Areal

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Fysisk størrelse
Efternavn Areal
overflade
Tværsnitsareal
Formelsymbol (areal)
Stammer fra længde
Størrelse og
Enhedssystem
enhed dimension
SI m 2 L 2
cgs cm 2 L 2
Planck Planck overflade ħ · G · c −3

Området er et mål for et områdes størrelse. En overflade forstås at betyde todimensionelle strukturer, det vil sige dem, hvor man kan bevæge sig i to uafhængige retninger. Dette omfatter de sædvanlige figurer i flad geometri, såsom rektangler , polygoner , cirkler , men også grænseflader på tredimensionelle legemer som kuboider , kugler , cylindre osv. Disse overflader er tilstrækkelige til mange anvendelser; mere komplekse overflader kan ofte sammensættes af dem eller tilnærmet af dem .

Overfladearealet spiller en vigtig rolle i matematik, i definitionen af ​​mange fysiske størrelser, men også i hverdagen. For eksempel er tryk defineret som kraften pr. Område eller det magnetiske moment i en ledersløjfe som strømmen gange området omkring det. Ejendoms- og lejlighedsstørrelser kan sammenlignes ved at angive deres område. Materialeforbrug, f.eks. Frø til en mark eller maling til maling af et område, kan estimeres ved hjælp af området.

Arealet normaliseres i den forstand, at enhedspladsen , det vil sige firkanten med sidelængde 1, har arealet 1; Udtrykt i måleenheder har en firkant med en sidelængde på 1 m et areal på 1 m 2 . For at gøre overflader sammenlignelige med deres overfladeareal, skal man kræve, at kongruente overflader har samme overfladeareal, og at overfladearealet af kombinerede overflader er summen af ​​indholdet af delområderne.

Off -måling af overfladearealer sker ikke lige i reglen. I stedet måles visse længder, hvorfra arealet derefter beregnes. For at måle arealet af et rektangel eller en sfærisk overflade måler man normalt længden af ​​rektangelets sider eller kuglens diameter og opnår det ønskede område ved hjælp af geometriske formler som angivet nedenfor.

Område af nogle geometriske figurer

Tre kendte figurer fra plangeometri på en ternet baggrund

Følgende tabel viser nogle velkendte figurer fra plan geometri sammen med formler til beregning af deres areal.

Figur / objekt Betegnelser Areal
firkant Sidelængde
rektangel Sidelængder
trekant
(se også: trekantet område )
Bundside , Højde , vinkelret på
Trapez sider parallelt med hinanden , Højde , vinkelret på og
Rhombus Diagonaler og
parallelogram Sidelængde , Højde , vinkelret på
cirkel radius , Diameter , Cirkelnummer
ellipse Store og små halvakser eller. , Cirkelnummer
almindelig sekskant Sidelængde

For at bestemme arealet af en polygon kan du triangulere det, det vil sige bryde det ned i trekanter ved at tegne diagonaler, derefter bestemme trekantenes område og til sidst tilføje disse delområder. Er koordinaterne , , det Hvis polygons hjørnepunkter kendes i et kartesisk koordinatsystem , kan området beregnes ved hjælp af den gaussiske trapezformel :

Følgende gælder for indekserne: Med er og med er ment. Summen er positiv, hvis hjørnepunkterne krydses i henhold til koordinatsystemets rotationsretning . Beløbet skal muligvis vælges i tilfælde af negative resultater. Picks sætning kan især bruges til polygonale overflader med gitterpunkter som hjørner. Andre områder kan normalt let tilnærmes ved hjælp af polygoner, så en omtrentlig værdi let kan opnås.

Beregning af nogle overflader

Tetraeder
Lige kegle med udviklet sideflade

Her er nogle typiske formler til beregning af overflader:

Figur / objekt Betegnelser overflade
terning Sidelængde
Kuboid Sidelængder
Tetraeder Sidelængde
kugle
(se også: sfærisk overflade )
radius , Diameter
cylinder Grundradius , Højde
kegle Grundradius , Højde
Torus Ringradius , Tværsnitsradius

En typisk procedure til bestemmelse af sådanne overflader er den såkaldte "rullende" eller "afvikling" i flyet, det vil sige, at man forsøger at kortlægge overfladen i planet på en sådan måde, at overfladearealet bevares, og derefter bestemmer område af de resulterende fly Figur. Dette fungerer dog ikke med alle overflader, som eksemplet med kuglen viser. For at bestemme sådanne overflader kan analysemetoder, der bruges i kugleeksemplet, handle om brug af rotationsoverflader . Ofte fører Guldins første regel også til hurtig succes, for eksempel med torus.

Integreret beregning

Arealet under kurven fra a til b er tilnærmet af rektangler

Den integrale beregning blev blandt andet udviklet til at bestemme områder under kurver, dvs. under funktionsgrafer . Ideen er at kurve området mellem og - at tilnærme aksen med en række smalle rektangler og derefter lade bredden af ​​disse rektangler gå mod 0 i en grænseproces. Konvergensen af ​​denne grænse afhænger af den anvendte kurve. Hvis man ser på et begrænset område, for eksempel kurven over et begrænset interval Som på den tilstødende tegning viser analysesætninger, at kurvens kontinuitet er tilstrækkelig til at sikre konvergensen af ​​grænseprocessen. Fænomenet opstår, at områder under -Akser bliver negative, hvilket kan være uønsket ved bestemmelse af områder. Hvis du vil undgå dette, skal du gå over til størrelsen af funktionen.

Gaussisk klokkekurve

Man vil også have intervalgrænserne og tillade, bestemmer man først områderne for begrænsede grænser og som netop beskrevet og derefter forlader i en yderligere grænseproces , eller stræbe efter begge dele. Her kan det ske, at denne grænseproces ikke konvergerer, for eksempel i tilfælde af oscillerende funktioner som sinusfunktionen . Hvis du begrænser dig til funktioner, der har deres funktionsgrafer i det øverste halvplan, kan disse svingningseffekter ikke længere forekomme, men det sker, at området mellem kurve og -Aksen bliver uendelig. Da det samlede areal har et uendeligt omfang, er dette endda et sandsynligt og i sidste ende også forventet resultat. Men hvis kurven ændres tilstrækkeligt hurtigt til punkter langt fra 0 -Axis tilgange, fænomenet kan forekomme, at en uendeligt udstrakt overflade også har et begrænset område. Et velkendt eksempel, der er vigtigt for sandsynlighedsteorien, er området mellem den gaussiske klokkekurve

og -Akse. Selvom området af så længe er nok, arealet er lig med 1.

Når man forsøger at beregne yderligere områder, for eksempel også under diskontinuerlige kurver, kommer man endelig til spørgsmålet om, hvilke mængder i flyet der overhovedet skal tildeles et meningsfuldt område. Dette spørgsmål viser sig vanskeligt, som skitseret i artiklen om dimensionproblemet . Det viser sig, at det intuitive områdebegreb, der bruges her, ikke meningsfuldt kan udvides til alle delmængder af flyet.

Differentialgeometri

I differentialgeometri bruges arealet af en flad eller buet overflade med koordinaterne beregnet som et område integral:

Arealelementet svarer til intervalbredden i endimensionel integralregning . Det giver arealet af parallelogrammet, der spænder over tangenterne, til koordinatlinjerne med sidelængderne og på. Overfladeelementet afhænger af koordinatsystemet og den gaussiske krumning af overfladen.

I kartesiske koordinater er overfladeelementet . På den sfæriske overflade med radius og længden samt bredden gælder som koordinatparametre . For overfladen af ​​en kugle ( ) man opnår området:

For at beregne arealelementet er det ikke absolut nødvendigt at kende placeringen af ​​et rumligt område i rummet. Overfladeelementet kan kun udledes af sådanne dimensioner, der kan måles inden for overfladen, og tæller således med overfladens indre geometri . Dette er også grunden til, at overfladearealet på en (udviklingsbar) overflade ikke ændres, når den udvikles og derfor kan bestemmes ved at udvikle sig til et plan.

Overflader i fysik

Naturligvis fremstår overflader også som en mængde, der skal måles i fysik. Områder måles normalt indirekte ved hjælp af ovenstående formler. Typiske størrelser, hvor overflader forekommer, er:

Område som en vektor

Ofte er overfladen også tildelt en retning, der er vinkelret på overfladen, hvilket gør overfladen til en vektor og giver den en orientering på grund af de to mulige valg af den vinkelrette retning. Længden af ​​vektoren er et mål for området. Med en efter vektorer og begrænset parallelogram dette er vektorproduktet

.

Hvis der er overflader, bruges normalt det normale vektorfelt for at kunne tildele dem en retning lokalt på hvert punkt. Dette fører til fluxmængder , der er defineret som skalarproduktet af vektorfeltet og området (som en vektor). Sådan beregnes strømmen fra den nuværende tæthed ifølge

,

hvor i integralen skalarproduktet

er dannet. Til evaluering af sådanne integraler er formler til beregning af overflader nyttige.

I fysikken er der også arealstørrelser, der faktisk bestemmes eksperimentelt, såsom spredning af tværsnit . Antagelsen her er, at en partikelstrøm rammer en fast målgenstand, det såkaldte mål, og partiklerne i partikelstrømmen rammer målets partikler med en vis sandsynlighed. Den makroskopisk målte spredningsadfærd tillader derefter at drage konklusioner om de tværsnitsområder, som målpartiklerne holder mod strømningspartiklerne. Størrelsen bestemt på denne måde har dimensionen af ​​et område. Da spredningsadfærden ikke kun afhænger af geometriske parametre, men også af andre interaktioner mellem spredningspartnerne, kan det målte område ikke altid sidestilles direkte med det geometriske tværsnit af spredningspartnerne. Man taler derefter mere generelt om tværsnittet , som også har dimensionen af ​​et område.

Arealberegning i opmåling

Som regel kan jordareal, dele af jord, lande eller andre områder ikke bestemmes ved hjælp af formlerne til simple geometriske figurer. Sådanne områder kan beregnes grafisk, semi-grafisk, ud fra feltdimensioner eller fra koordinater. [1]

En kortlægning af området skal være tilgængelig for den grafiske proces. Områder, hvis grænser dannes af en polygon, kan opdeles i trekanter eller trapezoider, hvis grundlinjer og højder måles. Arealet af delområderne og endelig arealet af det samlede areal beregnes derefter ud fra disse målinger. Den semi-grafiske arealberegning bruges, når området kan opdeles i smalle trekanter, hvis korte underside er blevet nøjagtigt målt i feltet. Da områdets relative fejl hovedsageligt bestemmes af den relative fejl på den korte basisside, øger måling af basissiden i feltet i stedet for på kortet nøjagtigheden af ​​området sammenlignet med den rent grafiske metode.

Uregelmæssige overflader kan registreres ved hjælp af et firkantet glaspanel. Dette har et gitter med firkanter på undersiden, hvis sidelængde er kendt (f.eks. 1 millimeter). Tavlen placeres på det kortlagte område, og området bestemmes ved at tælle firkanterne, der ligger inden for området.

En planimeterharpe kan bruges til aflange overflader. Dette består af et ark papir med parallelle linjer, hvis ensartede afstand er kendt. Planimeterharpen er placeret på overfladen på en sådan måde, at linjerne er omtrent vinkelret på overfladens længderetning. Dette opdeler området i trapezoider, hvis midterlinjer tilføjes med et par skillevægge. Arealet kan beregnes ud fra summen af ​​længderne af midterlinjerne og linjeafstanden.

Polar planimeter, til højre drivpen med forstørrelsesglas, til venstre rulle med tæller, oven på stangen fastgjort under målingen

Planimeteret , et mekanisk integrationsinstrument, er særligt velegnet til bestemmelse af overfladearealet af områder med en krøllet kant. Grænsen skal krydses med planimeterets kørepen. Når du kører rundt i området, roterer en rulle, og valsens rotation og områdets størrelse kan aflæses på en mekanisk eller elektronisk tæller. Nøjagtigheden afhænger af, hvor præcist operatøren bevæger sig i kanten af ​​området med kørepennen. Jo mindre omkreds i forhold til området, desto mere præcist er resultatet.

Arealberegningen fra feltdimensioner kan bruges, hvis arealet kan opdeles i trekanter og trapezoider, og de nødvendige afstande til arealberegningen måles i feltet. Hvis overfladens hjørnepunkter er vinklet på en mållinje ved hjælp af den ortogonale metode, kan overfladen også beregnes ved hjælp af den gaussiske trapezformel .

I dag beregnes områder ofte ud fra koordinater. Dette kan f.eks. Være koordinaterne for grænsepunkter i ejendomskadastren eller hjørnepunkter i et område i et geografisk informationssystem . Ofte er hjørnepunkterne forbundet med lige linjer, lejlighedsvis også med buer. Derfor kan arealet beregnes ved hjælp af den gaussiske trapezformel. I tilfælde af cirkelbuer skal de cirkulære segmenter mellem polygonsiden og cirkelbuen tages i betragtning. Hvis indholdet af et mere uregelmæssigt område skal bestemmes i et geografisk informationssystem, kan området tilnærmes af en polygon med korte sidelængder.

Se også

Individuelle beviser

  1. Heribert Kahmen: Opmåling I. Walter de Gruyter, Berlin 1988.

Weblinks

Wiktionary: område - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser