Harmonisk opdeling

Harmonisk opdeling: definition

I geometri betegner den harmoniske division et særligt positionsforhold på fire punkter på en lige linje. Så der er fire punkter $EN., B., S., T$ ${\ displaystyle A, B, S, T}$ $A, B, S, T$ harmonisk når ruten $[AB]$ ${\ displaystyle [AB]}$ $[VÆK]$ med to punkter $S., T$ ${\ displaystyle S, T}$ $S, T.$ inde og ude (se billede) er opdelt på en sådan måde, at forholdet

$|AS|:|SB|=|AT|:|TB|$ ${\ displaystyle | AS |: | SB | = | AT |: | TB |}$ $| AS |: | SB | = | AT |: | TB |$ er tilfreds.

Højre side kan aldrig blive 1. Så kan $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ aldrig centrum $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ fra $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ værende.
Løgne $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ret til $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , så ligger $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ ret til $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .
Løgne $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Til venstre for $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , så ligger $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ Til venstre for $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ .

Ovenstående ligning og forudsætningen om, at $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ afstanden $[A,B]$ ${\ displaystyle [A, B]}$ $[VÆK]$ inde og $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ dele udenfor, betyder, at de to delforhold $(A,B;S)$ ${\ displaystyle (A, B; S)}$ $(AFSNIT)$ og $(A,B;T)$ ${\ displaystyle (A, B; T)}$ $(A, B; T)$ har det samme beløb og det dobbelte forhold $(A,B;S,T)$ ${\ displaystyle (A, B; S, T)}$ $(A, B; S, T)$ er lig med -1.

Da ligningen ovenfor også er sådan

|AS|:|AT|=|SB|:|TB|

{\ displaystyle | AS |: | AT | = | SB |: | TB |}

| AS |: | AT | = | SB |: | TB |

lad os skrive også dele punkterne $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ afstanden $[S,T]$ ${\ displaystyle [S, T]}$ $[S, T]$ harmonisk. Den harmoniske deling beskriver et symmetrisk forhold mellem parpar på en lige linje.

Tegning af bestemmelse af delpunkterne

Med strålesætninger

Harmonisk opdeling: konstruktion med strålesætninger

Er ruten $[A,B]$ ${\ displaystyle [A, B]}$ $[VÆK]$ og delpunktet $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ givet, finder man det fjerde harmoniske punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ (mere præcist: det fjerde punkt, som sammen med disse 3 punkter resulterer i en harmonisk opdeling) ved hjælp af strålesætninger ifølge den tilstødende tegning:

Pointen $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ vælges vilkårligt, de lige linjer $EN. C.$ ${\ displaystyle AC}$ $AC$ og $B. D.$ ${\ displaystyle BD}$ $BD$ er parallelle.
Pointen $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ resultater fra forbindelsen af $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ med det givne underpunkt $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .
$D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ vil efter ${D.}^{'}$ ${\ displaystyle D '}$ $D '$ overførsel. Ruterne $|BD|$ ${\ displaystyle | BD |}$ $| BD |$ og $|BD'|$ ${\ displaystyle | BD '|}$ $| BD '|$ er samme længde.
Det delvise punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ resultater fra skæringspunktet mellem de rette linjer $C. {D.}^{'}$ ${\ displaystyle CD '}$ $CD '$ med den lige linje $EN. B.$ ${\ displaystyle AB}$ $VÆK$ .

Er det delvise punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ givet, foregår man analogt i omvendt rækkefølge.

Er delingsforholdet $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ givet, skal du få pointen $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ så vælg det $|AC|:|DB|=\lambda$ ${\ displaystyle | AC |: | DB | = \ lambda}$ $| AC |: | DB | = \ lambda$ er tilfreds. $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ resulterer derefter i skæringspunktet mellem den lige linje $C. D.$ ${\ displaystyle CD}$ $CD$ med $EN. B.$ ${\ displaystyle AB}$ $VÆK$ .

Med bisektor af en trekant

Harmonisk opdeling: Konstruktion med halveringslinje af en trekant

Er $EN., B., C.$ ${\ displaystyle A, B, C}$ $ABC$ punkterne i en ikke-ensartet trekant, så skærer den indvendige halveringslinje og den udvendige halveringslinje på punktet $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ to punkter $S., T$ ${\ displaystyle S, T}$ $S, T.$ fra den lige linje $EN. B.$ ${\ displaystyle AB}$ $VÆK$ off så pointene $S., T$ ${\ displaystyle S, T}$ $S, T.$ afstanden $[A,B]$ ${\ displaystyle [A, B]}$ $[VÆK]$ harmonisk i forhold $b : -en$ ${\ displaystyle b: a}$ $b: a$ kl $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Opdel de tilstødende trekantsider (se billede). Beviset bruger sætningen om Apollonios ' cirkel . ^[1] Bemærk det $a\neq b$ ${\ displaystyle a \ neq b}$ $a \ neq b$ skal være, se ovenfor.

Yderligere grafiske metoder til bestemmelse af 4. harmoniske punkt kan findes her .

Matematisk bestemmelse af delpunkterne

Matematisk resulterer rutens længde $[AT]$ ${\ displaystyle [AT]}$ $[PÅ]$ , hvis $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ og delpunktet $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ er givet fra formlen:

$|AT|={\frac {|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}}$ ${\ displaystyle | AT | = {\ frac {| AS || AB |} {2 | AS | - | AB |}}}$ $| AT | = {\ frac {| AS || AB |} {2 | AS | - | AB |}}$ hvis nævneren $>0$ ${\ displaystyle> 0}$ $> 0$ er ( $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ er til højre for $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ )

|AT|=-{\frac {|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}}

{\ displaystyle | AT | = - {\ frac {| AS || AB |} {2 | AS | - | AB |}}}

| AT | = - {\ frac {| AS || AB |} {2 | AS | - | AB |}}

hvis nævneren

<0

{\ displaystyle <0}

<0

er (

T

{\ displaystyle T}

T

ligger til venstre for

EN.

{\ displaystyle A}

EN.

)

Man optræder på straight $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ Koordinater $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ så en der $A=0,B=1,S=s,T=t$ ${\ displaystyle A = 0, B = 1, S = s, T = t}$ $A = 0, B = 1, S = s, T = t$ er, så resulterer den ensartede formel

$t={\frac {s}{2s-1}}.$ ${\ displaystyle t = {\ frac {s} {2s-1}}.}$ $t = {\ frac {s} {2s-1}}.$

Eksempler på harmoniske tal:

{\text{1)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {3}{4}}},{\color {blue}1},{\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\ ,\quad {\text{2)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {2}{3}}},{\color {blue}1},{\color {red}2}\ ,\quad {\text{3)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {3}{5}}},{\color {blue}1},{\color {red}3}\ ,\quad {\text{4)}}\ {\color {red}-{\tfrac {1}{2}}},{\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {1}{4}}},{\color {blue}1}

{\ displaystyle {\ text {1)}} \ {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {3} {4}}}, {\ color {blue} 1}, {\ farve {rød} {\ tfrac {3} {2}}} \, \ quad {\ tekst {2)}} \ {\ farve {blå} 0}, {\ farve {rød} {\ tfrac {2} { 3}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} 2} \, \ quad {\ text {3)}} \ {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {3} {5}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} 3} \, \ quad {\ text {4)}} \ {\ color {red} - { \ tfrac {1} {2}}}, {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {1} {4}}}, {\ color {blue} 1}}

{\ tekst {1)}} \ {\ farve {blå} 0}, {\ farve {rød} {\ tfrac {3} {4}}}, {\ farve {blå} 1}, {\ farve {rød } {\ tfrac {3} {2}}} \, \ quad {\ text {2)}} \ {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {2} {3}} }, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} 2} \, \ quad {\ text {3)}} \ {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {3} {5}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} 3} \, \ quad {\ text {4)}} \ {\ color {red} - {\ tfrac { 1} {2}}}, {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {1} {4}}}, {\ color {blue} 1}

Forholdet til det harmoniske middelværdi af to tal

Den sidste ligning kan omskrives således:

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)=1$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {1} {s}} + {\ frac {1} {t}} \ højre) = 1}$ ${\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {1} {s}} + {\ frac {1} {t}} \ højre) = 1$

Det vil sige det harmoniske middel af de to koordinater $s, t$ ${\ displaystyle s, t}$ $s, t$ er lig med 1.

generalisering

Fire punkter $EN., B., S., T$ ${\ displaystyle A, B, S, T}$ $A, B, S, T$ en affin eller lige linje over en krop $K$ ${\ displaystyle K}$ $K$ det karakteristiske $\neq 2$ ${\ displaystyle \ neq 2}$ $\ neq 2$ ligge harmonisk, hvis det dobbelte forhold $(A,B;S,T)=-1$ ${\ displaystyle (A, B; S, T) = - 1}$ $(A, B; S, T) = - 1$ er.

Termer som mellem, indeni, udenfor, længder, afstande , som er typiske for et arrangeret legeme med en metrisk, er ikke påkrævet for denne definition. Især er den harmoniske position også defineret for den affine / projektive lige linje over de komplekse tal eller et begrænset felt.

Ovenstående koordinering ( $A=0,B=1,S=s,T=t$ ${\ displaystyle A = 0, B = 1, S = s, T = t}$ $A = 0, B = 1, S = s, T = t$ ) er også muligt i affin -sagen over ethvert organ, så forholdet $t={\tfrac {s}{2s-1}}\$ ${\ displaystyle t = {\ tfrac {s} {2s-1}} \}$ $t = {\ tfrac {s} {2s-1}} \$ gælder stadig.

Hvis man lukker den affine lige linje projektivt med symbolet $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ af og tælle med $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ på den "sædvanlige" måde, formlen mellem $s, t$ ${\ displaystyle s, t}$ $s, t$ og de fire punkter ${\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {1}{2}}},{\color {blue}1},{\color {red}\infty }$ ${\ displaystyle {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {1} {2}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} \ infty}}$ ${\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {1} {2}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} \ infty}$ ligge harmonisk, dvs. $({\color {blue}0},{\color {blue}1};{\color {red}{\tfrac {1}{2}}},{\color {red}\infty })=-1$ ${\ displaystyle ({\ color {blue} 0}, {\ color {blue} 1}; {\ color {red} {\ tfrac {1} {2}}}, {\ color {red} \ infty}) = -1}$ $({\ color {blue} 0}, {\ color {blue} 1}; {\ color {red} {\ tfrac {1} {2}}}, {\ color {red} \ infty}) = - 1$ .

Harmoniske parpar: dobbeltforhold = -1

Betydningen af den harmoniske position af fire kollinære punkter er, at der altid er en involutiv projektiv kortlægning af den lige linje, der efterlader to (af de fire punkter) fast og udveksler de to andre. I illustrationen ovenfor, den lineære kortlægning, der genererer ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec {u}}$ efterlader stramt og ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ på $-{\vec {v}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {v}}}$ $- {\ vec {v}}$ skildrer en sådan involution. I inhomogene koordinater forårsager det: $\infty \to \infty ,x\to -x$ ${\ displaystyle \ infty \ to \ infty, x \ to -x}$ $\ infty \ to \ infty, x \ to -x$ (Refleksion ved nulpunktet). Det betyder: $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ er faste og $S., T$ ${\ displaystyle S, T}$ $S, T.$ er byttet.

Følgende gælder generelt:

Det fjerde harmoniske punkt på tre affinepunkter , hvor det ene er midten af de resterende parpar, er altid det fjerne punkt $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ (se konstruktion af 4. harmoniske punkt).

Og:

Den harmoniske position af fire punkter på en projekterende lige linje er analogen af affin -udtrykket center på to punkter .

Yderligere harmoniske parpar:

til $A=\langle {\vec {u}}\rangle ,\ B=\langle {\vec {v}}\rangle ,\ S(s)=\langle s{\vec {u}}+{\vec {v}}\rangle ,\ T(s)=\langle s{\vec {u}}-{\vec {v}}\rangle \ ,s\neq 0$ ${\ displaystyle A = \ langle {\ vec {u}} \ rangle, \ B = \ langle {\ vec {v}} \ rangle, \ S (s) = \ langle s {\ vec {u}} + { \ vec {v}} \ rangle, \ T (s) = \ langle s {\ vec {u}} - {\ vec {v}} \ rangle \, s \ neq 0}$ ${\ displaystyle A = \ langle {\ vec {u}} \ rangle, \ B = \ langle {\ vec {v}} \ rangle, \ S (s) = \ langle s {\ vec {u}} + { \ vec {v}} \ rangle, \ T (s) = \ langle s {\ vec {u}} - {\ vec {v}} \ rangle \, s \ neq 0}$ , er det dobbelte forhold $(A,B;S(s),T(s))=-1$ ${\ displaystyle (A, B; S (s), T (s)) = - 1}$ $(A, B; S (s), T (s)) = - 1$ .

Følgende gælder:

Ud $(A,B;S,T)=-1$ ${\ displaystyle (A, B; S, T) = - 1}$ $(A, B; S, T) = - 1$ følger: $(A,B;T,S)=(B,A;S,T)=(S,T;A,B)=-1$ ${\ displaystyle (A, B; T, S) = (B, A; S, T) = (S, T; A, B) = - 1}$ $(A, B; T, S) = (B, A; S, T) = (S, T; A, B) = - 1$ . Det betyder, at den harmoniske position kun afhænger af de to parpar og ikke af deres arrangement.

Konstruktion af 4. harmoniske punkt

Konstruktion af 4. harmoniske punkt:

P_{1}

{\ displaystyle P_ {1}}

P_ {1}

er langt

Affine variant af konstruktionen af det 4. harmoniske punkt: Konstruktion af centrum M af A, B. (A, B, T er angivet)

Er tre punkter $EN., B., S.$ ${\ displaystyle A, B, S}$ $AFSNIT$ Givet på en lige linje i et projektivt plan kan det fjerde harmoniske punkt kombineres med $(A,B;S,T)=-1$ ${\ displaystyle (A, B; S, T) = - 1}$ $(A, B; S, T) = - 1$ konstruere som følger:

Vælg et punkt $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_ {1}$ ikke på $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ .
Tegn de lige linjer $AP_{1},BP_{1},SP_{1}$ ${\ displaystyle AP_ {1}, BP_ {1}, SP_ {1}}$ $AP_ {1}, BP_ {1}, SP_ {1}$ .
Vælg et punkt $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ på lige $SP_{1}$ ${\ displaystyle SP_ {1}}$ $SP_ {1}$ .
Lige $BP_{2}$ ${\ displaystyle BP_ {2}}$ $BP_ {2}$ skærer den lige linje $AP_{1}$ ${\ displaystyle AP_ {1}}$ $AP_ {1}$ på et punkt $P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ $P_ {3}$ . Lige $AP_{2}$ ${\ displaystyle AP_ {2}}$ $AP_ {2}$ skærer den lige linje $BP_{1}$ ${\ displaystyle BP_ {1}}$ $BP_ {1}$ på et punkt $P_{4}$ ${\ displaystyle P_ {4}}$ $P_ {4}$ .
Lige $P_{3}P_{4}$ ${\ displaystyle P_ {3} P_ {4}}$ $P_ {3} P_ {4}$ nedskæringer $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ i det fjerde harmoniske punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ .

Bemærk: Konstruktionen finder sted i et projektivt plan, det vil sige, at hver anden lige linje skærer hinanden.

Kommentar:

Vælg som et punkt $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_ {1}$ et langt punkt og $EN., B., S.$ ${\ displaystyle A, B, S}$ $AFSNIT$ ikke på den lange afstand lige linje, så er de lige linjer i tegningens plan (affin del) $AP_{3},SP_{2},BP_{4}$ ${\ displaystyle AP_ {3}, SP_ {2}, BP_ {4}}$ $AP_ {3}, SP_ {2}, BP_ {4}$ parallel (se billede).
Vil du have $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ som det fjerde harmoniske punkt $EN., B., T$ ${\ displaystyle A, B, T}$ $A, B, T$ konstruere, så man vælger $P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ $P_ {3}$ gratis, $P_{4}$ ${\ displaystyle P_ {4}}$ $P_ {4}$ på lige $P_{3}T$ ${\ displaystyle P_ {3} T}$ $P_ {3} T$ og konstrueret $P_{1},P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ $P_ {1}, P_ {2}$ . $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ er derefter skæringspunktet mellem de lige linjer $P_{1}P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ $P_ {1} P_ {2}$ med $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ .
Er $EN., B., T$ ${\ displaystyle A, B, T}$ $A, B, T$ givet og $P_{1},T$ ${\ displaystyle P_ {1}, T}$ $P_ {1}, T$ Langt inde, dette resulterer i affin konstruktion af midten vist på billedet $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ to punkter $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ . ( $A,B,P_{3},P_{4}$ ${\ displaystyle A, B, P_ {3}, P_ {4}}$ $A, B, P_ {3}, P_ {4}$ danne et parallelogram!)

Beviset for uafhængigheden af konstruktionen af det fjerde harmoniske punkt fra valget af hjælpepunkter resulterer i den første affine variant fra strålesætningerne eller mere enkelt i den anden affine variant (konstruktion af midtpunktet) fra det faktum, at 1) diagonalerne halveres i et parallelogram, og at 2) i tilfælde af parallel projektion fusionerer midtpunktet på en linje til midten af billedlinjen. Det er det også $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ uanset valg af point $P_{3},P_{4}$ ${\ displaystyle P_ {3}, P_ {4}}$ $P_ {3}, P_ {4}$ .

Konstruktion af det 4. harmoniske punkt ved hjælp af en cirkel

Konstruktion af det 4. harmoniske punkt: med en cirkel

En anden affin variant af konstruktionen af det 4. harmoniske punkt bruger en cirkel (kompas) og lodlinjen (sæt firkant ):
Lad det være de tre affine kollinære punkter $EN., B., S.$ ${\ displaystyle A, B, S}$ $AFSNIT$ så givet det $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ i første omgang mellem $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ løgne. Vi leder efter det fjerde harmoniske punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ (Uden for).

Tegn cirklen $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ igennem $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ , dens centrum $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ også centrum for punkterne $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ er.
Indbygget $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ lodlinjen $l$ ${\ displaystyle l}$ $l$ og skær dem med cirklen $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Vær et kryds $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ .
Konstruer tangenten $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ til cirklen $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ i punkt $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ . ( $t\perp MQ$ ${\ displaystyle t \ perp MQ}$ $t \ perp MQ$ ).
$t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ skærer g ved 4. harmoniske punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ .

Tilgange $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ et af punkterne $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ , også det $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ . er $S=M$ ${\ displaystyle S = M}$ $S = M$ , det er det også $t\parallel g$ ${\ displaystyle t \ parallel g}$ $t \ parallel g$ og $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ det fjerne punkt på den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ .

Beviset er givet ved trekanternes lighed $M. S. Q, M. Q T$ ${\ displaystyle MSQ, MQT}$ $MSQ, MQT$ . (Bemærk, at du kun kan bruge ligningen $|AS||TB|=|SB||AT|$ ${\ displaystyle | AS || TB | = | SB || AT |}$ $| AS || TB | = | SB || AT |$ skal bevise. Dobbeltforholdet er derefter automatisk -1, der $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ inden for og $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ uden for rækkevidde $[A,B]$ ${\ displaystyle [A, B]}$ $[VÆK]$ Ligningen følger af ligheden:

$|MS||MT|=r^{2}$ ${\ displaystyle | MS || MT | = r ^ {2}}$ $| MS || MT | = r ^ {2}$ , hvor r er cirkelens radius.

Denne ligning og designreglen (se billede) vises også, når en cirkel spejles . (Refleksionen på enhedscirklen udføres med komplekse tal $z\to {\tfrac {1}{\overline {z}}}$ ${\ displaystyle z \ til {\ tfrac {1} {\ overline {z}}}}$ $z \ til {\ tfrac {1} {\ overline {z}}}$ beskrevet.) Ved spejling på cirklen $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ (se billede) er punkterne $S., T$ ${\ displaystyle S, T}$ $S, T.$ byttet og $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ er faste punkter (hvert punkt i cirklen forbliver fast!).

Hvis pointen $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ikke mellem punkterne $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ kontaktpunktet konstrueres ved hjælp af Thales -cirklen $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ tangenten $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ igennem $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ til cirklen $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . VVS -bob $l$ ${\ displaystyle l}$ $l$ fra $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ på $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ giver det 4. harmoniske punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ . (På billedet skal du bare $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ og $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ bytte rundt.)

Den metode, der er beskrevet her for konstruktionen af det 4. harmoniske punkt, er et affint særligt tilfælde af følgende erklæring:

Kryds en lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ et ikke-degenereret projektivt keglesnit $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ i to punkter $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ og er $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ en af $EN., B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $VÆK$ andet punkt på den lige linje $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ så den er lukket $EN., B., S.$ ${\ displaystyle A, B, S}$ $AFSNIT$ tilsvarende 4. harmoniske punkt $T$ ${\ displaystyle T}$ $T$ krydset af polar også $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ (vedrørende. $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ) med $G$ ${\ displaystyle g}$ $G$ .

Se også

Weblinks

Interaktiv konstruktion til harmonisk division (med dynamisk geometri )

litteratur

D. Herrmann: Den gamle matematik. Springer Spectrum, 2014, ISBN 978-3-642-37611-5 , s. 369.

Individuelle beviser

^ Peter Breitfeld: Geometri. ( Minde om originalen fra 12. maj 2013 i internetarkivet ) Info: Arkivlinket blev indsat automatisk og er endnu ikke kontrolleret. Kontroller det originale og arkivlink i henhold til instruktionerne, og fjern derefter denne meddelelse. @ 1 @ 2 script, Störck-Gymnasium, Bad Saulgau 2012

[1] Peter Breitfeld: Geometri. ( Minde om originalen fra 12. maj 2013 i internetarkivet ) Info: Arkivlinket blev indsat automatisk og er endnu ikke kontrolleret. Kontroller det originale og arkivlink i henhold til instruktionerne, og fjern derefter denne meddelelse. @ 1 @ 2 script, Störck-Gymnasium, Bad Saulgau 2012

[1]