Gitter (geometri)

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Et gitter i geometri er en spalteløs og overlapningsfri opdeling af et mellemrum med et sæt gitterceller . Gittercellerne defineres af et sæt gitterpunkter, der er forbundet med hinanden med et sæt gitterlinjer .

Gitter bruges i videnskab og teknologi til opmåling , modellering og numeriske beregninger (se netmodel ).

Klassifikation

Gitter er opdelt i forskellige kategorier baseret på deres topologi og geometri. Der skelnes grundlæggende mellem strukturerede og ustrukturerede net.

Tekstureret gitter

Eksempel på et struktureret (buet) gitter.
Eksempel på et rektangulært gitter.
Eksempel på et ensartet gitter.
Eksempel på et kartesisk net.

Strukturerede gitre (engelske structured grids) har en regelmæssig topologi, men ikke nødvendigvis en almindelig cellegeometri. Med strukturerede tavler er cellerne i et almindeligt gitter, så cellerne klart kan indekseres ved hjælp af hele tal. Endimensionelle gitre (linjenetværk) er altid strukturerede, cellerne kan tælles med i = 1..N (N = antal elementer). For todimensionelle gitre bestemmes et element entydigt af indekserne (i, j), for tredimensionelle gitre af indekserne (i, j, k). Fordelen ved at bruge strukturerede gitre i forhold til de ustrukturerede gitre beskrevet nedenfor er, at denne unikke indeksering gør det muligt at bestemme naboceller uden beregningsindsats. Strukturerede gitre består altid af en elementtype. Rektangulære elementer bruges mest i todimensionale, og trekantede elementer bruges kun sjældent. Tredimensionelle gitter er næsten altid hexahedra og kun undertiden tetraeder . Brugen af ​​trekantede elementer eller tetraeder har den ulempe, at de kun dårligt fylder rummet og flere elementer er nødvendige. For eksempel har et tetraeder med en kantlængde 1 kun et volumen på 1/6, mens en terning har et volumen på 1. Derfor skal tetraedriske gitre for eksempel i flow -simuleringen bruge et stort antal celler for at opnå en tilstrækkelig opløsning.

I tilfælde af de strukturerede gitre er komplekse strukturer også mulige, hvor netsystemet er regelmæssigt, men generelt buet eller tilpasset til en kompleks geometri. Multiblock strukturer bruges også, hvor gitteret er dannet af flere strukturerede blokke af forskellige størrelser. Sådanne strukturerede net kan kun oprettes delvist automatisk.

I tilfælde af buede gitre (engelske krøllede gitre ) er gitterlinjerne givet ved parametriserede kurver. Imidlertid er udtrykket ret usædvanligt. Man taler derefter simpelthen om strukturerede gitre.

Retvinklede gitre (engelske retlinede gitre ) opdeler rummet helt i aksialt parallelle områder, der ikke behøver at have samme størrelse. På denne måde skabes kuboider af forskellig eller samme størrelse i tredimensionelt rum.

Et ensartet gitter (engelsk almindeligt gitter) deler rummet fuldstændigt i akse-parallelle rektangulære dele, idet kanterne langs en akse altid har samme længde.

Det enkleste tilfælde er et kartesisk gitter (engelsk kartesisk gitter) , hvor alle kantlængder er ens. I todimensionelt rum skabes et firkantet område og i tredimensionelt rum et volumen terninger.

Ustruktureret gitter

Eksempel på et ustruktureret trekantet gitter.

Ustrukturerede gitre har ingen fast topologi og ingen ensartet gittercellegeometri. Ustrukturerede net er for det meste resultatet af en tilpasningsproces. Gitter lavet af komplekse celler, såkaldte polyhedrale gitre, er også kendt. Cellestrukturen her ligner den i sæbeskum.

Ustrukturerede net kan bruges meget fleksibelt og kan også let genereres automatisk. Datahåndtering er imidlertid mere kompleks end med strukturerede tavler. På den ene side er gitterpunkterne ikke arrangeret i et almindeligt mønster, som det er tilfældet med strukturerede gitre, men skal gemmes individuelt. På den anden side er det fra starten ikke klart, hvilke celler der støder op til en bestemt gittercelle. Disse kvarteroplysninger skal enten gemmes eksplicit, når nettet genereres, eller det skal beregnes på en kompleks måde ved runtime. Ustrukturerede net kræver derfor generelt et multiplum af hukommelseskravene til strukturerede net og forårsager normalt en større beregningsindsats.

Gittergenerering

Som mesh generation eller Meshing refererer til en gruppe af procedurer i computergrafik samt simulering af de fysiske egenskaber af faste stoffer og væsker; Med disse metoder er en given overflade eller et givet rummængde tilnærmet ( tilnærmet ) af et antal mindre, for det meste meget enkle elementer. Det resulterende gitter er en forenklet beskrivelse af overfladen eller kroppen, som derefter z. B. kan bruges til yderligere beregninger, f.eks. Ved hjælp af finite element metoden (FEM).

I tilfælde af todimensionelle overflader bruges trekantede eller firkantede elementer hyppigst til generering af net, mens tredimensionelle legemer normalt bruger tetraeder eller kuboider .

Generering af et gitter af trekantede elementer kaldes også triangulering (eller triangulering), der refereres til (såvel som det resulterende trekantede gitter), generering af et gitter af firkantede elementer er også brolægning. Hvis antallet af yderkanter på en overflade er fast, og tallet er ulige, er ren firkantet belægning ikke mulig (mindst ét ​​element forbliver med et ulige antal hjørner, f.eks. En trekant).

Trekantet gitter

I trigonometri og elementær geometri kaldes opdelingen af ​​en overflade i trekanter et trekantet gitter , trekantet netværk eller triangulering . Med hensyn til grafteori er trekantede gitre af typen "ustyrede grafer uden flere kanter", hvis undergrafer er " cirkler med tre knuder " (og tilsvarende tre kanter ). Generaliseringen af ​​trekantmasker er polygonmasker .

En triangulering af et sæt punkter i flyet angiver en nedbrydning af det konvekse skrog af det punkt, der er indstillet i trekanter, hvor hjørnepunkterne på trekanterne er præcis punkterne er. Trianguleringen er således en plan trekantgraf . Er mængden i en konveks position er antallet af mulige trianguleringer præcis det -catalanske nummer , hvor antallet af point i udpeget.

Man er ofte interesseret i at beregne en triangulering med særlige egenskaber. F.eks. Er der Delaunay -triangulering , som maksimerer trekanternes mindste indvendige vinkel eller triangulering med minimum vægt , hvilket minimerer den samlede længde af alle kanter.

En teknisk anvendelse af trekantede gitter i flyet og i rummet er bindingsværket .

Adaptive gitre

Eksempel på brug af et adaptivt trekantet gitter til at beregne luftstrømmen omkring en flyvinge.

Der skelnes også mellem adaptive og ikke-adaptive diskretiseringer.

Ikke-adaptive gitre har den samme opløsning i hele lydstyrken. I tilfælde af små geometriske strukturer eller områder med stærke kurver, spidse vinkler eller anderledes definerede materialeparametre er et groft gitter med store gitterceller ikke længere tilstrækkeligt til at diskretisere sådanne problemområder med tilstrækkelig nøjagtighed. En global forfining af nettet er normalt ikke nyttig på grund af den tilhørende øgede lagring og computetid.

Det er her processen med adaptiv meshing kommer i spil, som vælger masken mere fint, hvor der ellers ville forventes store resultatfejl. Dette gøres enten gennem forudgående kendskab til det problem, der behandles, for eksempel mindre elementer på komponentoverflader eller på stærkt buede eller tynde punkter, eller gennem metoder, der dynamisk forfiner, hvor fejlen i øjeblikket er stor baseret på givne fejlestimater. Sidstnævnte er særlig vigtig i tilfælde af forbigående problemer, dvs. hvis de problematiske områder ændrer deres position over tid.

En anden metode til diskretisering af kritiske områder er sub-grid-teknologi .

Ansøgninger

teknologi

  • I teknisk design til modellering af buede overflader, især i forbindelse med CAD (CAD)
  • Inden for robotik til bestemmelse af fælles positioner; dette resulterer i meget dynamiske trekantede netværk, der gengiver bevægelsen
  • I byggebranchen til måling af en struktur med trekanter: Her var trekantede net - især retvinklede (3: 4: 5) og ligesidede - allerede almindelige i gotiske byggehytter . Moderne applikationer er CAM -processer

Landmåling

  • I geodesi som et undersøgelsesnetværk til punktbestemmelse, se Triangulation (Geodesy) : Trigonometriske punkter (TP) måles som undersøgelsespunkter ved hjælp af netværket
  • For fotogrammetri at registrere data-med line-by-line scanning er firkantede netværk mere almindelige (men de kan let konverteres til trekantede netværk for at gøre dem tilgængelige for de specifikke algoritmer)
  • I GIS- teknologi og andre satellitbaserede målemetoder til konvertering af de for det meste lineære måleserier til en jordmodel

numerisk matematik

I numerisk matematik er et beregningsnet en diskret nedbrydning af rummet, hvor en delvis differentialligning skal løses. Udtrykket bruges ikke til en tidsmæssig diskretisering . Skæringspunkterne mellem to gitterlinjer kaldes noder, cellerne enten som celler, i endelige elementmetoder også som elementer og i endelige volumenmetoder som mængder. Gitteret kan være rumligt fastgjort eller bevæge sig over tid eller tilpasses i løbet af beregningen.

I områdets kanter skal der angives randbetingelser .

Beregningsnet skal ikke være endimensionelle. Med tredimensionelle gitre nås hurtigt et stort antal celler. Et simpelt retvinklet gitter, der kun løser 100 celler på den ene kant, har allerede 1 million celler i den tredje dimension .

På moderne pc'er med 2 GB hovedhukommelse kan cirka 1,5–5 millioner celler beregnes i dag afhængigt af softwaresystemet. Hvis der kræves større opløsninger, skal beregningen udføres på mainframes eller computernetværk .

Eksempler

litteratur

  • Michael Bender, Manfred Brill: Computergrafik - En applikationsorienteret lærebog . 2. udgave. Hanser, 2006, ISBN 3-446-40434-1 .
  • Hansen og Johnson: Visualization Handbook . Elsevier, Burlington 2005, ISBN 0-12-387582-X .