Hookes lov

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Hookes eksperimentelle set-up

Hookes lov (baseret på Robert Hooke , der offentliggjorde den for første gang som et anagram i 1676 og opløst i 1678 [1] ) beskriver den elastiske deformation af faste stoffer, når deres deformation er proportional med den påførte belastning ( lineær-elastisk adfærd ). Denne adfærd (" Ut tensio sic vis ") er typisk for metaller , hvis belastningen ikke er for stor, og for hårde, sprøde materialer ofte til brud (glas, keramik, silicium).

Hookes lov repræsenterer den lineære special case af loven om elasticitet . Forholdet mellem deformation og stress med en kvadratisk eller højere orden kan ikke betragtes her. Den ikke-lineære elastiske deformation som med gummi , plastisk deformation eller duktil deformation som med metal efter overskridelse af flydepunktet udelades . Stress og deformation behøver dog ikke at være i samme linje : en deformation i -Retning kan være en spænding i -Virkningsretning. Hookes lov er derfor generelt et tensorforhold .

I de reologiske modeller tages loven i betragtning af Hooke -elementet.

Hookes lov for fjedersystemer

Forårsexpansion i vægt. (Samt parallel forbindelse af fjedre)

Hookes lov siger, at strækning lineær fra den virkende kraft og kan udtrykkes som en formel som følger:

henholdsvis

Forårskonstanten fungerer som en proportionalitetsfaktor og beskriver fjederens stivhed. I tilfælde af en spiralformet fjeder vises den lineære adfærd, når den er belastet med en vægt. Efter fordobling af vægten forekommer der også dobbeltstrækning på.

Denne egenskab er for eksempel afgørende for brugen af ​​metalfjedre som kraftmålere og i skalaer . For andre materialer - f.eks. Gummi - er forholdet mellem den påførte kraft og ekspansion ikke lineært.

Hookes lov bruges ikke kun i mekanik, men også inden for andre fysikområder. I kvantemekanik, for eksempel, tilstrækkeligt lille beskrive den kvantemekaniske harmoniske oscillator gennem anvendelsen af ​​Hookes lov. Et andet eksempel er molekylær fysik . Her, analogt med fjederkonstanten, kan lineariteten stige kan udtrykkes med en kraftkonstant . Denne kraftkonstant beskriver derefter styrken af ​​en kemisk binding.

Den potentielle energi, der genereres i en fjeder ved ekspansion, kan beregnes som følger. Der er en afvigelse fra beløbet at afbøjningen fra hvilestilling ( , Ligevægtsposition). Kraften er proportional med nedbøjningen, nemlig . Ved at integrere kraften får vi nu den potentielle energi:

Dette er det harmoniske potentiale, der er vigtigt for mange modelberegninger (proportional med ).

En-dimensionel sag

På en pind af længde og tværsnitsarealet virker en træk- eller trykbelastning (kraft) langs Akse og forårsager spænding i baren i -Retning:

Dette resulterer i en forlængelse af stangen i -Retning:

Forlængelsen af ​​stangen afhænger af den kraft, der virker, her spændingen i stangen. Proportionalitetskonstanten repræsenterer elasticitetsmodulet for det materiale, hvorfra stangen er fremstillet.

Ved at indsætte de to første formler og omarrangere dem, resulterer følgende repræsentation:

Hookes lov kan derfor bruges, hvor den virkende kraft næsten lineært afhænger af nedbøjningen eller ekspansionen, og er en generalisering af Hookes lov for fjedre.

Generaliseret Hookes lov

I det generelle tilfælde udtrykkes Hookes lov ved en lineær tensorligning (4. niveau):

,

med elasticitet tensor , som kendetegner deformerede stofs elastiske egenskaber. Siden tensoren 81 komponenter det er svært at håndtere. På grund af belastningen og spændingstensorens symmetri reduceres antallet af uafhængige komponenter efter konvertering til konstanter ved hjælp af ordningen 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 31 → 5, 12 → 6 dog til 36. Hermed kan Hookes lov konverteres til en lettere at bruge matrixligning, med de elastiske konstanter i a -Matrix, samt forvrængning og spænding er repræsenteret som seks-komponentvektorer:

Af energiske overvejelser følger det, at også dette -Matrix er symmetrisk . Antallet af uafhængige ( elastiske konstanter ) reduceres således yderligere til maksimalt 21.

Maksimalt seks uafhængige af de to symmetriske tensorer for belastning og spænding er således fordelt over to sekskomponentvektorer ( Voigts notation ). på og du skal være forsigtig, fordi der er en ekstra faktor på 2, og ikke kun indekserne justeres.

Isotropiske medier

I det særlige tilfælde af isotrope medier reduceres antallet af uafhængige elastiske konstanter fra 21 til 2. Væsentlige egenskaber ved deformationen kan derefter karakteriseres ved Poissons forhold. Hookes lov kan derefter repræsenteres i formen

, med
, eller.
,

hvori elasticitetsmodulet (også Youngs modul) og er Poissons forhold. Begge bestemmes af materialet. For endimensionelle deformationer er forholdet forenklet til

.

Notation med Lamé -konstanter

Ofte er der også en notation for den generaliserede Hookes lov for isotropiske medier ved hjælp af Lamé -konstanterne :

eller skrevet ud:

.

Ligningen skal forstås komponentmæssigt, f.eks. B. finder anvendelse . Det omvendte forhold er

.

I det er elasticitetsmodulet. Materialekonstanten kaldes forskydningsmodulet i det tysktalende område og har symbolet her .

Flad tilstand af stress og belastning

Ruder er flade overfladestøtter, der pr. Definition kun læsses i deres plan. Stænger og bjælker er slanke dragere, hvoraf to dimensioner er små i forhold til den tredje aksiale dimension. Hvis der ikke er nogen belastninger vinkelret på planet eller længdeakse for disse bjælker, er de i en plan spændingstilstand (ESZ), hvor alle spændingskomponenter vinkelret på det pågældende plan kan negligeres.

Overfladebjælker, der også belastes vinkelret på deres plan, kaldes plader. Hvis denne plade er så tyk, at den ikke er mærkbart komprimeret af den belastning, der virker på den vinkelret, hersker en plan forvrængningstilstand (EVZ) i dens plan, hvor alle forvrængningskomponenter vinkelret på det plan, der overvejes, kan negligeres.

Stænger, bjælker, skiver og plader er udbredte konstruktionselementer inden for maskinteknik og konstruktion. Det er derfor værd at nedskrive elasticitetsforholdet for ESZ og EVZ.

Niveau af spændingstilstand

ESZ svarer til betingelsen ovenfor . Dette forenkler elasticitetsforholdet til

eller.

og .

Flad forvrængningstilstand

Følgende gælder i EVZ . Følgende relationer kan derefter udledes af dette:

.

eller.

med .

litteratur

Se også

Weblinks

Individuelle beviser

  1. ^ Robert Hooke: De Potentia Restitutiva eller foråret, der forklarer kraften i fjedrende organer. London 1678.