjælke (f.eks. Bjælke på to understøtninger eller en udliggerarm) belastes med en positiv belastning på siden med den positive z-koordinat i det sædvanlige koordinatsystem på grund af et positivt moment omkring den positive y-akse. Kun nulpunktsplanet, hvor der ikke er nogen spændinger, der løber gennem tyngdepunktet af strålens tværsnit, når der kun anvendes bøjningsmomenter, forbliver fri for normale spændinger i Bernoulli-stråleteorien og bevarer dermed dens længde ( ved konstant temperatur). Da Bernoullis antagelser gælder for en god tilnærmelse til lange bjælker, forbliver hvert tværsnitsareal langs bjælken fladt og ortogonalt i forhold til stråleaksen. ^[1]

Bøjningslinjen beskriver afbøjningen af en bjælkes stangakse ved enhver x-koordinat. Det består generelt af elastiske, plastiske og tyktflydende komponenter. I lineær elasticitetsteori kan bøjningslinjen opnås fra differentielle relationer gennem multiple integration fra bøjningsmomentkurven, forskydningskraftkurve eller linjebelastning, forudsat at den klart kan tilpasses randbetingelserne. Følgende gælder for en konstant temperatur over tværsnittet og for (enaksial) hovedaksebøjning: ^{[Note 12]}

$EI_{y}w_{z}''''=q_{z}(x)$ ${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' '' = q_ {z} (x)}$ ${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' '' = q_ {z} (x)}$
$EI_{y}w_{z}'''=-Q_{z}(x)$ ${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' '' - - Q_ {z} (x)}$ ${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' '' - - Q_ {z} (x)}$
$EI_{y}w_{z}''=-M_{y}(x)$ ${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' = - M_ {y} (x)}$ ${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' = - M_ {y} (x)}$ .

det er $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ elasticitetsmodulet, $I_{y}$ ${\ displaystyle I_ {y}}$ $I_ {y}$ det aksiale geometriske inertimoment i z-retningen og $w_{z}$ ${\ displaystyle w_ {z}}$ ${\ displaystyle w_ {z}}$ afbøjningskomponenten i z-retningen. Integrationskonstanterne kan udelukkende med statisk bestemte og statisk ubestemte systemer klart om lagringen bestemmes af stangen. ^[2]

vridning

Eksempel på vridningsmomenter på en cirkulær stang

Hvis en stang belastes af et torsionsmoment , forekommer torsionsforskydningsspændinger i dens indre, hvilket forårsager en uendelig forskydning af dens tværsnitsoverfladeelementer. I de fleste tilfælde ^{[note 13] skal} komponentens sikkerhed mod vridningsspænding påvises med et bevis på stabilitet .

Torsion af stænger med et cirkulært tværsnit

Forløbet af torsionsforskydningsspændingen på det cirkulære tværsnit

Ved torsion af cirkulære stænger, såsom drivaksler og rør , forbliver tværsnittene flade og cirkulære, og lige linjer forbliver lige i aksial retning. Radius og længde af stangen forbliver konstant for de små rotationsvinkler, der forekommer inden for teknologi. Vridningsforskydningsspændingen $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\dug$ stiger lineært med radius i den lineære elasticitetsteori $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ og er af vridningsmomentet $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ og polarområdet inertimoment $I_{p}$ ${\ displaystyle I_ {p}}$ $I_p$ afhængig. Det beregnes ved hjælp af torsionsformlen

$\tau ={\frac {T\cdot r}{I_{p}}}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {T \ cdot r} {I_ {p}}}}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {T \ cdot r} {I_ {p}}}}$ . ^[1]

Som et resultat heraf er torsionsforskydningsspændingen størst på stangens overflade og konstant over hele overfladen.

Vridningsvinklen $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ af stænger med et cirkulært tværsnit beregnes ved hjælp af følgende formel:

$\Phi ={\frac {T\cdot l}{I_{p}\cdot G}}$ ${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {T \ cdot l} {I_ {p} \ cdot G}}}$ ${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {T \ cdot l} {I_ {p} \ cdot G}}}$

det er $l$ ${\ displaystyle l}$ $l$ længden af stangen og G forskydningsmodulet .

For aksler, der har flere skuldre med forskellige diametre, kan den totale rotationsvinkel beregnes ved hjælp af ovenstående formel for hvert akseltrin og tilføjelse af resultaterne. ^[1]

Torsion af stænger med prismatisk tværsnit

Forløb af forskydningsspændingen langs symmetriakslerne i et rektangulært tværsnit

Mens i kroppe med et cirkulært tværsnit tværsnittene altid forbliver cirkulære under vridningsbelastning , forekommer vridning i prismatiske tværsnit, hvilket fører til et komplekst vridningsmønster, der ikke kan bestemmes med enkle analytiske midler . Ved design af prismatiske stænger til torsion bruges tabeller ofte.

Ved trekantede eller firkantede tværsnit forekommer de maksimale forskydningsspændinger altid ved sidepunkternes midterpunkter (se figur til højre), mens hjørnerne skal være spændingsfri på grund af belastningsgrænseforholdene.

Torsion af stænger med et tyndvægget tværsnit

Da den maksimale forskydningsspænding af cirkulære tværsnit forekommer ved deres kanter, kan tyndvæggede tværsnit bruges, for eksempel i rør eller hule aksler .

Den maksimale forskydningsspænding $\tau _{\text{max}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ text {max}}}$ $\ tau_ \ tekst {max}$ på et tyndvægget tværsnit kan bestemmes af $\tau _{\text{max}}={\frac {T\cdot t}{I_{T}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ text {max}} = {\ frac {T \ cdot t} {I_ {T}}}}$ $\ tau_ \ text {max} = \ frac {T \ cdot t} {I_T}$ med vridningsmomentet af inerti $I_{T}$ ${\ displaystyle I_ {T}}$ $DET}$ og vægtykkelsen $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Hvis man opsummerer torsionsmoment og vægtykkelse til torsionsmoment for modstand $W_{p}$ $W_{p}$ $W_{p}$ zusammen, gilt $\tau _{\mathrm {max} }={\frac {T}{W_{p}}}$ $\tau _{\mathrm {max} }={\frac {T}{W_{p}}}$ $\tau_\mathrm{max} = \frac{T}{W_p}$ . ^[2]

Der Verdrehwinkel $\Phi$ $\Phi$ $\Phi$ wird berechnet durch $\Phi ={\frac {Tl}{4A_{0}^{2}G}}\oint {\frac {1}{t}}ds$ $\Phi ={\frac {Tl}{4A_{0}^{2}G}}\oint {\frac {1}{t}}ds$ $\Phi = \frac{Tl}{4A_0^2G}\oint\frac{1}{t}ds$ . ^[1]

Bei dünnwandigen Querschnitten tritt Schubfluss auf, der durch folgende mithilfe der Bredtschen Formel hergeleitete Beziehung bestimmt wird:

$q_{T}={\frac {T}{2A_{m}}}$ $q_{T}={\frac {T}{2A_{m}}}$ $q_T = \frac{T}{2A_m}$

Dabei ist $q_{T}$ $q_{T}$ $q_T$ der Schubfluss und $A_{m}$ $A_{m}$ $A_{m}$ die von der Profilmittellinie eingeschlossenen Fläche. Der Schubfluss ist der Grund für die deutlich höhere Widerstandsfähigkeit von geschlossenen Profilen gegenüber geschlitzten Profilen. ^[2]

Knicken von Druckstäben

Die vier Euler-Fälle unterscheiden sich in den Lagerungen der Stäbe

Sehr schlanke Stäbe neigen zu einem schlagartigen Versagen durch seitliche Auslenkung, sobald man sich einer kritischen Last – zu Ehren Leonhard Eulers auch Euler'sche Knicklast $P_{\mathrm {kr} }$ $P_{\mathrm {kr} }$ $P_\mathrm{kr}$ genannt – annähert. Dieser Effekt wird als "Knicken" bezeichnet und ist im Tragsicherheitsnachweis nachzuweisen. Für die Auslegung reicht es id R. nicht aus, dass die kritische Last einfach nur unterhalb der rechnerisch bestimmbaren ("theoretischen") Belastbarkeit eines Stabes gehalten wird, da durch werkstoffliche oder konstruktive Unvollkommenheiten ein Knicken schon vor Erreichen der idealen Knickdruckkraft eintreten kann. Die kritische Last eines Einzelstabes, der ausschließlich auf Normalkraft beansprucht wird, wird bestimmt durch:

$P_{\mathrm {kr} }={\frac {\pi ^{2}EI}{(\beta \cdot L)^{2}}}$ $P_{\mathrm {kr} }={\frac {\pi ^{2}EI}{(\beta \cdot L)^{2}}}$ $P_{\mathrm {kr} }={\frac {\pi ^{2}EI}{(\beta \cdot L)^{2}}}$ ^[4]

Hierbei ist $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ der Elastizitätsmodul , $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ das Flächenträgheitsmoment ^{[Anmerkung 14]} des Querschnitts, $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ die Länge des Stabs und $\beta$ $\beta$ $\beta$ ein Längenfaktor, der abhängig von den Randbediungen (in Sonderfällen eines der Euler-Fälle) (siehe Bild rechts, von links nach rechts) ist. Die Knicklänge $s_{k}$ $s_{k}$ $s_k$ ist der (eventuell virtuelle) Abstand zweier Wendepunkte (Momentennullpunkte) der (eventuell verlängerten) Biegelinie dieses Einzelstabes. Bei Rahmen, als auch drehbar gelagerten Stäben (tritt in der Realität in einer guten Näherung fast immer auf) werden häufig Knicklängendiagramme verwendet.

Formänderungsenergie

Beim Sprungbrett erhöht die Formänderungsenergie des Bretts zunächst die potentielle und anschließend die kinetische Energie des Sportlers

Durch seine Verformung nimmt ein Körper Energie, die Formänderungsenergie $W$ ${\displaystyle W}$ $W$ , auf. Für Normal- und Schubspannungen innerhalb eines Körpers wird die Formänderungsenergie bestimmt durch

$W=\int _{t}\int _{V}{\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {\dot {\varepsilon }} }dVdt$ $W=\int _{t}\int _{V}{\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {\dot {\varepsilon }} }dVdt$ $W=\int _{t}\int _{V}{\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {\dot {\varepsilon }} }dVdt$

Dabei ist:

\mathbf {\sigma }

\mathbf {\sigma }

\mathbf {\sigma }

der Spannungstensor

\mathbf {\dot {\varepsilon }}

\mathbf {\dot {\varepsilon }}

\mathbf {\dot {\varepsilon }}

der Verzerrungsratentensor

V

{\displaystyle V}

V

das Volumen des betrachteten Körpers

t

{\displaystyle t}

t

die Zeit.

Für Stäbe und Balken lässt sich die Formänderungsenergie abhängig von den auftretenden Belastungen ausdrücken. Dabei ist $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ die Länge des Körpers und $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ die Laufkoordinate in Richtung der Stab- oder Balkenachse.

Die Formänderungsenergie ist in der linearen Elastizitätstheorie für Belastung durch…

Normalkraft: $W_{N}=\int _{0}^{l}{\frac {N^{2}}{2EA}}dx$ $W_{N}=\int _{0}^{l}{\frac {N^{2}}{2EA}}dx$ $W_{N}=\int _{0}^{l}{\frac {N^{2}}{2EA}}dx$ mit der Normalkraft $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ und der Querschnittsfläche $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ .

Biegemoment: $W_{B}=\int _{0}^{l}{\frac {M^{2}}{2EI}}dx$ $W_{B}=\int _{0}^{l}{\frac {M^{2}}{2EI}}dx$ $W_{B}=\int _{0}^{l}{\frac {M^{2}}{2EI}}dx$ mit dem Biegemoment $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ und dem axialen Flächenträgheitsmoment $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ in Richtung der Balkenachse.

Querkraftschub: $W_{V}=\int _{0}^{l}{\frac {\chi _{s}Q^{2}}{2GA}}dx$ $W_{V}=\int _{0}^{l}{\frac {\chi _{s}Q^{2}}{2GA}}dx$ $W_{V}=\int _{0}^{l}{\frac {\chi _{s}Q^{2}}{2GA}}dx$ mit der Querkraft $Q$ ${\displaystyle Q}$ $Q$ und dem Formfaktor $\chi _{s}={\frac {A}{I}}\int _{A}{\frac {S^{2}}{t^{2}}}dA$ $\chi _{s}={\frac {A}{I}}\int _{A}{\frac {S^{2}}{t^{2}}}dA$ $\chi_s = \frac{A}{I} \int_A \frac{S^2}{t^2} dA$ , in dem das statische Moment $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ und die Breite beziehungsweise Wandstärke $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ enthalten sind.

Torsion: $W_{T}=\int _{0}^{l}{\frac {M_{T}^{2}}{2GI_{P}}}dx$ $W_{T}=\int _{0}^{l}{\frac {M_{T}^{2}}{2GI_{P}}}dx$ $W_{T}=\int _{0}^{l}{\frac {M_{T}^{2}}{2GI_{P}}}dx$ mit Torsionsmoment $M_{T}$ $M_{T}$ $M_T$ und polarem Flächenträgheitsmoment $I_{P}$ $I_{P}$ $I_P$ . ^[1]

Bei kombinierter Belastung durch mehrere dieser Belastungsarten kann die resultierende Formänderungsenergie durch Addition der einzelnen Formänderungsenergien bestimmt werden. ^[2]

Energiemethoden

Die beiden Kräfte des Satzes von Betti am Kragträger

Mithilfe der Formänderungsenergie und unterschiedlichen Sätzen Energiemethoden lassen sich Aussagen zum Verhalten eines Körpers unter Lasteinwirkung treffen.

Der Satz von Castigliano besagt, dass die partielle Ableitung der in einem linear-elastischen Körper gespeicherten Formänderungsenergie nach der äußeren Kraft die Verschiebung des Kraftangriffspunkts in Richtung dieser Kraft ergibt.

Der Satz von Menabrea besagt, dass die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einer statisch unbebestimmten Lagerreaktion gleich Null ist.

Der Satz von Betti behandelt einen Körper, an dem zwei voneinander unabhängige Kräfte angreifen, und stellt einen Zusammenhang zwischen der Arbeit her, die diese Kräfte auf dem Verschiebungsweg der jeweils anderen Kraft verrichten. ^[2]

Das Prinzip der virtuellen Kräfte wird Johann I Bernoulli zugeschrieben, ist eine Abwandlung des Prinzips der virtuellen Arbeit und ermöglicht die Ermittlung von Verschiebungen und Winkeländerungen an Orten, an denen keine Kraft am Körper angreift. Dazu wird am gewünschten Ort eine virtuelle Kraft eingeführt, die einen beliebigen von Null verschiedenen Wert hat.

Sicherheit bei Festigkeitsberechnungen

Bei der Auslegung von Bauteilen müssen Sicherheiten beispielsweise gegen Bruch durch Materialermüdung vorgesehen werden.

Bei Bauteilen von Maschinen oder Elementen eines Gebäudes treten Ungenauigkeiten auf, diese sollten innerhalb der dafür vorgesehenen Toleranzen liegen. Zum einen können Fertigungsfehler die Belastbarkeit reduzieren, die ein Bauteil aufnehmen kann, des Weiteren können Lastannahmen falsch getroffen werden und die tatsächliche Belastung eines Teils über der angenommenen Belastung liegen. Sämtliche kommerzielle Werkstoffe (insbesondere Holz oder Beton ) weisen Schwankungen in ihrer Festigkeit auf, die zu Berücksichtigen sind. Das Teilsicherheitskonzept des Eurocodes beschreibt eine Möglichkeit dies zu berücksichtigen, wobei $R_{k}$ $R_{k}$ $R_{k}$ der charakteristische Widerstand (Resistance) und $E_{k}$ $E_{k}$ $E_{k}$ für die charakteristische Einwirkung steht:

${\frac {R_{k}}{\gamma _{R}}}\geq E_{k}\cdot \gamma _{E}$ ${\frac {R_{k}}{\gamma _{R}}}\geq E_{k}\cdot \gamma _{E}$ ${\frac {R_{k}}{\gamma _{R}}}\geq E_{k}\cdot \gamma _{E}$

Wobei $R_{k}$ $R_{k}$ $R_{k}$ und $E_{k}$ $E_{k}$ $E_{k}$ nicht nur Spannungen oder Verzerrungen, sondern auch Drehwinkel, Temperatur oder ähnliches sein können. Die Versagensbelastung wird im Allgemeinen durch Rechenmodelle (Normen, Computermodelle ) ermittelt, die oftmals Daten aus Versuchen oder Gebäudeschäden beinhalten.

Der Sicherheitsfaktor ist dimensionslos, sein Wert ist abhängig von der Sicherheitsrelevanz des zu dimensionierenden Bauteils und der Streuung im Werkstoffverhalten beziehungsweise der Einwirkung zu wählen. Im Hochbau liegt im Betonbau und Holzbau der globale Sicherheitsfaktor im Bereich von 2, in Einzelfällen (Kernkraftwerken) kann (und muss) davon abgewichen werden, außerordentliche Lastfälle (Lastfälle, die nicht zu erwarten sind wie z. B. Autoaufprall) haben einen reduzierten Sicherheitsfaktor auf der Einwirkungs- (=1) als auch auf der Widerstandsseite (tw.=1). Oft sind Sicherheitsfaktoren in Normenwerken zu finden. ^[1]

Neben den grundlegenden Größen wie Spannung und Verformung müssen Sicherheiten gegen Langzeitwirkungen wie Korrosion, Kriechen und Ermüdung vorgesehen werden. Kriechen tritt auf, wenn ein Werkstoff über eine lange Zeit, oft unter hohen Temperaturen, eine gleichförmige Belastung erfährt. Ermüdung tritt bei häufigen Belastungswechseln, beispielsweise bei Flugzeugen oder bei Antriebswellen von Fahrzeugen, auf.

Literatur

Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre. 8. Auflage. Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .
Walther Mann: Vorlesungen über Statik und Festigkeitslehre. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart 1997, ISBN 3-519-15238-X .
Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Mit einer Einführung in Hybridstrukturen. Springer, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-44797-0 .
Klaus-Dieter Arndt, Holger Brüggemann, Joachim Ihme: Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-658-05903-3 .
Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik 2 – Festigkeitslehre. 18. Auflage. Oldenbourg, München 2013, ISBN 978-3-486-70886-8 .
Herbert Balke : Einführung in die Technische Mechanik – Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40980-6 .
Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder , Wolfgang Wall: Technische Mechanik 2 – Elastostatik. 10. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-00564-0 .
Günther Holzmann, Heinz Meyer, Georg Schumpich: Technische Mechanik – Festigkeitslehre. 10. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8348-0970-4 .
Volker Läpple: Einführung in die Festigkeitslehre. 3. Auflage. Vieweg Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1605-4 .
Herbert Mang , Günter Hofstetter: Festigkeitslehre. 4. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 (560 S., springer.com ).
Otto Wetzell, Wolfgang Krings: Technische Mechanik für Bauingenieure. Band 2: Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2015, ISBN 978-3-658-11467-1 .
Karl-Eugen Kurrer : Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht , Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 380–439, ISBN 978-3-433-03134-6 .

Anmerkungen

↑ Deformation (mechanics) #Strain measures in der englischsprachigen Wikipedia
↑ x=X+u, wobei X die Bezugskonfiguration (id R. undeformiert) und x die Momantanlage(id R. deformierte Lage) ist
↑ Deformation (mechanics) #Shear strain in der englischsprachigen Wikipedia
↑ Mehrachsige Spannung-Dehnungs-Diagramme resultieren oftmals aus Theorien, Annahmen, Normen,… und sind nicht immer messtechnisch bestätigt oder sind z. B. rein fiktiv und liegen auf der sicheren Seite.
↑ Viele Materialien zeigen viskose Eigenschaften.
↑ Klasse 1: Plastisch auf Querschnitts, als auch Systemebene Fließgelenk ; Klasse 2: Plastisch auf Querschnitssebene, aber nicht auf Systemebene; Klasse 3: Elastisch; Klasse 4: Aufgrund von lokalen Beulen, elastische Rechnung nicht zulässig.
↑ Annahme gilt nicht im Stahlbau , bei Querschnittsklasse 1 oder 2.
↑ Die Spannungskomponenten können auch negativ und somit kleiner sein.
↑ Das ist der Fall, wenn gilt: My=Mz=T=0.
↑ Der Stahl wird auf der Zugseite eingesetzt (aus Dauerhaftigkeitsgründen mit ausreichender Betondeckung), um einen optimalen Hebelsarm zur Betondruckzohne zu haben.
↑ W_o ist bei üblichen Koordinatensystem negativ.
↑ Dies gilt auch bei veränderlichen Elastizitätsmodul und veränderilchen Flächenträgheitsmoment.
↑ Im Betonbau braucht man id R. nur die Gleichgewichtstorsion, nicht aber die Verträglichkeitstorsion nachweisen.
↑ Bei veränderlichen Flächenträgheitsmoment kann man id R. in einem Traglastnachweis , auf der sicheren Seite liegend, das kleinste Flächenträgheitsmoment annehmen.

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre. 8. Auflage. Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l Bernd Markert : Mechanik 2 Elastostatik – Statik deformierbarer Körper. 2. Auflage. Institut für Allgemeine Mechanik Aachen , Aachen 2015.
↑ Herbert Mang , Günter Hofstetter: Festigkeitslehre . 4. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 .
↑ Großübung Stabilität, elastische Knickung, Eulerfälle. ( Memento des Originals vom 4. März 2016 im Internet Archive ) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. @1 @2 (PDF) Universität Magdeburg , abgerufen am 10. Oktober 2015.

[3] Deformation (mechanics) #Strain measures in der englischsprachigen Wikipedia

[4] x=X+u, wobei X die Bezugskonfiguration (id R. undeformiert) und x die Momantanlage(id R. deformierte Lage) ist

[5] Deformation (mechanics) #Shear strain in der englischsprachigen Wikipedia

[6] Mehrachsige Spannung-Dehnungs-Diagramme resultieren oftmals aus Theorien, Annahmen, Normen,… und sind nicht immer messtechnisch bestätigt oder sind z. B. rein fiktiv und liegen auf der sicheren Seite.

[7] Viele Materialien zeigen viskose Eigenschaften.

[8] Klasse 1: Plastisch auf Querschnitts, als auch Systemebene Fließgelenk ; Klasse 2: Plastisch auf Querschnitssebene, aber nicht auf Systemebene; Klasse 3: Elastisch; Klasse 4: Aufgrund von lokalen Beulen, elastische Rechnung nicht zulässig.

[9] Annahme gilt nicht im Stahlbau , bei Querschnittsklasse 1 oder 2.

[11] Die Spannungskomponenten können auch negativ und somit kleiner sein.

[12] Das ist der Fall, wenn gilt: My=Mz=T=0.

[13] Der Stahl wird auf der Zugseite eingesetzt (aus Dauerhaftigkeitsgründen mit ausreichender Betondeckung), um einen optimalen Hebelsarm zur Betondruckzohne zu haben.

[14] W_o ist bei üblichen Koordinatensystem negativ.

[15] Dies gilt auch bei veränderlichen Elastizitätsmodul und veränderilchen Flächenträgheitsmoment.

[16] Im Betonbau braucht man id R. nur die Gleichgewichtstorsion, nicht aber die Verträglichkeitstorsion nachweisen.

[18] Bei veränderlichen Flächenträgheitsmoment kann man id R. in einem Traglastnachweis , auf der sicheren Seite liegend, das kleinste Flächenträgheitsmoment annehmen.

[hibbeler-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre. 8. Auflage. Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .

[markert-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l Bernd Markert : Mechanik 2 Elastostatik – Statik deformierbarer Körper. 2. Auflage. Institut für Allgemeine Mechanik Aachen , Aachen 2015.

[10] Herbert Mang , Günter Hofstetter: Festigkeitslehre . 4. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 .

[magdeburg-17] Großübung Stabilität, elastische Knickung, Eulerfälle. ( Memento des Originals vom 4. März 2016 im Internet Archive ) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. @1 @2 (PDF) Universität Magdeburg , abgerufen am 10. Oktober 2015.

[1]

[2]

[note 1]

[Note 2]

[Note 3]

[note 4]

[Note 5] opdeles

[Note 6],

[Note 7],

[3]

[Note 8]

[Note 9]

[Note 10]

[Note 11]

[Note 12]

[note 13] skal

[4]

[Anmerkung 14]