Lige

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Repræsentation af lige linjer i det kartesiske koordinatsystem

En lige eller kort linje er et element i geometrien . Det er en lige linje, uendelig lang, uendelig tynd og ubegrænset i begge retninger. Den korteste forbindelse mellem to punkter kaldes derimod en linje . Moderne aksiomatiske teorier om geometri henviser imidlertid ikke til det ( syntetisk geometri ). For dem er en lige linje et objekt uden interne egenskaber, kun relationerne til andre lige linjer, punkter og planer er vigtige. I analytisk geometri realiseres en lige linje som et sæt punkter. Mere præcist: I et affint rum er en lige linje et endimensionelt affint underrum .

Syntetisk geometri

I sine elementer gav Euclid en eksplicit definition af en lige linje, der svarer til det grafiske billede. Denne definition har imidlertid ikke betydning for forslag og deres beviser . Moderne aksiomasystemer undlader derfor en sådan definition.

I dette tilfælde er en lige linje et udtryk, som de enkelte aksiomer refererer til. Et eksempel er det første aksiom fra Hilberts system af aksiomer :

To forskellige punkter og altid bestemme en lige linje .

Betydningen af ​​udtrykket lige linje stammer fra aksiomernes totalitet. En fortolkning som en uendelig lang, uendelig tynd linje er ikke obligatorisk, men kun et forslag til, hvad man klart kunne forestille sig ved den.

På det projektive plan er udtrykkene punkt og lige linje endda fuldstændigt udskiftelige (dualitet) . Dette gør det muligt at forestille sig en lige linje som uendelig lille og et punkt som uendeligt langt og uendeligt tyndt.

Analytisk geometri

Illustration af understøttelses- og retningsvektoren

I analytisk geometri kaldes det geometriske rum -dimensionalt vektorrum vist over de reelle tal . En lige linje er defineret som et endimensionelt affin underrum af dette vektorrum, dvs. som en sekundær klasse af et endimensionelt lineært underrum.

I tre dimensioner opfylder begrebet lige linjer i analytisk geometri alle de betingelser, som Hilbert forudsætter i sit system af geometri -aksiomer. I dette tilfælde er en lige linje derfor også en lige linje i Hilbert -forstand.

Du behøver kun placeringen af ​​to punkter for at beskrive en lige linje. Et af punkterne fungerer som en "støtte" for den lige linje, den "hviler" så at sige på den - dette punkt kaldes derfor den lige linies startpunkt eller støttepunkt . Det andet punkt giver retlinjen. Retningen angives af vektoren fra referencepunktet til "retningspunktet".

Lige gennem punkterne og indeholder præcis punkterne , hvis positionsvektor en skildring

med

ejer, altså

Her er understøttelsesvektoren, dvs. positionsvektoren for understøtningspunktet og retningsvektoren.

Det affine skrog af to forskellige vektorer og

er også en lige linje.

Også løsningsrummet for et (inhomogent) lineært system af ligninger med lineært uafhængige ligninger er et affint underrum af dimension et og dermed en lige linje. I to dimensioner kan en lige linje repræsenteres ved en lige linje ligning

angivet, hvor og eller skal være ikke-nul. er ikke lig med 0, taler man om en lineær funktion .

Korteste vej

I det virkelige euklidiske rum er den korteste vej mellem to punkter på en lige linje. Hvis man generaliserer denne egenskab af den lige linje på buede rum ( manifolder ), når man frem til begrebet den geodesiske linje eller kort sagt geodesikken .

Ligning af en lige linje i flyet

Ligningen for en lige linje i flyet kan bestemmes på tre forskellige måder:

Punktretning ligning:

  • Der gives et punkt og hældningsvinklen (stigningsvinkel) .
  • Der gives et punkt og hældningen (hældningen) .

To punkts ligning:

  • Der gives to point og med .

eller

Ligning af en lige linje i rummet ℝⁿ

Punktretning ligning

For hvert par fra en positionsvektor (dvs. punkt) og en retningsvektor der er en lige linje , det indeholder og mod kører, nemlig

.

To punkts ligning

Givet er to positionsvektorer (dvs. punkter) med . Så er der en entydigt bestemt lige linje , det og indeholder, nemlig

.

Placering af to lige linjer til hinanden

To lige linjer kan have følgende positionsrelationer til hinanden. Du kan:

  • Vær den samme: begge lige linjer har alle punkter til fælles.
  • Har et kryds: Begge lige linjer har nøjagtigt ét punkt til fælles (især: vinkelret på hinanden).
  • Vær virkelig parallelle med hinanden: Begge lige linjer har ikke noget til fælles og kan konverteres til hinanden ved at flytte dem.
  • At være skævt til hinanden: Begge lige linjer har ikke noget til fælles, men kan ikke konverteres til hinanden ved et skift alene (fra mindst tre dimensioner ).

I betydningen af relationsteorien taler man om parallelisme, når begge linjer er identiske; især er hver linje parallel med sig selv. For at være mere præcis skelnes der derefter mellem ægte parallelt og identisk .

Kryds i flyet

Skæringspunkt mellem to lige linjer

Til skæringspunktet mellem to ikke-parallelle

  • Lige linjer (angivet i koordinatform )

resultater fra Cramers regel for koordinaterne for skæringspunktet

Hvis de to lige linjer er parallelle.

og
og en lige linje gennem punkterne
og
Skæringspunktet beregnes ved på forhånd at konvertere topunktsformularerne til koordinatformer .
Skæringspunktet opstår til
og
.

Skæringspunkt mellem to linjer

Skæringspunkt mellem to linjer

Er to ikke-parallelle linjer og givet, behøver de ikke at krydse hinanden. Fordi krydset den tilhørende lige linje behøver ikke at være inkluderet i begge segmenter. For at præcisere sidstnævnte er begge ruter repræsenteret som parameteriseret:

,

Hvis linjerne krydser hinanden, skal det fælles punkt være de tilhørende parametre for lige linjer har med ejendommen . Skæreparametrene er løsninger af det lineære ligningssystem

Dette løses (som ovenfor) med Cramers regel, og skæringstilstanden kontrolleres og sæt eller i den tilhørende parametriske repræsentation for endelig at finde krydset at opnå.

Eksempel: Til ruterne og man opnår ligningssystemet

og . I. E. linjerne skærer hinanden og skæringspunktet er .

Bemærk: Hvis man betragter lige linjer gennem to par punkter, kan man finde betingelsen ignorere og få med denne metode skæringspunktet mellem de to lige linjer.

Vinkel i flyet

Hældningsvinkel på en lige linje

Er en lige linje i flyet med givet i koordinatform , gælder derefter hældningsvinklen denne lige linje:

Dette følger af definitionen af tangenten . Anvendelse af den omvendte funktion af tangenten ( arctangent ) på begge sider af ligningen giver

Til det særlige tilfælde den lige linje er vinkelret, og disse ligninger er ikke defineret. Funktionen ( Tangent ) har poler ved og . [1]

Skæringsvinkel mellem to lige linjer

Er de to skærende linjer og med positionsdataene vektorer og og de lineært uafhængige retningsvektorer og givet, så er skæringsvinklen mellem disse lige linjer vinklen mellem retningsvektorerne:

De lige linjer er vinkelret på hinanden, hvis skæringsvinklen er en ret vinkel , dvs. . Dette er præcis tilfældet, når skalarproduktet af retningsvektorerne er lig med 0, dvs. . [2]

Er to lige linjer i flyet med og givet i koordinatform , derefter skæringsvinklen forskellen i hældningsvinklerne og den lige linje:

Anvendelse af tilføjelsessætningen for tangentudbytterne

På grund af og følger heraf

Samlet set resulterer det

Anvendelse af den omvendte funktion af tangenten ( arctangent ) på begge sider af ligningen giver

De lige linjer er ortogonale med hinanden, hvis og kun hvis nævneren er lig med 0, dvs. . For disse særlige tilfælde, nemlig for og , er de nævnte ligninger ikke defineret. Funktionen ( Tangent ) har poler ved og . [3]

Afstand i flyet

Afstand mellem punkt og linje

Afstanden mellem punktet og den lige linje med koordinatformen udgør:

Punktet på den lige linje, der er tættest på har koordinaterne

Når den lige linje gennem punkterne og løb er

Disse værdier kan bruges i formlerne . [4]

Afstand i tredimensionelt rum

Afstand mellem punkt og linje

Afstanden mellem punktet og den lige linje går gennem punkterne og kørsler er: [5]

Afstand mellem to lige linjer

To lige linjer, en gennem punkterne og og den anden ved punkterne og have følgende afstand : [6]

Den lige linje inden for teknologi og opmåling

I tekniske felter er den lige linje det vigtigste element for konstruktioner , routing , lokalitetsbestemmelse og måling af koordinater :

Under målinger repræsenteres det af et målingsteleskops eller en lasers synsakse, i konstruktionen repræsenteres det af et slagbræt .

Se også

Weblinks

Commons : Straight - samling af billeder, videoer og lydfiler
Wiktionary: Straight - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

  1. ^ Math Open Reference: Invers tangentfunktion (arctan)
  2. W3spoint.com: Vinkel mellem to linjer
  3. emathzone.com: Vinkel skæringspunktet mellem to linjer
  4. ^ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-2-dimensionel
  5. ^ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance-3-dimensionel
  6. ^ Wolfram MathWorld:Line-Line Distance