Harmonisk oscillator

En harmonisk oscillator er et system, der kan vibrere og er kendetegnet ved en lineær nulstillingsvariabel . For et mekanisk system betyder det, at der er en kraft, der modvirker en stigende nedbøjning med proportionelt stigende styrke. Efter en ekstern impuls svinger en harmonisk oscillator sinusformet (= harmonisk ) omkring sin hvilestilling , idet svingningens varighed er uafhængig af nedbøjningens størrelse. Eksempler på harmoniske oscillatorer er fjederpendler , elektriske oscillerende kredsløb og stemmegafler .

Den harmoniske oscillator er et vigtigt modelsystem inden for fysik. Det er fuldt ud beskrevet af kun to parametre , den naturlige frekvens og dæmpningen . Mange mere komplekse systemer opfører sig omtrent som harmoniske oscillatorer med små afbøjninger, f.eks. B. trådpendulet . Den harmoniske oscillator i kvantemekanik er et af de få kvantemekaniske systemer, der kan beregnes uden tilnærmelser.

Udtrykket harmonisk oscillator bruges også om dæmpede harmoniske oscillatorer , selvom de strengt taget ikke udfører en harmonisk oscillation, men en dæmpet oscillation .

Differentialligning for den harmoniske oscillator

Matematisk kan hver fri harmonisk oscillator beskrives ved følgende differentialligning . Undtagelser er oscillatorer inden for kvantemekanik og beslægtede teorier, hvor usikkerhedsrelationer skal tages i betragtning.

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}\,x=0

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \, x = 0}

{\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \, x = 0

Er der $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ systemets afbøjning og $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ resonansfrekvensen . Det er en almindelig, lineær , homogen differentialligning af anden orden, som derfor let kan løses analytisk. Løsningen $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ en sådan ligning er en sinusformet funktion.

Harmonisk oscillatorpotentiale

Den potentielle V for en endimensionel harmonisk oscillator

Den ikke -dæmpede harmoniske oscillator er et konservativt system. Det betyder, at vibrationens energi bevares. Der er derfor et potentiale for hvert oscillator -kraftfelt.

Endimensionel oscillator

Den grafiske fremstilling af potentialet $V$ ${\ displaystyle V}$ $V$ af en harmonisk oscillator er en parabel . Det kaldes også harmonisk potentiale.

V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}

{\ displaystyle V (x) = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}}

V (x) = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}

med benchmark

k>0

{\ displaystyle k> 0}

k> 0

I mekanikken er der kraft $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ på en partikel i et sådant potentiale givet af det negative derivat af potentialet.

F=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-kx

{\ displaystyle F = - {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x}} = - kx}

F = - {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x}} = - kx

Multidimensionel oscillator

Potentialet ved en todimensionel isotrop harmonisk oscillator

Dette koncept kan anvendes på flere dimensioner . Potentialet her har form som et elliptisk paraboloid . Med et passende valg af koordinater kan det skrives i n dimensioner som følger:

V(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,x_{i}^{2}

{\ displaystyle V (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} \, x_ {i } ^ {2}}

V (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} \, x_ {i} ^ { 2}

I mekanik er kraften på en partikel i et sådant potentiale givet af potentialets negative gradient .

Fordi der ikke er blandede udtryk mellem forskellige retninger i de enkelte summands, kan problemet med en n -dimensionel harmonisk oscillator spores tilbage til n endimensionelle oscillatorer. I kvantemekanik kaldes en sådan egenskab adskillelighed . Det kan konkluderes, at med en harmonisk oscillator er ikke kun den samlede energi, men også energierne for komponenterne i hver enkelt retning bevarede mængder.

Hvis potentialets værdi kun afhænger af afstanden til nulpunktet, men ikke af retningen, kaldes oscillatoren isotrop , ellers anisotrop . Med en isotrop oscillator har alle konstanter samme værdi:

k_{i}=c>0~~~~~~~~\forall i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle k_ {i} = c> 0 ~~~~~~~~ foral i = 1, \ ldots, n}

k_ {i} = c> 0 ~~~~~~~~ for alt i = 1, \ ldots, n

og vibrationer i hver retning er harmoniske og har samme frekvens.

I tilfælde af en anisotrop oscillator er svingningerne hver i en enkelt koordinat $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ harmonisk og har en af $k_{i}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ $k_i$ afhængig frekvens (normale vibrationer). Er flere normale vibrationer med forskellige $k_{i}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ $k_i$ stimulerede, mere komplicerede, muligvis ikke-periodiske bevægelser resulterer.

Minimum af potentiale

Minimumet af dette potentiale er et stabilt fast punkt i systemet. I mekanik kaldes dette punkt også hvilepositionen og den kraft, som partiklen oplever, den genoprettende eller tilbagekommende kraft. Især oplever en partikel, der ligger i hvilestilling, ikke nogen kraft, hvorfra navnet "hvilestilling" stammer. Navngivningen er noget misvisende i denne henseende: Selvom ingen kraft virker på en partikel i hvilestilling, behøver partiklen ikke at være i ro der. Generelt antager den endda sin maksimale hastighed der.

Betydning i fysik

Kvadratisk tilnærmelse af Lennard-Jones (12,6) potentialet. Variablen x svarer til afstanden u .

En ideel harmonisk oscillator, hvor genopretningskraften for store afbøjninger stiger lineært med afbøjningen, findes ikke i naturen. Ikke desto mindre er konceptet af grundlæggende betydning for fysikken, da der ofte kun overvejes små nedbøjninger af et objekt fra hvilestillingen. Hvis du begrænser dig til dette, kan potentialer, der har et lokalt minimum, erstattes til en god tilnærmelse af et harmonisk potentiale, og hele problemet kan beskrives som en harmonisk oscillator. Fordelen ved en sådan harmonisk tilnærmelse er, at problemet kan håndteres med standardmetoder inden for teoretisk fysik og giver analytiske løsninger, der er lette at fortolke. I figuren modsat blev dette udført for et Lennard-Jones (12,6) potentiale (blå kurve). Som det kan ses, er resultatet (rød kurve) kun en nyttig tilnærmelse til små afstande fra minimum.

Den harmoniske tilnærmelse finder sin matematiske begrundelse i, at potentialerne kan udvikles i en Taylor -serie . Er et potentiale $V$ ${\ displaystyle V}$ $V$ givet, og hvis dette er tilstrækkeligt ofte differentierbart, så ifølge Taylors sætning :

V(x)=V(x_{0})+{\frac {\partial V}{\partial x}}(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}(x_{0})(x-x_{0})^{2}+R(x-x_{0})

{\ displaystyle V (x) = V (x_ {0}) + {\ frac {\ delvis V} {\ delvis x}} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {1 } {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ delvis x ^ {2}}} (x_ {0}) (x-x_ {0}) ^ {2} + R (x- x_ {0})}

V (x) = V (x_ {0}) + {\ frac {\ delvis V} {\ delvis x}} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {1} {2 }} {\ frac {\ delvis ^ {2} V} {\ delvis x ^ {2}}} (x_ {0}) (x-x_ {0}) ^ {2} + R (x-x_ {0 })

hvori $R(x-x_{0})$ ${\ displaystyle R (x-x_ {0})}$ $R (x-x_ {0})$ , den såkaldte rest, indeholder kun vilkår fra den tredje orden. Til små afstande $x-x_{0}$ ${\ displaystyle x-x_ {0}}$ $x-x_ {0}$ det er derfor ubetydeligt. Som et udviklingspunkt $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ vi vælger et minimum af det potentiale, der rummer ${\tfrac {\partial V}{\partial x}}(x_{0})=0$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ delvis V} {\ delvis x}} (x_ {0}) = 0}$ ${\ tfrac {\ delvis V} {\ delvis x}} (x_ {0}) = 0$ . Det betyder, at førsteordensbetegnelsen også udelades. For bedre matematisk håndtering kan toppunktet placeres i koordinatoprindelsen ved hjælp af en passende koordinattransformation , så følgende gælder: $x_{0}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ $x_ {0} = 0$ . Desuden er det altid muligt $V(x_{0})=0$ ${\ displaystyle V (x_ {0}) = 0}$ $V (x_ {0}) = 0$ at sætte. Det omtrentlige harmoniske potentiale opnås derefter:

V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}

{\ displaystyle V (x) = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}}

V (x) = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}

med

k={\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}(x_{0})

{\ displaystyle k = {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ delvis x ^ {2}}} (x_ {0})}

k = {\ frac {\ delvis ^ {2} V} {\ delvis x ^ {2}}} (x_ {0})

Det betyder, at hvis afbøjningen er tilstrækkelig lille, opfører oscillatoren sig harmonisk. Et eksempel på oscillatorer, der bliver anharmoniske selv ved medium amplituder, er trådpendulet .

En omtrentlig løsningsmetode, hvor et kompliceret problem først reduceres til et analytisk løseligt problem, for derefter at tilføje tidligere ignorerede påvirkninger i form af forstyrrelser til løsningen, kaldes forstyrrelsesteori .

Den harmoniske oscillator for klassisk mekanik

Endimensionel udampet oscillator

En mekanisk oscillator består af et masselegeme og en kraft, der driver det tilbage, når det afbøjes fra hvilestilling. For at en oscillator skal være harmonisk, skal genopretningskraften være proportional med denne afbøjning, dvs. kroppens afstand fra hvilestilling. I praksis implementeres en sådan kraft sædvanligvis ved fjedre , som i tilfælde af et fjederpendel eller ved vægt af kroppen, som det er tilfældet for eksempel med et vandpendul .

Beskrivelse af svingningsprocessen

Repræsentation af oscillationen af en harmonisk oscillator ved hjælp af eksemplet på et fjederpendel. Oscillatorens hvilestilling er markeret med en stiplet linje. Hastigheden er markeret som en rød pil

En harmonisk oscillator flyttes ud af hvilestilling. Jo længere du flytter den væk, jo større kraft forsøger at trække den tilbage. Nedbøjningen tilføjer oscillatoren potentiel energi . Potentielt betyder, at energien bruges til f.eks. At spænde en fjeder, og at denne energi dermed lagres i oscillatorens position.

Hvis oscillatoren derefter frigives, accelereres den på grund af fjederens trækkraft. Den bevæger sig derfor tilbage til hvilestilling med stigende hastighed. Når den når dertil, har oscillatoren nået sin maksimale hastighed. Fjederen er afslappet, og der er ikke længere nogen kraft, der virker på oscillatoren. Den potentielle energi, der blev tilført den, er nu fuldstændig omdannet til kinetisk energi . Det betyder, at det ikke længere er lagret i positionen, men i oscillatorens hastighed.

På grund af inertien fortsætter oscillatoren med at bevæge sig. Dette fører til at fjederen spændes igen, denne gang i en anden retning. For at spænde dette forår skal oscillatoren bruge sin kinetiske energi for at kunne bevæge sig mod fjederens kraft. Dette bremser det, indtil det når det punkt, hvor det ikke længere bevæger sig, og al energien er tilbage i form af potentiel energi. Bevægelsessekvensen starter derefter forfra.

tid ^{[Bemærk 1]}	Nedbøjning $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$	potentiel energi ${\frac {k}{2}}x^{2}$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {2}} x ^ {2}}$ ${\ frac {k} {2}} x ^ {2}$	fart ${\dot {x}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ dot {x}}$	kinetisk energi ${\frac {m}{2}}{\dot {x}}^{2}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {2}} {\ dot {x}} ^ {2}}$ ${\ frac {m} {2}} {\ dot {x}} ^ {2}$
1	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	${\sqrt {2E/m}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2E / m}}}$ ${\ sqrt {2E / m}}$	$E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$
2	${\sqrt {2E/k}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2E / k}}}$ ${\ sqrt {2E / k}}$	$E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$
3.	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$-{\sqrt {2E/m}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {2E / m}}}$ $- {\ sqrt {2E / m}}$	$E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$
4.	$-{\sqrt {2E/k}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {2E / k}}}$ $- {\ sqrt {2E / k}}$	$E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$
uforanderlig: samlet energi $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ , Dimensioner $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ og fjeder konstant $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$

Afledning af oscillationsligningen

Illustration af de fysiske mængder af et fjederpendel. Kraften er vist som en grøn pil

Som ovenfor tager vi et fjederpendel som et eksempel. Kroppens masse er $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Vi tager hvilepositionen som nulpunktet og betegner nedbøjningen med $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ . Magten $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ der virker på kroppen er beskrevet af Hookes lov :

F=-kx

{\ displaystyle F = -kx}

F = -kx

Den konstante $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ er en fjederkonstant, der afhænger af styrken af genopretningskraften i tilfælde af en fast afbøjning. Det er også kendt, at accelerationen af et legeme er proportional med den kraft, der virker på det. Accelerationen kan bruges som en anden afledt af placeringen $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ skrive efter tiden. En tidsderivat identificeres ofte i fysikken som et punkt over variablen:

F=m{\ddot {x}}

{\ displaystyle F = m {\ ddot {x}}}

F = m {\ ddot {x}}

Hvis man nu sætter disse to udtryk for kraften $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ lig, opnår man en differentialligning:

m{\ddot {x}}=-kx

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} = - kx}

m {\ ddot {x}} = - kx

For at forenkle følgende beregninger skal du erstatte $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {k} {m}}}$ $\ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {k} {m}}$ og omskriv ligningen til:

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0}

{\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0

Denne ligning kan f.eks. Løses ved hjælp af en eksponentiel tilgang. Resultatet er en sinusformet funktion, også kaldet harmonisk svingning:

x(t)=u\,\sin(\omega _{0}t+\varphi )

{\ displaystyle x (t) = u \, \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

x (t) = u \, \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)

.

Løsningen indeholder to konstanter, amplituden $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ og faseforskydningsvinklen $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . De opnås i henhold til de indledende betingelser . Amplituden står for oscillatorens maksimale afbøjning og dermed svingningens energi. Faseforskydningsvinklen bestemmer positionen og på samme tid kroppens hastighed på tidspunktet $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ Har.

Sinusfunktionen er en periodisk funktion, fordi dens værdier gentages med jævne mellemrum ( $\sin(x)=\sin(x+2\pi )$ ${\ displaystyle \ sin (x) = \ sin (x + 2 \ pi)}$ $\ sin (x) = \ sin (x + 2 \ pi)$ ). Derfor udfører oscillatoren en periodisk bevægelse. $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ betegner oscillatorens naturlige vinkelfrekvens og resonansfrekvens . Det bestemmer frekvensen $f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}}}$ $f = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}}$ hvormed oscillatoren svinger. I tilfælde af en harmonisk oscillator er denne frekvens uafhængig af oscillationsamplituden.

energi

I tilfælde af den frie, dæmpede oscillator bevares energien, fordi det er et lukket system, og der kun opstår konservative kræfter. I ligevægtspositionen forsvinder den potentielle energi. Derfor er den samlede energi lig med den maksimale kinetiske energi:

E_{\text{gesamt}}={\hat {E}}_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}m{\hat {v}}^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}

{\ displaystyle E _ {\ text {total}} = {\ hat {E}} _ {\ text {kin}} = {\ frac {1} {2}} m {\ hat {v}} ^ {2 } = {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2}}

E _ {\ text {total}} = {\ hat {E}} _ {\ text {kin}} = {\ frac {1} {2}} m {\ hat {v}} ^ {2} = { \ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2}

Det samme resultat kan opnås, hvis den samlede energi beregnes ved hjælp af den maksimale værdi af den potentielle energi:

E_{\text{gesamt}}={\hat {E}}_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {1}{2}}m{\sqrt {\frac {k}{m}}}^{2}{\hat {x}}^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}

{\ displaystyle E _ {\ text {total}} = {\ hat {E}} _ {\ text {pot}} = {\ frac {1} {2}} k {\ hat {x}} ^ {2 } = {\ frac {1} {2}} m {\ sqrt {\ frac {k} {m}}} ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2} = {\ frac {1} { 2}} m \ omega ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2}}

E _ {\ text {total}} = {\ hat {E}} _ {\ text {pot}} = {\ frac {1} {2}} k {\ hat {x}} ^ {2} = { \ frac {1} {2}} m {\ sqrt {\ frac {k} {m}}} ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2}

.

${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ står her for afbøjningens maksimale værdi, dvs. for amplituden. Hvis komplekse tal bruges til beregninger, ${\hat {x}}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} ^ {2}}$ ${\ hat {x}} ^ {2}$ kvadratet af amplitudeens størrelse , som kan have en kompleks værdi.

En-dimensionel dæmpet oscillator

svag, lineært dæmpet svingning af en harmonisk oscillator

En mekanisk vibration er generelt ikke gnidningsfri. Det vil sige, at svingningen mister energi gennem friktion, og derfor falder dens amplitude. Man taler om en dæmpning af svingningen, som følge heraf er den generelt ikke længere harmonisk. Et sådant system er ikke længere konservativt , men dissipativt . I differentialligningen tilføjes en friktionskraft F _R til accelerationskraften F.

m{\ddot {x}}(t)=-kx(t)+F_{\mathrm {R} }

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} (t) = - kx (t) + F _ {\ mathrm {R}}}

m {\ ddot {x}} (t) = - kx (t) + F _ {\ mathrm {R}}

Kraftens tegn er modsat hastigheden. Det nøjagtige udtryk for F _R afhænger af friktionstypen. Mængden af F kan således være konstant eller for eksempel have en lineær eller kvadratisk afhængighed af hastigheden.

I tilfælde af glidende friktion er mængden af F _R konstant:

F_{\mathrm {R} }=-d\operatorname {sgn} \left({\dot {x}}(t)\right)

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}} = - d \ operatorname {sgn} \ left ({\ dot {x}} (t) \ right)}

F _ {\ mathrm {R}} = - d \ operatorname {sgn} \ left ({\ dot {x}} (t) \ right)

Et eksempel på en lineær afhængighed er luftfriktionen ved lave hastigheder. Der kan luftstrømmen ses som laminær . I henhold til Stokes lov er den således proportional med hastigheden, dvs. med første gangs afledning af afbøjningen.

F_{\mathrm {R} }=-d{\dot {x}}(t)

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}} = - d {\ dot {x}} (t)}

F _ {\ mathrm {R}} = - d {\ dot {x}} (t)

I tilfælde af en sådan lineær dæmpning kalder man proportionalitetsfaktoren $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ Dæmpningskonstant .

Lineær dæmpning

I tilfælde af lineær dæmpning kan friktionen generelt defineres ved et dæmpningsudtryk $F_{\mathrm {R} }=-2m\gamma {\dot {x}}$ ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}} = - 2m \ gamma {\ dot {x}}}$ $F _ {\ mathrm {R}} = - 2m \ gamma {\ dot {x}}$ tilføjet til hastigheden ${\dot {x}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ dot {x}}$ er proportional og modsat orienteret. Den konstante $\gamma \geq 0$ ${\ displaystyle \ gamma \ geq 0}$ $\ gamma \ geq 0$ er også kendt som henfaldskonstanten . Dette giver bevægelsesligningen for en lineært dæmpet svingning som en almindelig lineær differentialligning af anden orden:

{\ddot {x}}(t)+2\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=0

{\ displaystyle {\ ddot {x}} (t) +2 \ gamma {\ dot {x}} (t) + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = 0}

{\ ddot {x}} (t) +2 \ gamma {\ dot {x}} (t) + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = 0

.

$\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ betegner oscillatorens ikke -dæmpede naturlige vinkelfrekvens. Med en eksponentiel tilgang $x(t)=e^{\lambda t}$ ${\ displaystyle x (t) = e ^ {\ lambda t}}$ $x (t) = e ^ {\ lambda t}$ man når frem til den generelle løsning

x(t)=e^{-\gamma t}\left(c_{1}e^{{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}t}+c_{2}e^{-{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}t}\right)

{\ displaystyle x (t) = e ^ { - \ gamma t} \ left (c_ {1} e ^ {{\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} t } + c_ {2} e ^ { - {\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} t} \ right)}

x (t) = e ^ { - \ gamma t} \ venstre (c_ {1} e ^ {{\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} t} + c_ {2} e ^ { - {\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} t} \ right)

Er der $c_{1}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ $c_ {1}$ og $c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ $c_ {2}$ kompleksværdige konstanter, der bestemmes ud fra de indledende betingelser.

Ved svag dæmpning ( $\gamma <\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ gamma <\ omega _ {0}}$ $\ gamma <\ omega _ {0}$ ), som i det ikke -dæmpede tilfælde, er der en sinusformet svingning, hvis amplitude dog falder eksponentielt. Styrken i dette efterår bestemmes af $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ bestemt i eksponenten for den indhyllende eksponentielle funktion: Amplituden falder over perioden $\tau =1/\gamma$ ${\ displaystyle \ tau = 1 / \ gamma}$ $\ tau = 1 / \ gamma$ på $1/e$ ${\ displaystyle 1 / e}$ $1 / e$ den oprindelige amplitude. Vinkelfrekvensen for svingningen reduceres til $\omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {d} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}}}$ $\ omega _ {d} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}}$ .
Ved kraftig dæmpning ( $\gamma >\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ gamma> \ omega _ {0}}$ $\ gamma> \ omega _ {0}$ ), den såkaldte krybekasse , udvikler ingen reel svingning. Afbøjningen kryber snarere mod hvilestilling.
I den aperiodiske borderline -sag ( $\gamma =\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ omega _ {0}}$ $\ gamma = \ omega _ {0}$ ) oscillationen når stadig en maksimal afbøjning ( $t=\tau$ ${\ displaystyle t = \ tau}$ $t = \ tau$ ), men falder derefter hurtigere tilbage til hvilestilling end ved kraftig dæmpning. Om en nulkrydsning finder sted afhænger af de indledende forhold. ^[1]

I betragtning af de indledende betingelser $x(0)$ ${\ displaystyle x (0)}$ $x (0)$ og ${\dot {x}}(0)$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} (0)}$ ${\ dot {x}} (0)$ på det tidspunkt $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ før, så opnår man i tilfælde af svingning $\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}>0$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}> 0}$ $\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}> 0$ partikelopløsningen

x(t)=e^{-\gamma t}\left(x(0)\cdot \cos(\omega _{d}t)+\left(x(0)\cdot \gamma +{\dot {x}}(0)\right){\frac {\sin(\omega _{d}t)}{\omega _{d}}}\right)

{\ displaystyle x (t) = e ^ {- \ gamma t} \ left (x (0) \ cdot \ cos (\ omega _ {d} t) + \ left (x (0) \ cdot \ gamma + { \ dot {x}} (0) \ right) {\ frac {\ sin (\ omega _ {d} t)} {\ omega _ {d}}} \ right)}

x (t) = e ^ {- \ gamma t} \ venstre (x (0) \ cdot \ cos (\ omega _ {d} t) + \ venstre (x (0) \ cdot \ gamma + {\ dot { x}} (0) \ right) {\ frac {\ sin (\ omega _ {d} t)} {\ omega _ {d}}} \ right)

med $\omega _{d}^{2}=\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {d} ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}$ $\ omega _ {d} ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}$

Til det særlige tilfælde $\gamma =0$ ${\ displaystyle \ gamma = 0}$ $\ gamma = 0$ dvs. uden dæmpning er løsningen forenklet til

x(t)=x(0)\cdot \cos(\omega _{0}t)+{\dot {x}}(0){\frac {\sin(\omega _{0}t)}{\omega _{0}}}

{\ displaystyle x (t) = x (0) \ cdot \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ dot {x}} (0) {\ frac {\ sin (\ omega _ {0} t )} {\ omega _ {0}}}}

x (t) = x (0) \ cdot \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ dot {x}} (0) {\ frac {\ sin (\ omega _ {0} t)} { \ omega _ {0}}}

Til den aperiodiske borderline sag $\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}=0$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2} = 0}$ $\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2} = 0$ overgav sig

x(t)=\left(\left({\dot {x}}(0)+\gamma \cdot x(0)\right)\cdot t+x(0)\right)e^{-\gamma t}

{\ displaystyle x (t) = \ left (\ left ({\ dot {x}} (0) + \ gamma \ cdot x (0) \ right) \ cdot t + x (0) \ right) e ^ { - \ gamma t}}

x (t) = \ venstre (\ venstre ({\ punkt {x}} (0) + \ gamma \ gange x (0) \ højre) \ gange t + x (0) \ højre) e ^ {- \ gamma t}

Variant: torsionsoscillator

Torsionsoscillatoren er en variant af den klassiske harmoniske oscillator I stedet for en spiralfjeder bruges her en torsionsfjeder eller en torsionstråd. I stedet for translationelle bevægelser er der så rotationsbevægelser. I princippet udføres beregningen på samme måde. Det bliver bare til mængden $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ i inertimomentet $JEG.$ ${\ displaystyle I}$ $JEG.$ og hastigheden $v={\dot {x}}$ ${\ displaystyle v = {\ dot {x}}}$ $v = {\ dot {x}}$ ved vinkelhastigheden $\omega ={\dot {\varphi }}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ dot {\ varphi}}}$ $\ omega = {\ dot {\ varphi}}$ erstattet.

Beskrivelse i Hamilton dynamik

Den ikke -dæmpede harmoniske oscillator i faserum. Tre baner med indledende betingelser for forskellige energier vises

Bevægelsesligningen for den harmoniske oscillator kan også udledes ved hjælp af hamiltons mekanik . ^[2] Som ovenfor betragter vi en masse $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ på en kilde med fjederkonstanter $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Som en generaliseret koordinat , $x=q$ ${\ displaystyle x = q}$ $x = q$ Brugt. Hamilton -funktionen $H$ ${\ displaystyle H}$ $H$ består af potentiel og kinetisk energi som følger:

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}}

{\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ frac {m \ omega _ {0} ^ {2} q ^ {2}} {2}}}

H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ frac {m \ omega _ {0} ^ {2} q ^ {2}} {2}}

Med de kanoniske ligninger

{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=-m\omega _{0}^{2}q

{\ displaystyle {\ dot {p}} = - {\ frac {\ delvis H} {\ delvis q}} = - m \ omega _ {0} ^ {2} q}

{\ dot {p}} = - {\ frac {\ delvis H} {\ delvis q}} = - m \ omega _ {0} ^ {2} q

{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}

{\ displaystyle {\ dot {q}} = {\ frac {\ delvis H} {\ delvis p}} = {\ frac {p} {m}}}

{\ dot {q}} = {\ frac {\ delvis H} {\ delvis p}} = {\ frac {p} {m}}

man når frem til bevægelsesligningen, der allerede er beskrevet ovenfor.

{\ddot {q}}+\omega _{0}^{2}q=0

{\ displaystyle {\ ddot {q}} + \ omega _ {0} ^ {2} q = 0}

{\ ddot {q}} + \ omega _ {0} ^ {2} q = 0

Fordi den samlede energi $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ er bevaret ( ${\frac {\partial H}{\partial t}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis H} {\ delvis t}} = 0}$ ${\ frac {\ delvis H} {\ delvis t}} = 0$ ), form sted $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ og impuls $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$ en ellipse med semiaxer $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ og $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ slutningen.

{\frac {p^{2}}{2mE}}+{\frac {q^{2}}{2E/(m\omega _{0}^{2})}}=1={\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {q^{2}}{b^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {p ^ {2}} {2mE}} + {\ frac {q ^ {2}} {2E / (m \ omega _ {0} ^ {2})}} = 1 = { \ frac {p ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {q ^ {2}} {b ^ {2}}}}

{\ frac {p ^ {2}} {2mE}} + {\ frac {q ^ {2}} {2E / (m \ omega _ {0} ^ {2})}} = 1 = {\ frac { p ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {q ^ {2}} {b ^ {2}}}

Systemets samlede energi er proportional med det område, der er omsluttet af ellipsen $A=\pi \cdot a\cdot b=2\pi E/\omega _{0}$ ${\ displaystyle A = \ pi \ cdot a \ cdot b = 2 \ pi E / \ omega _ {0}}$ $A = \ pi \ cdot a \ cdot b = 2 \ pi E / \ omega _ {0}$

I tilfælde af en dæmpet oscillator, i stedet for en ellipse, danner banen en spiral, der bevæger sig mod oprindelsen.

I tilfælde af en multidimensionel harmonisk oscillator, transformeres hovedaksen $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ og $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $pi}$ vælge langs potentialets hovedakser. Med et sådant valg frakobles bevægelsesligningerne for de enkelte retninger.

Multidimensionel oscillator

Repræsentation af kraftfeltet for en isotrop harmonisk oscillator i to dimensioner. Strømmen er symboliseret med røde pile. Hvilestillingen er markeret som et blåt punkt.

For eksempel, med en Hamilton-tilgang som forklaret i det foregående afsnit, kan kraftloven for en n-dimensionel harmonisk oscillator formuleres som:

m{\ddot {\mathbf {x} }}=-\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ x_{i}\,\mathbf {e} _{i}\,.

{\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} \ x_ {i} \, \ mathbf {e} _ {i} \ ,.}

m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} \ x_ {i} \, \ mathbf {e} _ {i} \,.

Du kan se, at differentialligningerne er afkoblet, dvs. kraftkomponenten i en dimension afhænger kun af nedbøjningen i denne dimension. Derfor er løsningerne for de enkelte komponenter i positionsvektoren løsningerne på det tilsvarende endimensionale problem:

x_{i}(t)=u_{i}\,e^{\lambda _{i}\,t}+v_{i}\,e^{-\lambda _{i}\,t}

{\ displaystyle x_ {i} (t) = u_ {i} \, e ^ {\ lambda _ {i} \, t} + v_ {i} \, e ^ {- \ lambda _ {i} \, t }}

x_ {i} (t) = u_ {i} \, e ^ {\ lambda _ {i} \, t} + v_ {i} \, e ^ {- \ lambda _ {i} \, t}

Egenværdierne $\textstyle \lambda _{i}=\mathrm {i} \,{\sqrt {\frac {k_{i}}{m}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda _ {i} = \ mathrm {i} \, {\ sqrt {\ frac {k_ {i}} {m}}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda _ {i} = \ mathrm {i} \, {\ sqrt {\ frac {k_ {i}} {m}}}}$ svarer til de naturlige cirkelfrekvenser. Lad alle $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ skrive som et heltal af en konstant, oscillationen af den harmoniske oscillator er periodisk. En isotrop harmonisk oscillator er derfor altid periodisk.

To-dimensionel oscillator

I tilfælde af en anisotropisk todimensionel harmonisk oscillator bevæger partiklen sig på en Lissajous-kurve . Bevægelsen er periodisk, når vibrationernes frekvenser i en koordinat er i et rationelt forhold. Ellers er det aperiodisk, dvs. det vender aldrig tilbage til udgangstilstanden. Men det kommer så tæt som du vil ham.

I tilfælde af en isotrop todimensionel harmonisk oscillator degenererer Lissajous-kurven til en cirkel, en rumligt fast lige linje eller en rumligt fast ellipse. Et eksempel er det sfæriske pendul med små afbøjninger.

Bevægelsesligningerne er

{\begin{array}{ll}{\ddot {x}}&=-\omega _{0}^{2}\,x\\{\ddot {y}}&=-\omega _{0}^{2}\,y\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ ddot {x}} & = - \ omega _ {0} ^ {2} \, x \\ {\ ddot {y}} & = - \ omega _ {0} ^ {2} \, y \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ ddot {x}} & = - \ omega _ {0} ^ {2} \, x \\ {\ ddot {y}} & = - \ omega _ {0} ^ {2} \, y \ end {array}}}

Den generelle løsning kan skrives som:

{\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}\cos(\omega _{0}t)+{\begin{pmatrix}c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}}\sin(\omega _{0}t)

{\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ begin {pmatrix} c_ {3} \\ c_ {4} \ end {pmatrix}} \ sin (\ omega _ { 0} t)}

{\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ begin {pmatrix} c_ {3} \\ c_ {4} \ end {pmatrix}} \ sin (\ omega _ { 0} t)}

,

hvor konstanterne ${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\vec {r}}(0)$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} = {\ vec {r}} (0)}$ ${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\vec {r}}(0)$ durch den Anfangsort und ${\begin{pmatrix}c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}}={\vec {v}}(0)/\omega _{0}$ ${\begin{pmatrix}c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}}={\vec {v}}(0)/\omega _{0}$ ${\begin{pmatrix}c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}}={\vec {v}}(0)/\omega _{0}$ durch die Anfangsgeschwindigkeit gegeben sind. Im Fall ${\vec {v}}(0)={\vec {0}}$ ${\vec {v}}(0)={\vec {0}}$ ${\vec {v}}(0)={\vec {0}}$ ergibt sich eine gerade Strecke. Wenn ${\vec {r}}(0)\neq {\vec {0}}$ ${\vec {r}}(0)\neq {\vec {0}}$ ${\vec {r}}(0)\neq {\vec {0}}$ und ${\vec {v}}(0)\neq {\vec {0}}$ ${\vec {v}}(0)\neq {\vec {0}}$ ${\vec {v}}(0)\neq {\vec {0}}$ und beide nicht zueinander parallel sind, ergeben sich Trajektorien in Form einer Ellipse oder Kreis, deren Mittelpunkt die Ruhelage ist.

Um die möglichen Bewegungsformen zu bestimmen, wird die allgemeine Lösung so ausgedrückt:

{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}\,\cos(\omega _{0}t-\alpha _{x})\\A_{y}\,\cos(\omega _{0}t-\alpha _{y})\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}\,\cos(\omega _{0}t-\alpha _{x})\\A_{y}\,\cos(\omega _{0}t-\alpha _{y})\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}\,\cos(\omega _{0}t-\alpha _{x})\\A_{y}\,\cos(\omega _{0}t-\alpha _{y})\end{pmatrix}}

mit beliebigen Werten für die Amplituden $A_{x},\,A_{y}$ $A_{x},\,A_{y}$ $A_{x},\,A_{y}$ und Phasenverschiebungen $\alpha _{x},\,\alpha _{y}$ $\alpha _{x},\,\alpha _{y}$ $\alpha _{x},\,\alpha _{y}$ , die sich aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es können sich verschiedene Bahnkurven bilden, die sämtlich den Ursprung als Mittelpunkt haben und mit der gleichen Frequenz durchlaufen werden:

Für $\alpha _{x}=\alpha _{y}$ $\alpha _{x}=\alpha _{y}$ $\alpha _{x}=\alpha _{y}$ ergibt sich eine lineare harmonische Schwingung zwischen den Punkten $\textstyle \pm {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{pmatrix}}$ $\textstyle \pm {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{pmatrix}}$ $\textstyle \pm {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{pmatrix}}$ längs einer Geraden, die mit der x-Achse den Winkel $\arctan(\alpha _{y}/\alpha _{x})$ $\arctan(\alpha _{y}/\alpha _{x})$ $\arctan(\alpha _{y}/\alpha _{x})$ bildet.
Für $\alpha _{x},=0,\alpha _{y}=90^{\circ }$ $\alpha _{x},=0,\alpha _{y}=90^{\circ }$ $\alpha _{x},=0,\alpha _{y}=90^{\circ }$ ergibt sich eine Ellipse mit den Halbachsen der Länge $A_{x}$ $A_{x}$ $A_{x}$ bzw. $A_{y}$ $A_{y}$ $A_{y}$ parallel zu den Koordinatenachsen. Ist dann auch noch $A_{x}=A_{y}$ $A_{x}=A_{y}$ $A_{x}=A_{y}$ , wird aus der Ellipse ein Kreis. Dann ist das Pendel ein konisches Pendel (so).
Allgemein ergibt sich für $\alpha _{x}\neq \alpha _{y}$ $\alpha _{x}\neq \alpha _{y}$ $\alpha _{x}\neq \alpha _{y}$ und beliebigen Amplituden $A_{x},\,A_{y}$ $A_{x},\,A_{y}$ $A_{x},\,A_{y}$ eine Ellipse, deren Halbachsen von allen vier Parametern abhängen und schräg zu den Koordinatenachsen liegen.

Schreibweise mit komplexen Zahlen

Die beiden Koordinaten können zu einer einzigen komplexen Variablen

u=x+{\text{i}}y

u=x+{\text{i}}y

u=x+{\text{i}}y

zusammengefasst werden. Für $u$ ${\displaystyle u}$ $u$ gilt dann die Differentialgleichung

{\ddot {u}}=-\omega _{0}^{2}\,u

{\ddot {u}}=-\omega _{0}^{2}\,u

{\ddot {u}}=-\omega _{0}^{2}\,u

mit der allgemeinen Lösung

u(t)=A{\text{e}}^{\rm {{i}\omega _{0}t}}+B{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{0}t}

u(t)=A{\text{e}}^{\rm {{i}\omega _{0}t}}+B{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{0}t}

u(t)=A{\text{e}}^{\rm {{i}\omega _{0}t}}+B{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{0}t}

.

Die beiden Konstanten $A,\,B$ $A,\,B$ $A,\,B$ werden aus den Anfangsbedingungen berechnet:

{\begin{array}{ll}u(0)=x(0)+{\text{i}}\,y(0)=A+B\\{\dot {u}}(0)={\dot {x}}(0)+{\text{i}}\,{\dot {y}}(0)={\text{i}}\,\omega _{0}(A-B)\end{array}}

{\begin{array}{ll}u(0)=x(0)+{\text{i}}\,y(0)=A+B\\{\dot {u}}(0)={\dot {x}}(0)+{\text{i}}\,{\dot {y}}(0)={\text{i}}\,\omega _{0}(AB)\end{array}}

{\begin{array}{ll}u(0)=x(0)+{\text{i}}\,y(0)=A+B\\{\dot {u}}(0)={\dot {x}}(0)+{\text{i}}\,{\dot {y}}(0)={\text{i}}\,\omega _{0}(A-B)\end{array}}

Einfache Spezialfälle sind:

Für $B=0$ ${\displaystyle B=0}$ $B=0$ ergibt sich eine Kreisbahn im Uhrzeigersinn (mathematisch negativer Sinn) mit Radius $R=|A|$ ${\displaystyle R=|A|}$ $R=|A|$ .
Für $A=0$ ${\displaystyle A=0}$ $A=0$ ergibt sich eine Kreisbahn gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiver Sinn) mit Radius $R=|B|$ ${\displaystyle R=|B|}$ $R=|B|$ .
Für $A=B\,(\neq 0)$ $A=B\,(\neq 0)$ $A=B\,(\neq 0)$ ergibt sich eine gerade Strecke zwischen vom Punkt ${\begin{pmatrix}2\,{\text{Re}}(A)\\2\,{\text{Im}}(A)\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}2\,{\text{Re}}(A)\\2\,{\text{Im}}(A)\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}2\,{\text{Re}}(A)\\2\,{\text{Im}}(A)\end{pmatrix}}$ zum Punkt ${\begin{pmatrix}-2\,{\text{Re}}(A)\\-2\,{\text{Im}}(A)\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}-2\,{\text{Re}}(A)\\-2\,{\text{Im}}(A)\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}-2\,{\text{Re}}(A)\\-2\,{\text{Im}}(A)\end{pmatrix}}$ (und zurück).
Für $A=-B\,(\neq 0)$ $A=-B\,(\neq 0)$ $A=-B\,(\neq 0)$ ergibt sich dieselbe gerade Strecke, aber beginnend in der Ruhelage.

Der harmonische Oszillator außerhalb der Mechanik

Elektrischer Schwingkreis

Schaltplan eines elektrischen Schwingkreises

Der elektrische Schwingkreis ist ein harmonischer Oszillator in der Elektrodynamik . Während in der Mechanik periodisch potentielle und kinetische Energie ineinander umgewandelt werden, werden im Schwingkreis die in einem Kondensator mit der Kapazität $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ gespeicherte elektrische Energie und die in einer Spule mit der Induktivität $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ gespeicherte magnetische Energie gegeneinander ausgetauscht. Es ergibt sich eine Differentialgleichung für die Stromstärke $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ :

{\ddot {i}}(t)+{\frac {1}{LC}}\,i(t)=0

{\ddot {i}}(t)+{\frac {1}{LC}}\,i(t)=0

{\ddot {i}}(t)+{\frac {1}{LC}}\,i(t)=0

Die Ähnlichkeit mit der Bewegungsgleichung des mechanischen Oszillators ist offensichtlich. Folgende Tabelle soll Analogien zwischen dem mechanischen und elektrischen Oszillator deutlich machen:

mechanisch (Translation)	mechanisch (Torsion/Rotation)	RLC–Reihenschwingkreis	RLC–Parallelschwingkreis
Auslenkung $x$ ${\displaystyle x}$ $x$	Winkel $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$	Ladung $q$ ${\displaystyle q}$ $q$	Spannung $u$ ${\displaystyle u}$ $u$
Geschwindigkeit ${\dot {x}}\equiv v$ ${\dot {x}}\equiv v$ ${\dot {x}}\equiv v$	Winkelgeschwindigkeit ${\dot {\varphi }}\equiv \omega$ ${\dot {\varphi }}\equiv \omega$ ${\dot {\varphi }}\equiv \omega$	Stromstärke ${\dot {q}}\equiv i$ ${\dot {q}}\equiv i$ ${\dot {q}}\equiv i$	Änderungsrate der Spannung ${\dot {u}}$ ${\dot {u}}$ ${\dot {u}}$
Masse $m$ ${\displaystyle m}$ $m$	Trägheitsmoment $I$ ${\displaystyle I}$ $I$	Induktivität $L$ ${\displaystyle L}$ $L$	Kapazität $C$ ${\displaystyle C}$ $C$
Federkonstante $k$ ${\displaystyle k}$ $k$	Torsionskonstante $\mu$ $\mu$ $\mu$	Reziproke Kapazität $1/C$ ${\displaystyle 1/C}$ $1/C$	Reziproke Induktivität $1/L$ ${\displaystyle 1/L}$ $1/L$
Dämpfungskonstante $d$ ${\displaystyle d}$ $d$	Dämpfungskonstante $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$	Widerstand $R$ ${\displaystyle R}$ $R$	Leitwert $1/R$ ${\displaystyle 1/R}$ $1/R$
äußere Kraft $F(t)$ ${\displaystyle F(t)}$ $F(t)$	äußeres Drehmoment $M(t)$ ${\displaystyle M(t)}$ $M(t)$	externe Spannung $u_{e}(t)$ $u_{e}(t)$ $u_{e}(t)$	Änderungsrate der externen Stromstärke ${\dot {i}}_{e}(t)$ ${\dot {i}}_{e}(t)$ ${\dot {i}}_{e}(t)$
Ungedämpfte Eigenfrequenz $f_{0}$ $f_{0}$ $f_{0}$ :
${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$
Differentialgleichung
$m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=F(t)$ $m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=F(t)$ $m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=F(t)$	$I{\ddot {\varphi }}+\Gamma {\dot {\varphi }}+\mu \varphi =M(t)$ $I{\ddot {\varphi }}+\Gamma {\dot {\varphi }}+\mu \varphi =M(t)$ $I{\ddot {\varphi }}+\Gamma {\dot {\varphi }}+\mu \varphi =M(t)$	$L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=u_{e}(t)$ $L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=u_{e}(t)$ $L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=u_{e}(t)$	$C{\ddot {u}}+{\dot {u}}/R+u/L={\dot {i}}_{e}(t)$ $C{\ddot {u}}+{\dot {u}}/R+u/L={\dot {i}}_{e}(t)$ $C{\ddot {u}}+{\dot {u}}/R+u/L={\dot {i}}_{e}(t)$

Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik

Da ein beliebiges Potential um eine stabile Gleichgewichtslage entwickelt werden kann und dann in 1. Näherung parabelförmig ist, ist der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik ein Standard-Modell. Es ist eines der wenigen Systeme, für das eine analytische Lösung bekannt ist.

In der Quantenmechanik werden die Orts-, Impuls- und Energievariablen eines Teilchens durch Operatoren ersetzt. Der Hamiltonoperator für die Energie eines harmonischen Oszillators ist gegeben durch

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+m\omega ^{2}{\frac {{\hat {x}}^{2}}{2}}

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+m\omega ^{2}{\frac {{\hat {x}}^{2}}{2}}

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+m\omega ^{2}{\frac {{\hat {x}}^{2}}{2}}

.

Die Wellenfunktionen , mit denen sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Teilchens berechnen lassen, sind Eigenfunktionen des Hamiltonoperators. Die Energieniveaus entsprechen den Eigenwerten.

Lorentz-Oszillator in der Optik

Der Lorentzoszillator dient in der Optik als Modell um das Verhalten der Atome eines Festkörpers unter Einfluss einer elektromagnetischen Welle zu beschreiben. Zum Beispiel ist dann die Suszeptibilität , die dem Aufbau des Feldes entgegenwirkt, das Analogon zur Dämpfung durch Reibung in der Mechanik. Mit Hilfe des Lorentzoszillators lassen sich im Drudemodell optische Phänomene wie Doppelbrechung oder der komplexe Brechungsindex erklären.

Anregung harmonischer Oszillatoren

Wenn einem Oszillator Energie zugefügt wird, spricht man von Anregung. Für den mechanischen Oszillator bedeutet dies, dass entweder eine externe Kraft $F_{\mathrm {ext} }$ $F_{\mathrm {ext} }$ $F_{\mathrm {ext} }$ angreift, oder sich Parameter des Oszillators wie die Eigenfrequenz $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ verändern. Die Anregung quantenmechanischer Oszillatoren wird mittels Leiteroperatoren dargestellt (siehe Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik) ). Das Abführen von Energie, auch Abregung genannt, geschieht analog.

Erzwungene Schwingung

Eine erzwungene Schwingung wird durch eine unabhängige, meist periodische Kraft oder auch elektrische Spannung angeregt. Ein Beispiel hierfür ist eine Dipolantenne . Die Differentialgleichung, hier das Beispiel des gedämpften Oszillators, wird dadurch inhomogen:

{\ddot {x}}(t)+2\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)={\frac {F_{\mathrm {ext} }(t)}{m}}

{\ddot {x}}(t)+2\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)={\frac {F_{\mathrm {ext} }(t)}{m}}

{\ddot {x}}(t)+2\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)={\frac {F_{\mathrm {ext} }(t)}{m}}

Selbsterregte Schwingung

Von einer selbsterregten Schwingung spricht man, wenn die Energiezufuhr durch ein geeignetes Steuerelement und den Schwingungsvorgang selbst gesteuert wird. Mathematisch lässt sich eine solche Energiezufuhr zum Beispiel durch einen speziellen Dämpfungsterm realisieren, bei dem die Dämpfung negativ werden kann. Ein solches System ist meist nichtlinear. Ein Beispiel hierfür ist der Van-der-Pol-Oszillator .

Parametererregte Schwingung

Wenn sich durch die Veränderung von Parametern, wie der Länge eines Pendels, die Eigenfrequenz $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ eines harmonischen Oszillators zeitlich verändert, spricht man von einer parametererregten Schwingung. Ein Beispiel ist eine Schaukel bei kleinen Auslenkungen.

Gekoppelte harmonische Oszillatoren

Bei zwei Pendeln, die an einer Schnur befestigt sind, wird die Energie der Schwingung periodisch zwischen beiden Pendeln übertragen.

Einen mehrdimensionalen harmonischen Oszillator, bei dem die einzelnen Komponenten, also die harmonischen Oszillatoren entlang der Hauptachsen des Potentials, nicht unabhängig sind, sondern miteinander wechselwirken, bezeichnet man als gekoppelt. Dies führt dazu, dass die Energie der Schwingung der einzelnen Komponenten nicht mehr erhalten sein muss, da sie durch die Wechselwirkung von einer Komponente auf eine andere übertragen werden kann. Dadurch kommt es zu einer Form der Amplitudenmodulation .

Gekoppelte mechanische Oszillatoren nennt man auch gekoppelte Pendel . Eine mechanische Wechselwirkung zwischen zwei Pendeln wird beispielsweise erzeugt, indem man die Massen zweier getrennter Pendel mit einer Feder verbindet. Wenn mehrere gleiche Pendel, in einer Reihe angeordnet, jeweils mit ihren unmittelbaren Nachbarn über Federn verbunden sind, bezeichnet man die Anordnung als Schwingerkette. Ein interessantes Beispiel, bei dem die Energie zwischen einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung wechselt, ist das Wilberforce-Pendel .

Mit Hilfe gekoppelter Oszillatoren können auch Gitterschwingungen beispielsweise in Kristallen modelliert werden. Hier sorgt die elektrische Wechselwirkung zwischen den Ionen, Molekülen oder Atomen des Kristallgitters für die notwendige Kopplung. Die quantenmechanische Betrachtung im Artikel Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik) führt dann zu den Phononen .

Kontinuumsübergang

Schwingungen eines Kontinuums , beispielsweise eine Saitenschwingung können mit Hilfe eines unendlich dimensionalen gekoppelten harmonischen Oszillators beziehungsweise unendlich vielen eindimensionalen gekoppelten harmonischen Oszillatoren beschrieben werden. Der Übergang zu unendlich vielen Oszillatoren wird nachfolgend für eine Longitudinalwelle durchgeführt. Das Verfahren lässt sich analog auch für Transversalwellen durchführen.

Schema eines Federschwingers mit n gekoppelten Oszillatoren

Wir nehmen das Beispiel von $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ gekoppelten Oszillatoren der Masse $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ , die durch Federn mit Federkonstanten $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ verbunden sind. Die Auslenkung des i -ten Oszillators bezeichnen wir mit $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ . Der Abstand der einzelnen Massen ist $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ . Die Lagrange-Funktion dieses Systems ist dann:

{\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}^{2}-{\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{n}(q_{i+1}-q_{i})^{2}

{\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}^{2}-{\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{n}(q_{i+1}-q_{i})^{2}

{\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}^{2}-{\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{n}(q_{i+1}-q_{i})^{2}

Die Bewegungsgleichung des Systems lässt sich daraus herleiten als:

m{\ddot {q}}_{i}=k((q_{i+1}-q_{i})-(q_{i}-q_{i-1}))

m{\ddot {q}}_{i}=k((q_{i+1}-q_{i})-(q_{i}-q_{i-1}))

m{\ddot {q}}_{i}=k((q_{i+1}-q_{i})-(q_{i}-q_{i-1}))

Diese Gleichung teilen wir durch $kl^{2}$ $kl^{2}$ $kl^{2}$ und erhalten:

{\frac {m}{k\,l^{2}}}{\ddot {q}}_{i}={\frac {1}{l}}\left({\frac {q_{i+1}-q_{i}}{l}}-{\frac {q_{i}-q_{i-1}}{l}}\right)

{\frac {m}{k\,l^{2}}}{\ddot {q}}_{i}={\frac {1}{l}}\left({\frac {q_{i+1}-q_{i}}{l}}-{\frac {q_{i}-q_{i-1}}{l}}\right)

{\frac {m}{k\,l^{2}}}{\ddot {q}}_{i}={\frac {1}{l}}\left({\frac {q_{i+1}-q_{i}}{l}}-{\frac {q_{i}-q_{i-1}}{l}}\right)

Durch einen Kontinuumsübergang wird der diskrete Index $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ durch eine kontinuierliche Koordinate $x=i\cdot l$ $x=i\cdot l$ $x=i\cdot l$ , und die diskrete Funktion $q_{i}(t)$ $q_{i}(t)$ $q_{i}(t)$ durch die Wellenfunktion $\Psi (x,t)$ $\Psi (x,t)$ $\Psi (x,t)$ ersetzt. Für einen solchen Kontinuumslimes wird gleichzeitig der Limes $n\to \infty$ $n\to \infty$ $n\to \infty$ , $l\to 0$ $l\to 0$ $l\to 0$ , $m\to 0$ $m\to 0$ $m\to 0$ und $k\to \infty$ $k\to \infty$ $k\to \infty$ genommen, sodass dabei folgende Größen konstant gehalten werden:

Die Gesamtlänge $(n+1)l$ ${\displaystyle (n+1)l}$ $(n+1)l$
Die Gesamtmasse $n m$ ${\displaystyle nm}$ $nm$ und damit auch die Dichte $m/l$ ${\displaystyle m/l}$ $m/l$
Das Produkt aus Federkonstante und Federlänge $k l$ ${\displaystyle kl}$ $kl$

Der Faktor ${\frac {m}{k\,l^{2}}}$ ${\frac {m}{k\,l^{2}}}$ ${\frac {m}{k\,l^{2}}}$ auf der linken Seite der Gleichung ist konstant. Daher lässt sich diese Seite schreiben als

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}

Die rechte Seite der Gleichung lässt sich umschreiben als:

\lim _{l\to 0}{\frac {1}{l}}\left({\frac {\Psi (x+l,t)-\Psi (x,t)}{l}}-{\frac {\Psi (x,t)-\Psi (x-l,t)}{l}}\right)

\lim _{l\to 0}{\frac {1}{l}}\left({\frac {\Psi (x+l,t)-\Psi (x,t)}{l}}-{\frac {\Psi (x,t)-\Psi (xl,t)}{l}}\right)

\lim _{l\to 0}{\frac {1}{l}}\left({\frac {\Psi (x+l,t)-\Psi (x,t)}{l}}-{\frac {\Psi (x,t)-\Psi (x-l,t)}{l}}\right)

Dies ist gerade der Differenzenquotient für die zweite Ableitung . Man erhält nämlich mit Hilfe einer Taylorentwicklung um $x$ ${\displaystyle x}$ $x$

\lim _{l\to 0}\left({\frac {\Psi (x+l,t)-2\Psi (x,t)+\Psi (x-l,t)}{l^{2}}}\right)=\lim _{l\to 0}{\frac {1}{l^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}(x,t)\cdot l^{2}+{\mathcal {O}}(l^{4})\right)={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}(x,t)

\lim _{l\to 0}\left({\frac {\Psi (x+l,t)-2\Psi (x,t)+\Psi (xl,t)}{l^{2}}}\right)=\lim _{l\to 0}{\frac {1}{l^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}(x,t)\cdot l^{2}+{\mathcal {O}}(l^{4})\right)={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}(x,t)

\lim _{l\to 0}\left({\frac {\Psi (x+l,t)-2\Psi (x,t)+\Psi (x-l,t)}{l^{2}}}\right)=\lim _{l\to 0}{\frac {1}{l^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}(x,t)\cdot l^{2}+{\mathcal {O}}(l^{4})\right)={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}(x,t)

Man erhält so die Wellengleichung

\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\Psi =0

\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\Psi =0

\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\Psi =0

Weblinks

Commons : Harmonischer Oszillator – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1 . 4. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-26034-X , S. 335–357 .
↑ Wolfgang Nolting: Theoretische Physik 2 . 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9 , S. 103–104 .

Anmerkungen

↑ Zeitpunktangaben beziehen sich auf obenstehende Grafik; der Abstand zweier Zeitpunkte beträgt eine viertel Periode, also ${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {m/k}}$ ${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {m/k}}$ ${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {m/k}}$ .

[2] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1 . 4. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-26034-X , S. 335–357 .

[3] Wolfgang Nolting: Theoretische Physik 2 . 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9 , S. 103–104 .

[1] Zeitpunktangaben beziehen sich auf obenstehende Grafik; der Abstand zweier Zeitpunkte beträgt eine viertel Periode, also ${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {m/k}}$ ${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {m/k}}$ ${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {m/k}}$ .

[Bemærk 1]

[1]

[2]