Kvartalligning

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

En kvartsligning eller 4. grads polynomligning , der traditionelt også kaldes en biquadratisk ligning , har formen

med koefficienter og fra en krop med egenskaber , hvori derefter fra -Algebra stammer.

I det følgende betragtes kun de reelle eller de komplekse tal som faste stoffer.

Ifølge algebraens grundsætning kan ligningen klart udtrykkes i formen bortset fra sekvensen

bringe, med og som ikke nødvendigvis er forskellige fire komplekse løsninger på ligningen.

er og , så kan ligningen reduceres til en kvadratisk ligning ved substitution . I dag, især i skolematematik, er det sædvanligt kun at kalde denne specielle form biquadratiske ligning , [1] selvom biquadrat traditionelt har haft en mere generel betydning.

historie

Den italienske matematiker Lodovico Ferrari (1522–1565) fandt den første lukkede løsning på kvartsligningen. Hans lærer Gerolamo Cardano offentliggjorde denne løsning i 1545 i værket Ars magna de Regulis Algebraicis. En anden løsningsmetode med en anden tilgang blev udgivet af Leonhard Euler i Sankt Petersborg i 1738 i et forsøg på at finde en generel løsningsformel for ligninger af højere grader. At dette er umuligt blev bevist af Niels Henrik Abel i 1824 ( sætning om Abel-Ruffini ).

Løsningsformel og bevis

Da den generelle løsningsformel er forvirrende, konverteres den generelle ligning gradvist til mere specifikke, ækvivalente former. De transformationer, der foretages til variablerne, skal vendes i slutningen af ​​løsningerne i omvendt rækkefølge.

Forudsætning: Der gives en kvartsligning med og .

Erklæring: Så kan man give deres løsninger på en algebraisk måde som følger: [2]

Normaliser og reducer

Først ligningen med substitutionen

forenklet til den virkning, at kubikkoefficienten forsvinder ( Tschirnhaus transformation ) og samtidig den ledende koefficient ved at dividere hele ligningen med til er indstillet.

Med definitionerne

ligningen reducerer til

.

I slutningen af ​​beregningen vises nullerne på det indledende polynom som genoprettet. I det følgende kan det derfor antages, at koefficienten for den tredje grad er nul.

Tilfælde der kun forekommer eksponenter

er , så får vi det særlige tilfælde af en (sand) biquadratisk ligning

og kan bruge nullerne som kvadratrødder i begge tegnvarianter fra substitutionens løsninger opnået kvadratisk ligning

bestemme.

Er koefficienterne reelle og , så det giver mere mening ikke direkte at bruge de komplekse løsninger af den kvadratiske ligning i og heraf kvadratrødderne, men først realisere ligningen på en anden måde, hvorved de to kvadratiske faktorer igen har reelle koefficienter:

Nuller kan nu bestemmes individuelt for hver faktor:

Generel sag

er , prøver man at skrive ligningen som forskellen på to komplette firkanter. Dette indebærer komplekse parametre introduceret. Repræsentationen som en forskel fører derefter direkte til en faktorisering i kvadratiske faktorer med komplekse koefficienter:

Til sammenligning med

overgivelse og som .

Så den anden del af forskellen er en hel kvadrat i er, må diskriminanten af dette kvadratiske udtryk forsvinde:

Dette er en kubisk ligning i .

Fra en af ​​løsningerne til der er to kvadratiske ligninger i der fører til i alt fire løsninger til eller så at lede.

Resumé

I alt udføres følgende beregningstrin:

,
,
med
.

Nu kan nullerne beregnes som følger:

og i variablen i den originale ligning

.

Parametrene angive det tegn, der skal vælges i de to kvadratrødder, alle fire kombinationer af og er nødvendige for at få de fire løsninger.

Dekomponering i kvadratiske faktorer

Her er nedbrydningen til et produkt med to kvadratiske faktorer

spores tilbage til løsningen den kubiske ligning

. [3]

(Med reelle koefficienter og der er en rigtig med .)

Med en løsning denne ligning beregnes direkte:

(Særlig situation se nedenunder)
[4]

I et særligt tilfælde [5] er løsningen [6]

(Hvis er startligningen at løse.) [7]

Eksempel 1: For man når frem til ligningen af ​​3. grad

.

En løsning er . Dette resulterer i nedbrydning:

.

Eksempel 2: For man når frem til ligningen af ​​3. grad

. En løsning er . Dette resulterer i nedbrydning:
med

Eksempel 3: .

Her er og . Det er det særlige tilfælde foran.

Eksempel 4:

Værdierne beregnes her og om nuller:

Usædvanlig nedbrydning af biquadratiske ligninger

I tilfælde af rent biquadratiske ligninger uden ulige eksponenter er ovenstående ligninger mere nyttige.

til fantastiske nedbrydninger resulterer når et firkantet tal er:

(så)

og endelig de slet ikke sædvanlige dekompositioner med kun heltalskoefficienter

Her uddanner en pythagoransk triple , hvor fremstår ikke som en koefficient. De næste sådanne nedbrydninger er derfor

etc.

På grund af nedbrydning af en "Pythagorean triple" kan endda bruges som et specielt tilfælde definere, selvom det ikke resulterer i en højre trekant, men kun to sammenfaldende trekantsider.

Andre specielle former

B = 0 og D = 0

Denne type kvartsligning, som er mest almindelig i skolematematik, kan relativt let reduceres til en kvadratisk ligning ved substitution. For at gøre dette skal du erstatte med og modtager: . Dette kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel. Løsningerne opnås . Af rygudskiftningen følger det:

Disse rent kvadratiske ligninger har hver to løsninger:

E = 0

I dette tilfælde er det en løsning på ligningen. Så kan du faktorere det , altså faktor ud og få ligningen

.

Løsningerne på den kvartiske ligning er derefter og de tre løsninger på den kubiske ligning

.

Reelle koefficienter

Hvis alle koefficienter er reelle, kan der sondres mellem de mulige løsninger. Dette er baseret på følgende faktum: er det ikke-reelle tal med Nul for ethvert polynom med reelle koefficienter, så det er også det konjugerede komplekse tal ( Bevis ). Nedbrydningen af ​​det tilhørende polynom resulterer i produktet af de to faktorer

et kvadratisk polynom med reelle koefficienter, nemlig . Så hvert polynom med reelle koefficienter kan nedbrydes til lineære og kvadratiske faktorer med reelle koefficienter uanset dets grad. Der er tre muligheder for kvartsligningen:

  • Ligningen har fire reelle løsninger. Det opdeles i fire lineære faktorer med reelle koefficienter.
  • Ligningen har to reelle og to komplekse konjugerede løsninger. Det er opdelt i to lineære faktorer og en kvadratisk faktor med reelle koefficienter.
  • Ligningen har to par komplekse konjugerede løsninger. Det opdeles i to kvadratiske faktorer med reelle koefficienter.

Fire rigtige løsninger

Løsningerne kan være enkle løsninger eller dem med en mangfoldighed eller værende. ( Forklaring ).

I detaljer er der disse muligheder:

  • en løsning med mangfoldighed
Eksempel: , adskilt
har en firedobbelt løsning .
  • en løsning med mangfoldighed og en enkel løsning
Eksempel: , adskilt
har den tredobbelte løsning og den enkle løsning .
  • to løsninger, hver med en mangfoldighed
Eksempel: , adskilt
har den dobbelte løsning og den todelte løsning .
  • en løsning med mangfoldighed og to enkle løsninger
Eksempel: , adskilt
har den dobbelte løsning og de enkle løsninger .
  • fire enkle løsninger
Eksempel: , adskilt
har de enkle løsninger .

To rigtige og to komplekse konjugerede løsninger

Også her kan den rigtige løsning gives med mangfoldighed komme til syne. Så der er disse to muligheder:

  • en rigtig løsning med mangfoldighed og to komplekse konjugerede løsninger
Eksempel: , adskilt
eller med en reel kvadratisk faktor
har den dobbelte løsning og de konjugerede komplekse løsninger .
  • to simple rigtige løsninger og to komplekse konjugerede løsninger
Eksempel: , adskilt
eller med en reel kvadratisk faktor
har de enkle løsninger og de konjugerede komplekse løsninger .

Zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen

Hier gibt es diese beiden Möglichkeiten:

  • zwei konjugiert komplexe Lösungen mit Vielfachheit
Beispiel: , zerlegt
oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren
hat die zweifachen konjugiert komplexen Lösungen .
  • zwei Paare einfacher konjugiert komplexer Lösungen
Beispiel: , zerlegt
oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren
hat die konjugiert komplexen Lösungen und .

Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten

Für den Fall reeller Koeffizienten kann man die Gleichung wie folgt lösen. [1] Gegeben sei eine Gleichung vierten Grades

mit reellen Koeffizienten und . Durch die Substitution

überführt man diese in die reduzierte Gleichung

mit reellen Koeffizienten und . Im Fall ist diese Gleichung biquadratisch und somit leicht zu lösen. Im allgemeinen Fall erhält man aus den Lösungen der reduzierten Gleichung durch Rücksubstitution die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Mittels der Koeffizienten der reduzierten Gleichung bildet man die sogenannte kubische Resolvente

.

Die Lösungen der Gleichung vierten Grades hängen folgendermaßen mit den Lösungen der kubischen Resolvente zusammen:

Kubische Resolvente Gleichung vierten Grades
sämtliche Lösungen reell und positiv vier reelle Lösungen
sämtliche Lösungen reell, eine positiv und zwei negativ zwei Paare von zueinander komplex konjugierten Lösungen
eine positive reelle Lösung und zwei komplexe, zueinander konjugierte Lösungen zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen

Die Lösungen der kubischen Resolvente seien . Für jedes sei eine beliebige der beiden komplexen Wurzeln aus . Dann erhält man die Lösungen der reduzierten Gleichung durch

wobei so zu wählen ist, dass

.

Durch die Rücksubstitution

erhält man die Lösungen der ursprünglichen Gleichung vierten Grades.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. a b Bronstein, Semendjajev: Taschenbuch der Mathematik. 22. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun 1985, ISBN 3-87144-492-8 .
  2. Frei nach Ferrari.
  3. Quelle: Lösungsformel von Joachim Mohr.
  4. Implementierbar als
    w = sqrt(a^2 - 4 * u)
    p = (a + w)/2
    q = ((b - u) * (w + a) - 2 * c)/(2 * w)
    s = (a - w)/2
    t = ((b - u) * (w - a) + 2 * c)/(2 * w)
  5. Quelle: kilchb.de .
  6. In diesem Fall ist das Schaubild der Parabel vierten Grades
    symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung
    .
    Die Lösung erhält man durch Substitution
    über die elementar lösbare Gleichung
    .
  7. kilchb.de .

Literatur

Weblinks