Fantasienummer

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Et (rent) imaginært tal (også imaginært tal , latinsk numerus imaginarius ) er et komplekst tal, hvis firkant er et ikke-positivt reelt tal . Tilsvarende kan man definere de imaginære tal som de komplekse tal, hvis virkelige del er nul. [1]

Udtrykket "imaginær" blev først brugt af René Descartes i 1637, men om ikke-reelle løsningeralgebraiske ligninger . [2]

Generel

Repræsentation af et komplekst tal i det gaussiske plan

Når de reelle tal stammer fra enheden 1, er de imaginære tal baseret på den imaginære enhed , et ikke-reelt nummer med ejendommen

Ved at multiplicere den imaginære enhed med en reel faktor er skabt med

altid et imaginært tal. Og omvendt er hvert imaginært tal et reelt multiplum af den imaginære enhed. I det gaussiske plan (se billede) danner de imaginære tal den lige linje mærket Im, som skærer den reelle talelinje Re i en ret vinkel for det fælles tal 0.

brug

Ligninger, der ikke kan have reelle løsninger, kan løses i de imaginære tal. Eksempelvis har ligningen

som løsning to reelle tal, nemlig 2 og −2. Men ligningen

kan ikke have en reel løsning, da firkantede firkanter aldrig er negative, så der ikke er noget reelt tal, hvis kvadrat er −4. Løsningen på denne ligning er to imaginære tal, og .

En optagethed af kvadratrødder med negative tal blev nødvendig ved løsning af kubiske ligninger i tilfælde af irreducibilis .

I den komplekse vekselstrøm regning er holdt som et symbol for den imaginære enhed bruges til at undgå forveksling med den øjeblikkelige værdi for at undgå strømstyrken . Dette navn går tilbage til Charles P. Steinmetz . [3] Det er tilladt som et symbol i henhold til DIN 1302, DIN 5483-3 og ISO 80000-2 .

Beregningsregler

Summer eller forskelle mellem to imaginære tal er altid imaginære:

Produkter eller kvotienter med to imaginære tal er altid reelle:

Potenser

Generelt:

for alle .

Komplekse tal

Den imaginære enhed tillader udvidelse af feltet med reelle tal til feltet med komplekse tal.

I dag forstås imaginære tal som særlige komplekse tal. Ethvert komplekst tal kan repræsenteres som summen af ​​et reelt tal og et reelt multiplum af den imaginære enhed .

Bliver algebraisk defineret som et nul af polynomet og de komplekse tal som den resulterende kropsudvidelse . Det andet nul er derefter . Du kan kun skelne de to nuller, hvis du har en af ​​de to med har udpeget. Der er ingen kendetegn for de to nuller. Det er ligegyldigt hvilket "nul" du bruger udpeget. (Som sædvanlig er det komplekse talinterval imidlertid baseret på strukturen af defineret i stedet for bare repræsenteret med dens hjælp, kan man meget vel skelne mellem de mulige nuller og vælge den oplagte i stedet for det lige mulige .)

Alle komplekse tal kan repræsenteres i det gaussiske plan , en forlængelse af den reelle talelinje . Det komplekse tal med reelle tal har den virkelige del og den imaginære del . På grund af de aritmetiske regler for komplekse tal er kvadratet af et tal, hvis reelle del er lig med 0 et ikke-positivt reelt tal:

ekstra

Extensions repræsenterer de hyperkomplekse tal, der ud over de komplekse tal har flere imaginære enheder. For eksempel er der tre imaginære enheder i de fire-dimensionelle kvaternioner , og der er syv imaginære enheder i de otte-dimensionelle oktoner .

I Eulers identitet er der en kortfattet, enkel forbindelse af den imaginære enhed lavet med tre andre grundlæggende matematiske konstanter , nemlig Eulers nummer , cirkelnummeret såvel som den virkelige enhed 1:

litteratur

  • Ilja N. Bronstein, KA Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Muehlig: Taschenbuch der Mathematik . 7. udgave. Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9 .

Weblinks

Wikibooks: Imaginære og komplekse tal - Lærings- og undervisningsmaterialer
Wikibooks: Komplekse tal - Lærings- og undervisningsmaterialer

Individuelle beviser

  1. Eric W. Weisstein : Imaginary Number . I: MathWorld (engelsk).
  2. ^ Helmuth Gericke : Nummerbegrebets historie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1970, s. 66.
  3. ^ Kurt Jäger, Friedrich Heilbronner: Leksikon for elektriske ingeniører . 2. udgave. VDE Verlag, 2010, ISBN 978-3-8007-2903-6 , s.   418