Figur af fortjeneste

Kvalitetsfaktoren , også kaldet kvalitet , cirkulær kvalitet , filterkvalitet , resonanskredsløbskvalitet , resonansskarphed eller Q -faktor , er et mål for dæmpning eller energitab i et system, der er i stand til at vibrere (f.eks. Et oscillerende kredsløb ). ^[1] Et system med høj kvalitet betyder , at systemet er svagt dæmpet .

I en anden betydning er kvalitetsfaktoren en indikator for energitabet for en topolet elektrisk komponent eller et netværk . ^[2]

Det gensidige af kvalitetsfaktoren kaldes tabsfaktoren i begge betydninger. ^[3]

Elektrisk oscillerende kredsløb

definition

Kvalitetsfaktoren $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ af et resonanskredsløb ved en given frekvens er defineret som

Q=2\pi \ {\frac {W}{V}}

{\ displaystyle Q = 2 \ pi \ {\ frac {W} {V}}}

{\ displaystyle Q = 2 \ pi \ {\ frac {W} {V}}}

med

W.

{\ displaystyle W}

W.

den lagrede energi i begyndelsen af en oscillationsperiode

V

{\ displaystyle V}

V

den energi, der omdannes til termisk energi inden for denne periode. ^[1]

En kvalitetsfaktor på 0,5 eller en dæmpningsgrad på 1 eller en tabsfaktor på 2 svarer til det aperiodiske borderline -tilfælde, hvor der ikke længere er nogen svingning. Så en høj kvalitet kræver en $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ godt over 0,5.

Serieforbindelse

I en serie resonanskredsløb vil der være en elektrisk modstand $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , en spole af induktans $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ og en kondensator med kapacitans $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ af den samme sinusformede strøm $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ med rms -værdien $JEG.$ ${\ displaystyle I}$ $JEG.$ og amplituden ${\hat {\imath }}={\sqrt {2}}\;I$ ${\ displaystyle {\ hat {\ imath}} = {\ sqrt {2}} \; I}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ imath}} = {\ sqrt {2}} \; I}$ flød igennem. Resonansfrekvensen for det ideelle resonanskredsløb og den virkelige serie resonanskredsløb er

f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}\ {\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {LC }}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {LC }}}}

med resonans cirkulær frekvens $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ . Perioden er $1/f_{0}$ ${\ displaystyle 1 / f_ {0}}$ ${\ displaystyle 1 / f_ {0}}$ . Indsat i definitionen af $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ overgav sig

W={\frac {1}{2}}L\;{\hat {\imath }}^{2}

{\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} L \; {\ hat {\ imath}} ^ {2}}

{\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} L \; {\ hat {\ imath}} ^ {2}}

V=I^{2}\;R\cdot {\frac {1}{f_{0}}}

{\ displaystyle V = I ^ {2} \; R \ cdot {\ frac {1} {f_ {0}}}}

{\ displaystyle V = I ^ {2} \; R \ cdot {\ frac {1} {f_ {0}}}}

Q=2\pi \ {\frac {L\,f_{0}}{R}}={\frac {1}{R}}\;{\sqrt {\,{\frac {L}{C}}\,}}

{\ displaystyle Q = 2 \ pi \ {\ frac {L \, f_ {0}} {R}} = {\ frac {1} {R}} \; {\ sqrt {\, {\ frac {L} {C}} \,}}}

{\ displaystyle Q = 2 \ pi \ {\ frac {L \, f_ {0}} {R}} = {\ frac {1} {R}} \; {\ sqrt {\, {\ frac {L} {C}} \,}}}

Differentialligningen for serieresonanskredsløbet er (se hovedartikel )

LC\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}i}{\mathrm {d} t^{2}}}+RC\cdot {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+i=0\qquad {\text{oder allgemein}}\qquad {\frac {\mathrm {d} ^{2}i}{\mathrm {d} t^{2}}}+2D\omega _{0}\cdot {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\cdot i=0

{\ displaystyle LC \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} i} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + RC \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i} { \ mathrm {d} t}} + i = 0 \ qquad {\ text {eller generelt}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} i} {\ mathrm {d} t ^ {2 }}} + 2D \ omega _ {0} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ cdot i = 0}

{\ displaystyle LC \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} i} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + RC \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i} { \ mathrm {d} t}} + i = 0 \ qquad {\ text {eller generelt}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} i} {\ mathrm {d} t ^ {2 }}} + 2D \ omega _ {0} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ cdot i = 0}

med graden af dæmpning $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Efter division igennem $L. C.$ ${\ displaystyle LC}$ ${\ displaystyle LC}$ foretager en koefficient sammenligning

{\frac {R}{L}}=2D\omega _{0}\quad ;\qquad {\frac {1}{LC}}=\omega _{0}^{2}

{\ displaystyle {\ frac {R} {L}} = 2D \ omega _ {0} \ quad; \ qquad {\ frac {1} {LC}} = \ omega _ {0} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {R} {L}} = 2D \ omega _ {0} \ quad; \ qquad {\ frac {1} {LC}} = \ omega _ {0} ^ {2}}

,

og man når frem til et forhold mellem dæmpningsgraden og kvalitetsfaktoren

2D={\frac {R}{L\omega _{0}}}={\frac {1}{Q}}

{\ displaystyle 2D = {\ frac {R} {L \ omega _ {0}}} = {\ frac {1} {Q}}}

{\ displaystyle 2D = {\ frac {R} {L \ omega _ {0}}} = {\ frac {1} {Q}}}

.

Parallel forbindelse

Parallelt resonanskredsløb

I analogi hermed er der et parallelt resonanskredsløb $R., L., C.$ ${\ displaystyle R, L, C}$ ${\ displaystyle R, L, C}$ samme sinusformede spænding $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ ved (spidsværdi ${\hat {u}}$ ${\ displaystyle {\ hat {u}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {u}}}$ , Rms -værdi $U={\hat {u}}/{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle U = {\ hat {u}} / {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle U = {\ hat {u}} / {\ sqrt {2}}}$ ). Resonansfrekvensen er i det virkelige parallelle resonanskredsløb $f_{r}$ ${\ displaystyle f_ {r}}$ $f_ {r}$ lidt lavere end $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ . Forskellen kan ignoreres ved beregning af den termiske energi, der udsendes i perioden. ^[4]

W={\frac {1}{2}}C\;{\hat {u}}^{2}

{\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} C \; {\ hat {u}} ^ {2}}

{\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} C \; {\ hat {u}} ^ {2}}

V={\frac {U^{2}}{R}}\cdot {\frac {1}{f_{0}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {U ^ {2}} {R}} \ cdot {\ frac {1} {f_ {0}}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {U ^ {2}} {R}} \ cdot {\ frac {1} {f_ {0}}}}

Q=2\pi \ C\,R\,f_{0}=R\;{\sqrt {\,{\frac {C}{L}}\,}}

{\ displaystyle Q = 2 \ pi \ C \, R \, f_ {0} = R \; {\ sqrt {\, {\ frac {C} {L}} \,}}}}

{\ displaystyle Q = 2 \ pi \ C \, R \, f_ {0} = R \; {\ sqrt {\, {\ frac {C} {L}} \,}}}

Båndbredde

Resonanskurve med et logaritmisk plot af amplituden over excitationsfrekvensen, resonansfrekvensen med

f_{c}

{\ displaystyle f_ {c}}

f_ {c}

er udpeget

Kvalitetsfaktoren for et resonanskredsløb er et mål for resonansens skarphed. ^[1] Dette udtrykkes ved 3 dB båndbredde B : ^[4]

B=f_{2}-f_{1}={\frac {f_{0}}{Q}}

{\ displaystyle B = f_ {2} -f_ {1} = {\ frac {f_ {0}} {Q}}}

{\ displaystyle B = f_ {2} -f_ {1} = {\ frac {f_ {0}} {Q}}}

med den resulterende kvalitetsfaktor:

Q={\frac {f_{0}}{B}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {f_ {0}} {B}}}

Q = {\ frac {f_ {0}} {B}}

Den øvre grænsefrekvens $f_{2}$ ${\ displaystyle f_ {2}}$ $f_ {2}$ og den lavere cutoff -frekvens $f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ er de frekvenser, hvor spændingen ${\hat {u}}$ ${\ displaystyle {\ hat {u}}}$ $\ har u$ eller strømmen ${\hat {\imath }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ imath}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ imath}}}$ på den ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ca. 0 {,} 707}$ ${\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ca. 0 {,} 707$ -fold -værdien af den maksimale værdi falder. På dette tidspunkt er effekten i resonanskredsløbet kun halvt så stor som ved resonansfrekvensen for det tabsfrie resonanskredsløb. Når niveauet er vist som en funktion af frekvensen , båndbredden er den samme som det frekvensområde på hvis grænser den strøm rod størrelse aftager med 3 dB . Afskæringsfrekvenserne kan beregnes ud fra

f_{1}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}-R}{4\pi L}}

{\ displaystyle f_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {R ^ {2} +4 {\ frac {L} {C}}}} - R} {4 \ pi L}}}

f_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {R ^ {2} +4 {\ frac {L} {C}}}} - R} {4 \ pi L}}

og

f_{2}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}+R}{4\pi L}}

{\ displaystyle f_ {2} = {\ frac {{\ sqrt {R ^ {2} +4 {\ frac {L} {C}}}} + R} {4 \ pi L}}}

f_ {2} = {\ frac {{\ sqrt {R ^ {2} +4 {\ frac {L} {C}}}} + R} {4 \ pi L}}

.

De er forbundet til resonansfrekvensen for det ideelle oscillerende kredsløb igennem

f_{0}={\sqrt {f_{1}\,f_{2}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ sqrt {f_ {1} \, f_ {2}}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ sqrt {f_ {1} \, f_ {2}}}}

.

Mekanisk oscillerende kredsløb

I mekanikken er et fjederpendel (massefjedersystem) baseret på differentialligningerne

m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=0\qquad {\text{oder}}\qquad {\ddot {x}}+2D\omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} + d {\ dot {x}} + kx = 0 \ qquad {\ text {eller}} \ qquad {\ ddot {x}} + 2D \ omega _ {0} {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0}

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} + d {\ dot {x}} + kx = 0 \ qquad {\ text {eller}} \ qquad {\ ddot {x}} + 2D \ omega _ {0} {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0}

.

med afbøjningen $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ fra hvilestilling, massen $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , dæmpningskonstanterne fortrinsvis bestemt ved friktion $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , fjederkonstanten $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , graden af dæmpning $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ og den naturlige vinkelfrekvens $\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {k / m}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {k / m}}}$ af det udæmpede system.

Den samme definition af kvalitetsfaktoren som for det elektriske oscillerende kredsløb fører til ^[5] ^[6]

Q=\omega _{d}\;{\frac {m}{d}}\approx {\frac {\sqrt {m\cdot k}}{d}}={\frac {1}{2D}}

{\ displaystyle Q = \ omega _ {d} \; {\ frac {m} {d}} \ approx {\ frac {\ sqrt {m \ cdot k}} {d}} = {\ frac {1} { 2D}}}

{\ displaystyle Q = \ omega _ {d} \; {\ frac {m} {d}} \ approx {\ frac {\ sqrt {m \ cdot k}} {d}} = {\ frac {1} { 2D}}}

med det modsatte $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ let reduceret naturlig vinkelfrekvens for det svagt dæmpede system

\omega _{d}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {d^{2}}{4m^{2}}}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-D^{2}}}

{\ displaystyle \ omega _ {d} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}} - {\ frac {d ^ {2}} {4m ^ {2}}}}} = \ omega _ { 0} {\ sqrt {1-D ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {d} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}} - {\ frac {d ^ {2}} {4m ^ {2}}}}} = \ omega _ { 0} {\ sqrt {1-D ^ {2}}}}

Elektrisk komponent

Kvalitetsfaktoren $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ Et lineært, strålingsfrit to-polet netværkselement eller netværk med sinusformede processer er defineret som forholdet mellem mængderne af reaktiv effekt $P_{B}$ ${\ displaystyle P_ {B}}$ $P_B$ og reel magt $P_{W}$ ${\ displaystyle P_ {W}}$ ${\ displaystyle P_ {W}}$ eller ækvivalent med forholdet mellem mængderne af reaktans $x$ ${\ displaystyle X}$ $x$ og effektiv modstand $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . ^[2]

Q={\frac {|P_{B}|}{P_{W}}}={\frac {|X|}{R}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {| P_ {B} |} {P_ {W}}} = {\ frac {| X |} {R}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {| P_ {B} |} {P_ {W}}} = {\ frac {| X |} {R}}}

.

Kvalitetsfaktoren er et mål for - normalt uønskede - tab, især i en kondensator eller en spole. ^[2] For eksempel spolekvaliteten

Q_{L}={\frac {2\pi f\,L}{R}}

{\ displaystyle Q_ {L} = {\ frac {2 \ pi f \, L} {R}}}

{\ displaystyle Q_ {L} = {\ frac {2 \ pi f \, L} {R}}}

Denne ligning ligner den tilsvarende ligning for serieresonanskredsløbet, men gælder for enhver frekvens $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ og ikke ved en (ikke -eksisterende) resonansfrekvens $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ . En høj spolekvalitet er påkrævet, hvis der søges en lav båndbredde i et oscillerende kredsløb.

Kvalitetsfaktoren for netværk (elementer) er også cotangenten af tabsvinklen . ^[7]

Eksempler

Følgende tabel viser nogle størrelsesordener af kvalitetsfaktorer for forskellige vibrationssystemer.

system	Kvalitetsfaktor Q
Aperiodisk borderline -sag	$0{,}5$ ${\ displaystyle 0 {,} 5}$ $0 {,} 5$
Elektrodynamisk højttaler	Type. $0{,}2\,\ldots \,1{,}2$ ${\ displaystyle 0 {,} 2 \, \ ldots \, 1 {,} 2}$ $0 {,} 2 \, \ ldots \, 1 {,} 2$
Elektrisk oscillerende kredsløb	$10^{2}$ ${\ displaystyle 10 ^ {2}}$ $10 ^ {2}$
Pendulur	$10^{4}$ ${\ displaystyle 10 ^ {4}}$ $10 ^ {4}$
Vibrationsdæmper	$10^{5}$ ${\ displaystyle 10 ^ {5}}$ $10 ^ {5}$
Kvarts krystal 10 MHz	$(3\,\ldots \,10)\cdot 10^{5}$ ${\ displaystyle (3 \, \ ldots \, 10) \ cdot 10 ^ {5}}$ $(3 \, \ ldots \, 10) \ cdot 10 ^ 5$
Frekvensstabiliseret laser	$10^{9}$ ${\ displaystyle 10 ^ {9}}$ $10 ^ 9$
Superledende hulrumsresonator	$10^{9}\,\ldots \,10^{11}$ ${\ displaystyle 10 ^ {9} \, \ ldots \, 10 ^ {11}}$ $10 ^ 9 \, \ ldots \, 10 ^ {11}$
Cesium atomur	$10^{13}$ ${\ displaystyle 10 ^ {13}}$ $10 ^ {{13}}$
Mössbauer -effekt med gammastråling	$10^{15}$ ${\ displaystyle 10 ^ {15}}$ $10 ^ {15}$

litteratur

Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduktion til systemteori . 4. udgave. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 .

Weblinks

Individuelle beviser

↑ ^a ^b ^c International Electrotechnical Dictionary-IEV 151-15-46
↑ ^a ^b ^c International elektroteknisk ordbog-IEV 151-15-45
↑ International elektroteknisk ordbog-IEV 151-15-47
↑ ^a ^b Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elementer af anvendt elektronik: Kompendium til uddannelse og erhverv. 16. udgave. Vieweg + Teubner, 2010, s.69
↑ Dieter Meschede (red.), Christian Gerthsen: Gerthsen Physik. 21. udgave. Springer, 2013, s. 150f
^ Alan M. Portis, Hugh D. Young: Fysik i forsøget. Vieweg, 1978, s.34
↑ International elektroteknisk ordbog-IEV 151-15-48

[IEV-1] International Electrotechnical Dictionary-IEV 151-15-46

[IEV2-2] International elektroteknisk ordbog-IEV 151-15-45

[3] International elektroteknisk ordbog-IEV 151-15-47

[Böhmer-4] Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elementer af anvendt elektronik: Kompendium til uddannelse og erhverv. 16. udgave. Vieweg + Teubner, 2010, s.69

[5] Dieter Meschede (red.), Christian Gerthsen: Gerthsen Physik. 21. udgave. Springer, 2013, s. 150f

[6] Alan M. Portis, Hugh D. Young: Fysik i forsøget. Vieweg, 1978, s.34

[7] International elektroteknisk ordbog-IEV 151-15-48

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]