Kvartalligning

En kvartsligning eller 4. grads polynomligning , der traditionelt også kaldes en biquadratisk ligning , har formen

Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0

{\ displaystyle Ax ^ {4} + Bx ^ {3} + Cx ^ {2} + Dx + E = 0}

{\ displaystyle Ax ^ {4} + Bx ^ {3} + Cx ^ {2} + Dx + E = 0}

med koefficienter $EN., B., C., D., E.$ ${\ displaystyle A, B, C, D, E}$ $A, B, C, D, E$ og $A\neq 0$ ${\ displaystyle A \ neq 0}$ $A \ neq 0$ fra en krop $K$ ${\ displaystyle K}$ $K$ med egenskaber $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ , hvori $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ derefter fra $K$ ${\ displaystyle K}$ $K$ -Algebra stammer.

I det følgende betragtes kun de reelle eller de komplekse tal som faste stoffer.

Ifølge algebraens grundsætning kan ligningen klart udtrykkes i formen bortset fra sekvensen

A(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0

{\ displaystyle A (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3}) (x-x_ {4}) = 0}

{\ displaystyle A (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3}) (x-x_ {4}) = 0}

bringe, med $x_{1},x_{2},x_{3}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ $x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}$ og $x_{4}$ ${\ displaystyle x_ {4}}$ $x_4$ som ikke nødvendigvis er forskellige fire komplekse løsninger på ligningen.

er $B=0$ ${\ displaystyle B = 0}$ ${\ displaystyle B = 0}$ og $D=0$ ${\ displaystyle D = 0}$ $D = 0$ , så kan ligningen reduceres til en kvadratisk ligning ved substitution . I dag, især i skolematematik, er det sædvanligt kun at kalde denne specielle form biquadratiske ligning , ^[1] selvom biquadrat traditionelt har haft en mere generel betydning.

historie

Den italienske matematiker Lodovico Ferrari (1522–1565) fandt den første lukkede løsning på kvartsligningen. Hans lærer Gerolamo Cardano offentliggjorde denne løsning i 1545 i værket Ars magna de Regulis Algebraicis. En anden løsningsmetode med en anden tilgang blev udgivet af Leonhard Euler i Sankt Petersborg i 1738 i et forsøg på at finde en generel løsningsformel for ligninger af højere grader. At dette er umuligt blev bevist af Niels Henrik Abel i 1824 ( sætning om Abel-Ruffini ).

Løsningsformel og bevis

Da den generelle løsningsformel er forvirrende, konverteres den generelle ligning gradvist til mere specifikke, ækvivalente former. De transformationer, der foretages til variablerne, skal vendes i slutningen af løsningerne i omvendt rækkefølge.

Forudsætning: Der gives en kvartsligning $Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0$ ${\ displaystyle Ax ^ {4} + Bx ^ {3} + Cx ^ {2} + Dx + E = 0}$ ${\ displaystyle Ax ^ {4} + Bx ^ {3} + Cx ^ {2} + Dx + E = 0}$ med $A,B,C,D,E,x\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle A, B, C, D, E, x \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle A, B, C, D, E, x \ in \ mathbb {C}}$ og $A\neq 0$ ${\ displaystyle A \ neq 0}$ $A \ neq 0$ .

Erklæring: Så kan man give deres løsninger på en algebraisk måde som følger: ^[2]

Normaliser og reducer

Først ligningen med substitutionen

x=u-{\frac {B}{4A}}

{\ displaystyle x = u - {\ frac {B} {4A}}}

{\ displaystyle x = u - {\ frac {B} {4A}}}

forenklet til den virkning, at kubikkoefficienten $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ forsvinder ( Tschirnhaus transformation ) og samtidig den ledende koefficient ved at dividere hele ligningen med $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ til $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ er indstillet.

Med definitionerne

{\begin{array}{rl}\alpha &=-{\dfrac {3B^{2}}{8A^{2}}}+{\dfrac {C}{A}}\\[1em]\beta &={\dfrac {B^{3}}{8A^{3}}}-{\dfrac {B\,C}{2A^{2}}}+{\dfrac {D}{A}}\\[1em]\gamma &=-{\dfrac {3B^{4}}{256A^{4}}}+{\dfrac {B^{2}\,C}{16A^{3}}}-{\dfrac {B\,D}{4A^{2}}}+{\dfrac {E}{A}}\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} \ alpha & = - {\ dfrac {3B ^ {2}} {8A ^ {2}}} + {\ dfrac {C} {A}} \\ [1em ] \ beta & = {\ dfrac {B ^ {3}} {8A ^ {3}}} - {\ dfrac {B \, C} {2A ^ {2}}} + {\ dfrac {D} {A }} \\ [1em] \ gamma & = - {\ dfrac {3B ^ {4}} {256A ^ {4}}} + {\ dfrac {B ^ {2} \, C} {16A ^ {3} }} - {\ dfrac {B \, D} {4A ^ {2}}} + {\ dfrac {E} {A}} \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} \ alpha & = - {\ dfrac {3B ^ {2}} {8A ^ {2}}} + {\ dfrac {C} {A}} \\ [1em ] \ beta & = {\ dfrac {B ^ {3}} {8A ^ {3}}} - {\ dfrac {B \, C} {2A ^ {2}}} + {\ dfrac {D} {A }} \\ [1em] \ gamma & = - {\ dfrac {3B ^ {4}} {256A ^ {4}}} + {\ dfrac {B ^ {2} \, C} {16A ^ {3} }} - {\ dfrac {B \, D} {4A ^ {2}}} + {\ dfrac {E} {A}} \ end {array}}}

ligningen reducerer til

u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0

{\ displaystyle u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ beta u + \ gamma = 0}

{\ displaystyle u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ beta u + \ gamma = 0}

.

I slutningen af beregningen vises nullerne på det indledende polynom som $x_{1,2,3,4}=u_{1,2,3,4}-{\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {B}{A}}$ ${\ displaystyle x_ {1,2,3,4} = u_ {1,2,3,4} - {\ tfrac {1} {4}} \, {\ tfrac {B} {A}}}$ ${\ displaystyle x_ {1,2,3,4} = u_ {1,2,3,4} - {\ tfrac {1} {4}} \, {\ tfrac {B} {A}}}$ genoprettet. I det følgende kan det derfor antages, at koefficienten for den tredje grad er nul.

Tilfælde der kun forekommer eksponenter

er $\beta =0$ ${\ displaystyle \ beta = 0}$ $\ beta = 0$ , så får vi det særlige tilfælde af en (sand) biquadratisk ligning

u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0

{\ displaystyle u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ gamma = 0}

u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ gamma = 0

og kan bruge nullerne som kvadratrødder i begge tegnvarianter fra substitutionens løsninger $u^{2}=m$ ${\ displaystyle u ^ {2} = m}$ ${\ displaystyle u ^ {2} = m}$ opnået kvadratisk ligning

m^{2}+\alpha m+\gamma =0

{\ displaystyle m ^ {2} + \ alfa m + \ gamma = 0}

{\ displaystyle m ^ {2} + \ alfa m + \ gamma = 0}

bestemme.

Er koefficienterne reelle og $\gamma >{\tfrac {\alpha ^{2}}{4}}\geq 0$ ${\ displaystyle \ gamma> {\ tfrac {\ alpha ^ {2}} {4}} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ gamma> {\ tfrac {\ alpha ^ {2}} {4}} \ geq 0}$ , så det giver mere mening ikke direkte at bruge de komplekse løsninger af den kvadratiske ligning i $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ og heraf kvadratrødderne, men først realisere ligningen på en anden måde, hvorved de to kvadratiske faktorer igen har reelle koefficienter:

{\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma &=\left[(u^{2}+{\sqrt {\gamma }})^{2}\right]-\left[(2{\sqrt {\gamma }}-\alpha )\,u^{2}\right]\\&=\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]+\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\;\cdot \;\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]-\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\\&=\left(u^{2}+{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\;\cdot \;\left(u^{2}-{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ gamma & = \ left [(u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}}) ^ {2} \ højre] - \ venstre [(2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha) \, u ^ {2} \ højre] \\ & = \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] + \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \, u \ højre] \ højre) \; \ cdot \; \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] - \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \, u \ højre] \ højre) \\ & = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \ cdot u + {\ sqrt {\ gamma}} \ right) \; \ cdot \; \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \ cdot u + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre) \ end {array }}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ gamma & = \ left [(u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}}) ^ {2} \ højre] - \ venstre [(2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha) \, u ^ {2} \ højre] \\ & = \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] + \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \, u \ højre] \ højre) \; \ cdot \; \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] - \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \, u \ højre] \ højre) \\ & = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \ cdot u + {\ sqrt {\ gamma}} \ right) \; \ cdot \; \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \ cdot u + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre) \ end {array }}}

Nuller kan nu bestemmes individuelt for hver faktor:

$u_{1}=-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}+{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}$ ${\ displaystyle u_ {1} = - {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma }} - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$ ${\ displaystyle u_ {1} = - {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma }} - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$	$u_{2}=-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}-{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}$ ${\ displaystyle u_ {2} = - {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} - {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma }} - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$ ${\ displaystyle u_ {2} = - {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} - {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma }} - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$
$u_{3}={\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}+{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}$ ${\ displaystyle u_ {3} = {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma} } - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$ ${\ displaystyle u_ {3} = {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma} } - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$	$u_{4}={\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}-{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}$ ${\ displaystyle u_ {4} = {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} - {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma} } - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$ ${\ displaystyle u_ {4} = {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} {2}} - {\ sqrt {{\ frac {2 {\ sqrt {\ gamma} } - \ alpha} {4}} - {\ sqrt {\ gamma}}}}}$

Generel sag

er $\beta \neq 0$ ${\ displaystyle \ beta \ neq 0}$ $\ beta \ neq 0$ , prøver man at skrive ligningen som forskellen på to komplette firkanter. Dette indebærer komplekse parametre $w, y, z$ ${\ displaystyle w, y, z}$ $w, y, z$ introduceret. Repræsentationen som en forskel fører derefter direkte til en faktorisering i kvadratiske faktorer med komplekse koefficienter:

{\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma &=(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(w\,u-z)^{2}\\&=(u^{2}+w\,u-z+\alpha +y)\,(u^{2}-w\,u+z+\alpha +y)\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ beta u + \ gamma & = (u ^ {2} + \ alpha + y) ^ {2} - (w \, uz) ^ {2} \\ & = (u ^ {2} + w \, uz + \ alpha + y) \, (u ^ {2} -w \, u + z + \ alpha + y) \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ beta u + \ gamma & = (u ^ {2} + \ alpha + y) ^ {2} - (w \, uz) ^ {2} \\ & = (u ^ {2} + w \, uz + \ alpha + y) \, (u ^ {2} -w \, u + z + \ alpha + y) \ end {array}}}

Til sammenligning med

u^{4}+\alpha \,u^{2}+\beta \,u+\gamma =(u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]

{\ displaystyle u ^ {4} + \ alpha \, u ^ {2} + \ beta \, u + \ gamma = (u ^ {2} + \ alpha + y) ^ {2} - [(\ alpha + 2y) \, u ^ {2} - \ beta \, u + ((\ alpha + y) ^ {2} - \ gamma)]}

{\ displaystyle u ^ {4} + \ alpha \, u ^ {2} + \ beta \, u + \ gamma = (u ^ {2} + \ alpha + y) ^ {2} - [(\ alpha + 2y) \, u ^ {2} - \ beta \, u + ((\ alpha + y) ^ {2} - \ gamma)]}

overgivelse $w^{2}=\alpha +2y$ ${\ displaystyle w ^ {2} = \ alpha + 2y}$ ${\ displaystyle w ^ {2} = \ alpha + 2y}$ og $z^{2}=(\alpha +y)^{2}-\gamma$ ${\ displaystyle z ^ {2} = (\ alpha + y) ^ {2} - \ gamma}$ ${\ displaystyle z ^ {2} = (\ alpha + y) ^ {2} - \ gamma}$ som $\beta =2wz$ ${\ displaystyle \ beta = 2wz}$ ${\ displaystyle \ beta = 2wz}$ .

Så den anden del af forskellen er en hel kvadrat i $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ er, må diskriminanten af dette kvadratiske udtryk forsvinde:

0=4w^{2}z^{2}-\beta ^{2}=4\,(\alpha +2y)\,((\alpha +y)^{2}-\gamma )-\beta ^{2}

{\ displaystyle 0 = 4w ^ {2} z ^ {2} - \ beta ^ {2} = 4 \, (\ alpha + 2y) \, ((\ alpha + y) ^ {2} - \ gamma) - \ beta ^ {2}}

{\ displaystyle 0 = 4w ^ {2} z ^ {2} - \ beta ^ {2} = 4 \, (\ alpha + 2y) \, ((\ alpha + y) ^ {2} - \ gamma) - \ beta ^ {2}}

0=y^{3}+{\tfrac {5}{2}}\alpha \,y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\,y+{\tfrac {1}{2}}\alpha (\alpha ^{2}-\gamma )-{\tfrac {1}{8}}\beta ^{2}

{\ displaystyle 0 = y ^ {3} + {\ tfrac {5} {2}} \ alpha \, y ^ {2} + (2 \ alpha ^ {2} - \ gamma) \, y + {\ tfrac {1} {2}} \ alpha (\ alpha ^ {2} - \ gamma) - {\ tfrac {1} {8}} \ beta ^ {2}}

{\ displaystyle 0 = y ^ {3} + {\ tfrac {5} {2}} \ alpha \, y ^ {2} + (2 \ alpha ^ {2} - \ gamma) \, y + {\ tfrac {1} {2}} \ alpha (\ alpha ^ {2} - \ gamma) - {\ tfrac {1} {8}} \ beta ^ {2}}

Dette er en kubisk ligning i $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Fra en af løsningerne til $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ der er to kvadratiske ligninger i $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ der fører til i alt fire løsninger til $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ eller så $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ at lede.

Resumé

I alt udføres følgende beregningstrin:

P=-{\frac {\alpha ^{2}}{12}}-\gamma

{\ displaystyle P = - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {12}} - \ gamma}

{\ displaystyle P = - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {12}} - \ gamma}

,

Q=-{\frac {\alpha ^{3}}{108}}+{\frac {\alpha \gamma }{3}}-{\frac {\beta ^{2}}{8}}

{\ displaystyle Q = - {\ frac {\ alpha ^ {3}} {108}} + {\ frac {\ alpha \ gamma} {3}} - {\ frac {\ beta ^ {2}} {8} }}

{\ displaystyle Q = - {\ frac {\ alpha ^ {3}} {108}} + {\ frac {\ alpha \ gamma} {3}} - {\ frac {\ beta ^ {2}} {8} }}

,

y=-{\frac {5}{6}}\alpha +{\begin{cases}-{\sqrt[{3}]{Q}}&{\text{ falls }}P=0\\U-{\frac {P}{3U}}&{\text{ falls }}P\neq 0\end{cases}}

{\ displaystyle y = - {\ frac {5} {6}} \ alpha + {\ begin {cases} - {\ sqrt [{3}] {Q}} & {\ text {if}} P = 0 \ \ U - {\ frac {P} {3U}} og {\ text {falls}} P \ neq 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle y = - {\ frac {5} {6}} \ alpha + {\ begin {cases} - {\ sqrt [{3}] {Q}} & {\ text {if}} P = 0 \ \ U - {\ frac {P} {3U}} og {\ text {falls}} P \ neq 0 \ end {cases}}}

med

U={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}+{\sqrt {{\frac {Q^{2}}{4}}+{\frac {P^{3}}{27}}}}}}

{\ displaystyle U = {\ sqrt [{3}] {- {\ frac {Q} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {Q ^ {2}} {4}} + {\ frac {P ^ {3}} {27}}}}}}}}

{\ displaystyle U = {\ sqrt [{3}] {- {\ frac {Q} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {Q ^ {2}} {4}} + {\ frac {P ^ {3}} {27}}}}}}}}

w={\sqrt {\alpha +2y}}

{\ displaystyle w = {\ sqrt {\ alpha + 2y}}}

{\ displaystyle w = {\ sqrt {\ alpha + 2y}}}

z={\frac {\beta }{2w}}

{\ displaystyle z = {\ frac {\ beta} {2w}}}

{\ displaystyle z = {\ frac {\ beta} {2w}}}

.

Nu kan nullerne beregnes som følger:

u_{1,2,3,4}={\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {w^{2}-4\left(\alpha +y+s\,z\right)}}\right]

{\ displaystyle u_ {1,2,3,4} = {\ frac {1} {2}} \ venstre [s \ cdot w + r {\ sqrt {w ^ {2} -4 \ venstre (\ alpha + y + s \, z \ right)}} \ right]}

{\ displaystyle u_ {1,2,3,4} = {\ frac {1} {2}} \ venstre [s \ cdot w + r {\ sqrt {w ^ {2} -4 \ venstre (\ alpha + y + s \, z \ right)}} \ right]}

og i variablen i den originale ligning

x_{1,2,3,4}=-{\frac {B}{4A}}+{\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {-(\alpha +2y)-2\left(\alpha +s\,{\tfrac {\beta }{w}}\right)}}\right]

{\ displaystyle x_ {1,2,3,4} = - {\ frac {B} {4A}} + {\ frac {1} {2}} \ venstre [s \ cdot w + r {\ sqrt { - (\ alpha + 2y) -2 \ venstre (\ alpha + s \, {\ tfrac {\ beta} {w}} \ right)}} \ right]}

{\ displaystyle x_ {1,2,3,4} = - {\ frac {B} {4A}} + {\ frac {1} {2}} \ venstre [s \ cdot w + r {\ sqrt { - (\ alpha + 2y) -2 \ venstre (\ alpha + s \, {\ tfrac {\ beta} {w}} \ right)}} \ right]}

.

Parametrene $r,s\in \{-1,1\}$ ${\ displaystyle r, s \ in \ {- 1,1 \}}$ ${\ displaystyle r, s \ in \ {- 1,1 \}}$ angive det tegn, der skal vælges i de to kvadratrødder, alle fire kombinationer af $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ og $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ er nødvendige for at få de fire løsninger.

Dekomponering i kvadratiske faktorer

Her er nedbrydningen til et produkt med to kvadratiske faktorer

x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\left(x^{2}+px+q\right)\cdot \left(x^{2}+sx+t\right)

{\ displaystyle x ^ {4} + ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = \ left (x ^ {2} + px + q \ right) \ cdot \ left (x ^ {2} + sx + t \ højre)}

{\ displaystyle x ^ {4} + ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = \ left (x ^ {2} + px + q \ right) \ cdot \ left (x ^ {2} + sx + t \ højre)}

spores tilbage til løsningen $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ den kubiske ligning

u^{3}-2bu^{2}+\left(ac+b^{2}-4d\right)u+c^{2}-abc+a^{2}d=0

{\ displaystyle u ^ {3} -2bu ^ {2} + \ venstre (ac + b ^ {2} -4d \ højre) u + c ^ {2} -abc + a ^ {2} d = 0}

{\ displaystyle u ^ {3} -2bu ^ {2} + \ venstre (ac + b ^ {2} -4d \ højre) u + c ^ {2} -abc + a ^ {2} d = 0}

. ^[3]

(Med reelle koefficienter $-en, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $ABC$ og $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ der er en rigtig $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ med $4u\leq a^{2}$ ${\ displaystyle 4u \ leq a ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4u \ leq a ^ {2}}$ .)

Med en løsning $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ denne ligning beregnes direkte:

p={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-4u}}}{2}}

{\ displaystyle p = {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -4u}}} {2}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -4u}}} {2}}}

(Særlig situation

p={\tfrac {a}{2}}

{\ displaystyle p = {\ tfrac {a} {2}}}

{\ displaystyle p = {\ tfrac {a} {2}}}

se nedenunder)

q={\frac {(b-u)\left({\sqrt {a^{2}-4u}}+a\right)-2c}{2{\sqrt {a^{2}-4u}}}}

{\ displaystyle q = {\ frac {(bu) \ venstre ({\ sqrt {a ^ {2} -4u}} + a \ højre) -2c} {2 {\ sqrt {a ^ {2} -4u} }}}}

{\ displaystyle q = {\ frac {(bu) \ venstre ({\ sqrt {a ^ {2} -4u}} + a \ højre) -2c} {2 {\ sqrt {a ^ {2} -4u} }}}}

s={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-4u}}}{2}}

{\ displaystyle s = {\ frac {a - {\ sqrt {a ^ {2} -4u}}} {2}}}

{\ displaystyle s = {\ frac {a - {\ sqrt {a ^ {2} -4u}}} {2}}}

t={\frac {(b-u)\left({\sqrt {a^{2}-4u}}-a\right)+2c}{2{\sqrt {a^{2}-4u}}}}

{\ displaystyle t = {\ frac {(bu) \ venstre ({\ sqrt {a ^ {2} -4u}} -a \ højre) + 2c} {2 {\ sqrt {a ^ {2} -4u} }}}}

{\ displaystyle t = {\ frac {(bu) \ venstre ({\ sqrt {a ^ {2} -4u}} -a \ højre) + 2c} {2 {\ sqrt {a ^ {2} -4u} }}}}

^[4]

I et særligt tilfælde $4ab-a^{3}=8c$ ${\ displaystyle 4ab-a ^ {3} = 8c}$ ${\ displaystyle 4ab-a ^ {3} = 8c}$ ^[5] er løsningen ^[6]

p={\frac {a}{2}}

{\ displaystyle p = {\ frac {a} {2}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {a} {2}}}

q={\frac {c}{a}}+{\sqrt {{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-d}}

{\ displaystyle q = {\ frac {c} {a}} + {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} - d}}}

{\ displaystyle q = {\ frac {c} {a}} + {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} - d}}}

(Hvis

a=0

{\ displaystyle a = 0}

a = 0

er startligningen

x^{4}+bx^{2}+d=0

{\ displaystyle x ^ {4} + bx ^ {2} + d = 0}

{\ displaystyle x ^ {4} + bx ^ {2} + d = 0}

at løse.) ^[7]

s={\frac {a}{2}}

{\ displaystyle s = {\ frac {a} {2}}}

{\ displaystyle s = {\ frac {a} {2}}}

t={\frac {c}{a}}-{\sqrt {{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-d}}

{\ displaystyle t = {\ frac {c} {a}} - {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} - d}}}

{\ displaystyle t = {\ frac {c} {a}} - {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} - d}}}

Eksempel 1: For $x^{4}-x^{3}-x^{2}+4x-2$ ${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} + 4x -2}$ ${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} + 4x -2}$ man når frem til ligningen af 3. grad

u^{3}+2u^{2}+5u+10=0

{\ displaystyle u ^ {3} + 2u ^ {2} + 5u + 10 = 0}

{\ displaystyle u ^ {3} + 2u ^ {2} + 5u + 10 = 0}

.

En løsning er $u=-2$ ${\ displaystyle u = -2}$ ${\ displaystyle u = -2}$ . Dette resulterer i nedbrydning:

x^{4}-x^{3}-x^{2}+4x-2=\left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}-2x+2\right)

{\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} + 4x -2 = \ venstre (x ^ {2} + x -1 \ højre) \ venstre (x ^ {2} -2x +2 \ højre)}

{\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} + 4x -2 = \ venstre (x ^ {2} + x -1 \ højre) \ venstre (x ^ {2} -2x +2 \ højre)}

.

Eksempel 2: For $x^{4}-3x^{3}-8x-6$ ${\ displaystyle x ^ {4} -3x ^ {3} -8x -6}$ ${\ displaystyle x ^ {4} -3x ^ {3} -8x -6}$ man når frem til ligningen af 3. grad

u^{3}+10=0

{\ displaystyle u ^ {3} + 10 = 0}

{\ displaystyle u ^ {3} + 10 = 0}

. En løsning er

u=-{\sqrt[{3}]{10}}

{\ displaystyle u = - {\ sqrt [{3}] {10}}}

{\ displaystyle u = - {\ sqrt [{3}] {10}}}

. Dette resulterer i nedbrydning:

x^{4}-3x^{3}-8x-6=\left(x^{2}+px+q\right)\left(x^{2}+sx+t\right)

{\ displaystyle x ^ {4} -3x ^ {3} -8x -6 = \ venstre (x ^ {2} + px + q \ højre) \ venstre (x ^ {2} + sx + t \ højre)}

{\ displaystyle x ^ {4} -3x ^ {3} -8x -6 = \ venstre (x ^ {2} + px + q \ højre) \ venstre (x ^ {2} + sx + t \ højre)}

med

p={\frac {3+{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}{2}}\approx 3{,}598674508

{\ displaystyle p = {\ frac {3 + {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}} {2}} \ approx 3 {,} 598674508}

{\ displaystyle p = {\ frac {3 + {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}} {2}} \ approx 3 {,} 598674508}

q={\frac {{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}{\sqrt[{3}]{10}}+16+3{\sqrt[{3}]{10}}}{2{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}}\approx 3{,}753109199

{\ displaystyle q = {\ frac {{\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}} {\ sqrt [{3}] {10}} + 16 + 3 {\ sqrt [ {3}] {10}}} {2 {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}}} \ ca 3 {,} 753109199}

{\ displaystyle q = {\ frac {{\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}} {\ sqrt [{3}] {10}} + 16 + 3 {\ sqrt [ {3}] {10}}} {2 {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}}} \ ca 3 {,} 753109199}

s={\frac {3-{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}{2}}\approx -0{,}598674508

{\ displaystyle s = {\ frac {3 - {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}} {2}} \ approx -0 {,} 598674508}

{\ displaystyle s = {\ frac {3 - {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}} {2}} \ approx -0 {,} 598674508}

t={\frac {{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}{\sqrt[{3}]{10}}-16-3{\sqrt[{3}]{10}}}{2{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}}\approx -1{,}598674508

{\ displaystyle t = {\ frac {{\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}} {\ sqrt [{3}] {10}} - 16-3 {\ sqrt [ {3}] {10}}} {2 {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}}} \ approx -1 {,} 598674508}

{\ displaystyle t = {\ frac {{\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}} {\ sqrt [{3}] {10}} - 16-3 {\ sqrt [ {3}] {10}}} {2 {\ sqrt {9 + 4 {\ sqrt [{3}] {10}}}}}} \ approx -1 {,} 598674508}

Eksempel 3: $x^{4}+4x^{3}-11x^{2}-30x+50=\left(x^{2}+2x-5\right)\left(x^{2}+2x-10\right)$ ${\ displaystyle x ^ {4} + 4x ^ {3} -11x ^ {2} -30x + 50 = \ venstre (x ^ {2} + 2x -5 \ højre) \ venstre (x ^ {2} + 2x -10 \ højre)}$ ${\ displaystyle x ^ {4} + 4x ^ {3} -11x ^ {2} -30x + 50 = \ venstre (x ^ {2} + 2x -5 \ højre) \ venstre (x ^ {2} + 2x -10 \ højre)}$ .

Her er $a=4,b=-11,c=-30$ ${\ displaystyle a = 4, b = -11, c = -30}$ ${\ displaystyle a = 4, b = -11, c = -30}$ og $d=50$ ${\ displaystyle d = 50}$ ${\ displaystyle d = 50}$ . Det er det særlige tilfælde $4ab-a^{3}=8c$ ${\ displaystyle 4ab-a ^ {3} = 8c}$ ${\ displaystyle 4ab-a ^ {3} = 8c}$ foran.

Eksempel 4: $x^{4}+x^{2}+4=\left(x^{2}-{\sqrt {3}}x+2\right)\left(x^{2}+{\sqrt {3}}x+2\right)$ ${\ displaystyle x ^ {4} + x ^ {2} + 4 = \ venstre (x ^ {2} - {\ sqrt {3}} x + 2 \ højre) \ venstre (x ^ {2} + {\ sqrt {3}} x + 2 \ højre)}$ ${\ displaystyle x ^ {4} + x ^ {2} + 4 = \ venstre (x ^ {2} - {\ sqrt {3}} x + 2 \ højre) \ venstre (x ^ {2} + {\ sqrt {3}} x + 2 \ højre)}$

Værdierne beregnes her $p=-(x_{1}+x_{2}),\,q=x_{1}x_{2},\,s=-(x_{3}+x_{4})$ ${\ displaystyle p = - (x_ {1} + x_ {2}), \, q = x_ {1} x_ {2}, \, s = - (x_ {3} + x_ {4})}$ ${\ displaystyle p = - (x_ {1} + x_ {2}), \, q = x_ {1} x_ {2}, \, s = - (x_ {3} + x_ {4})}$ og $t=x_{3}x_{4}$ ${\ displaystyle t = x_ {3} x_ {4}}$ ${\ displaystyle t = x_ {3} x_ {4}}$ om nuller:

x_{1}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {-2+2i{\sqrt {15}}}}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}i

{\ displaystyle x_ {1} = \ \ \ {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2 + 2i {\ sqrt {15}}}} = \ \ \ {\ frac {1} {2 }} {\ sqrt {3}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

{\ displaystyle x_ {1} = \ \ \ {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2 + 2i {\ sqrt {15}}}} = \ \ \ {\ frac {1} {2 }} {\ sqrt {3}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

x_{2}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {-2-2i{\sqrt {15}}}}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}i

{\ displaystyle x_ {2} = \ \ \ {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2-2i {\ sqrt {15}}}} = \ \ \ {\ frac {1} {2 }} {\ sqrt {3}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

{\ displaystyle x_ {2} = \ \ \ {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2-2i {\ sqrt {15}}}} = \ \ \ {\ frac {1} {2 }} {\ sqrt {3}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

x_{3}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-2-2i{\sqrt {15}}}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}i

{\ displaystyle x_ {3} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2-2i {\ sqrt {15}}}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

{\ displaystyle x_ {3} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2-2i {\ sqrt {15}}}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

x_{4}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-2+2i{\sqrt {15}}}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}i

{\ displaystyle x_ {4} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2 + 2i {\ sqrt {15}}}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

{\ displaystyle x_ {4} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-2 + 2i {\ sqrt {15}}}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {5}} i}

Usædvanlig nedbrydning af biquadratiske ligninger

I tilfælde af rent biquadratiske ligninger uden ulige eksponenter er ovenstående ligninger mere nyttige.

{\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma &=\left[\left(u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right)^{2}\right]-\left[\left(2{\sqrt {\gamma }}-\alpha \right)\,u^{2}\right]\\&=\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]+\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\,\cdot \,\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]-\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ gamma & = \ left [\ left (u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre) ^ {2} \ højre] - \ venstre [\ venstre (2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alfa \ højre) \, u ^ {2} \ højre] \\ & = \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] + \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \, u \ højre] \ højre) \, \ cdot \, \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] - \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha} } \, u \ right] \ right) \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} u ^ {4} + \ alpha u ^ {2} + \ gamma & = \ left [\ left (u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre) ^ {2} \ højre] - \ venstre [\ venstre (2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alfa \ højre) \, u ^ {2} \ højre] \\ & = \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] + \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha}} \, u \ højre] \ højre) \, \ cdot \, \ venstre (\ venstre [u ^ {2} + {\ sqrt {\ gamma}} \ højre] - \ venstre [{\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - \ alpha} } \, u \ right] \ right) \ end {array}}}

til $u^{4}+u^{2}+\gamma$ ${\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + \ gamma}$ ${\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + \ gamma}$ fantastiske nedbrydninger resulterer når $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ et firkantet tal er:

u^{4}+u^{2}+1=\left(u^{2}+u+1\right)\left(u^{2}-u+1\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 1 = \ venstre (u ^ {2} + u + 1 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -u + 1 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 1 = \ venstre (u ^ {2} + u + 1 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -u + 1 \ højre)}

u^{4}+u^{2}+4=\left(u^{2}+{\sqrt {3}}u+2\right)\left(u^{2}-{\sqrt {3}}u+2\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 4 = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {3}} u + 2 \ højre) \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {3}} u + 2 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 4 = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {3}} u + 2 \ højre) \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {3}} u + 2 \ højre)}

(så)

u^{4}+u^{2}+9=\left(u^{2}+{\sqrt {5}}u+3\right)\left(u^{2}-{\sqrt {5}}u+3\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 9 = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {5}} u + 3 \ højre) \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {5}} u + 3 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 9 = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {5}} u + 3 \ højre) \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {5}} u + 3 \ højre)}

u^{4}+u^{2}+16=\left(u^{2}+{\sqrt {7}}u+4\right)\left(u^{2}-{\sqrt {7}}u+4\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 16 = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {7}} u + 4 \ højre) \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {7}} u + 4 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 16 = \ venstre (u ^ {2} + {\ sqrt {7}} u + 4 \ højre) \ venstre (u ^ {2} - {\ sqrt {7}} u + 4 \ højre)}

og endelig de slet ikke sædvanlige dekompositioner med kun heltalskoefficienter

u^{4}+u^{2}+25=\left(u^{2}+3u+5\right)\left(u^{2}-3u+5\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 25 = \ venstre (u ^ {2} + 3u + 5 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -3u + 5 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 25 = \ venstre (u ^ {2} + 3u + 5 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -3u + 5 \ højre)}

u^{4}+u^{2}+169=\left(u^{2}+5u+13\right)\left(u^{2}-5u+13\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 169 = \ venstre (u ^ {2} + 5u + 13 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -5u + 13 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 169 = \ venstre (u ^ {2} + 5u + 13 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -5u + 13 \ højre)}

Her uddanner $({\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-1}},\,{\sqrt {\gamma }}-1,\,{\sqrt {\gamma }})$ ${\ displaystyle ({\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - 1}}, \, {\ sqrt {\ gamma}} - 1, \, {\ sqrt {\ gamma}}))}$ ${\ displaystyle ({\ sqrt {2 {\ sqrt {\ gamma}} - 1}}, \, {\ sqrt {\ gamma}} - 1, \, {\ sqrt {\ gamma}}))}$ en pythagoransk triple , hvor ${\sqrt {\gamma }}-1$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ gamma}} - 1}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ gamma}} - 1}$ fremstår ikke som en koefficient. De næste sådanne nedbrydninger er derfor

u^{4}+u^{2}+625=\left(u^{2}+7u+25\right)\left(u^{2}-7u+25\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 625 = \ venstre (u ^ {2} + 7u + 25 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -7u + 25 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 625 = \ venstre (u ^ {2} + 7u + 25 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -7u + 25 \ højre)}

u^{4}+u^{2}+1681=\left(u^{2}+9u+41\right)\left(u^{2}-9u+41\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 1681 = \ venstre (u ^ {2} + 9u + 41 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -9u + 41 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 1681 = \ venstre (u ^ {2} + 9u + 41 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -9u + 41 \ højre)}

u^{4}+u^{2}+3721=\left(u^{2}+11u+61\right)\left(u^{2}-11u+61\right)

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 3721 = \ venstre (u ^ {2} + 11u + 61 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -11u + 61 \ højre)}

{\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} + 3721 = \ venstre (u ^ {2} + 11u + 61 \ højre) \ venstre (u ^ {2} -11u + 61 \ højre)}

etc.

På grund af nedbrydning af $u^{4}+u^{2}+1$ ${\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} +1}$ ${\ displaystyle u ^ {4} + u ^ {2} +1}$ en "Pythagorean triple" kan endda bruges som et specielt tilfælde $(1,0,1)$ ${\ displaystyle (1,0,1)}$ $(1,0,1)$ definere, selvom det ikke resulterer i en højre trekant, men kun to sammenfaldende trekantsider.

Andre specielle former

B = 0 og D = 0

Denne type kvartsligning, som er mest almindelig i skolematematik, kan relativt let reduceres til en kvadratisk ligning ved substitution. For at gøre dette skal du erstatte med $x^{2}=z$ ${\ displaystyle x ^ {2} = z}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = z}$ og modtager: $Az^{2}+Cz+E=0$ ${\ displaystyle Az ^ {2} + Cz + E = 0}$ ${\ displaystyle Az ^ {2} + Cz + E = 0}$ . Dette kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel. Løsningerne opnås $z_{1},z_{2}$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$ . Af rygudskiftningen følger det:

x_{1,2}^{2}=z_{1}

{\ displaystyle x_ {1,2} ^ {2} = z_ {1}}

{\ displaystyle x_ {1,2} ^ {2} = z_ {1}}

x_{3,4}^{2}=z_{2}

{\ displaystyle x_ {3,4} ^ {2} = z_ {2}}

{\ displaystyle x_ {3,4} ^ {2} = z_ {2}}

Disse rent kvadratiske ligninger har hver to løsninger:

x_{1,2}=\pm {\sqrt {z_{1}}}

{\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {z_ {1}}}}

{\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {z_ {1}}}}

x_{3,4}=\pm {\sqrt {z_{2}}}

{\ displaystyle x_ {3,4} = \ pm {\ sqrt {z_ {2}}}}

{\ displaystyle x_ {3,4} = \ pm {\ sqrt {z_ {2}}}}

E = 0

I dette tilfælde er det $x_{1}=0$ ${\ displaystyle x_ {1} = 0}$ $x_ {1} = 0$ en løsning på ligningen. Så kan du faktorere det $x-x_{1}$ ${\ displaystyle x-x_ {1}}$ ${\ displaystyle x-x_ {1}}$ , altså $x-0=x$ ${\ displaystyle x-0 = x}$ ${\ displaystyle x-0 = x}$ faktor ud og få ligningen

x\,\left(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D\right)=0

{\ displaystyle x \, \ left (Ax ^ {3} + Bx ^ {2} + Cx + D \ right) = 0}

{\ displaystyle x \, \ left (Ax ^ {3} + Bx ^ {2} + Cx + D \ right) = 0}

.

Løsningerne på den kvartiske ligning er derefter $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ og de tre løsninger på den kubiske ligning

Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0

{\ displaystyle Ax ^ {3} + Bx ^ {2} + Cx + D = 0}

{\ displaystyle Ax ^ {3} + Bx ^ {2} + Cx + D = 0}

.

Reelle koefficienter

Hvis alle koefficienter er reelle, kan der sondres mellem de mulige løsninger. Dette er baseret på følgende faktum: er det ikke-reelle tal $a+bi$ ${\ displaystyle a + bi}$ $a + bi$ med $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ $b \ ne 0$ Nul for ethvert polynom med reelle koefficienter, så det er også det konjugerede komplekse tal $a-bi$ ${\ displaystyle a-bi}$ ${\ displaystyle a-bi}$ ( Bevis ). Nedbrydningen af det tilhørende polynom resulterer i produktet af de to faktorer

(x-(a+bi))(x-(a-bi))

{\ displaystyle (x- (a + bi)) (x- (a-bi))}

{\ displaystyle (x- (a + bi)) (x- (a-bi))}

et kvadratisk polynom med reelle koefficienter, nemlig $x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2ax + a ^ {2} + b ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2ax + a ^ {2} + b ^ {2}}$ . Så hvert polynom med reelle koefficienter kan nedbrydes til lineære og kvadratiske faktorer med reelle koefficienter uanset dets grad. Der er tre muligheder for kvartsligningen:

Ligningen har fire reelle løsninger. Det opdeles i fire lineære faktorer med reelle koefficienter.
Ligningen har to reelle og to komplekse konjugerede løsninger. Det er opdelt i to lineære faktorer og en kvadratisk faktor med reelle koefficienter.
Ligningen har to par komplekse konjugerede løsninger. Det opdeles i to kvadratiske faktorer med reelle koefficienter.

Fire rigtige løsninger

Løsningerne kan være enkle løsninger eller dem med en mangfoldighed $2,3$ ${\ displaystyle 2,3}$ $2.3$ eller $4.$ ${\ displaystyle 4}$ $4.$ værende. ( Forklaring ).

I detaljer er der disse muligheder:

en løsning med mangfoldighed $4.$ ${\ displaystyle 4}$ $4.$

Eksempel:

2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2=0

{\ displaystyle 2x ^ {4} + 8x ^ {3} + 12x ^ {2} + 8x + 2 = 0}

{\ displaystyle 2x ^ {4} + 8x ^ {3} + 12x ^ {2} + 8x + 2 = 0}

, adskilt

2(x+1)^{4}=0

{\ displaystyle 2 (x + 1) ^ {4} = 0}

{\ displaystyle 2 (x + 1) ^ {4} = 0}

har en firedobbelt løsning

x_{1,2,3,4}=-1

{\ displaystyle x_ {1,2,3,4} = - 1}

{\ displaystyle x_ {1,2,3,4} = - 1}

.

en løsning med mangfoldighed $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ og en enkel løsning

Eksempel:

{\tfrac {1}{2}}x^{4}-3x^{3}+6x^{2}-4x=0

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} x ^ {4} -3x ^ {3} + 6x ^ {2} -4x = 0}

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} x ^ {4} -3x ^ {3} + 6x ^ {2} -4x = 0}

, adskilt

{\tfrac {1}{2}}(x-2)^{3}\,x=0

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (x-2) ^ {3} \, x = 0}

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (x-2) ^ {3} \, x = 0}

har den tredobbelte løsning

x_{1,2,3}=2

{\ displaystyle x_ {1,2,3} = 2}

{\ displaystyle x_ {1,2,3} = 2}

og den enkle løsning

x_{4}=0

{\ displaystyle x_ {4} = 0}

{\ displaystyle x_ {4} = 0}

.

to løsninger, hver med en mangfoldighed $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$

Eksempel:

x^{4}+2x^{3}-11x^{2}-12x+36=0

{\ displaystyle x ^ {4} + 2x ^ {3} -11x ^ {2} -12x + 36 = 0}

{\ displaystyle x ^ {4} + 2x ^ {3} -11x ^ {2} -12x + 36 = 0}

, adskilt

(x-2)^{2}(x+3)^{2}=0

{\ displaystyle (x-2) ^ {2} (x + 3) ^ {2} = 0}

{\ displaystyle (x-2) ^ {2} (x + 3) ^ {2} = 0}

har den dobbelte løsning

x_{1,2}=2

{\ displaystyle x_ {1,2} = 2}

{\ displaystyle x_ {1,2} = 2}

og den todelte løsning

x_{3,4}=-3

{\ displaystyle x_ {3,4} = - 3}

{\ displaystyle x_ {3,4} = - 3}

.

en løsning med mangfoldighed $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ og to enkle løsninger

Eksempel:

5x^{4}-{\tfrac {15}{2}}x^{3}-{\tfrac {45}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {15}{2}}=0

{\ displaystyle 5x ^ {4} - {\ tfrac {15} {2}} x ^ {3} - {\ tfrac {45} {2}} x ^ {2} - {\ tfrac {5} {2} } x + {\ tfrac {15} {2}} = 0}

{\ displaystyle 5x ^ {4} - {\ tfrac {15} {2}} x ^ {3} - {\ tfrac {45} {2}} x ^ {2} - {\ tfrac {5} {2} } x + {\ tfrac {15} {2}} = 0}

, adskilt

5(x+1)^{2}(x-3)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)=0

{\ displaystyle 5 (x + 1) ^ {2} (x -3) \ left (x - {\ tfrac {1} {2}} \ right) = 0}

{\ displaystyle 5 (x + 1) ^ {2} (x -3) \ left (x - {\ tfrac {1} {2}} \ right) = 0}

har den dobbelte løsning

x_{1,2}=-1

{\ displaystyle x_ {1,2} = - 1}

{\ displaystyle x_ {1,2} = - 1}

og de enkle løsninger

x_{3}=3,\,x_{4}={\tfrac {1}{2}}

{\ displaystyle x_ {3} = 3, \, x_ {4} = {\ tfrac {1} {2}}}

{\ displaystyle x_ {3} = 3, \, x_ {4} = {\ tfrac {1} {2}}}

.

fire enkle løsninger

Eksempel:

x^{4}+x^{3}-4x^{2}-4x=0

{\ displaystyle x ^ {4} + x ^ {3} -4x ^ {2} -4x = 0}

{\ displaystyle x ^ {4} + x ^ {3} -4x ^ {2} -4x = 0}

, adskilt

(x-2)(x+1)(x+2)x=0

{\ displaystyle (x-2) (x + 1) (x + 2) x = 0}

{\ displaystyle (x-2) (x + 1) (x + 2) x = 0}

har de enkle løsninger

x_{1}=2,x_{2}=-1,x_{3}=-2,x_{4}=0

{\ displaystyle x_ {1} = 2, x_ {2} = - 1, x_ {3} = - 2, x_ {4} = 0}

{\ displaystyle x_ {1} = 2, x_ {2} = - 1, x_ {3} = - 2, x_ {4} = 0}

.

To rigtige og to komplekse konjugerede løsninger

Også her kan den rigtige løsning gives med mangfoldighed $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ komme til syne. Så der er disse to muligheder:

en rigtig løsning med mangfoldighed $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ og to komplekse konjugerede løsninger

Eksempel:

x^{4}-4x^{3}+7x^{2}-6x+2=0

{\ displaystyle x ^ {4} -4x ^ {3} + 7x ^ {2} -6x + 2 = 0}

{\ displaystyle x ^ {4} -4x ^ {3} + 7x ^ {2} -6x + 2 = 0}

, adskilt

(x-1)^{2}(x-(1+i))(x-(1-i))=0

{\ displaystyle (x-1) ^ {2} (x- (1 + i)) (x- (1-i)) = 0}

{\ displaystyle (x-1) ^ {2} (x- (1 + i)) (x- (1-i)) = 0}

eller med en reel kvadratisk faktor

(x-1)^{2}\left(x^{2}-2x+2\right)=0

{\ displaystyle (x -1) ^ {2} \ venstre (x ^ {2} -2x + 2 \ højre) = 0}

{\ displaystyle (x -1) ^ {2} \ venstre (x ^ {2} -2x + 2 \ højre) = 0}

har den dobbelte løsning

x_{1,2}=1

{\ displaystyle x_ {1,2} = 1}

{\ displaystyle x_ {1,2} = 1}

og de konjugerede komplekse løsninger

x_{3}=1+i,x_{4}=1-i

{\ displaystyle x_ {3} = 1 + i, x_ {4} = 1-i}

{\ displaystyle x_ {3} = 1 + i, x_ {4} = 1-i}

.

to simple rigtige løsninger og to komplekse konjugerede løsninger

Eksempel:

-x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-16x+16=0

{\ displaystyle -x ^ {4} + 3x ^ {3} -2x ^ {2} -16x + 16 = 0}

{\ displaystyle -x ^ {4} + 3x ^ {3} -2x ^ {2} -16x + 16 = 0}

, adskilt

-(x-1)(x+2)(x-(2+2i))(x-(2-2i))=0

{\ displaystyle- (x-1) (x + 2) (x- (2 + 2i)) (x- (2-2i)) = 0}

{\ displaystyle- (x-1) (x + 2) (x- (2 + 2i)) (x- (2-2i)) = 0}

eller med en reel kvadratisk faktor

-(x-1)(x+2)\left(x^{2}-4x+8\right)=0

{\ displaystyle -(x -1) (x + 2) \ venstre (x ^ {2} -4x + 8 \ højre) = 0}

{\ displaystyle -(x -1) (x + 2) \ venstre (x ^ {2} -4x + 8 \ højre) = 0}

har de enkle løsninger

x_{1}=1,\,x_{2}=-2

{\ displaystyle x_ {1} = 1, \, x_ {2} = - 2}

{\ displaystyle x_ {1} = 1, \, x_ {2} = - 2}

og de konjugerede komplekse løsninger

x_{3}=2+2i,\,x_{4}=2-2i

x_{3}=2+2i,\,x_{4}=2-2i

x_{3}=2+2i,\,x_{4}=2-2i

.

Zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen

Hier gibt es diese beiden Möglichkeiten:

zwei konjugiert komplexe Lösungen mit Vielfachheit $2$ ${\displaystyle 2}$ $2$

Beispiel:

x^{4}-4x^{3}+14x^{2}-20x+25=0

x^{4}-4x^{3}+14x^{2}-20x+25=0

x^{4}-4x^{3}+14x^{2}-20x+25=0

, zerlegt

(x-(1+2i))^{2}(x-(1-2i))^{2}=0

(x-(1+2i))^{2}(x-(1-2i))^{2}=0

(x-(1+2i))^{2}(x-(1-2i))^{2}=0

oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren

\left(x^{2}-2x+5\right)\left(x^{2}-2x+5\right)=0

\left(x^{2}-2x+5\right)\left(x^{2}-2x+5\right)=0

\left(x^{2}-2x+5\right)\left(x^{2}-2x+5\right)=0

hat die zweifachen konjugiert komplexen Lösungen

x_{1,2}=1+2i,\,x_{3,4}=1-2i

x_{1,2}=1+2i,\,x_{3,4}=1-2i

x_{1,2}=1+2i,\,x_{3,4}=1-2i

.

zwei Paare einfacher konjugiert komplexer Lösungen

Beispiel:

x^{4}-4x^{3}+{\tfrac {21}{4}}x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}=0

x^{4}-4x^{3}+{\tfrac {21}{4}}x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}=0

x^{4}-4x^{3}+{\tfrac {21}{4}}x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}=0

, zerlegt

(x-i)(x+i)\left(x-\left(2-{\tfrac {1}{2}}i\right)\right)\left(x-\left(2+{\tfrac {1}{2}}i\right)\right)=0

(xi)(x+i)\left(x-\left(2-{\tfrac {1}{2}}i\right)\right)\left(x-\left(2+{\tfrac {1}{2}}i\right)\right)=0

(x-i)(x+i)\left(x-\left(2-{\tfrac {1}{2}}i\right)\right)\left(x-\left(2+{\tfrac {1}{2}}i\right)\right)=0

oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren

\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}\right)=0

\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}\right)=0

\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}\right)=0

hat die konjugiert komplexen Lösungen

x_{1}=i,\,x_{2}=-i

x_{1}=i,\,x_{2}=-i

x_{1}=i,\,x_{2}=-i

und

x_{3}=2-{\tfrac {1}{2}}i,\,x_{4}=2+{\tfrac {1}{2}}i

x_{3}=2-{\tfrac {1}{2}}i,\,x_{4}=2+{\tfrac {1}{2}}i

x_{3}=2-{\tfrac {1}{2}}i,\,x_{4}=2+{\tfrac {1}{2}}i

.

Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten

Für den Fall reeller Koeffizienten kann man die Gleichung wie folgt lösen. ^[1] Gegeben sei eine Gleichung vierten Grades

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

mit reellen Koeffizienten $a, b, c, d, e$ ${\displaystyle a,b,c,d,e}$ $a,b,c,d,e$ und $a\neq 0$ $a\neq 0$ $a\neq 0$ . Durch die Substitution

y=x+{\frac {b}{4a}}

y=x+{\frac {b}{4a}}

y=x+{\frac {b}{4a}}

überführt man diese in die reduzierte Gleichung

y^{4}+py^{2}+qy+r=0

y^{4}+py^{2}+qy+r=0

y^{4}+py^{2}+qy+r=0

mit reellen Koeffizienten $p, q$ ${\displaystyle p,q}$ $p,q$ und $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ . Im Fall $q=0$ ${\displaystyle q=0}$ $q=0$ ist diese Gleichung biquadratisch und somit leicht zu lösen. Im allgemeinen Fall $q\neq 0$ $q\neq 0$ $q\neq 0$ erhält man aus den Lösungen der reduzierten Gleichung durch Rücksubstitution die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Mittels der Koeffizienten der reduzierten Gleichung bildet man die sogenannte kubische Resolvente

z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0

z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)zq^{2}=0

z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0

.

Die Lösungen der Gleichung vierten Grades hängen folgendermaßen mit den Lösungen der kubischen Resolvente zusammen:

Kubische Resolvente	Gleichung vierten Grades
sämtliche Lösungen reell und positiv	vier reelle Lösungen
sämtliche Lösungen reell, eine positiv und zwei negativ	zwei Paare von zueinander komplex konjugierten Lösungen
eine positive reelle Lösung und zwei komplexe, zueinander konjugierte Lösungen	zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen

Die Lösungen der kubischen Resolvente seien $z_{1},z_{2},z_{3}$ $z_{1},z_{2},z_{3}$ $z_{1},z_{2},z_{3}$ . Für jedes $j\in \{1,2,3\}$ $j\in \{1,2,3\}$ $j\in \{1,2,3\}$ sei ${\sqrt {z_{j}}}$ ${\sqrt {z_{j}}}$ ${\sqrt {z_{j}}}$ eine beliebige der beiden komplexen Wurzeln aus $z_{j}$ $z_{j}$ $z_j$ . Dann erhält man die Lösungen der reduzierten Gleichung durch

{\begin{array}{lcl}y_{1}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{2}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{3}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{4}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right),\end{array}}

{\begin{array}{lcl}y_{1}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{2}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{3}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{4}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right),\end{array}}

{\begin{array}{lcl}y_{1}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{2}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{3}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{4}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right),\end{array}}

wobei $\sigma \in \{-1,+1\}$ $\sigma \in \{-1,+1\}$ $\sigma \in \{-1,+1\}$ so zu wählen ist, dass

\sigma {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}=q

\sigma {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}=q

\sigma {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}=q

.

Durch die Rücksubstitution

x_{i}=y_{i}-{\frac {b}{4a}},\,i=1,2,3,4

x_{i}=y_{i}-{\frac {b}{4a}},\,i=1,2,3,4

x_{i}=y_{i}-{\frac {b}{4a}},\,i=1,2,3,4

erhält man die Lösungen der ursprünglichen Gleichung vierten Grades.

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Bronstein, Semendjajev: Taschenbuch der Mathematik. 22. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun 1985, ISBN 3-87144-492-8 .
↑ Frei nach Ferrari.
↑ Quelle: Lösungsformel von Joachim Mohr.
↑ Implementierbar als
w = sqrt(a^2 - 4 * u)
p = (a + w)/2
q = ((b - u) * (w + a) - 2 * c)/(2 * w)
s = (a - w)/2
t = ((b - u) * (w - a) + 2 * c)/(2 * w)
↑ Quelle: kilchb.de .
↑ In diesem Fall ist das Schaubild der Parabel vierten Grades
$y=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $y=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $y=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung
$x=-{\frac {a}{4}}$ $x=-{\frac {a}{4}}$ $x=-{\frac {a}{4}}$ .
Die Lösung erhält man durch Substitution
$x=u-{\frac {a}{4}}$ $x=u-{\frac {a}{4}}$ $x=u-{\frac {a}{4}}$
über die elementar lösbare Gleichung
$u^{4}+bu^{2}+d=0$ $u^{4}+bu^{2}+d=0$ $u^{4}+bu^{2}+d=0$ .
↑ kilchb.de .

Literatur

Jörg Bewersdorff : Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-13192-6 , Einführung (PDF; 319 kB).
Johannes Beuriger: Zur Auflösung der biquadratischen Gleichungen. 1901 ( Digitalisat ).
Heinrich Dörrie : Kubische und biquadratische Gleichungen. München 1948.
Ludwig Matthiessen : Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen. Leipzig 1896, Dokumenten-Server.

Weblinks

Biquadratischer Fall, symmetrischer Fall, allgemeiner Fall (PDF; 65 kB).

[Bronstein_Semendjajew-1] Bronstein, Semendjajev: Taschenbuch der Mathematik. 22. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun 1985, ISBN 3-87144-492-8 .

[2] Frei nach Ferrari.

[3] Quelle: Lösungsformel von Joachim Mohr.

[4] Implementierbar als
w = sqrt(a^2 - 4 * u)
p = (a + w)/2
q = ((b - u) * (w + a) - 2 * c)/(2 * w)
s = (a - w)/2
t = ((b - u) * (w - a) + 2 * c)/(2 * w)

[5] Quelle: kilchb.de .

[6] In diesem Fall ist das Schaubild der Parabel vierten Grades
$y=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $y=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $y=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung
$x=-{\frac {a}{4}}$ $x=-{\frac {a}{4}}$ $x=-{\frac {a}{4}}$ .
Die Lösung erhält man durch Substitution
$x=u-{\frac {a}{4}}$ $x=u-{\frac {a}{4}}$ $x=u-{\frac {a}{4}}$
über die elementar lösbare Gleichung
$u^{4}+bu^{2}+d=0$ $u^{4}+bu^{2}+d=0$ $u^{4}+bu^{2}+d=0$ .

[7] kilchb.de .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]