Induktans

Efternavn

Elektrisk induktans

L.

${\ displaystyle L}$ $L.$

Størrelse og Enhedssystem	enhed	dimension
SI	H	M · L ² · T ⁻² · I ⁻²
esE ( cgs )	cm ⁻¹ s ²	L ⁻¹ · T ²
emE ( cgs )	fra H.	L.

Induktans er en egenskab ved elektriske kredsløb eller komponenter , især spoler . Skal skelnes mellem selvinduktionen (også kaldet selvinduktans eller selvinduktion) og gensidig induktans; "Induktans" uden en tilføjelse betyder næsten altid selvinduktans. Kredsløbets selvinduktans indstiller ændringen af den elektriske strøm over tid $i(t)$ ${\ displaystyle i (t)}$ $det)$ med den elektriske spænding $u(t)$ ${\ displaystyle u (t)}$ $u (t)$ i forhold: ^[1] ^[2]

u(t)=L{\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle u (t) = L {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle u (t) = L {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

.

Symbolet for selvinduktans er $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ . Det blev valgt til ære for Emil Lenz , hvis teoretiske arbejde med elektromagnetisk induktion var grundlæggende. ^[3] Måleenheden for selvinduktans i SI-enhedssystemet er Henry , opkaldt efter den amerikanske fysiker Joseph Henry .

I det vigtige tilfælde af en trådsløjfe eller spole kan forholdet mellem spænding og tidsvarierende strøm forstås direkte ved hjælp af Ampères lov og induktionslov : En elektrisk strøm genererer et magnetfelt , som beskrevet af Ampères lov. Ændringen i magnetfeltet over tid, som beskrevet af induktionsloven, "fremkalder" en elektrisk spænding i det samme kredsløb. Begge effekter er proportionale med antallet af omdrejninger $N$ ${\ displaystyle N}$ $N$ , selvinduktans af en spole er derfor proportional med $N^{2}$ ${\ displaystyle N ^ {2}}$ $N ^ {2}$ .

Ændringer i strøm i et kredsløb $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ men også fremkalde spændinger i andre elektriske kredsløb i nærheden $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Denne "gensidige induktion" eller gensidig induktion er beskrevet med koefficienter $L_{mn}=L_{nm}$ ${\ displaystyle L_ {mn} = L_ {nm}}$ ${\ displaystyle L_ {mn} = L_ {nm}}$ den gensidige induktans.

Selv- og gensidig induktion og de tilsvarende induktanser spiller en vigtig rolle i transformere , elektriske motorer og elektronik .

Anvendelsesområde

Det første krav for at ligningen er gyldig $u=L{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle u = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}}}$ $u = L {\ frac {{\ mathrm d} i} {{\ mathrm d} t}}$ er, at magnetfeltet genereres "kvasi-statisk" af den elektriske strøm . Der må ikke være faseforskelle mellem magnetfelt og strøm og ingen emission af elektromagnetiske bølger , dvs. frekvenserne skal være tilstrækkeligt små.

Endvidere skal strømfordelingen være frekvensuafhængig. Dette er tilfældet ved lave frekvenser, hvor strømtætheden er konstant på tværs af lederens tværsnit, såvel som ved høje frekvenser ved en komplet hudeffekt , hvor strømmen strømmer i lederoverfladen (som med superledere ). Ved frekvenser med delvis hudeffekt er induktansen frekvensafhængig. For tynde ledere gør det imidlertid lidt forskel, om strømmen strømmer i lederens tværsnit eller i lederens overflade - frekvensafhængigheden er lille.

Endelig antages det også, at magnetiserbare materialer placeret i området med magnetfelterne har konstante permeabilitetstal . Ellers er der en ikke-lineær induktans .

I denne sammenhæng gælder forholdet imidlertid $u=L{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle u = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}}}$ $u = L {\ frac {{\ mathrm d} i} {{\ mathrm d} t}}$ for lederløkker med ledere af enhver længde , ^[1] ^[2] og induktanserne bestemmes udelukkende af arrangementet og ekspansionen af de elektriske ledere og magnetiserbare materialer.

Induktion i elektroteknik

Animation af et jævnstrømskredsløb: Efter lukning af knappen lyser S ₁ med det samme, mens lysstyrken på S ₂ kun stiger gradvist på grund af selvinduktion af spolen L, der modvirker strømmen.
Efter åbning af knappen bevirker selvinduktion af spolen L, at den midlertidigt overtager spændingskildens rolle. I kredsløbet dannet ved L, S ₂ og S ₁ _er strømmen gennem S ₂ fastholdt i en kort periode, mens strømmen gennem _S1 skifter retning. Begge lamper mister deres lysstyrke lige meget, indtil de slukker.

Strømmen gennem lamperne S ₁ og _S2 og spændingen U ₂ på spolen L over tid. De fine, skrånende lige linjer illustrerer tidskonstanterne

\tau

{\ displaystyle \ tau}

\dug

₁ og

\tau

{\ displaystyle \ tau}

\dug

₂ .

Inden for elektroteknik er induktans for lederløkker ofte defineret af den lænkede magnetiske flux indeholdt i lederløkken $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ ifølge

L={\frac {\Psi }{I}}\,

{\ displaystyle L = {\ frac {\ Psi} {I}} \,}

L = {\ frac {\ Psi} {I}} \,

.

Dækker lederen den samme magnetiske flux $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ flere, f.eks. B. alle vendinger af en spole $N$ ${\ displaystyle N}$ $N$ med samme størrelse er der et specielt tilfælde til den sammenkædede magnetiske flux $N\Phi$ ${\ displaystyle N \ Phi}$ ${\ displaystyle N \ Phi}$ og selvinduktansen også

L={\frac {N\cdot \Phi }{I}}\,

{\ displaystyle L = {\ frac {N \ cdot \ Phi} {I}} \,}

{\ displaystyle L = {\ frac {N \ cdot \ Phi} {I}} \,}

.

Hvis der kun er magnetiske stoffer med et konstant permeabilitetstal i nærheden af kredsløbet, følger det af fluxloven, at den magnetiske fluxdensitet er $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ strømmen $JEG.$ ${\ displaystyle I}$ $JEG.$ i en leder loop er proportional. Derfor er det overordnede fra strømmen $JEG.$ ${\ displaystyle I}$ $JEG.$ genereret magnetisk flux $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ direkte proportional med den øjeblikkelige værdi af strømmen $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ . Proportionalitetsfaktoren, der forekommer kl $N$ ${\ displaystyle N}$ $N$ Vender sig er selvinduktansen L.

\Phi ={\frac {L\cdot I}{N}}\,

{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {L \ cdot I} {N}} \,}

\ Phi = {\ frac {L \ cdot I} {N}} \,

.

Men hvis de magnetiske stoffer som jern i nærheden af den elektriske leder ikke har et konstant permeabilitetstal μ _r (dette er f.eks. Fra den magnetiske fluxdensitet $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ afhængig), så er induktansen ikke en konstant proportionalitetsfaktor, men en funktion $L(B)$ ${\ displaystyle L (B)}$ $L (B)$ den magnetiske fluxdensitet. Der er derefter en mætningsmagnetisering . De resulterende ikke-lineære induktanser er meget vanskeligere at behandle analytisk.

Hvis en ikke-lineær induktans styres omkring et driftspunkt , ændres ændringen i den koblede flux $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ adskiller sig fra den statiske induktansværdi i forhold til ændringen i strøm. Ved uendeligt små ændringer omkring driftspunktet resulterer stigningen i tangenten til kurven $\Psi (I)$ ${\ displaystyle \ Psi (I)}$ ${\ displaystyle \ Psi (I)}$ den dynamiske induktans

L_{\mathrm {dyn} }={\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} I}}\,

{\ displaystyle L _ {\ mathrm {dyn}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} I}} \,}

L _ {{\ mathrm {dyn}}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} \ Psi} {{\ mathrm {d}} I}} \,

.

enheder

Internationalt enhedssystem (SI)

SI -enheden for induktans er Henry . Der eksisterer en induktans på 1 H, hvis der skabes en selvinduceret spænding på 1 volt langs lederen med en ensartet strømændring på 1 ampere i sekundet .

1\ \mathrm {H} =1{\frac {\mathrm {V} \cdot \mathrm {s} }{\mathrm {A} }}\,

{\ displaystyle 1 \ \ mathrm {H} = 1 {\ frac {\ mathrm {V} \ cdot \ mathrm {s}} {\ mathrm {A}}} \,}

1 \ {\ mathrm {H}} = 1 {\ frac {{\ mathrm {V}} \ cdot {\ mathrm {s}}} {{\ mathrm {A}}}} \,

Forældet enhed

Indtil midten af det 20. århundrede var spolernes induktans undertiden mærket med enheden cm eller kvadrant . Denne specifikation i centimeter skyldes, at induktansen i det elektromagnetiske CGS -system for enheder (EMU), som næsten ikke bruges i dag, blev udtrykt i længdedimensionen. Navnet Kvadrant kommer af, at 10 ⁹ EMU er lig med 1 Henry, hvilket igen svarer til længden i cm af en jordkvadrant . ^[4]

En induktans på 1 cm i elektromagnetiske CGS -enheder svarer til 1 nH i SI -enheder.

Matematisk afledning

I overensstemmelse med induktionsloven resulterer cirkulationsspændingen u _{i af} en hvilende omkring den magnetiske flux $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ guidet sløjfe fra ændringshastigheden over tid for den magnetiske flux, der passerer gennem denne sløjfe $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ eller fra den inducerede elektriske feltstyrke E _i langs løkken:

u_{i}=\oint {\vec {E}}_{i}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}\,

{\ displaystyle u_ {i} = \ oint {\ vec {E}} _ {i} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} { \ mathrm {d} t}} \,}

u_ {i} = \ oint {\ vec E} _ {i} \ cdot {\ mathrm {d}} {\ vec s} = - {\ frac {{\ mathrm {d}} \ Phi} {{\ mathrm {d}} t}} \,

.

Hvis lederløkken vikles rundt om den magnetiske flux N-fold, som det f.eks. Er tilfældet med en spole, gælder følgende cirka:

u_{i}=-N\cdot {\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}\,

{\ displaystyle u_ {i} = - N \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}} \,}

u_ {i} = - N \ cdot {\ frac {{\ mathrm {d}} \ Phi} {{\ mathrm {d}} t}} \,

.

Det negative tegn, der opstår, svarer til Lenzs regel : den inducerede spænding $u_{i}$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ $u_ {i}$ søger at producere en strøm, der modvirker den oprindelige ændring i strøm. Bliv elektricitet $jeg$ ${\ displaystyle i}$ $jeg$ og spænding $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ defineret for induktansen som en passiv komponent i samme retning, resulterer følgende resultater for u : $u=-u_{i}$ ${\ displaystyle u = -u_ {i}}$ $u = -u_ {i}$ . Med ovenstående definition af induktans kan forholdet mellem terminalspændingen u som en funktion af strømmen i udtrykkes som en differentialligning :

u={\frac {\mathrm {d} N\Phi }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (Li)}{\mathrm {d} t}}=L{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+i{\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}\,

{\ displaystyle u = {\ frac {\ mathrm {d} N \ Phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (Li)} {\ mathrm {d} t}} = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} + i {\ frac { \ mathrm {d} L} {\ mathrm {d} t}} \,}

u = {\ frac {{\ mathrm {d}} N \ Phi} {{\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} \ Psi} {{\ mathrm {d} } t}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} (Li)} {{\ mathrm {d}} t}} = L {\ frac {{\ mathrm {d}} i} {{\ mathrm {d}} t}} + i {\ frac {{\ mathrm {d}} L} {{\ mathrm {d}} t}} \,

I de fleste tilfælde ændrer induktansen sig ikke over tid, og strøm-spændingsforholdet ved induktansen kan også specificeres

u=L{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}\,

{\ displaystyle u = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} \,}

u = L {\ frac {{\ mathrm {d}} i} {{\ mathrm {d}} t}} \,

Den resulterende magnetiske flux $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ er den strømning, der kun genereres på grund af strømmen i gennem lederløkkerne. En ændring i denne flux inducerer en spænding i hver af N -lederløkkerne $u=-u_{i}$ ${\ displaystyle u = -u_ {i}}$ $u = -u_ {i}$ og kaldes således en forbundet magnetisk flux $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ effektiv. Yderligere eksterne magnetiske strømninger gennem lederløkkerne antages ikke at eksistere i dette tilfælde eller er konstante over tid. Spændingen u kaldes den terminalspænding, der opstår under selvinduktion.

Forbrugerpilssystem

Tegnet i ovenstående ligning afhænger af tælleretningen af strøm og spænding. Hvis spændingen u svarer til retningen af strømmen langs lederløkken, som vist i den tilstødende grafik, taler vi om det såkaldte forbrugertællingssystem , og følgende gælder:

u_{L}\left(t\right)=L\cdot {\frac {\mathrm {d} i_{L}\left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\,

{\ displaystyle u_ {L} \ venstre (t \ højre) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i_ {L} \ venstre (t \ højre)} {\ mathrm {d} t}} \, }

u_ {L} \ venstre (t \ højre) = L \ cdot {\ frac {{\ mathrm {d}} i_ {L} \ venstre (t \ højre)} {{\ mathrm {d}} t}} \ ,

.

Hvis retningerne for spænding u strøm i langs lederløkken er modsat rettet, taler man om det såkaldte generator-tællingspilsystem , og følgende gælder:

u_{L}\left(t\right)=-L\cdot {\frac {\mathrm {d} i_{L}\left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\,

{\ displaystyle u_ {L} \ venstre (t \ højre) = - L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i_ {L} \ venstre (t \ højre)} {\ mathrm {d} t}} \ ,}

u_ {L} \ venstre (t \ højre) = - L \ cdot {\ frac {{\ mathrm {d}} i_ {L} \ venstre (t \ højre)} {{\ mathrm {d}} t}} \,

.

Dette spændingsfald u , som opstår når strømmen ændres, omtales derefter som selvinduktionsspænding eller induktivt spændingsfald . Ovenstående differentialligning er elementligningen, der kan bruges til at beskrive lineære induktanser såsom spoler i elektriske kredsløb.

Netværksmodel

Baseret på induktionsloven genererer eksternt virkende, tidsmæssigt variable magnetiske fluxer i tidsmæssigt konstante ledersløjfer tidsmæssigt variable elektriske spændinger. Men den magnetiske flux, som skabes af en strøm gennem selve spolen , virker også på spolen. Hvis strømintensiteten gennem spolen ændres, ændres det magnetiske felt, der genereres af selve spolen, og inducerer derved en spænding i selve spolen, som er modsat ændringen i strømintensiteten. Denne kendsgerning kaldes almindeligvis selvinduktion. Jo hurtigere og stærkere magnetfeltet ændres, jo højere genereres induktionsspændingen. I princippet kan selvinduktion beskrives fuldstændigt ved induktionsloven og kræver ikke nogen formelle tilføjelser eller justeringer.

Imidlertid kan netværksteorien, der er almindelig inden for elektroteknik, som f.eks. Bruges til at beskrive elektriske maskiner som transformere, føre til vanskeligheder med at forstå, da netværksteorien ikke kender nogen feltvariabler, såsom magnetisk flux.

Selvinduktionseffekt, repræsenteret som en selvinduceret kildespænding

Selvinduktionseffekt, vist som en netværksmodel med induktivt spændingsfald

I stedet bruges spændinger og strømme, der ændrer sig over tid, i ækvivalente kredsløbsdiagrammer med passive komponenter som spoler og elektriske modstande . De inducerede spændinger er modelleret som spændingskilder , som historisk også kaldes elektromotorisk kraft (EMF) . Da inducerede spændinger ikke er en kraft i fysisk forstand, bør udtrykket EMF undgås for at undgå misforståelser og bør omtales som selvinduceret kildespænding .

I netværksmodellen, som vist blandt andet i kredsløbsdiagrammer , bruges tællepile og visse retninger, som vist i den tilstødende figur. For afklaring er den eksterne magnetiske flux Φ _{ext, der} virker på lederløkken, og de inducerede spændinger u _ext forårsaget af den forsynet med index ext . Strømmen i, der flyder, når den eksternt lukkede sløjfe indlæses, genererer en magnetisk flux Φ _I , som identificeres ved indekset I. Den selvinducerede kildespænding kan modelleres som en spændingskilde med størrelsen u _i , som vist i den første figur, og er modsat spændingen u _{ext, der} driver spolestrømmen i . Det betegnes derfor også som modspænding . Denne repræsentation bruges f.eks., Når man beskriver den såkaldte magnetiseringsstrøm i en transformer.

Modellen af det induktive spændingsfald , som vist i den anden figur, kræver ingen yderligere spændingskilde. Spændingen, der forekommer ved den trukne spole L, peger i samme retning som strømmen i, som er forårsaget af den eksternt drivende spænding u _ekst . Denne repræsentation har den fordel, at relationerne i netværksmodellen i tilfælde af harmoniske processer lettere kan beskrives ved hjælp af Ohms lov med reaktanser . Det særlige tilfælde af harmoniske processer med de forekommende mængder, hvilket er vigtigt inden for elektroteknik, reducerer tidsderivaterne i induktionsloven til multiplikationer med jω (dΦ / d t ≡ jωΦ), hvilket svarer til en rotation på 90 ° i komplekse plan og repræsenterer adgangen til den komplekse vekselstrømberegning . Her udpeget $\mathrm {j}$ ${\ displaystyle \ mathrm {j}}$ $\ mathrm {j}$ den imaginære enhed .

Induktiv reaktans

Transformering af differentialligningen:

u(t)=L\cdot {\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}\,

{\ displaystyle u (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}} \,}

u (t) = L \ cdot {\ frac {{\ mathrm {d}} i (t)} {{\ mathrm {d}} t}} \,

ind i Laplace -domænet med den uafhængige variabel $s=\sigma +\mathrm {j} \omega =\mathrm {j} \omega$ ${\ displaystyle s = \ sigma + \ mathrm {j} \ omega = \ mathrm {j} \ omega}$ $s = \ sigma + {\ mathrm {j}} \ omega = {\ mathrm {j}} \ omega$ , (Fourier, $\sigma =0$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ ), så bliver differentialoperatoren ${\mathrm {d} }/{\mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} / {\ mathrm {d} t}}$ ${{\ mathrm {d}}} / {{\ mathrm {d}} t}$ faktoren $\mathrm {j} \omega$ ${\ displaystyle \ mathrm {j} \ omega}$ ${\ mathrm {j}} \ omega$ , og følgende gælder:

U(\mathrm {j} \omega )=\mathrm {j} \omega L\cdot I(\mathrm {j} \omega )\,

{\ displaystyle U (\ mathrm {j} \ omega) = \ mathrm {j} \ omega L \ cdot I (\ mathrm {j} \ omega) \,}

U ({\ mathrm {j}} \ omega) = {\ mathrm {j}} \ omega L \ cdot I ({\ mathrm {j}} \ omega) \,

.

Skiltet $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ angiver vinkelfrekvensen $\omega =2\pi f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ . I lighed med Ohms lov kan der udledes en vekselstrømsmodstand herfra for spolen:

{\underline {Z}}={\frac {{\underline {U}}(\mathrm {j} \omega )}{{\underline {I}}(\mathrm {j} \omega )}}=\mathrm {j} \omega L\,

{\ displaystyle {\ understregning {Z}} = {\ frac {{\ understregning {U}} (\ mathrm {j} \ omega)} {{\ understregning {I}} (\ mathrm {j} \ omega)} } = \ mathrm {j} \ omega L \,}

\ understregning {Z} = {\ frac {\ understregning U ({\ mathrm {j}} \ omega)} {\ understregning I ({\ mathrm {j}} \ omega)}} = {\ mathrm {j}} \ omega L \,

Definer, som også er kendt som (kompleks) impedans .

Vil f.eks. B. For meget enkle kredsløb, der ikke overvejer faseskiftet mellem strøm og spænding ved induktansen, kan AC -beregninger også udføres uden komplekse tal. Hvis en induktans er forbundet til en vekselstrøm i størrelsen U , kan størrelsen I af strømmen beregnes ved hjælp af formlen:

I={\frac {U}{X_{L}}}\,

{\ displaystyle I = {\ frac {U} {X_ {L}}} \,}

I = {\ frac {U} {X_ {L}}} \,

kan beregnes, hvorved følgende gælder for den induktive reaktans X _L ved frekvensen f :

X_{L}=\omega \cdot L=2\pi f\cdot L\,

{\ displaystyle X_ {L} = \ omega \ cdot L = 2 \ pi f \ cdot L \,}

X_ {L} = \ omega \ gange L = 2 \ pi f \ gange L \,

.

Spænding og strømkurve
Luftkernespole
Spole med jernkerne

Dette gælder dog kun for induktanser, der har et konstant permeabilitetstal, der ikke er afhængigt af moduleringen, som det f.eks. Er tilfældet med en luft-kernespole .

Ubelastningsstrømmen fra luftkernespoler kan være mindre end 90 grader ude af fase med spændingen. Ved den lave frekvens på 50 Hz i eksempelmålingen er den ohmiske modstand dominerende. På grund af sin hysteresekurve er den ubelastede strøm af spoler med en jernkerne helt anderledes end for en luftkernspole.

Anvendelse af selvinduktion

Selvinduktion bruges blandt andet til at generere den krævede høje tændingsspænding til lysstofrør eller til tændrør i benzinmotorer . Spændinger på et par 1000 V kan genereres. På denne måde genereres højspændingsimpulser i det elektriske hegn og i gnistinduktoren .

At skifte enhver induktans er en byrde for switches. Den resulterende højspænding er farlig for switches, især elektroniske switches som transistorer , for når det slukkes, ændrer magnetfeltet sig meget brat og genererer dermed den høje selvinduktionsspænding. For at undgå at ødelægge kontakten eller for at begrænse spændingen, er en kondensator eller en fritgående diode forbundet i antiparallel til spolen.

Selvinduktionen er blandt andet årsagen til induktansen, som er nødvendig for at beskrive spolens adfærd i vekselstrømskredsløb. Induktansen fører til et faseskift mellem strøm og spænding, som bruges i forbindelse med den komplekse AC -beregning ved beregning af induktive modstande .

Bestemmelse af induktivitet af forskellige lederarrangementer

Ved at anvende beregningsmetoderne for magnetfelter, især Biot-Savart-loven , kan de eksterne induktanser bestemmes analytisk for nogle enkle geometriske lederarrangementer. I feltberegningen er mere komplicerede lederarrangementer normalt kun tilgængelige ved hjælp af numeriske beregningsmetoder.

Lederarrangementerne vist mere detaljeret nedenfor har også teknisk betydning: ved fremstilling af induktorer (betegnelse for elektriske komponenter med en defineret induktans som hovedegenskab) bruges en sådan standardform ofte. Sådanne komponenter kaldes spoler eller chokes .

Induktans af en ringspole

Toroid spole

En ringspole, også kendt som en toroidal spole , består af en ring med den midterste radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ og tværsnitsareal $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ hvis magnetiske egenskaber er afgørende. Det er ofte godt magnetisk ledende og har en høj relativ permeabilitet $\mu _{r}$ ${\ displaystyle \ mu _ {r}}$ $\ mu _ {r}$ såsom ferrit . Det forekommende $\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu _ {0}$ er magnetfeltkonstanten , en naturlig konstant.

Denne ringformede kerne er dækket af et tyndt lag tråd $N$ ${\ displaystyle N}$ $N$ Viklinger såret. Induktansen $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ er derefter givet som en tilnærmelse:

L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}\mu _{r}A}{2\pi r}}\,

{\ displaystyle L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} \ mu _ {r} A} {2 \ pi r}} \,}

L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} \ mu _ {r} A} {2 \ pi r}} \,

.

En bedre tilnærmelse til induktansen af en toroidal spole, der tager hensyn til afhængigheden af magnetfeltstyrken som funktion af radius, er:

L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}\mu _{r}h}{2\pi }}\cdot \ln {\frac {R}{r}}\,

{\ displaystyle L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} \ mu _ {r} h} {2 \ pi}} \ cdot \ ln {\ frac {R} {r}} \,}

L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} \ mu _ {r} h} {2 \ pi}} \ cdot \ ln {\ frac {R} {r}} \,

.

Dette skaber et rektangulært tværsnit af ringen med højden $H$ ${\ displaystyle h}$ $H$ antaget. Den ydre radius af kernen er med $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ og den indre radius med $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ udpeget.

I alle tilfælde gælder det, at disse ligninger kun giver gode omtrentlige resultater, hvis ringen er viklet tilstrækkeligt tynd.

Fordelen ved jævnt sårede toroidspoler ligger i friheden fra felter uden for viklingen, hvorfor de ikke udsender magnetiske interferensfelter og næppe er modtagelige for sådanne.

Induktans af en solenoid

Cylinder spole (luftkernespole)

I tilfælde af en cylindrisk luftkernespole , dens længde $l$ ${\ displaystyle l}$ $l$ stor i forhold til diameteren af tværsnittet $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ induktansen kan beregnes omtrent som følger:

L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}A}{l}}={\frac {N^{2}}{R_{m}}}\,

{\ displaystyle L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} A} {l}} = {\ frac {N ^ {2}} {R_ {m}}} \,}

L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} A} {l}} = {\ frac {N ^ {2}} {R_ {m}}} \,

.

Ud over kravet om en tyndt, lukket indpakning negligeres det ydre rums magnetiske modstand og kun $R_{m}$ ${\ displaystyle R_ {m}}$ $R_ {m}$ af kernen vedtaget. Denne ligning er også kun en tilnærmelse. For kortere cylinderspoler er der tilnærmelsesformler, der tager højde for spolens begrænsede længde og dermed den "dårligere" magnetfeltstyring i dens indre. For en spole, hvis længde er mindst 0,6 gange radius, gælder ( $r_{w}$ ${\ displaystyle r_ {w}}$ $r_ {w}$ : Coil radius):

L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}A}{l+2r_{w}/2{,}2}}\,

{\ displaystyle L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} A} {l + 2r_ {w} / 2 {,} 2}} \,}

L = N ^ {2} \ cdot {\ frac {\ mu _ {0} A} {l + 2r_ {w} / 2 {,} 2}} \,

.

Hvis solenoiden er fyldt med et materiale, bliver det eksterne magnetfeltrum relevant. Det er permeabilitetstallet (for de fleste materialer er det $\mu _{r}>1$ ${\ displaystyle \ mu _ {r}> 1}$ $\ mu _ {r}> 1$ ) og de enkle formler ovenfor kan ikke anvendes. Sådanne solenoider fyldt med et magnetisk materiale og med et åbent magnetisk kredsløb bruges ofte og har på trods af de omgivende magnetfelter nogle fordele: på grund af luften i det magnetiske kredsløb når de næsten aldrig magnetisk mætning, er lette at fremstille og har en lav iboende kapacitans.

Afledning af tilnærmelsesformlen

Fra forholdet til induktionsspændingen, når den magnetiske flux inde i en lang spole ændres $\Phi =BA={\mu _{0}\mu _{r}NI \over l}A$ ${\ displaystyle \ Phi = BA = {\ mu _ {0} \ mu _ {r} NI \ over l} A}$ $\ Phi = BA = {\ mu _ {0} \ mu _ {r} NI \ over l} A$

U_{\mathrm {ind} }(t)=-N{\dot {\Phi }}(t)

{\ displaystyle U _ {\ mathrm {ind}} (t) = - N {\ dot {\ Phi}} (t)}

U _ {{\ mathrm {ind}}} (t) = - N {\ dot \ Phi} (t)

følger

U_{\mathrm {ind} }=-{\mu _{0}\mu _{r}N^{2}A \over l}{\dot {I}}(t)

{\ displaystyle U _ {\ mathrm {ind}} = - {\ mu _ {0} \ mu _ {r} N ^ {2} A \ over l} {\ dot {I}} (t)}

U _ {{\ mathrm {ind}}} = - {\ mu _ {0} \ mu _ {r} N ^ {2} A \ over l} {\ punkt I} (t)

Induktans L er slukket

U_{\mathrm {ind} }=-L{\dot {I}}(t)

{\ displaystyle U _ {\ mathrm {ind}} = - L {\ dot {I}} (t)}

U _ {{\ mathrm {ind}}} = - L {\ dot I} (t)

identificeret med

L={\mu _{0}\mu _{r}N^{2}A \over l}

{\ displaystyle L = {\ mu _ {0} \ mu _ {r} N ^ {2} A \ over l}}

L = {\ mu _ {0} \ mu _ {r} N ^ {2} A \ over l}

.

Bestemmelse af induktansen ved hjælp af A _L -værdien

I praksis bruges ofte færdige spolekerner, for hvilke producenten ofte angiver en induktanskonstant A _L (Al-værdi, normalt i nH pr. Kvadratomdrejning) og svarer til den gensidige værdi af den magnetiske modstand R _m . I denne værdi er alle materialekonstanter og arrangementets særlige geometri allerede opsummeret som en tilnærmelse. Hvis du vikler kernen med N -sving, får du en spole med induktansen:

L=A_{L}\cdot N^{2}={\frac {1}{R_{m}}}\cdot N^{2}\,

{\ displaystyle L = A_ {L} \ cdot N ^ {2} = {\ frac {1} {R_ {m}}} \ cdot N ^ {2} \,}

L = A _ {{L}} \ cdot N ^ {{2}} = {\ frac {1} {R_ {m}}} \ cdot N ^ {2} \,

.

Dette gælder kun, hvis kernematerialet drives i et lineært område af dets karakteristiske kurve bestående af induktion B og magnetisk feltstyrke H eller forbliver under mætningsinduktionen.

Felt energi

Induktive komponenter som spoler lagrer energi i form af deres magnetfelt. Magnetfeltet i en spole med induktivitet L , gennem hvilken den øjeblikkelige værdi af strømmen I strømmer, indeholder energien W:

W={\frac {1}{2}}\cdot L\cdot I^{2}\,

{\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} \ cdot L \ cdot I ^ {2} \,}

W = {\ frac {1} {2}} \ cdot L \ cdot I ^ {2} \,

I tilfælde af en pludselig afbrydelse i kredsløbet skal energien, der er lagret i spolen, omdannes på meget kort tid og genererer en meget høj selvinduktionsspænding ved tilslutningsterminalerne, hvilket kan beskadige isoleringen eller andre kredsløbsdele. For at undgå dette kortsluttes induktive komponenter ofte med en belastningsmodstand, inden de slukkes, hvor energien lagret i magnetfeltet omdannes termisk. Denne højspænding kan dog også bruges til at forsyne elektriske komponenter med højspændingskrav, f.eks. Et tændrør .

Andre metoder til termisk konvertering under koblingsprocesser er de beskyttelsesdioder, der bruges i DC -spændingskredsløb.

Intern og ekstern induktans

Udtrykket ekstern induktans bruges om bidraget fra den magnetiske flux, der opstår i rummet uden for den elektriske leder til induktansen. I ovenstående eksempler til bestemmelse af induktansen af forskellige geometriske lederarrangementer antages tværsnittene af de elektriske ledere at være ubetydeligt tynde. I dette tilfælde kan bestemmelsen af induktansen begrænses til bestemmelsen af den eksterne induktans eller en idealiseret feltform.

Hvis den elektriske leder (ledning) på den anden side har en ikke-ubetydelig rumlig ekspansion, et tilsvarende tværsnitsareal, forekommer der også en magnetisk fluxdensitetsfordeling i lederen. Den induktans, der stammer fra dette, kaldes den interne induktans. I det enkleste tilfælde af en ensartet strømfordeling over lederens tværsnit med længden l , kan den interne induktans bestemmes ved hjælp af følgende ligning:

L_{i}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi }}

L_{i}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi }}

L_{i}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi }}

Bemerkenswert daran ist, dass die innere Induktivität nicht von den konkreten geometrischen Abmessungen wie Durchmesser der Querschnittsfläche des Leiters abhängt. Jener Ausdruck gilt nur bei gleichmäßiger Stromverteilung, also nur bei Gleichstrom, und nur wenn die Querschnittsfläche des Leiters keine inneren Begrenzungen aufweist. Ist die Stromverteilung aufgrund des Skineffektes bei höheren Frequenzen nicht mehr gleichmäßig, ergeben sich andere, komplexere Ausdrücke für die frequenzabhängige innere Induktivität. Die inneren Induktivitäten sind wegen der Stromverdrängung im Leiter stark frequenzabhängig und nehmen mit steigender Frequenz praktisch auf Null ab.

Die innere Induktivität ist vor allem bei der Bestimmung der Gesamtinduktivität von elektrischen Kabeln von Bedeutung, da selbst bei diesen bei niedrigen Frequenzen (z. B.: Netzfrequenz) die Leiterquerschnitte oft nicht vernachlässigt werden können.

Induktivität einer Koaxialleitung

Zur Bestimmung der Induktivität eines Koaxialkabels der Länge $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ (sogenannter Induktivitätsbelag ) sind bei niedrigen Frequenzen die inneren Induktivitäten des inneren Leiters $L_{ii}$ $L_{ii}$ $L_{ii}$ und des äußeren Leiters $L_{ia}$ $L_{ia}$ $L_{ia}$ zu berücksichtigen. Hauptsächlich wirkt jedoch die Induktivität $L_{a}$ $L_{a}$ $L_{a}$ des konzentrischen Raumes zwischen den beiden Leitern. Die gesamte Induktivität einer koaxialen Leitung der Länge $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ ergibt sich aus der Summe der einzelnen Teilinduktivitäten:

\;L=L_{a}+L_{ii}+L_{ia}\,

\;L=L_{a}+L_{ii}+L_{ia}\,

\;L=L_{a}+L_{{ii}}+L_{{ia}}\,

.

Im Gleichstromfall kann für den inneren Leiter mit dem Durchmesser $d$ ${\displaystyle d}$ $d$ obiger Ausdruck für die innere Induktivität verwendet werden:

L_{ii}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi }}\,

L_{ii}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi }}\,

L_{{ii}}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi }}\,

.

Die ebenfalls stark frequenzabhängige innere Induktivität des äußeren Leiters mit der Dicke $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ und den Innendurchmesser $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ , der als Kreisring konzentrisch angeordnet ist, ergibt im Gleichstromfall mit $x=D/(D+2s)$ ${\displaystyle x=D/(D+2s)}$ $x=D/(D+2s)$ :

L_{ia}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi (1-x^{2})^{2}}}\cdot (4x^{2}-x^{4}-3-\ln x)\,

L_{ia}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi (1-x^{2})^{2}}}\cdot (4x^{2}-x^{4}-3-\ln x)\,

L_{ia}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{8\pi (1-x^{2})^{2}}}\cdot (4x^{2}-x^{4}-3-\ln x)\,

.

Für kleine $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ ergibt die Taylorentwicklung eine gute Näherungsformel:

L_{ia}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{3\pi }}\cdot {\frac {s}{D}}\,

L_{ia}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{3\pi }}\cdot {\frac {s}{D}}\,

L_{{ia}}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{3\pi }}\cdot {\frac {s}{D}}\,

.

Die frequenzunabhängige äußere Induktivität im Dielektrikum ist bei Koaxialleitern:

L_{a}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{2\pi }}\cdot \ln {\frac {D}{d}}\,

L_{a}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{2\pi }}\cdot \ln {\frac {D}{d}}\,

L_{a}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}l}{2\pi }}\cdot \ln {\frac {D}{d}}\,

.

Bei höheren Frequenzen, ab 10 kHz aufwärts, können die beiden Terme der inneren Induktivität wegen des Skineffektes vernachlässigt werden. Für die Bestimmung der Wellenimpedanz eines Koaxialkabels bei typischen Frequenzen ist daher nur der Summand $L_{a}$ $L_{a}$ $L_{a}$ der äußeren Induktivität von wesentlicher Bedeutung.

Gegeninduktivität

Die Gegeninduktivität kennzeichnet die gegenseitige magnetische Einwirkung zweier oder mehrerer räumlich benachbarter Stromkreise. Sie wird auch als magnetische Kopplung bezeichnet. Die wichtigste technische Anwendung findet die Gegeninduktivität bei einem Transformator.

Nichtlineare Induktivität

Die relative Permeabilitätszahl μ _r hängt als Stoffkonstante nicht nur vom jeweiligen Material ab, sondern bei vielen Materialien auch von der magnetischen Flussdichte . Bei hohen magnetischen Flussdichten kommt es zu einer so genannten magnetischen Sättigung des Materiales und als Folge zu einer Reduktion der relativen Permeabilitätszahl μ _r bis herunter auf 1. Dadurch ist die Induktivität direkt von der magnetischen Flussdichte abhängig, die ihrerseits meist eine Funktion des durch die Spule fließenden elektrischen Stromes ist. Somit ändert sich die Induktivität einer Spule in Abhängigkeit vom Momentanwert des Stromes, der durch die Spule fließt.

Die Folge davon ist, dass sich die dynamische Induktivität bei sehr kleinen Aussteuerungen um den Arbeitspunkt von der statischen Induktivität unterscheiden kann. Bei größeren Aussteuerungen über die lineare Arbeitspunktnäherung hinaus, können bei nichtlinearen Induktivitäten in Wechselspannungsanwendungen zusätzliche Oberschwingungen als nichtlineare Verzerrungen auftreten. Auch sind bei Berechnungen mit nichtlinearen Induktivitäten die einfachen Methoden der (linearen) komplexen Wechselstromrechnung nicht mehr direkt anwendbar.

Die Nichtlinearität von Induktivitäten kann erwünscht sein, z. B. bei Speicher drosseln in Schaltreglern , um diese besser an verschiedene Lastfälle anzupassen, oder in den Ablenkschaltungen von Röhrenfernsehern , um dem nichtlinearen Stromverlauf in den Ablenkspulen entgegenzuwirken. Auch bei den so genannten Sättigungsdrosseln zur Entstörung von Thyristorstellern ist Nichtlinearität erwünscht.

Messgeräte

Induktivität kann nicht direkt gemessen werden. Lediglich ihre Auswirkung kann festgestellt werden.

Durch Aufschalten einer bekannten Wechselspannung und Messung des durch das induktive Bauelement fließenden Wechselstromes (oder umgekehrt) kann über die Reaktanz die Induktivität ermittelt werden. Dazu werden Amplitude und Phasenlage bestimmt. Diese Methode wird in einfachen Labormessgeräten angewandt und liefert den Induktivitätswert, die Güte sowie den Wert eines äquivalenten Serien- oder Parallelwiderstandes.

Durch Parallelschalten einer bekannten Kapazität zur Induktivität erhält man einen Schwingkreis . Ermittelt man dessen Resonanzfrequenz , kann man daraus auf die Induktivität schließen. Diese Methode ist auch ohne spezielle Geräte durchführbar. Die Genauigkeit ist recht hoch.

Für hohe Genauigkeiten wird eine Maxwell-Messbrücke verwendet. Diese Methode ist sehr genau und wird ua in der automatisierten Fertigung von Spulen eingesetzt.

Beim Bestimmen der Induktivitäten realer Spulen muss beachtet werden, dass je nach Spulenkonstruktion zu sehr hohen Frequenzen hin die kapazitive Kopplung der Windungen und Lagen wirksam wird. Der Impedanzverlauf steigt bis zu einem Maximalwert und bekommt Schwingkreischarakter, um zu noch höheren Frequenzen hin wieder zu sinken – die Spule stellt dann eine Kapazität dar.

Induktivität als störende Eigenschaft

Jeder elektrische Strom verursacht ein Magnetfeld (Elektromagnetismus), in dem magnetische Energie gespeichert ist. Somit besitzt jedes Stück eines elektrischen Leiters eine kleine Induktivität. Auf Leiterplatten kann als Überschlagsrechnung mit einer Induktivität von rund 1,2 nH pro Millimeter Leitungslänge gerechnet werden. Zusammengefasst ergeben diese Induktivitäten die parasitäre Aufbauinduktivität einer elektrischen Schaltung.

Die Magnetfelder nahe beieinander liegender Leiterstücke beeinflussen sich durch die magnetische Kopplung gegenseitig. Liegen z. B. Hin- und Rückleitung eines Stromkreises sehr eng beieinander, heben sich deren Magnetfelder gegenseitig teilweise auf, was die Gesamtinduktivität dieser Anordnung stark verringert. Daher werden Strompfade oft eng aneinander geführt und Kabel miteinander verdrillt .

Soll sich der Strom in einer induktiven Leiterschleife ändern, muss eine zur Stromänderungsgeschwindigkeit d i /d t proportionale Spannung U _ind wirksam sein:

U_{\mathrm {ind} }=L\cdot {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}\,

U_{\mathrm {ind} }=L\cdot {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}\,

U_{{\mathrm {ind}}}=L\cdot {\frac {{\mathrm {d}}i}{{\mathrm {d}}t}}\,

.

Häufig zum Schalten von Lasten mit induktivem Verhalten benutzte Schalter und Relais weisen deswegen deutliche Abnutzungsspuren an den Kontakten auf, die deren Funktion stark beeinträchtigen können: beim Abschalten fließt der Strom aufgrund der Induktivität weiter und bildet einen Lichtbogen (siehe Schaltlichtbogen ), in den sich die in der Induktivität gespeicherte Energie entlädt. Noch kritischer sind Stromflussänderungen, die durch Halbleiterschalter hervorgerufen werden. Halbleiterbauteile werden von derart hohen Spannungen oft zerstört. Daher muss bei der Konstruktion von Schaltungen mit hohen Stromänderungsgeschwindigkeiten auf einen niederinduktiven Aufbau geachtet werden. Zusätzlich werden häufig Snubber -Netzwerke am Halbleiter angebracht. Falls möglich und nötig, werden auch Freilaufdioden benutzt. Neuere Halbleiterschalter können oft auch ohne Schutzbeschaltung induktive Lasten schalten, indem der Energieabbau in einem kontrollierten Avalanchedurchbruch erfolgt.

Ein weiteres Problem parasitärer Induktivitäten ist die Interaktion mit parasitären Kapazitäten. Der dadurch entstandene Schwingkreis kann störende Spannungsschwingungen erzeugen, die Halbleiterbauteilen schaden können und dieElektromagnetische Verträglichkeit und die Signalübertragungseigenschaften verschlechtern.

In Computern kann sich der Strombedarf einzelner Integrierter Schaltungen im Nanosekundentakt ändern. Weil das einer Frequenz im Gigahertzbereich entspricht, kann die Induktivität der Stromversorgungsleitungen nicht ignoriert werden, auch wenn sie nur wenige Zentimeter kurz sind. Der induktive Widerstand des Drahtes vergrößert den Innenwiderstand der Spannungsquelle mit steigender Frequenz ganz erheblich. Als Folge kann die Spannung bei Stromänderungen beispielsweise zwischen 2 V und 10 V schwanken und den IC stören, möglicherweise sogar zerstören. Als Gegenmittel werden induktionsarme Kondensatoren unmittelbar an den IC-Anschlüssen angeordnet, die einen sehr geringen dynamischen Innenwiderstand sicherstellen.

Berechnungstechniken

Im allgemeinsten Fall sind Stromverteilung und Magnetfeld aus den Maxwellgleichungen zu bestimmen. Im Fall von Leiterschleifen aus dünnen Drähten ist die Stromverteilung dagegen zumindest näherungsweise vorgegeben, Skineffekt und Abschirmströme ergeben jedoch auch hier Komplikationen und Fallunterscheidungen.

Wechselseitige Induktivität zweier Leiterschleifen

Die wechselseitige Induktivität zweier „fadenförmiger“ Leiterschleifen m und n lässt sich mit dem Neumann -Kurvenintegral ^[5]

L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}|}}

L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}|}}

L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}|}}

erhalten. Das Symbol μ ₀ bezeichnet die magnetische Feldkonstante , C _m und C _n sind die von den Leiterschleifen aufgespannten Kurven. Die Formel ist in guter Näherung auf reale Drahtschleifen anwendbar, wenn die Krümmungsradien der Schleifen und die Abstände zwischen den Drähten größer als der Drahtradius sind.

Selbstinduktivität einer Drahtschleife

Die Neumann-Formel ist zur Berechnung von Selbstinduktivitäten nicht verwendbar, da bei $m=n$ ${\displaystyle m=n}$ $m=n$ die beiden Kurven zusammenfallen und der Integrand $1/|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|$ $1/|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|$ $1/|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|$ divergiert. Es ist notwendig, den endlichen Drahtradius $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ und die Stromverteilung im Drahtquerschnitt zu berücksichtigen. Es verbleibt der Beitrag des Integrals über alle Punktpaare mit $|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|>a/2$ $|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|>a/2$ $|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|>a/2$ und ein Korrekturterm, ^[6]

L=\left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\right)_{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|>a/2}+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ell Y+O\left(\mu _{0}a\right).

L=\left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\right)_{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|>a/2}+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ell Y+O\left(\mu _{0}a\right).

L=\left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\right)_{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|>a/2}+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ell Y+O\left(\mu _{0}a\right).

Die Symbole $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ und $\ell$ $\ell$ $\ell$ stehen hier für Radius und Länge des Drahts, $Y$ ${\displaystyle Y}$ $Y$ ist eine von der Stromverteilung abhängige Konstante: $Y=0$ ${\displaystyle Y=0}$ $Y=0$ , falls der Strom in der Drahtoberfläche fließt ( Skineffekt ), $Y=1/2$ ${\displaystyle Y=1/2}$ $Y=1/2$ , falls die Stromdichte im Drahtquerschnitt konstant ist. Der Fehler $O(\mu _{0}a)$ $O(\mu _{0}a)$ $O(\mu _{0}a)$ ist klein, wenn die Drahtschleife groß ist im Verhältnis zum Drahtradius.

Für Drahtschleifen bestehend aus geraden Segmenten mit Längen $\ell _{m}$ $\ell _{m}$ $\ell _{m}$ ist die Bedingung $\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|>a/2$ $\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|>a/2$ $\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|>a/2$ nur wichtig, wenn die Integrationsvariablen $\mathbf {x}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {x}$ und $\mathbf {x} '$ $\mathbf {x} '$ $\mathbf{x}'$ auf demselben Segment liegen. Diese Integrale sind ausführbar. Es verbleiben Integrale ohne die Extra-Bedingung,

L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left\{\sum _{m}\ell _{m}\left[2\ln \left({\frac {2\ell _{m}}{a}}\right)-2+Y\right]+\sum _{m\neq n}\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|}}\right\}+O\left(\mu _{0}a\right).

L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left\{\sum _{m}\ell _{m}\left[2\ln \left({\frac {2\ell _{m}}{a}}\right)-2+Y\right]+\sum _{m\neq n}\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|}}\right\}+O\left(\mu _{0}a\right).

L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left\{\sum _{m}\ell _{m}\left[2\ln \left({\frac {2\ell _{m}}{a}}\right)-2+Y\right]+\sum _{m\neq n}\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|}}\right\}+O\left(\mu _{0}a\right).

Methode der Spiegelströme

In manchen Fällen erzeugen verschiedene Stromverteilungen in einem Raumbereich ein identisches Magnetfeld. Diesen Umstand kann man ausnutzen, um Selbstinduktivitäten zueinander in Beziehung zu setzen (siehe auch Spiegelladung ). Ein Beispiel sind die zwei Systeme:

Ein Draht in einem Abstand $d/2$ ${\displaystyle d/2}$ $d/2$ vor einer perfekt leitenden Wand (der Strom kehrt in der Wand zurück)
Zwei parallele Drähte mit Abstand $d$ ${\displaystyle d}$ $d$ , entgegengesetzter Strom

Das Magnetfeld der beiden Systeme ist (in einem Halbraum) identisch. Magnetische Feldenergie und Induktivität des zweiten Systems sind daher doppelt so groß wie die des ersten.

Beziehung zwischen Induktivität und Kapazität

Im Fall eines Leiterpaars bestehend aus zwei parallelen idealen Leitern beliebigen konstanten Querschnitts besteht zwischen Induktivität pro Länge $L^{'}$ ${\displaystyle L'}$ $L'$ und Kapazität pro Länge $C^{'}$ ${\displaystyle C'}$ $C'$ die Beziehung ^[1]

\displaystyle L'C'={\varepsilon \mu }.

\displaystyle L'C'={\varepsilon \mu }.

\displaystyle L'C'={\varepsilon \mu }.

ε und µ stehen hier für die dielektrische Permittivität und die magnetische Permeabilität des umgebenden Mediums. In den Leitern gibt es kein elektrisches und kein magnetisches Feld (vollständiger Skineffekt , hohe Frequenz). Außerhalb der Leiter sind elektrisches und magnetisches Feld überall senkrecht zueinander. Signale breiten sich an den Leitungen entlang mit derselben Geschwindigkeit aus wie freie elektromagnetische Strahlung im umgebenden Medium.

Selbstinduktivitäten einfacher Stromkreise

Die Selbstinduktivitäten vieler Typen von Stromkreisen lassen sich exakt oder in guter Näherung angeben.

Selbstinduktivität von Leiterschleifen
Typ	Selbstinduktivität	Kommentar
Eine-Lage Solenoid ^[7]	${\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}}{3l}}\left[-8w+{\frac {2}{w{\sqrt {m}}}}\left(K\left({\sqrt {m}}\right)-{\frac {1-2m}{1-m}}E\left({\sqrt {m}}\right)\right)\right]$ ${\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}}{3l}}\left[-8w+{\frac {2}{w{\sqrt {m}}}}\left(K\left({\sqrt {m}}\right)-{\frac {1-2m}{1-m}}E\left({\sqrt {m}}\right)\right)\right]$ ${\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}}{3l}}\left[-8w+{\frac {2}{w{\sqrt {m}}}}\left(K\left({\sqrt {m}}\right)-{\frac {1-2m}{1-m}}E\left({\sqrt {m}}\right)\right)\right]$ $={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left[1-{\frac {8w}{3\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}}\left(-1\right)^{n+1}w^{2n}\right]$ $={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left[1-{\frac {8w}{3\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}}\left(-1\right)^{n+1}w^{2n}\right]$ $={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left[1-{\frac {8w}{3\pi }}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{{2n}}}}\left(-1\right)^{{n+1}}w^{{2n}}\right]$ $={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left(1-{\frac {8w}{3\pi }}+{\frac {w^{2}}{2}}-{\frac {w^{4}}{4}}+{\frac {5w^{6}}{16}}-{\frac {35w^{8}}{64}}+\dots \right)$ $={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left(1-{\frac {8w}{3\pi }}+{\frac {w^{2}}{2}}-{\frac {w^{4}}{4}}+{\frac {5w^{6}}{16}}-{\frac {35w^{8}}{64}}+\dots \right)$ $={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left(1-{\frac {8w}{3\pi }}+{\frac {w^{2}}{2}}-{\frac {w^{4}}{4}}+{\frac {5w^{6}}{16}}-{\frac {35w^{8}}{64}}+\dots \right)$ bei w ≪ 1 $=\mu _{0}rN^{2}\left[\left(1+{\frac {1}{32w^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right)\ln(8w)-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{128w^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right]$ $=\mu _{0}rN^{2}\left[\left(1+{\frac {1}{32w^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right)\ln(8w)-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{128w^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right]$ $=\mu _{0}rN^{2}\left[\left(1+{\frac {1}{32w^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right)\ln(8w)-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{128w^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right]$ bei w ≫ 1	$N :$ ${\displaystyle N:}$ $N:$ Anzahl Windungen $r :$ ${\displaystyle r:}$ $r:$ Radius $l :$ ${\displaystyle l:}$ $l:$ Länge $w=r/l$ ${\displaystyle w=r/l}$ $w=r/l$ $m=4w^{2}/(1+4w^{2})$ $m=4w^{2}/(1+4w^{2})$ $m=4w^{2}/(1+4w^{2})$ $K :$ ${\displaystyle K:}$ $K:$ Elliptisches Integral $E :$ ${\displaystyle E:}$ $E:$ Elliptisches Integral
Koaxialkabel, hohe Frequenz	${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a_{1}}{a}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a_{1}}{a}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a_{1}}{a}}\right)$	$a_{1}:$ $a_{1}:$ $a_{1}:$ Äußerer Radius $a :$ ${\displaystyle a:}$ $a:$ Innerer Radius $l :$ ${\displaystyle l:}$ $l:$ Länge
Kreisförmige Drahtschleife ^[6]	$\mu _{0}r\cdot \left(\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\frac {Y}{2}}+{\mathcal {O}}\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)$ $\mu _{0}r\cdot \left(\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\frac {Y}{2}}+{\mathcal {O}}\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)$ $\mu _{0}r\cdot \left(\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\frac {Y}{2}}+{\mathcal {O}}\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)$	$r :$ ${\displaystyle r:}$ $r:$ Schleifenradius $a :$ ${\displaystyle a:}$ $a:$ Drahtradius
Rechteck ^[8]	${\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\ln \left({\frac {2b}{a}}\right)+d\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)-\left(b+d\right)\left(2-{\frac {Y}{2}}\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\ln \left({\frac {2b}{a}}\right)+d\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)-\left(b+d\right)\left(2-{\frac {Y}{2}}\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\ln \left({\frac {2b}{a}}\right)+d\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)-\left(b+d\right)\left(2-{\frac {Y}{2}}\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}\right)$ $\;\;-{\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{d}}\right)+d\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {d}{b}}\right)+{\mathcal {O}}\left(a\right)\right)$ $\;\;-{\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{d}}\right)+d\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {d}{b}}\right)+{\mathcal {O}}\left(a\right)\right)$ $\;\;-{\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{d}}\right)+d\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {d}{b}}\right)+{\mathcal {O}}\left(a\right)\right)$	$a :$ ${\displaystyle a:}$ $a:$ Drahtradius $b\gg a$ $b\gg a$ $b\gg a$ : Kantenlänge $d\gg a$ $d\gg a$ $d\gg a$ : Kantenlänge
Zwei parallele Drähte	${\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)$	$a :$ ${\displaystyle a:}$ $a:$ Drahtradius $d :$ ${\displaystyle d:}$ $d:$ Abstand, $d\geq 2a$ $d\geq 2a$ $d\geq 2a$ $l :$ ${\displaystyle l:}$ $l:$ Länge Drahtpaar
Zwei parallele Drähte, hohe Frequenz	${\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\operatorname {arcosh}\left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{{2}}}{4a^{{2}}}}-1}}\right)$	$a :$ ${\displaystyle a:}$ $a:$ Drahtradius $d :$ ${\displaystyle d:}$ $d:$ Abstand, $d\geq 2a$ $d\geq 2a$ $d\geq 2a$ $l :$ ${\displaystyle l:}$ $l:$ Länge Drahtpaar
Draht parallel zu perfekt leitender Wand	${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\left(\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\left(\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\left(\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)$	$a :$ ${\displaystyle a:}$ $a:$ Drahtradius $d :$ ${\displaystyle d:}$ $d:$ Abstand, $d\geq a$ $d\geq a$ $d\geq a$ $l :$ ${\displaystyle l:}$ $l:$ Länge
Draht parallel zu leitender Wand, hohe Frequenz	${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)$ ${\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\operatorname {arcosh}\left({\frac {d}{a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{{2}}}{a^{{2}}}}-1}}\right)$	$a :$ ${\displaystyle a:}$ $a:$ Drahtradius $d :$ ${\displaystyle d:}$ $d:$ Abstand, $d\geq a$ $d\geq a$ $d\geq a$ $l :$ ${\displaystyle l:}$ $l:$ Länge

Das Symbol μ ₀ steht für die magnetische Feldkonstante (≈ 4π·10 ⁻⁷ H/m). Bei hohen Frequenzen fließt der Strom in der Leiteroberfläche ( Skineffekt ), und in Abhängigkeit von der Geometrie muss man manchmal Hochfrequenz- und Niederfrequenz-Induktivitäten unterscheiden. Dazu dient die Konstante $Y$ ${\displaystyle Y}$ $Y$ : $Y=0$ ${\displaystyle Y=0}$ $Y=0$ falls der Strom gleichmäßig über die Drahtoberfläche verteilt ist (Skineffekt), $Y=1/2$ ${\displaystyle Y=1/2}$ $Y=1/2$ falls der Strom gleichförmig über den Drahtquerschnitt verteilt ist. Im Skineffekt-Fall ist auch zu beachten, dass bei geringem Abstand zwischen den Leitern zusätzliche Abschirmströme induziert werden, und die $Y$ ${\displaystyle Y}$ $Y$ enthaltenden Ausdrücke dann ungenau werden.

Literatur

Frederick W. Grover: Inductance Calculations: Working Formulas and Tables . Reprint Auflage. Dover Publications, New York 1952.
Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. Eine Einführung . 14. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 3-540-56500-0 .
Otto Zinke , Heinrich Brunswig: Hochfrequenztechnik I. Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen . 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-58070-0 .
Howard Johnson: High-Speed Digital Design . Prentice-Hall, New Jersey 1993, ISBN 0-13-395724-1 .

Weblinks

Anschauliche Erläuterung der passiven Bauelemente (incl. Induktivität) im Wassermodell

Anmerkungen

↑ ^a ^b ^c JD Jackson: Classical Electrodynamics . Wiley, 1975, S. 262.
↑ ^a ^b E. Rebhan: Theoretische Physik: Elektrodynamik . Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, + Elsevier, 2007.
↑ Glenn Elert: The Physics Hypertextbook: Inductance. 2018, abgerufen am 1. September 2018 (englisch).
↑ Gustav Benischke: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Elektrotechnik , Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 1907, S. 570.
↑ FE Neumann: Allgemeine Gesetze der inducirten elektrischen Ströme . In: Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, aus dem Jahre 1845 . 1847, S. 1–87.
↑ ^a ^b Richard Dengler: Self inductance of a wire loop as a curve integral . In: Advanced Electromagnetics . 2016. doi : 10.7716/aem.v5i1.331 .
↑ L. Lorenz: Über die Fortpflanzung der Elektrizität . In: Annalen der Physik . VII, 1879, S. 161–193. (Der angegebene Ausdruck liefert die Induktivität eines Zylinders mit einem Strom um seine äußere Oberfläche).
↑ EB Rosa: The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors . In: Bulletin of the Bureau of Standards . 4, Nr. 2, 1908, S. 301–344.

[Jackson1975-1] JD Jackson: Classical Electrodynamics . Wiley, 1975, S. 262.

[Rebhan2007-2] E. Rebhan: Theoretische Physik: Elektrodynamik . Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, + Elsevier, 2007.

[3] Glenn Elert: The Physics Hypertextbook: Inductance. 2018, abgerufen am 1. September 2018 (englisch).

[4] Gustav Benischke: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Elektrotechnik , Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 1907, S. 570.

[5] FE Neumann: Allgemeine Gesetze der inducirten elektrischen Ströme . In: Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, aus dem Jahre 1845 . 1847, S. 1–87.

[Dengler2016-6] Richard Dengler: Self inductance of a wire loop as a curve integral . In: Advanced Electromagnetics . 2016. doi : 10.7716/aem.v5i1.331 .

[7] L. Lorenz: Über die Fortpflanzung der Elektrizität . In: Annalen der Physik . VII, 1879, S. 161–193. (Der angegebene Ausdruck liefert die Induktivität eines Zylinders mit einem Strom um seine äußere Oberfläche).

[8] EB Rosa: The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors . In: Bulletin of the Bureau of Standards . 4, Nr. 2, 1908, S. 301–344.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]