implikation

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Begrebet implikation (fra latinsk implicare , at vikle ind ; verb : at antyde ; adjektiv : at implicit ) bruges ikke ensartet i logik for en bestemt logisk kontekst, især skelnes der

  • et materiale implikation som en af flere mulige logiske forbindelser ( snedkere ) mellem to proposition variabler : (se også artiklen “ Juncture ”). Denne materielle implikation, også kaldet subjunktion eller betinget , kan defineres sandt- funktionelt (se afsnit nedenfor ). Den kan allerede findes i Philo of Megara (3. århundrede f.Kr.) og er normalt omskrevet i daglig tale som: "Hvis a , så b ." [1]
  • en formel implikation som en form for logisk forbindelse, som mere burde svare til en intuitiv opfattelse, der kan skyldes vanerne i det almene sprog . I løbet af tiden opstod forskellige fortolkninger for at formalisere fænomenet så klart som muligt. Ovenstående formel betragtes på en mere differentieret måde, for eksempel som , læs: "For hver enkelt x gælder følgende: Hvis x har egenskaben A , så har den også egenskaben B. " Analysen af ​​en erklæring med nedbrydning i predikatoren og dens argument , især for den formelle implikation, kan findes på samme måde hos Platon og Aristoteles . [1]

Den intuitionistiske implikation eller subjunktion inden for den dialogiske logik samt den strenge implikation af Ackermann og også den strenge implikation kan ses som varianter af en fradragsbaseret formel implikation. Implikationen blev formaliseret som en hypotetisk dom af Bruno von Freytag-Löringhoff og Albert Menne .

Disse mere specifikke fortolkninger kan også betegnes som objektsprogimplikationer . Der skal derefter skelnes mellem de metalsproglige implikationer; de tillader en at tale om den logiske struktur af disse sprog. Følgelig kan de tildeles en endnu tættere forbindelse til begrebet derivabilitet og begrebet slutning .

Forskel mellem objektsprog og metalsproglig implikation

Objekt-sproglig implikation (materiel implikation, betinget, subjunktion) er en sætning, der består af to kortere udsagn ved hjælp af krydset "(allerede) hvis ..., så ...". For eksempel er "hvis det regner, vejen er våd" en væsentlig betydning; denne implikation siger noget om sætningernes logiske forbindelse, nemlig at sandheden i den første underklausul ( antecedent , også antecedent ) er en tilstrækkelig betingelse for sandheden i den anden underklausul ( konsekvens ).

Den metalsproglige implikation er derimod en erklæring om udsagn, bare en meta-sætning. En metalsproglig implikation ville være udsagnet "Fra sætningen 'Det regner' følger sætningen 'Gaden er våd'" ". Intet siges her om regn, vådhed eller deres forbindelse, men derimod to sætninger af objektets sprog og deres logiske forhold. Ved at gøre det kan der henvises til deres betydning (f.eks. Om hvad den ene sætning siger er til stede, hvis det den anden siger er til stede) eller ej, så to sætninger kan forbindes med hinanden udelukkende gennem deres logiske form (så kan for eksempel sige ”If , derefter ").

Objekt sprog implikationer

Objekt-sproglig implikation, en erklæring , der består af to kortere udsagn ved hjælp af krydset "(allerede) hvis ..., så ...", kaldes materiel implikation , subjunktion og betinget .

Sandhedsfunktionel implikation

Subjunktionen er kun falsk, hvis A er sand, og B er falsk. Dette område er hvidt i Venn -diagrammet .
Det er klassisk

A → B ¬A B.

I klassisk logik bruges kun sandhedsfunktionelle udsagnskombinationer, dvs. kun dem, hvor udsagnskombinationens sandhedsværdi udelukkende afhænger af sandhedsværdien af ​​de delvise udsagn. Inden for en betinget bliver den første erklæring Den anden erklæring omtales blandt andet som antecedent, antecedent, implicant eller antecedent blandt andet som et suffiks, en eftertanke, konsekvens, impliceret, sjældent også en konsekvens.

Siden oldtiden - for første gang af Philo of Megara - er den sandhedsfunktionelle implikation eller seq -funktion blevet defineret af følgende sandhedstabel:

f f w
f w w
w f f
w w w

Denne sandhedsfunktionelle objekt-sproglige implikation kaldes blandt andet materiel implikation , subjunktion eller (i stigende grad) betinget . Det udtrykker den tilstrækkelige betingelse , det vil sige, at det ikke gør krav på nogen årsagssammenhæng eller anden materiel forbindelse mellem og .

Allerede i oldtiden blev det diskuteret i hvilket omfang og under hvilke betingelser det naturlige sprog "hvis ..., så ..." udtrykker en tilstrækkelig betingelse og dermed svarer til den materielle implikation, men frem for alt om og hvordan de andre betydninger af det naturlige sprog "hvis ..., så ..." ", for eksempel årsagssammenhængen (" A forårsager B "), kan analyseres. Forsøg på at analysere anden betydning end den rent sandhedsfunktionelle ("materielle") betydning af det naturlige sprog "hvis ..., så ..." fører til ikke-klassiske implikationer, for eksempel den strenge implikation og den intuitionistiske implikation .

I det formelle logiske sprog bruges en simpel pil som et symbol for krydset , især i det engelsktalende område baseret på Peano-Russell-stavemåden også kurven ("Hufeisen", "hestesko" , "Bogenzeichen" (Reichenbach)) brugt, lejlighedsvis også pilen med to vandrette linjer .

I den polske betegnelse bruges det store bogstav C til den materielle betydning, så udsagnet "Hvis a, så b" skrives som Cab .

Gottlob Frege udtrykker den betingede "Hvis A, så B" i sit konceptuelle skrift , den første formalisering af klassisk prædikatlogik Term script Script.svg slutningen.

Stavemåder

Naturligt sprog og materiel betydning

I tilfælde af materiel implikation siger man ofte kort: "Hvis a, så b." Denne brug er lidt uheldig, fordi sætningen "hvis ..., så ..." på tysk har et bredt betydningsfelt og for det meste ikke for materiale, det vil sige her sandhedsfunktionelt, men bruges til kontekstuelle forbindelser ( kausalitet eller kronologisk rækkefølge). Sådanne forbindelser kan ikke udtrykkes med den materielle betydning. Der skal derfor skelnes meget præcist mellem den materielle implikation og det naturlige sprog "hvis ..., så ...". Nogle gange forsøger man at undgå misforståelser, som kan skyldes de mange betydninger af den tyske "hvis ..., så ...", ved at bruge formuleringer som " allerede hvis a, så b ..." eller "a er en tilstrækkelig betingelse for b ".

Implikationen for (a) "Det regner" og (b) "Vejen bliver våd" er udsagnet

Når det regner, bliver vejen våd.

Alternative formuleringer, der bedre understreger den materielle karakter, er

Selv når det regner, bliver vejen våd.

eller

At det regner er en tilstrækkelig betingelse for at vejen kan blive våd.

Den materielle implikation er falsk, hvis og kun hvis antecedenten er sand, og den deraf følgende er falsk . I ethvert andet tilfælde er implikationen sand . Den betingede “Hvis det regner, bliver gaden våd” er kun forkert, hvis det regner, men gaden ikke bliver våd.

Bestemmelsen om, at en materiel implikation kun er falsk, hvis antecedenten (if -delen) er sand, og den deraf følgende er falske, fører til, at følgende kombinationer af empiriske udsagn er sande :

Når London er i Frankrig, er sneen hvid. falsk foregang, sand succession
Når London er i Frankrig, er sneen sort. forkert fortilfælde, forkert succession
Når London er i England, er sneen hvid. sand fortilfælde, sand succession

Disse paradokser af den materielle implikation understreger den materielle implikations ekstensionelle karakter ( se knudepunkt ): Det gør ikke krav på nogen materiel forbindelse mellem antecedenten (hvis del) og successionen (der er faktisk ingen forbindelse mellem Londons geografiske placering og farve af sne) Deres sandhedsværdi spores snarere rent udvidet tilbage til sandhedsværdierne i deres underklausuler: "Selvom forløbet er sandt, er det efterfølgende også sandt."

Forbindelse med den nødvendige betingelse

Som allerede nævnt udtrykker den materielle betydning den tilstrækkelige betingelse . Det skal skelnes fra den nødvendige betingelse, der siger, at en tilstand er nødvendig, men ikke tilstrækkelig til, at en anden situation kan forekomme.

eksempel
“Kun når en person er myndig, kan de stemme.” Lovlig alder er en nødvendig betingelse for stemmeretten, men det er ikke tilstrækkeligt; du skal normalt opfylde yderligere betingelser, f.eks. B. har statsborgerskab i landet.

Tilstrækkelig og nødvendig betingelse er nært beslægtede. Hvis et spørgsmål A er en tilstrækkelig betingelse for et spørgsmål B, så er B også en nødvendig betingelse for A. Eksemplet "Kun når en person er myndig, kan han stemme" svarer logisk til "Selvom en person har lov til at stemme er, at de er myndige. ”Man kan tydeliggøre denne sammenhæng, som ofte først opfattes som kontraintuitiv ved at se på situationen på et valgsted. Hvis du ser en person stemme der, så kan du utvetydigt konkludere - selvom de måske ser meget unge ud, at de skal være myndige; fordi kun voksne har lov til at stemme.

På grund af denne kontekstuelle kontekst udtrykker den materielle betydning den nødvendige såvel som den tilstrækkelige betingelse:

læses normalt som “A er en tilstrækkelig betingelse for B” eller “Hvis A, så B”; men da det svarer til " B er en nødvendig betingelse for A ", kan det lige så let læses på den måde.

Egenskaber og love for logik

Den materielle betydning

er propositionelt ækvivalent med følgende udsagn, for eksempel:

  • (læs: "ikke a eller b "). Denne ækvivalens kan bruges til at definere den materielle implikation på grundlag af disjunktion og negation .
  • (læs: "det tæller ikke: a og ikke b "). Den materielle implikation kan også defineres ud fra konjunktion og negation.
  • (læs: "hvis ikke b , så ikke a "). Så du kan vende implikationen, hvis du negerer forløbet og det deraf følgende på samme tid. Denne logiske lov er også kendt som modposition .

Desuden svarer udsagnet a til og erklæringen (læs: "ikke a ") svarer til , hvori enhver tautologi og er en vilkårlig modsætning . Endvidere er og svarende til .

På grund af dets udstrakte karakter er den materielle implikation i prædikatlogik velegnet til at formalisere udsagn af typen "Alle heste er pattedyr" som følger:

Notation
Måde at tale på "For alle x gælder følgende: Hvis x er en hest, er x et pattedyr"

Med hensyn til egenskaberne af den materielle implikation skal det bemærkes, at det ikke er associativt , kommutativt , symmetrisk , antisymmetrisk eller asymmetrisk . Men det er transitivt , det vil sige følgende gælder:

slutningen og følger

Det er også refleksivt , så følgende gælder generelt:

Ved hjælp af implikationen og negationen kan alle propositionelle sammenføjninger repræsenteres.

Ikke-klassiske konsekvenser

Intuitionistisk implikation

I intuitionisme betyder udtrykket som der er tegn på (om eksistensen, som der ikke siges noget om) til et bevis på kan suppleres. Dette forhold kan ikke defineres ud fra sandhedsværdierne for forløb og succession, så det er ikke udvidet eller sandhedsfunktionelt . I stedet bruges intensiv semantik, den mest kendte og først formaliserede er Kripke -semantikken udviklet af Saul Aaron Kripke til modal logik .

De ovenfor anførte ækvivalenser gælder intuitionistisk "kun i en retning", dvs. især:

  • slutningen følger men ikke omvendt.
  • slutningen følger men ikke omvendt.
  • slutningen følger men ikke omvendt.

I modsætning til den materielle implikation kan den intuitionistiske implikation ikke defineres i form af negation og konjunktion eller disjunktion.

Det holder dog stadig, at a svarer til og med såvel som det og svarer til . Ligesom den materielle implikation er den intuitionistiske transitive og refleksive.

Strenge implikationer

Den strenge implikation er kombinationen af ​​den logiske nødvendighedsoperatør med den materielle implikation.

Notation ,
Måde at tale på Hvis a, så nødvendigvis b

Den strenge implikation blev udviklet af Diodoros Kronos og i skolastik som et forsøg på at omgå paradokserne for materiel implikation og blev reorganiseret i 1918 af Clarence Irving Lewis . Dette er beregnet til at tilnærme det naturlige sprog "hvis ..., så ...". Den strenge implikation er ikke allerede sand, hvis antecedenten er falsk, eller den deraf følgende er sand. Der er mange varianter af den strenge implikation, afhængigt af hvilken modalregning der bruges. Den strenge implikation er ligesom materialet og det intuitionistiske transitive og refleksive.

Begrebet streng implikation er også genstand for kritik, fordi selvom det undgår paradokset for materiel implikation, fører det til den analoge vanskelighed, at enhver logisk umulig erklæring indebærer enhver erklæring, og at hver erklæring strengt indebærer enhver logisk nødvendig erklæring. Lewis 'egen brug af streng implikation er også blevet anklaget for at forvirre genstand og metalsprog.

Metallinguistisk implikation

Den metalsproglige implikation er en erklæring om udsagn . En erklæring A indebærer en erklæring B, hvis og kun hvis A gælder, gælder B også. Analogt betyder flere udsagn A 1 til A n en erklæring B, hvis og kun hvis udsagnene A 1 til A n også gælder sammen. For eksempel betyder udsagnene "Alle grise grynt" og "Babe er et gris" "Babe grynt".

Begrebet inferens og dermed den metalsproglige implikation er formelt specificeret på forskellige måder. På den ene side skelnes der mellem den semantiske slutning , nedskrevet som , og den syntaktiske slutning , udledningen, nedskrevet som :

Semantisk konklusion
En konklusion er semantisk gyldig, hvis og først derefter, skrevet: hvis sandheden i udsagn A 1 til A n garanterer sandheden i erklæring B. I en fortolkningssemantik er dette tilfældet, hvis sætningen B også er sand for hver fortolkning , hvor hver af udsagnene A 1 til A n er sand.
Syntaktisk forestilling om slutning
En konklusion er derefter syntaktisk gyldig, skrevet , hvis sætningen B i en given logisk beregning kan udledes af sætningerne A 1 til A n , det vil sige, hvis sætningen B kan genereres fra sætningerne A 1 til A n ved hjælp af slutningsreglerne og aksiomerne for den respektive beregning .

På den anden side er der grundlæggende forskellige versioner af begrebet slutning og dermed af den metalsproglige implikation, såsom den klassiske logik eller logikken. Disse forskellige definitioner af slutning eller metalsproglig implikation fører til fundamentalt forskellige beregninger og semantiske modeller . Hvis det ikke fremgår klart af konteksten, hvilken form for metalsproglig implikation eller konklusion der er meningen, er det derfor nødvendigt at give disse oplysninger. Man kan derfor finde formuleringer som "A indebærer klassisk (semantisk, syntaktisk) B" eller "C indebærer intuitionistisk (semantisk, syntaktisk) D". I den formelle notation er typen af ​​slutning normalt angivet med et abonnement ved slutningstegnet. For eksempel kunne “K” stå for klassisk, “jeg” for intuitionistisk konklusion, altså (semantisk, klassisk), (syntaktisk, klassisk), (semantisk, intuitionistisk) og (syntaktisk, intuitionistisk).

I langt de fleste logikker er der en tæt forbindelse mellem objekt og metalsproglige implikationer, hvilket kommer til udtryk i fradragssætningen . Nemlig "Hvis a, så b" kan bevises, kan dette udledes af a b; og hvis omvendt b kan udledes af a , så kan "Hvis a, så b" bevises. For " c er beviseligt" skriver man også . Fradragssætningen kan således nedskrives således:

iff.

Fradragssætningen gælder både det klassiske, den intuitionistiske og den strenge implikation. Dette er dog ikke en selvfølge, men kræver et (i de fleste tilfælde ikke-trivielt) bevis.

Se også

Weblinks

Wiktionary: Implikation - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

  1. a b Oversigt over formel logik . Paderborn: Universitäts-Taschen-Bücher-Verlag: 1983. Oversat fra fransk af Joseph Maria Bocheński . Oversat og udvidet af Albert Menne .