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Matematikens historie

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Matematikkens historie går tilbage til antikken og begyndelsen på at tælle i den yngre stenalder . Bevis for den første begyndelse af tælleprocesser går tilbage omkring 50.000 år. [1] Pyramidebygningen i det gamle Egypten for over 4500 år siden med sine præcist beregnede former er en klar indikation på eksistensen af ​​omfattende matematisk viden. I modsætning til egyptiernes matematik, hvoraf kun få kilder findes på grund af den følsomme papyri , er der omkring 400 lertavler af babylonisk matematik i Mesopotamien . De to kulturområder havde forskellige nummersystemer , men begge kendte de fire grundlæggende aritmetiske operationer og tilnærmelser til cirkelnummeret . Matematisk bevis fra Kina er meget nyere, da dokumenter blev ødelagt af brande, og tidlig indisk matematik er lige så vanskelig at datere. I det gamle Europa blev matematik praktiseret af grækerne som en videnskab inden for filosofiens rammer. Orienteringen mod opgaven med "rent logisk bevis" og den første tilgang til aksiomatisering , nemlig euklidisk geometri, stammer fra denne tid. Persiske og arabiske matematikere tog den græske og indiske viden, som romerne hellere havde tilsidesat, og etablerede algebra . Fra Spanien og Italien spredte denne viden sig til de europæiske klosterskoler og universiteter. Udviklingen af ​​moderne matematik (højere algebra, analytisk geometri , sandsynlighedsteori , analyse osv.) Fandt sted i Europa fra renæssancen og fremefter . Europa forblev centrum for matematikudviklingen indtil det 19. århundrede, det 20. århundrede oplevede en "eksplosiv" udvikling og internationalisering af matematik med et klart fokus på USA, som især efter Anden Verdenskrig tiltrak matematikere fra hele verdens store efterspørgsel på grund af den ekspansive teknologiske udvikling.

Matematik fra de gamle egyptere og babylonere

Egypten

Den vigtigste af de få overlevende kilder, der giver os oplysninger om egyptiernes matematiske evner, er Rhind-papyrus , Moskva-papyrus og den såkaldte "læderrulle".

Egypterne brugte stort set kun matematik til praktiske opgaver såsom beregning af løn, beregning af kornmængde til brødbagning eller beregning af areal . De kendte de fire grundlæggende aritmetiske operationer , såsom subtraktion som omvendt af addition , multiplikation blev sporet tilbage til gentagen fordobling og division til gentagen halvering. For at kunne udføre opdelingen fuldstændigt brugte egypterne generelle brøkdele af naturlige tal, som de repræsenterede ved summerne af forfædre brøker og brøken 2/3. Du kan også løse ligninger med en abstrakt ukendt . I geometri var de optaget af beregningen af arealerne af trekanter , rektangler og trapezoider , kendt som tilnærmelsen af cirkelnummeret π (pi) og beregningen af volumenet af en firkantet afkortet pyramide [2] . Arkæologiske fund af optegnelser over matematisk bevis mangler stadig i dag. De havde deres egne hieroglyffer for tal, fra 1800 f.Kr. De brugte hieratisk script , som blev skrevet med afrundede og forenklede hieroglyfiske tegn.

Babylon

Babylonske kiletablet YBC 7289 med en sexagesimal tilnærmelse til kvadratroden af ​​2 (på diagonalen)

Babylonierne brugte et sexagesimalt værdisystem , omend med et ufuldkommen udtryk, så meningen ofte kun kom ud af konteksten. De opnåede lertavler er f.eks. Tabeller med tal til multiplikation med gensidige værdier (ifølge deres metode til division), firkanter og terninger; Tabelværdier, der ikke var tilgængelige, kunne bestemmes ved lineær interpolation og anvendelse af regler for delbarhed. Der er også tabeller med opgaver, der f.eks. Svarer til nutidens lineære ligningssystemer eller beregninger af sammensatte renter, og forklaringer på beregningsmetoder. De havde en algoritme til beregning af kvadratrødder (babylonisk rodudvinding) og kunne endda løse kvadratiske ligninger med den. De kendte den pythagoranske sætning og brugte 3 eller 3 + 1/8 som en tilnærmelse til cirkelnummeret π. Babylonierne stræbte åbenbart ikke efter et strengt argument .

Matematik i Grækenland

Matematikken i det antikke Grækenland er opdelt i fire store perioder: [3]

Ifølge en tradition, der stammer fra antikken, men er kontroversiel blandt videnskabshistorikere, begynder matematikens historie som videnskab med Pythagoras of Samos . Princippet "alt er tal" tilskrives ham - omend forkert. Han grundlagde pythagoræernes skole, hvorfra matematikere som Hippasus fra Metapontium og Archytas fra Taranto opstod . I modsætning til babylonierne og egypterne havde grækerne en filosofisk interesse for matematik. En af de pythagoranske opdagelser er irrationeliteten af geometriske ruterelationer, som Hippasus siges at have opdaget. Den tidligere udbredte opfattelse, at opdagelsen af ​​irrationalitet blandt pythagoræerne udløste en filosofisk "grundlæggende krise", fordi den rystede deres tidligere overbevisning, afvises af nutidens forskning. Den antikke legende om, at Hippasus forrådte sine hemmeligheder ved at offentliggøre sin opdagelse, menes at have stammet fra en misforståelse.

Matematik var meget populær i det platoniske akademi i Athen. Platon værdsatte det meget, fordi det tjente til at kunne erhverve sand viden. Græsk matematik udviklede sig derefter til en bevisende videnskab . Aristoteles formulerede det grundlæggende i propositionel logik . Med udmattelsesmetoden skabte Eudoxos von Knidos en rudimentær form for uendelig kalkulation for første gang. På grund af manglen på reelle tal og grænseværdier var denne metode imidlertid ganske uhåndterlig. Arkimedes udvidede dette og beregnede blandt andet en tilnærmelse til cirkelnummeret π.

I sin lærebog Elements opsummerede Euklid en stor del af den matematik, man kendte dengang (geometri og talteori). Det beviser blandt andet, at der er uendeligt mange primtal. Dette værk betragtes som et glimrende eksempel på matematisk bevis: fra nogle få specifikationer er alle resultater afledt med en stringens, der ikke burde have eksisteret før. Euclids "Elements" bruges stadig som lærebog i dag, efter mere end 2000 år.

I modsætning til grækerne var de gamle romere næppe bekymret for højere matematik, de var mere interesserede i praktiske anvendelser, for eksempel i landmåling og teknik. De romerske landmålere blev kaldt Gromatici eller Agrimensors ; deres skrifter blev opsummeret i et kollektivt værk ( Corpus Agrimensorum ) i det 6. århundrede. Vigtige agrimensorer var Sextus Iulius Frontinus , Hyginus Gromaticus og Marcus Iunius Nipsus . Indtil sent i antikken forblev matematik stort set et domæne for de græsktalende indbyggere i imperiet, fokus for matematisk forskning i romertiden var på Sicilien og i Nordafrika, især i Alexandria . Pappos leverede nye bidrag til geometri (også med første resultater om projektiv geometri), Apollonios til keglesnit og Diophantus leverede bidrag til en geometrisk forklædt algebra og talteori (løsning af heltalsligninger, senere kaldet Diophantine -problemer efter ham). Den sidste matematiker i Alexandria kendt ved navn var Hypatia , der blev dræbt af en kristen pøbel i 415.

Kinesisk og indisk matematik

Kina

Den første eksisterende lærebog i kinesisk matematik er Zhoubi suanjing . Det blev foretaget under Han -dynastiet , mellem 206 f.Kr. F.Kr. til 220 e.Kr., suppleret med Liu Hui , da de fleste matematiske optegnelser blev ødelagt og omskrevet fra hukommelsen som følge af afbrænding af bøger og dokumenter under Qin -dynastiet . Den matematiske viden bruges indtil 1700 -tallet f.Kr. Dateret. Yderligere tilføjelser fulgte senere indtil 1270 e.Kr. Det indeholder også en kalenderdialog mellem Zhou Gong Dan, hertug af Zhou og minister Shang Gao. Næsten lige så gammel er Jiu Zhang Suanshu ("Ni kapitler om matematikens kunst"), der indeholder 246 problemer på forskellige områder; Blandt andet kan den pythagoranske sætning findes i den, men uden beviser. Kineserne brugte et decimalværdisystem, der består af vandrette og lodrette søjler (Suan Zi, kaldet "aritmetik med indsatser") [4] ; omkring 300 e.Kr. beregnet Liu Hui tallet 3.14159 som en tilnærmelse til π ved hjælp af et 3072 hjørne .

Kinesisk matematik nåede sit højdepunkt i 1200 -tallet. Den vigtigste matematiker på dette tidspunkt var Zhu Shijie med sin lærebog Siyuan Yujian ("Precious Mirror of the Four Elements"), der omhandlede algebraiske ligningssystemer og fjortende graders algebraiske ligninger og løste dem ved hjælp af en slags Horner-metode . Efter denne periode sluttede matematikken i Kina brat. Omkring 1600 tog japanerne kendskabet til Wasan (japansk matematik). Din vigtigste matematiker var Seki Takakazu (omkring 1700). Matematik blev praktiseret som en hemmelig tempelvidenskab.

Indien

Aryabhata

Dating er ifølge bon bon fra indologen WD Whitney ekstremt problematisk i hele den indiske historie. [5]

De ældste hentydninger til de geometriske regler for offeralteret findes allerede i Rig Veda . Men det var først flere århundreder senere, at Sulbasutras (" tovregler ", geometriske metoder til konstruktion af offeraltere) og andre undervisningstekster som Silpa Sastras (regler for bygning af templer) osv. Blev oprettet (det vil sige, de var kanoniseret). Aryabhatiya og forskellige andre " Siddhantas " ("systemer", hovedsageligt astronomiske opgaver). Indianerne udviklede den velkendte decimal position systemet , det vil sige polynomiet notation for bunden 10 og de tilhørende regneregler. Skriftlig multiplikation i babylonisk, egyptisk eller romersk notation var ekstremt kompliceret og fungerede ved hjælp af substitution; altså med mange regler for nedbrydning og opsummering relateret til notationen, mens der i indiske tekster er mange "elegante" og enkle procedurer, for eksempel til at tegne rødder i skrift.

Vores tal ( indiske cifre ) for decimalcifrene stammer direkte fra den indiske Devanagari . Den tidligste brug af tallet 0 er dateret omkring 400 e.Kr. Aryabhata omkring 500 og Bhaskara omkring 600 brugte dem allerede uden tøven, hans nutidige Brahmagupta regnede endda med dem som et tal og kendte negative tal. Navngivningen af ​​tallene i forskellige kulturer er inkonsekvent: Araberne kalder disse (adopterede Devanagari) cifre "indiske tal", europæerne "arabiske tal" baseret på middelalderens modtagelseshistorie og japanerne af en analog grund Romaji , dvs. latinske eller romerske tegn (sammen med det latinske alfabet). Europæerne forstår, at " romertal " betyder noget andet.

Med islams udbredelse mod øst, omkring 1000 til 1200 senest, overtog den muslimske verden mange af den indiske viden; islamiske lærde oversatte indiske værker til arabisk, som også nåede Europa via denne rute. En bog af den persiske matematiker Muhammad ibn Musa Chwarizmi blev oversat til latin i Spanien i det 12. århundrede. De indiske tal (figurae Indorum) blev først brugt af italienske købmænd. Omkring 1500 var de kendt i det, der nu er Tyskland.

En anden vigtig matematiker var astronomen Bhaskara II (1114–1185).

Matematik i islams storhedstid

I den islamiske verden var hovedstaden i Bagdad centrum for videnskab for matematik. De muslimske matematikere vedtog indisk positionsregning og sinus og videreudviklede græsk og indisk trigonometri , tilføjede græsk geometri og oversatte og kommenterede grækernes matematiske værker. Muslimernes vigtigste matematiske præstation er etableringen af ​​nutidens algebra. Denne viden kom til Europa via Spanien, korstogene og italiensk søhandel. I oversættelsesskolen i Toledo blev for eksempel mange af de arabiske scripts oversat til latin.

Følgende faser kan skelnes:

Maya matematik

Vores viden om Maya's matematik og astronomi (kalenderberegning) stammer hovedsageligt fra Dresden Codex . Maya -tallet er baseret på basen 20. Grunden til dette menes at være, at Mayas forfædre tællede med fingre og tæer [6] . Mayaerne kendte tallet 0, men brugte ikke brøker. For at repræsentere tal brugte de prikker, linjer og cirkler, som stod for cifrene 1, 5 og 0. Mayaens matematik var stærkt udviklet, sammenlignelig med de høje kulturer i Orienten. De brugte dem til kalenderberegninger og til astronomi. Mayakalenderen var den mest præcise i sin tid.

Matematik i Europa

Matematik i middelalderen

Middelalderen som en epoke af europæisk historie begyndte omkring slutningen af ​​Romerriget og varede indtil renæssancen . Denne tids historie blev bestemt af den store migration og kristendommens fremgang i Vesteuropa. Nedgangen i Romerriget førte til et vakuum, der kun blev kompenseret i Vesteuropa ved fremkomsten af ​​det frankiske imperium . I løbet af oprettelsen af ​​en ny politisk orden af ​​frankerne skete den såkaldte karolingiske renæssance . Gammel viden blev først bevaret i klostre. I senere middelalder blev klosterskoler erstattet af universiteter som læringscentre. En vigtig berigelse af vesteuropæisk videnskab fandt sted ved, at den arabiske tradition og videreudvikling af græsk matematik, medicin og filosofi samt den arabiske tilpasning af indisk matematik og numerisk skrift blev kendt i Vesten gennem oversættelser til latin. Kontakterne til arabiske lærde og deres skrifter opstod på den ene side som følge af korstogene i Mellemøsten og på den anden side gennem kontakter med araberne i Spanien og Sicilien, derudover var der handelskontakter, især med italienerne i Middelhavsområdet, som f.eks. Leonardo da Pisa (“Fibonacci”) skyldte noget af hans matematiske viden.

Klosterskolernes stigning

Boëthius (middelalderlig illustration)

Boëthius (ca. 480-524) står på grænsen mellem Romerriget og begyndelsen på det nye. Hans introduktion til regning dannede grundlag for at undervise i dette emne indtil slutningen af ​​middelalderen; Også indflydelsesrig, om i mindre grad, var hans introduktion til geometri. I 781 udnævnte Karl den Store den lærde Alcuin fra York (735-804) til at stå i spidsen for sin hoffskole, som skulle udvikle det frankiske imperiums uddannelsessystem. Han blev også kaldt "West Franconians lærer". En elev af Alkuin grundlagde skolesystemet i det østlige frankiske imperium, Rabanus Maurus fra Mainz. Matematisk undervisningsindhold blev undervist i henhold til klassificeringen af ​​de syv liberale kunstarter i de fire emner i quadrivium :

  • Aritmetik: Egenskaberne og typerne af tal (f.eks. Lige, ulige, primtal, areal og kropstal) samt proportioner og numeriske forhold, i hvert tilfælde ifølge Boëthius, også grundlæggende kendskab til græske og latinske tal , grundlæggende aritmetik, finger regning og i det 11.-12. århundrede. Century abacus , siden 1200 -tallet også skrevet regning med arabiske tal
  • Geometri: elementer i euklidisk geometri, måling og opmåling, geografi og z. T. også historie
  • Astronomi: Grundlæggende viden om ptolemaisk astronomi og z. Dels også astrologi , brug af astrolab siden det 10. århundrede, samt computistik til beregning af påskedato og de bevægelige festivaler i kirkeåret
  • Musik: teori om harmoni i henhold til de numeriske proportioner i de gamle kirkemåder

Følgende regningbøger oprettet i klostre kendes: Øvelser til at skærpe de unges sind (omkring 800) (tidligere tilskrevet Alcuin von York), øvelserne fra Annales Stadenses (Stade Abbey) (omkring 1180) og Practice of Algorism Ratisbonensis (Emmeram Abbey, Regensburg) (omkring 1450).

Beregning af påskedato

Beregningen af ​​datoen til påske , den vigtigste festival i kristendommen , spillede en stor rolle i matematikens fremskridt i middelalderen. Karl den Store bestemte, at en munk skulle beskæftige sig med computistik i hvert kloster. Dette skulle sikre kendskabet til beregningen af påskedatoen . Den nøjagtige beregning af datoen og udviklingen af ​​den moderne kalender blev videreudviklet af disse munke, det grundlæggende blev overtaget af middelalderen fra Dionysius Exiguus (ca. 470 til ca. 540) og Beda den ærværdige (ca. 673- 735). I 1171 offentliggjorde Reinher von Paderborn en forbedret metode til beregning af påskedatoen.

Universiteter

De tidlige middelalderlige klosterskoler blev først senere i middelalderen suppleret af katedralskolerne , skolerne i mendikantordnerne og universiteterne. De var derfor i første omgang de eneste bærere af den gamle kulturarv ved at sikre, at gamle værker blev kopieret og distribueret. I lang tid var kopiering, kommentar og kompilering af undervisningsmaterialet den eneste form for behandling af emnerne i matematik. Det var først i middelalderen, at den noget mere kritiske metode for skolastik udviklede sig , hvormed doktrinære meninger blev kontrolleret for modsigelser i deres pro og contra, og disse blev løst så vidt muligt i overensstemmelse med de kirkelige og gamle myndigheders standpunkter , der blev betragtet som grundlæggende.

Denne metode blev anvendt på repræsentationer af gammel videnskab, især Aristoteles, fra det 12. århundrede. I det 12. århundrede blev universiteterne i Paris og Oxford det europæiske center for videnskabelig aktivitet. Robert Grosseteste (1168–1253) og hans elev Roger Bacon (1214–1292) designede et nyt videnskabeligt paradigme. Ikke appellen til kirkelige eller gamle myndigheder, men eksperimentet burde snarere bestemme vurderingen af ​​korrekthed betydeligt. Pave Clemens IV bad Roger Bacon i 1266 om at dele sine synspunkter og forslag til at afhjælpe manglerne i videnskaben. Bacon skrev flere bøger som svar, herunder hans Opus Maius . Bacon påpegede matematikkens betydning som nøglen til videnskab; han beskæftigede sig især med den geometri, der blev anvendt på optik. Desværre døde paven, før bogen nåede ham. Et andet vigtigt bidrag fra Bacon vedrører kalenderreformen, som han efterlyste, men som først blev gennemført i 1582 som dengregorianske kalenderreform .

En vigtig metodologisk udvikling inden for videnskab var kvantificering af kvaliteter som en nøgle til den kvantitative beskrivelse af processer. Nikolaus von Oresme (1323-1382) var en af ​​de første til at håndtere ændringen i intensiteter. Oresme studerede forskellige former for bevægelse. Han udviklede en slags funktionel beskrivelse ved at plotte hastighed mod tiden. Han klassificerede de forskellige former for bevægelse og ledte efter funktionelle forbindelser.

Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus)

Oresme, men også Thomas Bradwardine (1295–1349), Wilhelm von Ockham (1288–1348), Johannes Buridan (ca. 1300 til ca. 1361) og andre forskere fra Merton College undersøgte den funktionelle beskrivelse af forholdet mellem hastighed, kraft og placering, kort sagt: de beskæftigede sig medkinetik . Der er også gjort metodologisk vigtige fremskridt. Grosseteste formulerede princippet om naturens ensartethed, ifølge hvilken kroppe af samme natur opfører sig på samme måde under de samme betingelser. Her bliver det klart, at selv dengang var de lærde klar over, at de omstændigheder, under hvilke en bestemt adfærd betragtes, skal kontrolleres, hvis der skal foretages sammenligninger. Desuden formulerede Grosseteste princippet om beskrivelsesøkonomi, hvorefter der under de samme omstændigheder foretrækkes de argumenter, der kræver færre spørgsmål, der skal besvares, eller færre antagelser for fuldstændigt bevis. William Ockham var en af ​​tidens største logikere; Ockhams barbermaskine er berømt, et princip der siger, at en teori altid skal indeholde så få antagelser og begreber som muligt.

Tidens lærde var ofte også teologer. Optagetheden af ​​åndelige spørgsmål som f.eks B. Guds almagt førte dem til spørgsmål om det uendelige. I denne sammenhæng skal nævnes Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus) (1401–1464), som var en af ​​de første til at beskrive verdens uendelighed før Galileo eller Giordano Bruno . Hans princip om coincidentia oppositorum vidner om en dybtgående filosofisk optagethed af emnet uendelighed.

Praktisk matematik

Mod slutningen af ​​middelalderen opstod Europas katedraler, hvis konstruktion stillede helt nye krav til beherskelse af statik og udfordrede teknologisk ekspertise på dette område. I denne sammenhæng blev geometriske problemer også gentagne gange behandlet. En vigtig lærebog om arkitektur er Bauhütten -bogen af Villard de Honnecourt .

Inden for måling af geometri blev der gjort stabile fremskridt i middelalderen, især geodetikken i det 11. århundrede, baseret på en bog af Boëthius , og i det 12. århundrede den mere konventionelle Geometria practica af Hugo von St.Victor ( 1096 -1141). I 1200-tallet beskrev Levi ben Gershon (1288–1344) en ny måleinstrument, den såkaldte Jacobs stav .

Begyndelsen på pengeøkonomien

Leonardo da Pisa (Fibonacci), fantasiportræt

Med begyndelsen på en økonomi, der ikke var baseret på udveksling af varer, men på penge, opstod nye anvendelsesområder for matematik. Dette gælder især Italien, som dengang var et omladningspunkt for varer til og fra Europa, og hvis førende rolle inden for finans og bank på det tidspunkt stadig er tydelig i dag i brugen af ​​ord som "konto", "brutto "Og" netto ". Påvirker. I denne sammenhæng skal Leonardo da Pisa, kaldet Fibonacci , og hans Liber abbaci især nævnes, hvilket ikke har noget at gøre med abacus som beregningstavle, men derimod ordet abacus eller "abbacco" som synonym for, iflg. et sprog, der opstod i Italien på det tidspunkt, hvor matematik og regning blev brugt. I matematikken i Fibonacci fandt en syntese af kommerciel regning, traditionel græsk-latinsk matematik og nye metoder til arabisk og (arabisk-medieret) indisk matematik sted, som var unik i middelalderen. Mathematisch weniger anspruchsvoll, dafür mehr an den praktischen Erfordernissen von Bank- und Kaufleuten ausgerichtet, waren die zahlreichen Rechenbücher, die als Lehrbücher zur praktischen und merkantilen Arithmetik seit dem 14. Jahrhundert in italienischer Sprache verfasst wurden.

Mathematik der frühen Neuzeit

Arabische Mathematik kam über Spanien, wo im Zuge der Reconquista die Mauren aus Europa vertrieben wurden, und über Handelsbeziehungen nach Europa und ihre Mathematik beeinflusste in der Folge die europäische grundlegend. Begriffe wie Algebra , Algorithmus sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück. In der Renaissance wurden die antiken Klassiker und andere Werke durch weite Verbreitung über den Buchdruck allgemein zugänglich. [7] Die Kunst der Renaissance führte zur Entwicklung der Perspektive (ua Albrecht Dürer , Filippo Brunelleschi , Leon Battista Alberti , Piero della Francesca ) und Darstellenden Geometrie und die damit zusammenhängende projektive Geometrie ( Gérard Desargues ) hatte ebenfalls im Architekturwesen ihren Ursprung. Die Entdeckungsreisen führten zu Entwicklungen in Kartographie und Navigation (das lange akute Längengradproblem ) und die Landvermessung ( Geodäsie ) war für die Entwicklung der Territorialstaaten von Bedeutung. Praktische Erfordernisse von Ingenieuren (nicht zuletzt militärischer Art) wie Simon Stevin (Dezimalbrüche) und Astronomen führten zu Verbesserungen der Rechentechnik, insbesondere durch Erfindung der Logarithmen ( John Napier , Jost Bürgi ).

In Deutschland erklärte der sprichwörtliche Adam Ries(e) seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der indischen Ziffern statt der unpraktischen römischen wurde populär. Im Jahr 1544 wurde in Nürnberg Arithmetica integra , eine Zusammenfassung der damals bekannten Arithmetik und Algebra von Michael Stifel , gedruckt. [8] In Frankreich entdeckte René Descartes , dass man Geometrie, die bis dahin nach Euklid gelehrt wurde, auch algebraisch beschreiben kann und umgekehrt algebraische Gleichungen geometrisch deuten kann ( Analytische Geometrie ) nach Einführung eines Koordinatensystems . Ein Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 über Probleme von Glücksspielen gilt als Geburt der klassischenWahrscheinlichkeitsrechnung .

Blaise Pascal war auch einer der Begründer der Kombinatorik ( Binomialkoeffizienten , Pascalsches Dreieck ) und baute eine der ersten Rechenmaschinen. François Viète verwendete systematisch Variablen (Unbekannte) in Gleichungen. Damit wurde die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat, der hauptberuflich Richter war, lieferte wichtige Resultate zur Variationsrechnung und in der Zahlentheorie (Lösung von algebraischen Gleichungen in den ganzen Zahlen, sogenannte Diophantische Probleme ), insbesondere den „ kleinen Fermatschen Satz “ und formulierte den „ großen Fermatschen Satz “. Er behauptete, dass die Gleichung keine positiven ganzzahligen Lösungen hat, falls . Am Rand seiner Ausgabe der Arithmetica von Diophant von Alexandrien schrieb er dazu den Satz: „Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, doch leider ist dafür der Rand zu schmal“. Jahrhundertelang suchten Mathematiker vergeblich nach diesem angeblichen Beweis. Der Beweis des Satzes gelang erst Jahrhunderte später (1995) mit Fermat nicht zugänglichen Methoden (siehe unten). In Italien fanden Cardano und Tartaglia die algebraische Formel für die Lösungen der kubischen Gleichung , Ferrari der Gleichung 4. Grades. Die Suche nach weiteren Lösungsformeln höherer Gleichungen fand erst durch die Galoistheorie im 19. Jahrhundert ein Ende.

Entwicklung der Infinitesimalrechnung

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm Leibniz

Das Problem, Tangenten an Kurven ( Differentialrechnung ) und Flächen unter Kurven ( Integralrechnung ) zu bestimmen, beschäftigte viele Mathematiker des 17. Jahrhunderts, mit wichtigen Beiträgen zum Beispiel von Bonaventura Cavalieri , Johannes Kepler , Gilles de Roberval , Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , René Descartes, Isaac Barrow (mit Einfluss auf Newton) und Christian Huygens (der besonders Leibniz beeinflusste). [9]

Unabhängig voneinander entwickelten Isaac Newton und Leibniz eine der weitreichendsten Entdeckungen der Mathematik, die Infinitesimalrechnung und damit den Begriff der Ableitung und des Zusammenhangs von Differential- und Integralrechnung über den Fundamentalsatz der Analysis . Um der Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen, argumentierte Newton hauptsächlich über Geschwindigkeiten (Fluxionen) . Leibniz gab eine elegantere Formulierung des Infinitesimalkalküls und begründete die Bezeichnung sowie das Integralzeichen . Zwischen den beiden Mathematikern und ihren Schülern kam es später zu einem langwierigen Prioritätsstreit, [10] [11] der sich auch zu einem Gegensatz kontinentaleuropäischer und englischer Mathematik zuspitzte. Der vielseitig, aber eher philosophisch interessierte Leibniz kam zwar in Hinsicht auf mathematische Fähigkeiten nicht an den in persönlicher Hinsicht sehr schwierigen und streitbaren Newton heran (Leibniz hatte zuvor in Briefwechsel mit Newton gestanden, der das so sah, dass er ihm auf diese Weise wesentliche eigene Ergebnisse zukommen ließ, die Newton nicht veröffentlicht hatte, aber unter ausgewählten Mathematikern zirkulieren ließ), erhielt aber Unterstützung durch kontinentaleuropäische Mathematiker, besonders den begabten Mathematikern der Familie Bernoulli aus der Schweiz.

Gleichzeitig legte Isaac Newton die Grundlagen der theoretischen Mechanik und theoretischen Physik in seinem berühmten Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Er verwendete darin zwar nicht die Sprache der Analysis, sondern formulierte seine Sätze im klassischen geometrischen Stil, den Zeitgenossen war aber klar, dass er sie mit Hilfe der Analysis gewonnen hatte und in dieser Sprache wurden die theoretische Physik und Mechanik dann auch im 18. Jahrhundert ausgebaut.

Von Leibniz wiederum stammen auch Ideen zu einer universalen Algebra, Determinanten , Binärzahlen und eine Rechenmaschine .

Mathematik im 18. Jahrhundert

Die Methoden der Infinitesimalrechnung wurden weiter entwickelt, auch wenn die Anforderungen an mathematische Strenge damals noch sehr gering waren, was einige Philosophen wie zum Beispiel George Berkeley scharf kritisieren. Einer der produktivsten Mathematiker jener Zeit war der Schweizer Leonhard Euler . Ein Großteil der heute verwendeten „modernen“ Symbolik geht auf Euler zurück. Neben seinen Beiträgen zur Analysis führte er, neben vielen anderen Verbesserungen in der Notation, als erster das Symbol i als eine Lösung der Gleichung x 2 = −1 ein. Die Vorgeschichte der komplexen Zahlen ging bis auf Cardano und andere Renaissance-Mathematiker zurück, diese Erweiterung des Zahlbereichs bereitete aber noch lange der Vorstellungskraft der meisten Mathematiker Schwierigkeiten und ihren wirklichen Durchbruch in der Mathematik erzielten sie erst im 19. Jahrhundert, nachdem auch eine geometrische Interpretation als zweidimensionale Vektoren entdeckt wurde ( Caspar Wessel 1799, Jean-Robert Argand , Gauß). Von Euler stammen auch zahlreiche Anwendungen der Mathematik in der Physik und Mechanik.

Außerdem spekulierte Euler darüber, wie eine Analysis situs aussehen könne, der Beschreibung von Lagebeziehungen von Objekten ohne Verwendung einer Metrik (Längen- und Winkelmessung). Diese Idee wurde später zum Theoriegebäude der Topologie ausgebaut. Eulers erster Beitrag dazu war die Lösung des Königsberger Brückenproblems und sein Polyedersatz . Ein weiterer fundamentaler Zusammenhang zwischen zwei entfernten Gebieten der Mathematik, der Analysis und der Zahlentheorie , geht ebenfalls auf ihn zurück. Die Verbindung von Zeta-Funktion und Primzahlen , die Bernhard Riemann im 19. Jahrhundert zu einer Grundlage der analytischen Zahlentheorie machte, entdeckte Euler als erster. Weitere Beiträge zur Analysis der Zeit und ihrer Anwendung stammten von den Bernoullis (insbesondere Johann I Bernoulli , Daniel Bernoulli ), Lagrange undD'Alembert , insbesondere dem Ausbau und der Anwendung der Variationsrechnung auf die Lösung vieler Probleme der Mechanik. Ein Zentrum der Entwicklung war Frankreich und Paris, wo nach der Französischen Revolution und unter Napoleon die Mathematik in neu gegründeten Ingenieursschulen (besonders der Ecole Polytechnique ) einen großen Aufschwung nahm. Mathematiker wie Jakob I Bernoulli am Anfang des Jahrhunderts, Abraham de Moivre , Laplace und Thomas Bayes in England bauten die Wahrscheinlichkeitstheorie aus.

Lagrange leistete wichtige Beiträge zur Algebra (quadratische Formen, Gleichungstheorie) und Zahlentheorie, Adrien-Marie Legendre zu Analysis (Elliptische Funktionen ua) und zur Zahlentheorie und Gaspard Monge zur Darstellenden Geometrie.

Mathematik im 19. Jahrhundert

Augustin-Louis Cauchy

Ab dem 19. Jahrhundert wurden die Grundlagen der mathematischen Begriffe hinterfragt und fundiert. Augustin-Louis Cauchy begründete die -Definition des Grenzwertes . Außerdem legte er die Grundlagen der Funktionentheorie . Der enge Zusammenhang von Entwicklung von Physik und Mechanik und der Analysis aus dem 18. Jahrhundert blieb bestehen und viele Mathematiker waren gleichzeitig theoretische Physiker, was man damals noch nicht trennte. Ein Beispiel für den Zusammenhang ist die Entwicklung der Fourieranalyse durch Joseph Fourier . Eines der zentralen Themen des 19. Jahrhunderts war die Untersuchung spezieller Funktionen, besonders Elliptischer Funktionen und deren Verallgemeinerungen (eine wichtige Rolle spielten hier Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacobi ) und algebraische Geometrie von Kurven und Flächen mit Verbindungen zur Funktionentheorie (ua Bernhard Riemann mit seiner Idee der Riemannschen Fläche , Alfred Clebsch , Felix Klein und die italienische Schule bei algebraischen Flächen). Es wurden eine Fülle von Einzelresultaten auf den verschiedensten Gebieten entdeckt, deren Ordnung und strenge Begründung aber häufig erst im 20. Jahrhundert erfolgen konnte. Ein großes Beschäftigungsfeld von Mathematikern und Quelle für Entwicklungen in der Mathematik blieb wie im 18. Jahrhundert die Himmelsmechanik .

Der jung in der Folge eines Duells getötete Franzose Évariste Galois verwendete in seiner Galoistheorie Methoden der Gruppentheorie , um die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu untersuchen, was zum Beweis der allgemeinen Nichtauflösbarkeit von polynomialen Gleichungen (Grad 5 und höher) durch Radikale (Wurzeloperationen) führte. Dies wurde unabhängig von Niels Henrik Abel gezeigt. Auch mit Hilfe der Galoistheorie wurden einige der klassischen Probleme der Antike als nicht lösbar erkannt, nämlich die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des Würfels (das gelang allerdings auch Pierre Wantzel ohne Galoistheorie). Die Quadratur des Kreises wurde erst durch Beweis der Transzendenz von durch Ferdinand Lindemann erledigt. Es entstanden neue Geometrien, insbesondere die Projektive Geometrie ( Jean-Victor Poncelet , Jakob Steiner , Karl von Staudt ) wurde stark ausgebaut und Felix Klein ordnete diese und andere Geometrien mit Hilfe des Konzepts der Transformationsgruppe ( Erlanger Programm ).

Die Algebraiker erkannten, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann; alles, was man braucht, sind Verknüpfungen. Diese Idee wurde in Gruppen (zum Beispiel Galois, Arthur Cayley , Camille Jordan , Ferdinand Georg Frobenius ), Ringen , Idealen und Körpern (unter anderem Galois, endliche Körper werden nach Galois Galois-Körper genannt) formalisiert, wobei Algebraiker in Deutschland wie Richard Dedekind , Leopold Kronecker eine wichtige Rolle spielten. Der Norweger Sophus Lie untersuchte die Eigenschaften von Symmetrien . Durch seine Theorie wurden algebraische Ideen in die Analysis und Physik eingeführt. Die modernen Quantenfeldtheorien beruhen im Wesentlichen auf Symmetriegruppen. Das Vektorkonzept entstand (unter anderem durch Hermann Grassmann ) und das dazu konkurrierende Konzept der Quaternionen (durch William Rowan Hamilton ), einem Beispiel der vielen neu entdeckten algebraischen Strukturen, sowie die moderne Theorie der Matrizen (Lineare Algebra).

Carl Friedrich Gauß
Bernhard Riemann

In Göttingen wirkten zwei der einflussreichsten Mathematiker der Zeit, Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann . Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis, Zahlentheorie, Funktionentheorie schufen sie und andere die Differentialgeometrie mit dem Begriff der Krümmung und der weitgehenden Verallgemeinerung in höhere Dimensionen durch Riemann ( Riemannsche Geometrie ). Die Nichteuklidische Geometrie machte die Begrenztheit des jahrhundertelang gelehrten Euklidischen Axiomensystems deutlich und wurde durch Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski und János Bolyai begründet (ihre Existenz war auch Gauß bekannt, der aber nichts darüber veröffentlichte). Gauß legte mit seinen Disquisitiones Arithmeticae die Grundlagen der Algebraischen Zahlentheorie und bewies den Fundamentalsatz der Algebra .

In Berlin begründete insbesondere Karl Weierstraß eine mathematische Schule der strengen Grundlegung der Analysis und der Begründung der Funktionentheorie auf Potenzreihen, während Riemann die geometrische Funktionentheorie begründete und dabei die Rolle der Topologie herausstellte. Die Schülerin von Weierstraß Sofja Wassiljewna Kowalewskaja war eine der ersten Frauen, die eine prominente Rolle in der Mathematik einnahmen, und die erste Professorin in Mathematik.

Georg Cantor überraschte mit der Erkenntnis, dass es mehr als eine „Unendlichkeit“ geben kann. Er definierte zum ersten Mal, was eine Menge ist, und wurde somit der Gründer der Mengenlehre . Gegen Ende des 19. Jahrhunderts nahm Henri Poincaré eine führende Rolle in der Mathematik ein, unter anderem gelangen ihm wesentliche Fortschritte in der algebraischen Topologie und der qualitativen Theorie der Differentialgleichungen, was ihn später zu einem Vorläufer der Chaostheorie machte.

Die neu gestiegenen Forderungen an die Strenge von Beweisen und Bemühungen um Axiomatisierung von Teilgebieten der Mathematik vertraten etwa Richard Dedekind bei den reellen Zahlen, Giuseppe Peano bei den natürlichen Zahlen und David Hilbert in der Geometrie. Nach Tausenden von Jahren erfuhr die Logik eine Runderneuerung. Gottlob Frege erfand die Prädikatenlogik , die erste Neuerung auf diesem Gebiet seit Aristoteles . Zugleich bedeuteten seine Arbeiten den Anfang der Grundlagenkrise der Mathematik .

Frankreich hatte nach der Französischen Revolution einen großen Aufschwung in der Mathematik erlebt, Deutschland zog Anfang des Jahrhunderts mit der dominierenden Forschungspersönlichkeit von Gauß nach, der allerdings keine Schule bildete und wie Newton die Angewohnheit hatte, selbst wesentliche neue Entdeckungen nicht zu veröffentlichen. Das deutsche System der Forschungsseminare an den Universitäten bildete sich zuerst in Königsberg und war dann zentraler Bestandteil der Lehre in den mathematischen Zentren in Göttingen und Berlin und wirkte dann auch darüber hinaus zum Beispiel in die USA, für die Deutschland in der Mathematik prägend war. Auch in Italien nahm die Mathematik nach der Unabhängigkeit des Landes einen großen Aufschwung, besonders in der algebraischen Geometrie (italienische Schule von Francesco Severi , Guido Castelnuovo und Federigo Enriques ) und den Grundlagen der Mathematik (Peano). Großbritannien hatte insbesondere einen Wirkungsschwerpunkt in der theoretischen Physik, ihre mathematischen Schulen neigten aber immer wieder zu Sonderwegen, die sie von Kontinentaleuropa isolierten, so im hartnäckigen Festhalten am Newtonschen Stil der Analysis im 18. Jahrhundert und in der Betonung der Rolle der Quaternionen Ende des 19. Jahrhunderts. Der zuletzt in Göttingen neben Hilbert wirkende, gut vernetzte Felix Klein nahm gegen Ende des Jahrhunderts in Deutschland eine in vieler Hinsicht führende Stellung ein und organisierte ein Enzyklopädieprojekt der Mathematik und ihrer Anwendungen, das auch französische Mathematiker einschloss. Die Niederlage im Deutsch-Französischen Krieg von 1870/71 wirkte auf viele französische Mathematiker als Ansporn wie auf anderen Gebieten auch einen vermeintlichen Rückstand zum aufstrebenden deutschen Reich aufzuholen, der zu einer neuen Blüte der französischen Mathematik führte. Der Erste Weltkrieg führte zu einem Bruch der Beziehungen auch in der Mathematik.

Moderne Mathematik

Das 20. Jahrhundert erlebte einen beispiellosen, die vorangehenden Jahrhunderte in den Schatten stellenden Ausbau der Mathematik sowohl in der Breite als auch in der Tiefe. Die Zahl der Mathematiker und Anwender der Mathematik nahm stark zu, auch was die Zahl der Herkunftsländer und Frauen betraf. Amerika und die Sowjetunion übernahmen vor allem nach dem Zweiten Weltkrieg zusätzlich zu den traditionellen mitteleuropäischen Nationen eine Führungsrolle, aber auch Länder wie Japan und China nach Öffnung zum Westen. Die Mathematik wurde durch die großen technologischen Fortschritte im 20. Jahrhundert und insbesondere die Digitalisierung zu einer Schlüssel-Disziplin.

Hilbert formulierte 1900 eine Reihe von berühmten Problemen ( Hilbertsche Probleme ), die vielfach als Richtschnur für den weiteren Fortschritt dienten und von denen die meisten im Lauf des 20. Jahrhunderts gelöst oder einer Lösung nähergebracht wurden. Ein Anliegen der modernen Mathematik war das Bedürfnis, die Grundlagen dieser Wissenschaft ein für alle Mal zu festigen. Allerdings begann dies mit einer Krise Anfang des 20. Jahrhunderts: Bertrand Russell erkannte die Bedeutung von Freges Arbeiten. Gleichzeitig entdeckte er allerdings auch unlösbare Widersprüche darin, die mit Paradoxien des Unendlichen zusammenhingen ( Russellsche Antinomie ). Diese Erkenntnis erschütterte die gesamte Mathematik. Mehrere Versuche zur Rettung wurden unternommen: Russell und Alfred North Whitehead versuchten in ihrem mehrtausendseitigen Werk Principia Mathematica mit Hilfe der Typentheorie ein Fundament aufzubauen. Alternativ dazu begründeten Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel die Mengenlehre axiomatisch ( Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ). Letztere setzte sich durch, weil ihre wenigen Axiome wesentlich handlicher sind als die schwierige Darstellung der Principia Mathematica .

David Hilbert , Foto aus dem Jahr 1886
Kurt Gödel (1925)

Der Zweifel an den Grundlagen blieb aber bestehen. David Hilbert , der eine berühmte Schule in Göttingen begründet hatte und die unterschiedlichsten mathematischen Disziplinen revolutioniert hatte (von der Geometrie, der algebraischen Zahlentheorie, der Funktionalanalysis mit Beiträgen zur Physik bis zu den Grundlagen der Mathematik), sich allerdings in einzelnen Schaffensperioden im Wesentlichen einem Gebiet widmete und frühere Forschungsgebiete völlig aufgab, wandte sich in seiner letzten Schaffensphase den Grundlagen der Mathematik und der Formalisierung mathematischer Beweise zu. Beweise waren für Hilbert und seine formalistische Schule nur eine Folge von Ableitungen aus Axiomen, eine Folge von Symbolen, und einem berühmten Ausspruch von Hilbert zufolge, der sich auf die Axiomatisierung der Geometrie bezog, sollte man Punkte, Geraden und Ebenen in der Formelsprache jederzeit durch Tische, Stühle und Bierseidel ersetzen können, wichtig waren nur die Axiome und Ableitungsregeln. Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz zeigte jedoch, dass es in jedem formalen System, das umfangreich genug ist, um die Arithmetik der natürlichen Zahlen aufzubauen, Sätze gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Mathematiker und Logiker wie Gerhard Gentzen bewiesen die Widerspruchsfreiheit von Teilgebieten der Mathematik (jeweils unter Rückgriff auf diese Teilgebiete überschreitende Prinzipien). Eine andere Richtung, die mit demIntuitionismus Brouwers , der zuvor auch einer der Begründer der mengentheoretischen Topologie war, Anfang des Jahrhunderts einsetzte, versuchte eine von endlichen Schritten ausgehende konstruktive Mathematik aufzubauen, bei der man allerdings auf wichtige Sätze der Mathematik verzichten muss.

Neben der Logik wurden andere Bereiche der Mathematik zunehmend abstrahiert und auf axiomatische Grundlagen gestellt, worin besonders David Hilbert mit seiner Schule eine führende Rolle hatte. Französische Mathematiker wie Henri Lebesgue ( Lebesgue-Integral ), Jacques Hadamard und Emile Borel (Maßtheorie), die Hilbert-Schule in Göttingen und die polnische Schule unter ihrer Leitfigur Stefan Banach waren Zentren der Entwicklung der Funktionalanalysis , das heißt der Untersuchung unendlich dimensionaler Funktionenräume. Mit Hilfe der Banachräume und ihrer Dualitäten können viele Probleme, zum Beispiel der Integralgleichungen , sehr elegant gelöst werden. Die polnische Schule der Zwischenkriegszeit war auch führend in Topologie und mathematischer Grundlagenforschung und auch die russischen Mathematiker hatten anfangs einen Schwerpunkt in Funktionalanalysis ( Lusin-Schule , Andrei Kolmogorow ) und Topologie (ua Pawel Sergejewitsch Alexandrow , Lew Pontrjagin ). Die Mathematik wurde durch die Entwicklung neuer physikalischer Theorien befruchtet, insbesondere der Quantenmechanik (mit Verbindung insbesondere zur Funktionalanalysis) und die Relativitätstheorie , das den Tensorkalkül und die Differentialgeometrie beförderte. Die Distributionen ( Laurent Schwartz , Sergei Lwowitsch Sobolew ) der Funktionalanalysis führte zuerst Paul Dirac in der Quantenmechanik ein. Diese wiederum profitierte von der Entwicklung der Spektraltheorie linearer Operatoren (linearer Algebra in unendlich vielen Dimensionen).

Andrei Kolmogorow lieferte eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeit ist für ihn ähnlich dem Flächeninhalt und kann mit Methoden der Maßtheorie behandelt werden. Damit erhielt dieses Gebiet eine sichere Grundlage, auch wenn die Auseinandersetzungen über Interpretationsfragen andauerten (siehe auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ). Eine große Quelle „nützlicher Mathematik“ war die Entwicklung vielfältiger statistischer Methoden ( Ronald Aylmer Fisher , Karl Pearson , Abraham Wald , Kolmogorow und andere) mit breiten Anwendungen im Versuchswesen, der Medizin, aber auch in den Sozial- und Geisteswissenschaften, der Marktforschung und Politik.

Die führende Rolle der Hilbertschen Schule endete mit dem Nationalsozialismus, der sich auch in der Mathematik bei den Vertretern der Deutschen Mathematik ausprägte, und der Vertreibung eines Großteils der jüdischen Wissenschaftler aus ihren Universitätsstellen. Viele fanden Zuflucht in den USA und anderswo und befruchteten dort die Entwicklung der Mathematik.

John von Neumann

Im Zweiten Weltkrieg entstand großer Bedarf an der Lösung konkreter mathematischer Probleme für militärische Belange, beispielsweise bei der Entwicklung der Atombombe, des Radars oder der Entschlüsselung von Codes. John von Neumann wie Alan Turing , der in der Theorie der Berechenbarkeit zuvor das abstrakte Konzept einer universalen Rechenmaschine entwickelt hatte, arbeiteten an konkreten Computerprojekten. Der Computer hielt Einzug in die Mathematik. Dies führte zu einer dramatischen Weiterentwicklung der numerischen Mathematik . Mit Hilfe des Computers können nun komplexe Probleme, die per Hand nicht zu lösen waren, relativ schnell berechnet werden, und numerisches Experimentieren machte viele neue Phänomene erst zugänglich ( Experimentelle Mathematik ).

Einen Höhepunkt erreichten Abstraktion und Formalisierung im Schaffen des Autorenkollektivs Nicolas Bourbaki , zu der führende Mathematiker in Frankreich (und darüber hinaus) gehörten wie André Weil , Jean-Pierre Serre , Henri Cartan und Claude Chevalley und deren Treffen schon Ende der 1930er Jahre begannen. Sie übernahmen nach dem Niedergang der Hilbert-Schule und der Vertreibung vieler Mathematiker durch die Nationalsozialisten nach dem Krieg, wovon vor allem die USA profitierten, eine Führungsrolle in der strukturellen Auffassung der Mathematik, und zunächst in bewusster Anlehnung an die Göttinger algebraische Schule das stark an der Analysis orientierte Curriculum in Frankreich überwinden wollten, aber bald auch weit darüber hinaus wirkten (mit der Neuen Mathematik im Schul-Curriculum der 1960er und 1970er Jahre).

Bedeutend in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts war die grundlegende Umwälzung der algebraischen Geometrie vor allem durch Arbeiten Alexander Grothendiecks und seiner Schule sowie die breite Entwicklung der algebraischen Topologie, und – teilweise damit einhergehend – die Entwicklung der Kategorientheorie . Das war ein nochmaliger Steigerungsgrad der Abstrahierung nach der Entwicklung der abstrakten Algebra in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts insbesondere in der Schule von Emmy Noether und lieferte neue Ansätze und Denkweisen, die in weiten Teilen der Mathematik wirksam geworden sind. Die Kategorientheorie bot dabei eine Alternative zur Mengenlehre als Theorie der grundlegenden Strukturen.

Neben den Tendenzen zur Abstraktion gab es in der Mathematik aber immer wieder die Tendenz, konkrete Objekte detailliert zu erkunden. Besonders geeignet waren diese Untersuchungen auch, der Öffentlichkeit die Rolle der Mathematik näherzubringen (zum Beispiel Fraktale ab den 1980er Jahren und die Chaostheorie, die Katastrophentheorie der 1970er Jahre).

Andrew Wiles

Wichtige neue Entwicklungen wie der Atiyah-Singer-Indexsatz oder der Beweis der Weil-Vermutungen spiegeln sich in der Verleihungen der Fields-Medaille und des Abelpreises . Viele teilweise jahrhundertealte Probleme wurden im 20. Jahrhundert gelöst wie das Vierfarbenproblem , die Kepler-Vermutung (beide mit Computerhilfe), der Klassifikationssatz der endlichen Gruppen , die Mordellvermutung ( Gerd Faltings ), die Poincaré-Vermutung (durch Grigori Perelman 2002) und 1995 schließlich der Satz von Fermat durch Andrew Wiles . Fermats Aussage, dass der Rand einer Buchseite zu schmal für einen Beweis sei, bestätigte sich: Wiles' Beweis ist über 100 Seiten lang, und er brauchte Hilfsmittel, die weit über den mathematischen Erkenntnisstand zu Fermats Zeiten hinausgingen. Einige Probleme wurden für prinzipiell unlösbar erkannt (wie die Kontinuumshypothese durch Paul Cohen ), viele neue Probleme kamen hinzu (wie die abc-Vermutung ) und die Riemann-Hypothese ist eines der wenigen Probleme der Hilbertliste, deren Beweis trotz großer Anstrengungen vieler Mathematiker weiterhin in weiter Ferne zu liegen scheint. Eine Liste zentraler ungelöster Probleme der Mathematik ist die Liste der Millennium-Probleme . Zum Ende des Jahrhunderts gab es wieder eine starke Wechselwirkung von Mathematik und Physik über Quantenfeldtheorien und Stringtheorie mit überraschenden und tiefliegenden Verbindungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik (unendlich dimensionale Liealgebren, Supersymmetrie, Dualitäten mit Anwendungen in der abzählenden algebraischen Geometrie, Knotentheorie ua). Vorher hatte die Elementarteilchenphysik von der Mathematik insbesondere durch deren Klassifikation von kontinuierlichen Symmetriegruppen, den Liegruppen, ihren Liealgebren und deren Darstellungen profitiert ( Elie Cartan , Wilhelm Killing im 19. Jahrhundert), und Liegruppen sind auch ein zentrales, vereinigendes Thema der Mathematik des 20. Jahrhunderts mit vielfältigsten Anwendungen innerhalb der Mathematik bis zur Zahlentheorie ( Langlands-Programm ).

Siehe auch

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Literatur

Biographien von Mathematikern finden sich in:

Weblinks

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Wikisource: Rechenbücher – Quellen und Volltexte

Einzelnachweise

  1. ↑ Howard Eves : An Introduction to the History of Mathematics . 6th Edition, 1990 S. 9.
  2. ↑ Moscow Papyrus
  3. ↑ Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra . Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9 , S. 49.
  4. ↑ Ifrah Universalgeschichte der Zahlen . Zweitausendeins, Kapitel 29.
  5. ↑ „Alle in der indischen Literaturgeschichte gegebenen Daten sind gleichsam wieder zum Umwerfen aufgesetzte Kegel“ aus: Alois Payer: Einführung in die Exegese von Sanskrittexten. Skript . Kap. 8: Die eigentliche Exegese. Teil II: Zu einzelnen Fragestellungen synchronen Verstehens ( online ).
  6. ↑ Vgl. auch Maya Mathematics , MacTutor.
  7. ↑ Siehe bei Thomas de Padova : Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand. Hanser, 2021, ISBN 978-3-446-26932-3 .
  8. ↑ Vgl. Joseph Ehrenfried Hofmann : Michael Stifel (1487?–1567). Leben, Wirken und Bedeutung für die Mathematik seiner Zeit (= Sudhoffs Archiv . Beiheft 9). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1968, ISBN 3-515-00293-6 .
  9. ↑ Calculus History, McTutor
  10. ↑ Moritz Cantor: Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik. Band 3, 1901, S. 285–328 ( Digitale Ausgabe Univ. Heidelberg, 2014).
  11. ↑ Thomas Sonar: Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibniz und Newton . Springer Verlag, Berlin 2016.
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