vibrationer

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Gentagne udsving i et systems tilstand over tid kaldes vibrationer eller svingninger ( latin: oscillare , rocking). [1] [2] Her betyder udsving afvigelsen fra en middelværdi. Der kan forekomme vibrationer i alle feedback -systemer. [3] Eksempler på vibrationer kan findes inden for mekanik, elektroteknik, biologi, økonomi og mange andre områder.

Man adskiller:

Alle disse egenskaber kan kombineres.

Periodiske mekaniske vibrationer i et legeme forbundet med deformation omtales som vibration . En vibration, der bruges til at formidle information, kaldes undertiden et signal, for eksempel et elektrisk signal . Den rumlige udbredelse af en forstyrrelse eller vibration er en bølge .

Sammenligning af elementære bølgeformer. Den vandrette akse repræsenterer tiden

Harmoniske svingninger

Vibrationsanimation nogif.svg Harmonic Swing gif
Repræsentation af en harmonisk svingning.

En svingning kaldes harmonisk , hvis forløb kan beskrives ved en sinusfunktion .

Grafikken viser en harmonisk svingning med afbøjningen , amplituden og perioden .

Nedbøjningen på et tidspunkt giver strømmen, amplituden den maksimalt mulige værdi af mængden på. Perioden eller oscillationsperioden er den tid, der går, mens et system, der er i stand til at svinge, gennemgår præcis en oscillationsperiode, dvs. hvorefter det igen er i samme oscillationstilstand. Det gensidige af perioden T er frekvensen f , så: .
Det græske bogstav bruges i stedet for f (læs: "nü") brugt. Den enhed af frekvens er Hertz (1 Hz = 1 s-1).

En udæmpet svingning er harmoniske, hvis genoprette variabel (tilbageføringskraften kraft ) er proportional med afbøjningen af en fjeder pendul , f.eks. Dette betegnes også som en harmonisk oscillator eller et lineært system , da gendannelseskraften ændres lineært med afbøjningen: Hvis dette fordobles, fordobles gendannelseskraften også.

En sådan vibration kan beskrives ved

med

= Amplitude og
= Nul fasevinkel svingningerne.

At gange frekvensen, , er svingningens vinkelfrekvens . Brug af vinkelfrekvensen resulterer i en mere kompakt notation:

Lineær dæmpet svingning

Dæmpet svingning graph2.svg Dæmpet fjeder.gif
Repræsentation af størrelsesforløbet
med en fri dæmpet svingning.

Makroskopiske fysiske systemer dæmpes altid. Da de for eksempel afgiver energi til miljøet gennem friktion, falder amplituden af ​​deres oscillation over tid. Hvis et sådant system overlades til sig selv (fri oscillation), fører dette i sidste ende til en "stilstand", som det kan ses af termodynamikkens anden lov . Perpetua mobilia er derfor ikke mulige (se loven om bevarelse af energi ).

Hvis man opretter bevægelsesligningen for et fjederpendel med en dæmpning, der er proportional med hastigheden, resulterer følgende differentialligning:

det er

mængden ,
dæmpningskonstanten og
fjederkonstanten .

(For torsionsvibrationer er i inertimomentet og ved afbøjningsvinklen at erstatte.)

Dette er en homogen lineær almindelig differentialligning af 2. orden, der henviser til den generelle form

hvis du kan bruge (positive) forkortelser til henfaldskonstanten

og den ikke -dæmpede naturlige vinkelfrekvens

introducerer hvis betydning først bliver tydelig ved fortolkning af løsningen.

På den klassiske måde at løse en sådan lineær homogen differentialligning (alternativt kan man bruge metoder til operatørberegning ) ved hjælp af metoden

med muligvis komplekse parametre to lineært uafhængige løsninger kan findes, der danner et grundlæggende system. Indsat i differentialligningen resulterer i:

I denne ligning kan kun udtrykket i parentes være nul. Den såkaldte karakteristiske ligning til bestemmelse af konstanten opnås :

Det er en kvadratisk ligning , dens diskriminerende

bestemmer, om den har to reelle løsninger, to komplekse konjugerede løsninger eller en såkaldt dobbeltrod. Det er derfor nødvendigt at skelne mellem sager.

Teorien om lineære differentialligninger viser, at den generelle løsning af den homogene differentialligning er en lineær kombination af de to fundne løsninger. Hvis den karakteristiske ligning har to løsninger (dvs. at diskriminanten ikke er lig med 0), kan den generelle løsning af bevægelsesligningen skrives som følger:

De to (generelt komplekse) konstanter og repræsenterer de to tilbageværende frihedsgrader for den generelle løsning. Ved at definere to indledende betingelser (f.eks. eller og ) skal de to konstanter specificeres for et specifikt tilfælde.

Oscillation case (venstre), aperiodic borderline case (center) og creep case (højre) for en dæmpet svingning.

Vibrationsetui

Der kan kun være en svingning, hvis tabene er lave. Så er med det diskriminerende negative, rodudtrykket imaginært, og du får to komplekse konjugerede løsninger:

.

Med den dæmpede naturlige vinkelfrekvens:

.

resulterer i kortere:

.

Så du får

Ved hjælp af Eulers formler kan løsningen af ​​den homogene differentialligning også gives i trigonometrisk form. I teorien om lineære differentialligninger med konstante koefficienter [7] er det vist, at dette (i modsætning til den eksponentielle form) er rent reelt og derfor lettere at fortolke i praksis:

eller

Også her er de to konstanter og eller. og bestemmes af de oprindelige betingelser. Især den sidste form kan let tolkes som en "dæmpet svingning".

Ved at specificere de to indledende betingelser og de to konstanter kan elimineres. Fra den første trigonometriske form opnås den konkrete løsning, der afhænger af begge indledende betingelser

Når forfaldet konstant er nul, forbliver amplituden konstant. Oscillationen er dæmpet med vinkelfrekvensen .

Aperiodisk borderline sag

Grænsen, fra hvilken oscillation ikke længere er mulig, er aperiodisk grænsetilfælde ( eller. ). Løsningen indeholder derefter ikke en sinusfunktion. Fordi nu gælder, skal man uafhængig anden løsning kan konstrueres på en anden måde. Det overgiver sig

Kryb fald

Med høj dæmpning, dvs. for resultatet er krybekassen , hvis løsning skyldes to eksponentielle funktioner med de to virkelige sammensat af:

.

Frekvensspektrum

Forholdet mellem tids- og frekvensdomæner

I stedet for en tidsafhængig ændring kan en oscillation også ses som en funktion i frekvensdomænet . Den matematiske transformation kaldes en Fourier -transformation . Informationsindholdet bevares, så den tilsvarende tidsafhængige oscillation kan rekonstrueres fra et frekvensspektrum ved omvendt transformation. Baggrunden for denne betragtning er, at hver oscillation kan repræsenteres ved en additiv superposition ( superposition ) af harmoniske svingninger af forskellige frekvenser. Superpositionen af ​​to harmoniske svingninger kaldes beat .

Forslag

Gratis vibrationer

Frie svingninger udføres af et system, der er i stand til at svinge, hvilket - overladt til sig selv efter en forstyrrelse / afbøjning - vender tilbage til ligevægtstilstanden på en oscillerende eller "krybende" måde afhængigt af dæmpningen (se ovenfor). Frekvensen for den frie svingning er oscillatorens naturlige frekvens . I tilfælde af vibrationer med flere frihedsgrader er der tilsvarende mange naturlige frekvenser.

Tvungede vibrationer

Tvangsvibrationer udføres af en vibrator, der er spændt (tvunget) til at vibrere af ydre påvirkninger, der varierer over tid. Periodiske excitationer, herunder harmonisk, sinusformet excitation, er af særlig praktisk betydning. Frekvensen af ​​den periodiske excitation kaldes excitationsfrekvensen. Der er også multi-frekvens excitationer eller excitationer ved tilfældige processer.

I tilfælde af harmonisk excitation udfører et lineært system generelt to svingninger på samme tid:

  • den frie svingning (med den naturlige frekvens eller flere naturlige frekvenser), hvis størrelse afhænger af de indledende forhold, og som henfalder i løbet af bundfældningstiden på grund af den dæmpning, der altid er til stede, og
  • den forcerede svingning med excitationsfrekvensen ved konstant excitationsstyrke. Amplituden af ​​denne svingning er konstant, efter at den forbigående proces er slut. Forholdet mellem amplituden og excitationsstyrken kvantificeres ved forstørrelsesfunktionen.

I teknisk mekanik er de vigtigste excitationsmekanismer sti -excitation , kraft -excitation og ubalance -excitation (se forstørrelsesfunktion ).

Amplituden af ​​den forcerede svingning antager et maksimum i tilfælde af resonans . Hvis der ikke er nogen dæmpning og lighed mellem (en) excitationsfrekvens og (en) naturlig frekvens, bliver amplituden uendelig. Når dæmpningsværdien stiger, skifter resonanspunktet lidt, og resonansamplituden falder.

Selvopspændte vibrationer

Vibrationssystemer, hvor energiforsyningen styres af et passende kontrolelement og selve vibrationsprocessen, udfører selv-exciterede vibrationer og kaldes oscillatorer . I differentialligningerne har dette fænomen den effekt, at dæmpningsværdien bliver nul. Et typisk eksempel inden for mekanik er vibrationerne i en violins strenge. Disse er forårsaget af det faktum, at den statiske friktion mellem stævnen og snoren er større end den glidende friktion, og glidefriktionen stadig falder med stigende differentialhastighed. Yderligere eksempler er toning af glas ved at gnide kanten og elektroniske urgeneratorer ( oscillatorkredsløb ).

Selvopspændte vibrationer stiger i amplitude, indtil dæmpningen, der stiger uforholdsmæssigt meget med amplituden, kompenserer for energikoblingen eller vibrationssystemet ødelægges.

Parameter-spændte vibrationer

En parameter-begejstret oscillation opstår, når parametre i oscillationssystemet (inertimængder, dæmpningsværdier eller fjederkonstanter) ændres periodisk, f.eks. B. ved svingning .

Lineære og ikke-lineære vibrationer

Lineære svingninger er kendetegnet ved, at de kan beskrives med differentialligninger, hvor alle afhængigheder af den oscillerende mængde og dens tidsderivater er lineære . Dette er ikke tilfældet med ikke-lineære vibrationer, så de er ikke strengt sinusformede. Det er af større praktisk betydning, at resonansadfærden for tvungne vibrationer ændres i en drevet oscillator, og amplituderne for selv-exciterede vibrationer forbliver begrænsede.

Ikke -lineære systemer er ofte ikke integrerbare , dvs. differentialligningen (erne) har ikke en analytisk løsning . Sådanne systemers vibrationsadfærd undersøges derfor for det meste med numeriske computersimuleringer . Et af de første af disse forsøg var Fermi-Pasta-Ulam-eksperimentet , hvor strengvibrationer med et ikke-lineært forstyrrelsesterm blev undersøgt. Som en løsning på sådanne systemer, afhængigt af svingningens energi, opnås ofte en kvasi-periodisk eller kaotisk svingning. Kaotisk adfærd kan for eksempel observeres med et dobbelt pendul . Et ikke-lineært system, der ikke tillader kaotisk adfærd, er van der Pol-oscillatoren .

Vibrationer med flere frihedsgrader

Denne animation viser en Lissajous -figur, som den ville blive vist af et oscilloskop med et frekvensforhold på cirka 2: 3 ( amplitudeforhold 1: 1)

Vibrationer med en frihedsgrad er dem, der kan beskrives fuldstændigt med en vibrerende variabel. Et eksempel på dette er vibrationer i det flade trådpendul . Hvis pendulet får lov til at bevæge sig i rummet som et Foucault -pendul , er det allerede en oscillator med to frihedsgrader. I det følgende begrænser vi os til hensynet til små afbøjninger.

I dette eksempel kan det ses, at betegnelsen som en vibration kan afhænge af de betragtede mængder, dvs. valget af generaliserede koordinater . På denne måde kan pendulet afbøjes, så svingningen finder sted i et plan. Hvis du også giver pendulet en starthastighed vinkelret på afbøjningsretningen, kan du observere elliptiske baner eller en cirkulær bevægelse med konstant vinkelhastighed .

Hvis man ser på pendulets nedbøjningsvinkel fra to forskellige retninger, får man to harmoniske svingninger med samme periode. En superposition af to harmoniske svingninger kaldes en Lissajous -figur . En anden mulighed er at se på pendulet ovenfra og notere afstanden til hvilestilling samt afbøjningsretningen som en kontinuerlig afstand til startvinklen. I tilfælde af en cirkelbane er begge ikke længere vibrationer.

Antallet af frihedsgrader for et mekanisk system med flere masser, der kan bevæge sig uafhængigt af hinanden, er summen af ​​alle individuelle frihedsgrader. Yderligere eksempler på vibrationer med flere frihedsgrader er torsionsvibrationer i en krumtapaksel eller de vandrette vibrationer i en etagers bygning under påvirkning af jordskælv.

Nogle vibrationer i et system med flere frihedsgrader kan betragtes som flere uafhængige vibrationer med et passende valg af koordinater. For en vibration, der kan beskrives ved hjælp af differentialligninger, betyder det afkobling af ligningerne for de enkelte koordinater. Hvis de enkelte vibrationer er periodiske, kan systemets naturlige frekvenser derefter bestemmes ud fra de afkoblede differentialligninger. Hvis alle naturlige frekvenser kan skrives som heltalsmultipler af en konstant, er oscillationen af ​​hele systemet også periodisk.

I tilfælde af ikke-lineære oscillationssystemer er en afkobling af differentialligninger i en lukket form normalt ikke mulig. Der er imidlertid tilnærmelsesmetoder, der tillader en iterativ løsning baseret på en linearisering af differentialligningerne.

Vibrationer af et kontinuum

Oscillationer af firkantede plader. De knudepunktslinier af stående bølger , også kaldet Chladnian lydfigurer , er vist.

En svingning ophidset på et tidspunkt i et kontinuum breder sig ud som en bølge . Bølgen kan reflekteres ved grænseflader, hvor formeringsmediet ændres. Inden for det vibrerende legeme er de originale og reflekterede bølger overlejret, så der opstår en stående bølge; Eksempler er en vibrerende streng af et musikinstrument - geometrisk endimensionalt - eller den todimensionale vibrerende membran i en højttaler . Den stående bølge kan matematisk beskrives ved et uendeligt antal koblede oscillatorer , dvs. et system med et uendeligt antal frihedsgrader.

Vibrationerne af stænger , tallerkener og skåle er også af praktisk interesse inden for teknik. En stråle fastspændt på den ene side har mange grader af svingningsfrihed, som ikke kun adskiller sig i deres resonansfrekvenser , men også i deres bevægelses karakter.

Yderligere eksempler

I dagligdagen støder vi på vibrationer, for eksempel i musikinstrumenter og på urpendler, men også i urkrystaller af ure eller til urgenerering i andre elektroniske apparater.

Atomer i et krystalgitter eller molekyler kan også svinge omkring en ligevægtsposition og dermed frembringe for eksempel karakteristiske absorptionsspektre .

Oscillerende reaktioner sætter tempoet for vejrtrækning og hjerteslag.

Mikrofoni observeres ofte i elektronrør . Det er forårsaget af irriterende mekaniske vibrationer, der påvirker komponenterne udefra, for eksempel fra højttalere, der står i nærheden.

I fremstillingsteknologi er den regenerative effekt udtrykket, der bruges til at beskrive vibrationer, der opstår i en maskine under fremstillingsprocessen.

I geologi og meteorologi, mindre og med en vis regelmæssighed tilbagevendende udsving i havniveauet , de iskanten lag , stykker af jordskorpen, den jordens magnetiske felt eller klimaet overholdes.

I økonomien bruges Goodwin -modellen til at forklare konjunkturcykler.

Lotka-Volterra-ligningerne beskriver omtrent udsvingene i rovdyr- og byttepopulationer.

Se også

litteratur

  • Hans Dresig , Alexander Fidlin : Vibrationer og mekaniske drivsystemer: modellering, beregning, analyse, syntese . 3., revideret. og eksp. Udgave. Springer Vieweg Verlag, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-24116-1 .
  • NN Bogoliubow, YA Mitropolski: Asymptotiske metoder i teorien om ikke-lineære oscillationer . 2. udgave. Hindustansk pub. Corp. / Gordon and Breach Science Publishers, Delhi / New York / London 1961, OCLC 564000480 (engelsk, indholdsfortegnelse - begrænset forhåndsvisning).
  • Th. Frey, M. Bossert : Signal- og systemteori . I: Teubner Informationstechnik . Teubner Verlag, Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-06193-7 .
  • Anatole Katok , Boris Hasselblatt : Introduktion til den moderne teori om dynamiske systemer . I: Encyclopedia of matematik og dens anvendelser . tape   54 . Cambridge University Press, Cambridge 1996, ISBN 0-521-57557-5 (engelsk).

Weblinks

Wikibooks: Swinging Movements - Lærings- og undervisningsmaterialer
Wiktionary: oscillate - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

  1. Kurt Magnus, Karl Popp: Vibrationer . 7. udgave. Teubner, 2005, ISBN 3-519-52301-9 , s.   13 ( begrænset forhåndsvisning i Google bogsøgning): "Vibrationer er mere eller mindre regelmæssige udsving i tilstandsvariabler over tid."
  2. DIN 1311-1: 2000: Vibrationer og systemer, der er i stand til at vibrere - Del 1: Grundlæggende termer, klassificering. Afsnit 3 “En oscillation er en ændring i en systems variabel i et system over tid, hvor denne tilstandsvariabel generelt stiger og falder skiftevis. Særlige ændringer over tid, såsom stød og krybningsprocesser, kaldes også vibrationer i en bredere forstand. "
  3. 13 vibrationer. (PDF; 92 kB) TU Cottbus.
  4. Rudolf Jürgler: maskindynamik . 3., revideret udgave. Springer, 2004, ISBN 3-540-62227-6 , s.   3 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning).
  5. Michel Hénon: Numerisk udforskning af Hamiltonsystemer. Iooss, Helleman, Stora (red.): Chaotic Behavior of Deterministic Systems. Nordholland, 1983, s. 53-76.
  6. ^ Steven H. Strogatz: Ikke -lineær dynamik og kaos . Perseus Books, 2001, s. 273 ff., Kapitel 8.6 - Koblede oscillatorer og kvasiperiodicitet .
  7. Vladimir Ivanovich Smirnov : Kursus i højere matematik . 8. udgave. tape   2 . Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1968, DNB 368242544 .