Lige

Repræsentation af lige linjer i det kartesiske koordinatsystem

En lige eller kort linje er et element i geometrien . Det er en lige linje, uendelig lang, uendelig tynd og ubegrænset i begge retninger. Den korteste forbindelse mellem to punkter kaldes derimod en linje . Moderne aksiomatiske teorier om geometri henviser imidlertid ikke til det ( syntetisk geometri ). For dem er en lige linje et objekt uden interne egenskaber, kun relationerne til andre lige linjer, punkter og planer er vigtige. I analytisk geometri realiseres en lige linje som et sæt punkter. Mere præcist: I et affint rum er en lige linje et endimensionelt affint underrum .

Syntetisk geometri

I sine elementer gav Euclid en eksplicit definition af en lige linje, der svarer til det grafiske billede. Denne definition har imidlertid ikke betydning for forslag og deres beviser . Moderne aksiomasystemer undlader derfor en sådan definition.

I dette tilfælde er en lige linje et udtryk, som de enkelte aksiomer refererer til. Et eksempel er det første aksiom fra Hilberts system af aksiomer :

To forskellige punkter

P.

${\ displaystyle P}$ $P.$ og

Q

${\ displaystyle Q}$ $Q$ altid bestemme en lige linje

G

${\ displaystyle g}$ $G$ .

Betydningen af udtrykket lige linje stammer fra aksiomernes totalitet. En fortolkning som en uendelig lang, uendelig tynd linje er ikke obligatorisk, men kun et forslag til, hvad man klart kunne forestille sig ved den.

På det projektive plan er udtrykkene punkt og lige linje endda fuldstændigt udskiftelige (dualitet) . Dette gør det muligt at forestille sig en lige linje som uendelig lille og et punkt som uendeligt langt og uendeligt tyndt.

Analytisk geometri

Illustration af understøttelses- og retningsvektoren

I analytisk geometri kaldes det geometriske rum $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensionalt vektorrum vist over de reelle tal . En lige linje er defineret som et endimensionelt affin underrum af dette vektorrum, dvs. som en sekundær klasse af et endimensionelt lineært underrum.

I tre dimensioner opfylder begrebet lige linjer i analytisk geometri alle de betingelser, som Hilbert forudsætter i sit system af geometri -aksiomer. I dette tilfælde er en lige linje derfor også en lige linje i Hilbert -forstand.

Du behøver kun placeringen af to punkter for at beskrive en lige linje. Et af punkterne fungerer som en "støtte" for den lige linje, den "hviler" så at sige på den - dette punkt kaldes derfor den lige linies startpunkt eller støttepunkt . Det andet punkt giver retlinjen. Retningen angives af vektoren fra referencepunktet til "retningspunktet".

Lige $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ gennem punkterne $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ og $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ indeholder præcis punkterne $x$ ${\ displaystyle X}$ $x$ , hvis positionsvektor ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ en skildring

{\vec {x}}={\overrightarrow {OP}}+t\,{\overrightarrow {PQ}}

{\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ overrightarrow {OP}} + t \, {\ overrightarrow {PQ}}}

\ vec x = \ overrightarrow {OP} + t \, \ overrightarrow {PQ}

med

t\in \mathbb {R}

{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}

t \ i \ R

ejer, altså

g=\{X\mid {\overrightarrow {OX}}={\overrightarrow {OP}}+t\,{\overrightarrow {PQ}};t\in \mathbb {R} \}.

{\ displaystyle g = \ {X \ mid {\ overrightarrow {OX}} = {\ overrightarrow {OP}} + t \, {\ overrightarrow {PQ}}; t \ in \ mathbb {R} \}.}

g = \ {X \ mid \ overrightarrow {OX} = \ overrightarrow {OP} + t \, \ overrightarrow {PQ}; t \ in \ R \}.

Her er ${\overrightarrow {OP}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$ $\ overrightarrow {OP}$ understøttelsesvektoren, dvs. positionsvektoren for understøtningspunktet $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ og ${\overrightarrow {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$ ${\ overrightarrow {PQ}}$ retningsvektoren.

Det affine skrog af to forskellige vektorer ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ og ${\vec {w}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ ${\ vec {w}}$

\{\lambda {\vec {v}}+\mu {\vec {w}}\mid \lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,\lambda +\mu =1\}

{\ displaystyle \ {\ lambda {\ vec {v}} + \ mu {\ vec {w}} \ mid \ lambda, \ mu \ in \ mathbb {R}, \ lambda + \ mu = 1 \}}

\ {\ lambda {\ vec v} + \ mu {\ vec w} \ mid \ lambda, \ mu \ in \ mathbb {R}, \ lambda + \ mu = 1 \}

er også en lige linje.

Også løsningsrummet for et (inhomogent) lineært system af ligninger med $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ lineært uafhængige ligninger er et affint underrum af dimension et og dermed en lige linje. I to dimensioner kan en lige linje repræsenteres ved en lige linje ligning

\alpha x+\beta y=\gamma

{\ displaystyle \ alpha x + \ beta y = \ gamma}

\ alfa x + \ beta y = \ gamma

angivet, hvor $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma \ in \ mathbb {R}}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma \ in \ mathbb {R}$ og $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ eller $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ skal være ikke-nul. er $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ikke lig med 0, taler man om en lineær funktion $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ .

Korteste vej

I det virkelige euklidiske rum er den korteste vej mellem to punkter på en lige linje. Hvis man generaliserer denne egenskab af den lige linje på buede rum ( manifolder ), når man frem til begrebet den geodesiske linje eller kort sagt geodesikken .

Ligning af en lige linje i flyet

Ligningen for en lige linje i flyet kan bestemmes på tre forskellige måder:

Punktretning ligning:

Der gives et punkt $P_{0}(x_{0}|y_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0} | y_ {0})}$ $P_0 (x_0 | y_0)$ og hældningsvinklen (stigningsvinkel) $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .
$y=y_{0}+\tan(\alpha )\cdot (x-x_{0})$ ${\ displaystyle y = y_ {0} + \ tan (\ alpha) \ cdot (x-x_ {0})}$ $y = y_0 + \ tan (\ alpha) \ cdot (x-x_0)$
Der gives et punkt $P_{0}(x_{0}|y_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0} | y_ {0})}$ $P_0 (x_0 | y_0)$ og hældningen (hældningen) $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .
$y=y_{0}+m\cdot (x-x_{0})$ ${\ displaystyle y = y_ {0} + m \ cdot (x-x_ {0})}$ $y = y_0 + m \ cdot (x-x_0)$

To punkts ligning:

Der gives to point $P_{1}(x_{1}|y_{1})$ ${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1} | y_ {1})}$ $P_ {1} (x_ {1} | y_ {1})$ og $P_{2}(x_{2}|y_{2})$ ${\ displaystyle P_ {2} (x_ {2} | y_ {2})}$ $P_2 (x_2 | y_2)$ med $x_{1}\neq x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ neq x_ {2}}$ $x_1 \ neq x_2$ .
$y=y_{1}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})$ ${\ displaystyle y = y_ {1} + {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ cdot (x -x_ {1})}}$ $y = y_1 + \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} \ cdot (x-x_1)$

eller

y=y_{1}{\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

{\ displaystyle y = y_ {1} {\ frac {x-x_ {2}} {x_ {1} -x_ {2}}} + y_ {2} {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}

y = y_1 \ frac {x - x_2} {x_1 - x_2} + y_2 \ frac {x - x_1} {x_2 - x_1}

Ligning af en lige linje i rummet ℝⁿ

Punktretning ligning

For hvert par $(\mathbf {p} ,\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, \ mathbf {r})}$ $(\ mathbf {p}, \ mathbf {r})$ fra en positionsvektor (dvs. punkt) $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf {p} \ i \ R ^ n$ og en retningsvektor $\mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$ $\ mathbf {r} \ in \ R ^ n \ setminus \ {0 \}$ der er en lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ , det $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ indeholder og mod $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ kører, nemlig

g=\{\mathbf {p} +\lambda \mathbf {r} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}

{\ displaystyle g = \ {\ mathbf {p} + \ lambda \ mathbf {r} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}}

g = \ {\ mathbf {p} + \ lambda \ mathbf {r} \ mid \ lambda \ in \ R \}

.

To punkts ligning

Givet er to positionsvektorer (dvs. punkter) $\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf {p} _1, \ mathbf {p} _2 \ in \ R ^ n$ med $\mathbf {p} _{1}\neq \mathbf {p} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} \ neq \ mathbf {p} _ {2}}$ $\ mathbf {p} _1 \ neq \ mathbf {p} _2$ . Så er der en entydigt bestemt lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ , det $\mathbf {p} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}}$ $\ mathbf {s} _1$ og $\mathbf {p} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {2}}$ $\ mathbf {s} _2$ indeholder, nemlig

g=\{\mathbf {p} _{1}+\lambda (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1})\mid \lambda \in \mathbb {R} \}=\{(1-\lambda )\mathbf {p} _{1}+\lambda \mathbf {p} _{2}\mid \lambda \in \mathbb {R} \}

{\ displaystyle g = \ {\ mathbf {p} _ {1} + \ lambda (\ mathbf {p} _ {2} - \ mathbf {p} _ {1}) \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R } \} = \ {(1- \ lambda) \ mathbf {p} _ {1} + \ lambda \ mathbf {p} _ {2} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}}

g = \ {\ mathbf {p} _1 + \ lambda (\ mathbf {p} _2 - \ mathbf {p} _1) \ mid \ lambda \ in \ R \} = \ {(1- \ lambda) \ mathbf { p} _1 + \ lambda \ mathbf {p} _2 \ mid \ lambda \ in \ R \}

.

Placering af to lige linjer til hinanden

Forholdet mellem to lige linjer (rød og mørkeblå) i rummet
sand parallel (venstre) og lige (højre)
skæring (i det sorte punkt)
skæv

To lige linjer kan have følgende positionsrelationer til hinanden. Du kan:

Vær den samme: begge lige linjer har alle punkter til fælles.
Har et kryds: Begge lige linjer har nøjagtigt ét punkt til fælles (især: vinkelret på hinanden).
Vær virkelig parallelle med hinanden: Begge lige linjer har ikke noget til fælles og kan konverteres til hinanden ved at flytte dem.
At være skævt til hinanden: Begge lige linjer har ikke noget til fælles, men kan ikke konverteres til hinanden ved et skift alene (fra mindst tre dimensioner ).

I betydningen af relationsteorien taler man om parallelisme, når begge linjer er identiske; især er hver linje parallel med sig selv. For at være mere præcis skelnes der derefter mellem ægte parallelt og identisk .

Kryds i flyet

Skæringspunkt mellem to lige linjer

Til skæringspunktet mellem to ikke-parallelle

Lige linjer (angivet i koordinatform ) $a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}$ ${\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y = c_ {1}, \ a_ {2} x + b_ {2} y = c_ {2}}$ $a_ {1} x + b_ {1} y = c_ {1}, \ a_ {2} x + b_ {2} y = c_ {2}$

resultater fra Cramers regel for koordinaterne for skæringspunktet $(x_{s},y_{s})$ ${\ displaystyle (x_ {s}, y_ {s})}$ $(x_ {s}, y_ {s})$

x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {c_ {1} b_ {2} -c_ {2} b_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}} , \ quad y_ {s} = {\ frac {a_ {1} c_ {2} -a_ {2} c_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}} . \}

x_ {s} = {\ frac {c_ {1} b_ {2} -c_ {2} b_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}}, \ quad y_ {s} = {\ frac {a_ {1} c_ {2} -a_ {2} c_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}}. \

Hvis $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$ ${\ displaystyle a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} = 0}$ $a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} = 0$ de to lige linjer er parallelle.

For en lige linje gennem punkterne

P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle P_ {1} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ y_ {1} \ end {pmatrix}}}

P_ {1} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ y_ {1} \ end {pmatrix}}

og

P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle P_ {2} = {\ begin {pmatrix} x_ {2} \\ y_ {2} \ end {pmatrix}}}

P_ {2} = {\ begin {pmatrix} x_ {2} \\ y_ {2} \ end {pmatrix}}

og en lige linje gennem punkterne

P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle P_ {3} = {\ begin {pmatrix} x_ {3} \\ y_ {3} \ end {pmatrix}}}

P_ {3} = {\ begin {pmatrix} x_ {3} \\ y_ {3} \ end {pmatrix}}

og

P_{4}={\begin{pmatrix}x_{4}\\y_{4}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle P_ {4} = {\ begin {pmatrix} x_ {4} \\ y_ {4} \ end {pmatrix}}}

P_ {4} = {\ begin {pmatrix} x_ {4} \\ y_ {4} \ end {pmatrix}}

Skæringspunktet beregnes ved på forhånd at konvertere topunktsformularerne til koordinatformer .

Skæringspunktet

S={\begin{pmatrix}x_{s}\\y_{s}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} x_ {s} \\ y_ {s} \ end {pmatrix}}}

S = {\ begin {pmatrix} x_ {s} \\ y_ {s} \ end {pmatrix}}

opstår til

x_{s}={\frac {(x_{2}-x_{1})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})-(x_{4}-x_{3})(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{4}-y_{3})-(y_{2}-y_{1})(x_{4}-x_{3})}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {(x_ {2} -x_ {1}) (x_ {3} y_ {4} -y_ {3} x_ {4}) -(x_ {4} -x_ {3}) (x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2})} {(x_ {2} -x_ {1}) (y_ {4} -y_ {3}) -(y_ {2} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {3})}}}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {(x_ {2} -x_ {1}) (x_ {3} y_ {4} -y_ {3} x_ {4}) -(x_ {4} -x_ {3}) (x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2})} {(x_ {2} -x_ {1}) (y_ {4} -y_ {3}) -(y_ {2} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {3})}}}}

og

y_{s}={\frac {(y_{2}-y_{1})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})-(y_{4}-y_{3})(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{4}-y_{3})-(y_{2}-y_{1})(x_{4}-x_{3})}}

{\ displaystyle y_ {s} = {\ frac {(y_ {2} -y_ {1}) (x_ {3} y_ {4} -y_ {3} x_ {4}) -(y_ {4} -y_ {3}) (x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2})} {(x_ {2} -x_ {1}) (y_ {4} -y_ {3}) -(y_ {2} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {3})}}}}

{\ displaystyle y_ {s} = {\ frac {(y_ {2} -y_ {1}) (x_ {3} y_ {4} -y_ {3} x_ {4}) -(y_ {4} -y_ {3}) (x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2})} {(x_ {2} -x_ {1}) (y_ {4} -y_ {3}) -(y_ {2} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {3})}}}}

.

Skæringspunkt mellem to linjer

Er to ikke-parallelle linjer $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})$ og $(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}), (x_ {4}, y_ {4})}$ $(x_ {3}, y_ {3}), (x_ {4}, y_ {4})$ givet, behøver de ikke at krydse hinanden. Fordi krydset $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0})$ den tilhørende lige linje behøver ikke at være inkluderet i begge segmenter. For at præcisere sidstnævnte er begge ruter repræsenteret som parameteriseret:

(x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1}))

{\ displaystyle (x (s), y (s)) = (x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1}), y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1} ))}}

(x (s), y (s)) = (x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1}), y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1})))

,

(x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3}))\ .

{\ displaystyle (x (t), y (t)) = (x_ {3} + t (x_ {4} -x_ {3}), y_ {3} + t (y_ {4} -y_ {3} )) \.}

(x (t), y (t)) = (x_ {3} + t (x_ {4} -x_ {3}), y_ {3} + t (y_ {4} -y_ {3}))) \ .

Hvis linjerne krydser hinanden, skal det fælles punkt være $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0})$ de tilhørende parametre for lige linjer $s_{0},t_{0}$ ${\ displaystyle s_ {0}, t_ {0}}$ $s_ {0}, t_ {0}$ har med ejendommen $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq s_ {0}, t_ {0} \ leq 1}$ $0 \ leq s_ {0}, t_ {0} \ leq 1$ . Skæreparametrene $s_{0},t_{0}$ ${\ displaystyle s_ {0}, t_ {0}}$ $s_ {0}, t_ {0}$ er løsninger af det lineære ligningssystem

s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},

{\ displaystyle s (x_ {2} -x_ {1}) -t (x_ {4} -x_ {3}) = x_ {3} -x_ {1},}

s (x_ {2} -x_ {1}) -t (x_ {4} -x_ {3}) = x_ {3} -x_ {1},

s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .

{\ displaystyle s (y_ {2} -y_ {1}) -t (y_ {4} -y_ {3}) = y_ {3} -y_ {1} \.}

s (y_ {2} -y_ {1}) -t (y_ {4} -y_ {3}) = y_ {3} -y_ {1} \.

Dette løses (som ovenfor) med Cramers regel, og skæringstilstanden kontrolleres $0\leq s_{0}\leq 1,\ 0\leq t_{0}\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq s_ {0} \ leq 1, \ 0 \ leq t_ {0} \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq s_ {0} \ leq 1, \ 0 \ leq t_ {0} \ leq 1}$ og sæt $s_{0}$ ${\ displaystyle s_ {0}}$ $s_ {0}$ eller $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ i den tilhørende parametriske repræsentation for endelig at finde krydset $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0})$ at opnå.

Eksempel: Til ruterne $(1,1),(3,2)$ ${\ displaystyle (1.1), (3.2)}$ $(1.1), (3.2)$ og $(1,4),(2,-1)$ ${\ displaystyle (1,4), (2, -1)}$ $(1,4), (2, -1)$ man opnår ligningssystemet

2s-t=0

{\ displaystyle 2s-t = 0}

2s-t = 0

s+5t=3

{\ displaystyle s + 5t = 3}

s + 5t = 3

og $s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}$ ${\ displaystyle s_ {0} = {\ tfrac {3} {11}}, t_ {0} = {\ tfrac {6} {11}}}$ $s_ {0} = {\ tfrac {3} {11}}, t_ {0} = {\ tfrac {6} {11}}$ . I. E. linjerne skærer hinanden og skæringspunktet er $({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})$ ${\ displaystyle ({\ tfrac {17} {11}}, {\ tfrac {14} {11}})}$ $({\ tfrac {17} {11}}, {\ tfrac {14} {11}})$ .

Bemærk: Hvis man betragter lige linjer gennem to par punkter, kan man finde betingelsen $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq s_ {0}, t_ {0} \ leq 1}$ $0 \ leq s_ {0}, t_ {0} \ leq 1$ ignorere og få med denne metode skæringspunktet mellem de to lige linjer.

Vinkel i flyet

Hældningsvinkel på en lige linje

Er en lige linje i flyet med $ax+by=c$ ${\ displaystyle ax + af = c}$ ${\ displaystyle ax + by = c}$ givet i koordinatform , gælder derefter hældningsvinklen $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ denne lige linje:

\tan \alpha ={\frac {a}{b}}

{\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {a} {b}}}

Dette følger af definitionen af tangenten . Anvendelse af den omvendte funktion af tangenten ( arctangent ) på begge sider af ligningen giver

\alpha =\arctan {\frac {a}{b}}

{\ displaystyle \ alpha = \ arctan {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle \ alpha = \ arctan {\ frac {a} {b}}}

Til det særlige tilfælde $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ den lige linje er vinkelret, og disse ligninger er ikke defineret. Funktionen $\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha}$ $\ tan \ alpha$ ( Tangent ) har poler ved $\alpha =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ}}$ $\ alpha = 90 ^ {\ circ}$ og $\alpha =-90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha = -90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ alpha = -90 ^ {\ circ}}$ . ^[1]

Skæringsvinkel mellem to lige linjer

Er de to skærende linjer $g_{1}=\{\mathbf {p_{1}} +\lambda \mathbf {r_{1}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}$ ${\ displaystyle g_ {1} = \ {\ mathbf {p_ {1}} + \ lambda \ mathbf {r_ {1}} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle g_ {1} = \ {\ mathbf {p_ {1}} + \ lambda \ mathbf {r_ {1}} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}}$ og $g_{2}=\{\mathbf {p_{2}} +\lambda \mathbf {r_{2}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}$ ${\ displaystyle g_ {2} = \ {\ mathbf {p_ {2}} + \ lambda \ mathbf {r_ {2}} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle g_ {2} = \ {\ mathbf {p_ {2}} + \ lambda \ mathbf {r_ {2}} \ mid \ lambda \ in \ mathbb {R} \}}$ med positionsdataene vektorer $\mathbf {p_{1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p_ {1}}}$ og $\mathbf {p_{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p_ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p_ {2}}}$ og de lineært uafhængige retningsvektorer $\mathbf {r_{1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {1}}}$ og $\mathbf {r_{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {2}}}$ givet, så er skæringsvinklen $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ mellem disse lige linjer vinklen mellem retningsvektorerne:

\theta =\arccos {\frac {\mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} ||\mathbf {r_{2}} |}}

{\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ frac {\ mathbf {r_ {1}} \ cdot \ mathbf {r_ {2}}} {| \ mathbf {r_ {1}} || \ mathbf {r_ {2} } |}}}

{\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ frac {\ mathbf {r_ {1}} \ cdot \ mathbf {r_ {2}}} {| \ mathbf {r_ {1}} || \ mathbf {r_ {2} } |}}}

De lige linjer er vinkelret på hinanden, hvis skæringsvinklen er en ret vinkel , dvs. $\theta =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}}$ $\ theta = 90 ^ {\ circ}$ . Dette er præcis tilfældet, når skalarproduktet af retningsvektorerne er lig med 0, dvs. $\mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {1}} \ cdot \ mathbf {r_ {2}} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {1}} \ cdot \ mathbf {r_ {2}} = 0}$ . ^[2]

Er to lige linjer i flyet med $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y = c_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y = c_ {1}}$ og $a_{2}x+b_{2}y=c_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y = c_ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y = c_ {2}}$ givet i koordinatform , derefter skæringsvinklen $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ forskellen i hældningsvinklerne $\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alfa _ {1}$ og $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ den lige linje:

\theta =\alpha _{1}-\alpha _{2}

{\ displaystyle \ theta = \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2}}

{\ displaystyle \ theta = \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2}}

Anvendelse af tilføjelsessætningen for tangentudbytterne

\tan \theta =\tan(\alpha _{1}-\alpha _{2})={\frac {\tan \alpha _{1}-\tan \alpha _{2}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta = \ tan (\ alpha _ {1} - \ alpha _ {2}) = {\ frac {\ tan \ alpha _ {1} - \ tan \ alpha _ {2}} {1 + \ tan \ alpha _ {1} \ tan \ alpha _ {2}}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta = \ tan (\ alpha _ {1} - \ alpha _ {2}) = {\ frac {\ tan \ alpha _ {1} - \ tan \ alpha _ {2}} {1 + \ tan \ alpha _ {1} \ tan \ alpha _ {2}}}}

På grund af $\tan \alpha _{1}={\tfrac {a_{1}}{b_{1}}}$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha _ {1} = {\ tfrac {a_ {1}} {b_ {1}}}}$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha _ {1} = {\ tfrac {a_ {1}} {b_ {1}}}}$ og $\tan \alpha _{2}={\tfrac {a_{2}}{b_{2}}}$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha _ {2} = {\ tfrac {a_ {2}} {b_ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha _ {2} = {\ tfrac {a_ {2}} {b_ {2}}}}$ følger heraf

{\frac {\tan \alpha _{1}-\tan \alpha _{2}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}={\frac {{\frac {a_{1}}{b_{1}}}-{\frac {a_{2}}{b_{2}}}}{1+{\frac {a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}}}}}={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ tan \ alpha _ {1} - \ tan \ alpha _ {2}} {1+ \ tan \ alpha _ {1} \ tan \ alpha _ {2}}} = {\ frac {{\ frac {a_ {1}} {b_ {1}}} - {\ frac {a_ {2}} {b_ {2}}}} {1 + {\ frac {a_ {1} a_ {2} } {b_ {1} b_ {2}}}}} = {\ frac {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} {a_ {1} a_ {2} + b_ {1 } b_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ tan \ alpha _ {1} - \ tan \ alpha _ {2}} {1+ \ tan \ alpha _ {1} \ tan \ alpha _ {2}}} = {\ frac {{\ frac {a_ {1}} {b_ {1}}} - {\ frac {a_ {2}} {b_ {2}}}} {1 + {\ frac {a_ {1} a_ {2} } {b_ {1} b_ {2}}}}} = {\ frac {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} {a_ {1} a_ {2} + b_ {1 } b_ {2}}}}

Samlet set resulterer det

\tan \theta ={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2}}} }

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2}}} }

Anvendelse af den omvendte funktion af tangenten ( arctangent ) på begge sider af ligningen giver

\theta =\arctan {\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}

{\ displaystyle \ theta = \ arctan {\ frac {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2}}} }

{\ displaystyle \ theta = \ arctan {\ frac {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2}}} }

De lige linjer er ortogonale med hinanden, hvis og kun hvis nævneren er lig med 0, dvs. $a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$ ${\ displaystyle a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} = 0}$ . For disse særlige tilfælde, nemlig for $\theta =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}}$ $\ theta = 90 ^ {\ circ}$ og $\theta =-90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}}$ , er de nævnte ligninger ikke defineret. Funktionen $\tan \theta$ ${\ displaystyle \ tan \ theta}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta}$ ( Tangent ) har poler ved $\theta =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}}$ $\ theta = 90 ^ {\ circ}$ og $\theta =-90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}}$ . ^[3]

Afstand i flyet

Afstand mellem punkt og linje

Afstanden mellem punktet $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ og den lige linje med koordinatformen $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ udgør:

{\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}}

Punktet på den lige linje, der $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ er tættest på har koordinaterne

\left(x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}},y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ left (x = {\ frac {b (bx_ {0} -ay_ {0}) - ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, y = {\ frac {a ( -bx_ {0} + ay_ {0}) - bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ højre)}

{\ displaystyle \ left (x = {\ frac {b (bx_ {0} -ay_ {0}) - ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, y = {\ frac {a ( -bx_ {0} + ay_ {0}) - bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ højre)}

Når den lige linje gennem punkterne $(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}}$ og $(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ løb er

a=y_{2}-y_{1}

{\ displaystyle a = y_ {2} -y_ {1}}

{\ displaystyle a = y_ {2} -y_ {1}}

b=x_{1}-x_{2}

{\ displaystyle b = x_ {1} -x_ {2}}

{\ displaystyle b = x_ {1} -x_ {2}}

c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}

{\ displaystyle c = x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}}

{\ displaystyle c = x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}}

Disse værdier kan bruges i formlerne . ^[4]

Afstand i tredimensionelt rum

Afstand mellem punkt og linje

Afstanden mellem punktet ${\vec {p_{0}}}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {0}}} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {0}}} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ og den lige linje går gennem punkterne ${\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ og ${\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {2}}} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {2}}} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ kørsler er: ^[5]

{\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{2}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}

{\ displaystyle {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ times ({\ vec {p_ {1}}} - {\ vec {p_ {0}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre |}} = {\ frac {\ venstre | ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {2}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre |}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ left | ({\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ times ({\ vec {p_ {1}}} - {\ vec {p_ {0}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre |}} = {\ frac {\ venstre | ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {1}}}) \ gange ({\ vec {p_ {0}}} - {\ vec {p_ {2}}}) \ højre |} {\ venstre | {\ vec {p_ {2}}} - {\ vec {p_ {1}}} \ højre |}}}

Afstand mellem to lige linjer

To lige linjer, en gennem punkterne ${\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ og ${\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {2}}} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {2}}} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ og den anden ved punkterne ${\vec {p_{3}}}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {3}}} = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {3}}} = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ og ${\vec {p_{4}}}=(x_{4},y_{4},z_{4})$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {4}}} = (x_ {4}, y_ {4}, z_ {4})}$ ${\ displaystyle {\ vec {p_ {4}}} = (x_ {4}, y_ {4}, z_ {4})}$ have følgende afstand : ^[6]