Frihedsgrad

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
De seks frihedsgrader for et legeme i det frie rum (med de sædvanlige betegnelser for rotationsakser i køretøjer ): fremad / bagud ( frem / tilbage ), op / ned ( op / ned ), venstre / højre ( venstre / højre) ), yaw ( yaw ), nik ( pitch ), roll ( roll )

Frihedsgrad i den snævre, mekaniske forstand betegner enhver uafhængig (og i denne forstand " frit valgbar") bevægelsesmulighed, [1] i bredere forstand alle uafhængige, foranderlige interne eller eksterne parametre i et system . [2] Systemet skal have følgende egenskaber:

  • Det bestemmes klart af specifikationerne af parametrene.
  • Hvis en parameter udelades, er systemet ikke længere klart defineret.
  • Hver parameter kan ændres uden at ændre de andre parametre.

For kinematiske kæder kaldes antallet af frihedsgrader også bevægelsesgraden . [3] Et stift legeme i rummet har derfor seks frihedsgrader, fordi kroppen kan bevæges i tre indbyrdes uafhængige retninger ( translation ) og roteres omkring tre indbyrdes uafhængige akser ( rotation ).

mekanik

Dobbelt pendul, der bevæger sig i ét plan: Systemet har to frihedsgrader. Dens tilstand er gennem to rotationsvinkler og fuldt beskrevet. Isoleret set har massepunktet kun en grad af frihed. Dens position er allerede bestemt af rotationsvinklen beskrevet.

Hver frihedsgrad for et fysisk system svarer til en uafhængig generaliseret koordinat, som systemet kan beskrives med. [4]

Hvad der menes med ordet "uafhængig" kan ses i et eksempel: Forudsat at en partikel er i et plan (f.eks. På et bord) med et koordinatsystem og kun kan bevæge sig i dette plan langs en "skrå" bevægelse i lige linje . Partikelens position kan derefter beskrives med et enkelt tal. Der er forskellige måder at gøre dette på, f.eks. B.

  • partikelens x-koordinat (y-koordinaten kan da også entydigt beregnes ud fra denne ved hjælp af ligelinjeligningen),
  • y-koordinaten (heraf kan x-koordinaten beregnes omvendt),
  • vinkelkoordinaten i et polært koordinatsystem
  • eller afstanden fra et givet fast punkt på den lige linje.

I hvert af disse tilfælde er det dog altid tilstrækkeligt at angive en enkelt værdi for at bestemme positionen. Partiklen har derfor kun en frihedsgrad.

Antallet af generaliserede koordinater er en egenskab ved systemet . For eksempel har et frit massepunkt i rummet tre translationelle frihedsgrader, der bestemmer dets position. Da et punkt ikke har noget omfang, har det imidlertid ingen orientering. I modsætning hertil har et stift legeme også tre grader af rotationsfrihed, som hver især kan beskrives ved en rotationsvinkel . Det gælder frihedsgrader i stor skala - se også Grüblers ligning eller afsnittet Teknisk mekanik og Grüblers ligning .

Holonomiske og ikke-holonomiske systemer

Frihedsgraderne i stor skala, for eksempel ifølge Grübler, er i modsætning til frihedsgraderne i lille skala , det vil sige når man overvejer et mekanisk system på uendelig vis. Reglen her er, at frihedsgraderne i de små virkelig er mindre eller lig dem i de store. Ikke-holonomiske systemer er dem, hvor der findes ikke-holonomiske (anholonomiske) begrænsninger, hvorfor systemernes uendelige bevægelsesfrihed er begrænset: Et firehjulet køretøj på flyet fungerer som et godt eksempel på et sådant system.

Ingeniørmekanik og Grüblers ligning

Ifølge Grüblers ligning er antallet af friheder i et system, der er dannet af mange undersystemer, lig med summen af ​​undersystemernes friheder, forudsat at dette ikke er begrænset af begrænsninger . For eksempel har en bil tre frihedsgrader i flyet (positionsændring langs x- og y -koordinaterne samt kørselsretningen). En enkeltakslet trailer har fire frihedsgrader, da den også kan vippe frem og tilbage. Hvis traileren er fastgjort til bilen, har det overordnede system stadig kun i alt fire frihedsgrader (ændring af position langs x- og y -koordinaterne, rotation af trækkøretøjet og ændring af den vinkel, som traileren er i forhold til trækkende køretøj), da vippingen og den uafhængige bevægelse af traileren forhindres af trailerkoblingen. Se også løbetid .

Grundlæggende kan følgende sager skelnes:

  • til kan systemet bevæge sig (mekanisme)
    • til systemet er iboende mobilt, dvs. bevægelser af flere elementer skal specificeres (f.eks. flere drev ), så alle elementers bevægelser defineres.
    • til er " obligatorisk ". Hvis du angiver bevægelse af et element (f.eks. Et drev), defineres bevægelserne for alle resterende elementer også. Eksempler: Et punkt bevæger sig langs en linje. I et (idealiseret) geardrev forårsager rotation af et gear altid en præcist defineret bevægelse af alle andre gear.
    • kan z. B. bevæge to punkter i et system uafhængigt af hinanden langs en linje, et enkelt punkt kan bevæge sig i et plan eller i en transmission, ud over den roterende bevægelse er en anden bevægelse mulig, for eksempel hvis den kan forskydes til et andet gear.
  • til systemet kan ikke bevæge sig
    • til der er et statisk bestemt system, der kun kan indtage præcis en position.
    • til der er et statisk overbestemt system, hvor stærke interne spændinger kan forekomme (det "fastklemmer"). Om nødvendigt kan dette afhjælpes gennem yderligere betingelser.

Eksempel: dobbelt pendul

To frie punktmasser og hver har tre grader af translationel frihed i tredimensionelt rum, så i alt seks. Et dobbelt pendul , der er forbundet via drejelige led (i modsætning til kugleled ), kan kun svinge i et plan, så dets mobilitet begrænses af følgende begrænsninger (se fig.):

  • er placeret i -Niveau ( ), såvel ( ).
  • De to pendulers stænger er stive ( og ). Hver punktmasse kan derfor kun bevæge sig på en bue omkring midten af ​​cirklen.

Disse fire begrænsninger reducerer antallet af frihedsgrader . De to vinkler er derfor tilstrækkelige til at beskrive systemet og som uafhængige generaliserede koordinater.

Eksempel: led

I leddet på en mekanisme er to dele bevægeligt forbundet med hinanden. Frihedsgraden er antallet af mulige bevægelser leddet kan foretage. I princippet er de stive krops seks frihedsgrader tilgængelige til dette. Mindst en af ​​dem er forhindret i leddet, så der er maksimalt fem tilgængelige til en teknisk anvendelse. Mere end tre frihedsgrader opnås med flere led. Flere led kan ses som en kombination af flere enkle led.

Leddene har altid en grad af frihed større end nul. Ellers er det ikke et led, men en tilbageholdenhed .

Fælles type Frihedsgrad Fig.
Drejeligt led → rotation Fig.2.
Skrueforbindelse → rotation Fig.3.
Roterende tryk, pladesamling → Langsgående, tværgående bevægelse (over en kort afstand), rotation Fig.5.
Drejeligt led → Længdebevægelse, rotation Fig.6.
Kugleled → Bevægelse i et plan (sfærisk overflade), rotation Fig.7.
L-link par.png

Termodynamik og statistisk mekanik

Frihedsgrader for molekylerne

Komplekse molekyler har mange frihedsgrader

Hvert molekyle med Atomer har generelt

Frihedsgrader, fordi du har brug for tre koordinater for hvert atom for at definere dets position. Disse kan formelt opdeles i translationelle, roterende og interne vibrationsgrader af frihed:

til -atomiske molekyler:

lineære molekyler ikke-lineære molekyler
Total

Komplekse molekyler med mange atomer har derfor mange grader af vibrationsfrihed (se molekylær vibration ) og yder dermed et højt bidrag til entropi .

For molekyler, der adsorberes på faste overflader, kan antallet af frihedsgrader reduceres. For eksempel kan i stedet for tre grader af rotationsfrihed for et molekyle i gasfasen kun være én mulig for det adsorberede molekyle. Det samme gælder grader af translationel frihed, som z. B. fra tre (gasfase) til kun to i tilfælde af adsorption . På grund af kvantemekanikkens diskrete energiniveauer kan det normalt ikke alle ved lave energier Frihedsgrader er spændte, fordi den første ophidsede tilstand allerede har en for høj energi. Som et resultat kan et system effektivt have færre frihedsgrader ved en given temperatur:

For eksempel har et atom ved stuetemperatur effektivt kun de tre grader af translationel frihed, da middel energi er så lav, at atomiske excitationer praktisk talt ikke forekommer.

Begrebet frihedsgrader fra mekanik optræder også i statistisk mekanik og termodynamik : energien i et termodynamisk system er jævnt fordelt over de enkelte frihedsgrader i henhold til udstyrs sætning . Antallet af frihedsgrader er inkluderet i entropien , som er et mål for antallet af opnåelige stater . Termodynamiske systemer har generelt et stort antal frihedsgrader, for eksempel i størrelsesordenen 10 23 , størrelsen på Avogadro -konstanten , da de normalt indeholder mængder stof i størrelsesordenen en mol . Mange lignende systemer med kun få frihedsgrader kan dog komme til, f.eks. B. 10 23 atomer med effektivt (se nedenfor) tre frihedsgrader hver.

Man kan bruge den indre energi af en ideel gas med Partikler som funktion af temperaturen og nummeret angiv frihedsgrader for en gaspartikel:

med Boltzmann -konstanten .

Det er her vigtigt, at der bruges vibrationer ved bestemmelse talt to gange, fordi de har både kinetisk og potentiel energi (se nedenfor):

materiale Grader af frihed
Gasmolekyle, 1 atom 3 0 0 3 3 0 3
Gasmolekyle, 2 atomer 3 2 1 6. 5 0 7
Gasmolekyle, 3-atomært lineært 3 2 4. 9 13.
Gasmolekyle, vinklet 3 atomer 3 3 3 9 12.
1 atom i det faste stof 0 0 3 3 0 6

Et diatomisk molekyle som molekylært brint har - ud over de elektroniske excitationer - seks frihedsgrader: tre af translationerne , to af rotationen og en grad af vibrationsfrihed . Rotation og oscillation kvantificeres, og hvis den samlede energi i et molekyle er lav, kan højere grader af rotations- og svingningsfrihed ikke ophidses; de siges at være "frosne". Rotation stimuleres allerede ved medium temperaturer og svingning kun ved højere temperaturer. Sådan opfører de fleste kiselgasser sig, f.eks. B. Hydrogen, ilt eller nitrogen under normale forhold effektivt som om de enkelte molekyler kun havde fem frihedsgrader, som kan aflæses fra den adiabatiske eksponent . Ved høje temperaturer har systemet adgang til alle frihedsgrader.

Frihedsgrader for statens variabler

De termodynamiske frihedsgrader for tilstandsvariablerne på det makroskopiske niveau resulterer for ethvert system i termodynamisk ligevægt via Gibbs faseregel . [5]

Weblinks

Individuelle beviser

  1. Eberhard Brommundt, Gottfried Sachs, Delf Sachau: Tekniske Mechanics. En introduktion. 4., forbedrede og forstørrede udgave. Oldenbourg. München et al. 2007, ISBN 978-3-486-58111-9 , s. 47 ff.
  2. frihedsgrad. I: Leksikon for fysik. Spektrum Akademischer Verlag, adgang til den 7. maj 2017 .
  3. ^ Wolfgang H. Müller, Ferdinand Ferber: Teknisk mekanik for ingeniører. 3., revideret udgave. Fachbuchverlag Leipzig i Carl-Hanser-Verlag, München et al. 2008, ISBN 978-3-446-41423-5 .
  4. Kurt Magnus, Hans H. Müller-Slany: Grundlæggende i teknisk mekanik . 7. udgave. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ISBN 978-3-8351-0007-7 , s.   165 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).
  5. ^ Karl Stephan, Franz Mayinger: Thermodynamik: bind 2, 14. reviderede og udvidede udgave., Springer 1999, ISBN 978-3-540-64481-1 , s.74