beregning

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Infinitesimalregningen er en teknik udviklet uafhængigt af Gottfried Wilhelm Leibniz og Isaac Newton til at betjene differential- og integralregning . Det giver en metode til at beskrive en funktion konsekvent på vilkårligt små (dvs. uendelige ) sektioner. Tidlige forsøg på at kvantificere uendeligt små intervaller var mislykkedes på grund af modsætninger og paradokser for splittelse .

Til dagens analyse , der arbejder med grænseværdier og ikke med uendelige tal , bruges udtrykket sædvanligvis ikke - siden 1960'erne med den såkaldte ikke -standardanalyse har der imidlertid eksisteret en konsekvent infinitesimal beregning.

historie

René Descartes og Bonaventura Cavalieri var vigtige pionerer i den uendelige kalkulation. Descartes udviklede først metoder til at bruge algebra eller aritmetiske operationer til at løse geometriske problemer. Cavalieri erkendte, at geometriske figurer i sidste ende er sammensat af uendelige elementer.

Gottfried Wilhelm Leibniz udviklede forskellen i halvfjerdserne af 1600 -tallet. Han forstod en kurve som et uendeligt hjørne, så en tangent i sidste ende måtte krydse kurven i en uendelig lille afstand. Under denne uendeligt lille tangentsektion er der en uendelig lille hældningstriangel, hvor forskellene i funktionsværdierne bestemmer tangensens hældning.

Leibniz erkendte også, at beregning af arealet under en kurve er den inverse operation for at danne forskellen - med andre ord: integralregningen er den inverse (som minus og plus) af differentialregningen, eller problemet med at beregne området er den inverse tangent problem. Her bestemte Leibniz området under en kurve som summen af ​​uendeligt smalle rektangler.

På omtrent samme tid som Leibniz udviklede den engelske videnskabsmand Sir Isaac Newton et princip om uendelig kalkulation. Imidlertid betragtede han ikke kurver og linjer som en sekvens af et uendeligt antal punkter i Cavalieri -forstand, men som et resultat af konstant bevægelse. Han kaldte en forstørret eller flydende mængde som flydende , forstørrelseshastigheden eller bevægelsen som en strømning og dermed som et uendeligt lille tidsinterval. Dette gjorde ham i stand til at bestemme bevægelsens hastighed ud fra længden af ​​en tilbagelagt sti (dvs. beregne derivatet) og omvendt beregne længden af ​​stien fra en given hastighed (dvs. oprette det antiderivative).

Med Newton blev områder ikke bestemt som summen af ​​uendeligt små delområder, men snarere begrebet afledning blev placeret i midten. På denne måde var han i stand til at udlede meget klare regler for daglig brug. Men i forhold til Leibniz havde hans koncept nogle begrebsmæssige unøjagtigheder.

Leibniz kiggede på en kurve ved at oprette hældningstrekanten og dermed nå frem til tangenten. Newton, på den anden side, kiggede på bevægelsen af ​​et tidspunkt, gjorde tidsintervallet uendeligt lille, så stigningen i bevægelse også forsvandt og dermed havde mulighed for at beregne derivatet, det vil sige hældningen, på et tidspunkt.

Leibniz offentliggjorde sin regning i 1684, efterfulgt af Newton i 1687, men Leibniz ' symbolsystem sejrede på grund af dens elegante stavemåde og enklere beregninger. Leibniz blev senere angrebet af Newtons tilhængere for at have stjålet Newtons ideer fra en korrespondance mellem dem to i 1676. Dette førte til en plagiat -retssag, der blev undersøgt af en kommission fra Royal Society of London i 1712. Kommissionen, påvirket af Newton, fandt Leibniz forkert skyldig. Denne tvist anstrengte derefter forholdet mellem engelske og kontinentale matematikere i årtier. I dag anses både Newtons og Leibniz metode for at være udviklet uafhængigt af hinanden.

Med sine filosofisk-matematiske undersøgelser af matematisk uendelighed anses Nikolaus von Kues for at være pioner inden for uendelig kalkulation.

Regning i dag

Inspireret af Gödel's fuldstændighedssætning og en deraf følgende "ikke-standard model af naturlige tal", der kender uendeligt store "naturlige" tal, udviklede Abraham Robinson en konsekvent uendelig lille beregning i begyndelsen af ​​1960'erne, som nu mest omtales som ikke-standardiseret analyse og som er baseret på Leibniz 'Opbygger ideer.

I dag bruges uendelig analyse i dele af anvendt matematik, stokastik, fysik og økonomi, for eksempel til at konstruere matematiske modeller, der kan arbejde med ekstreme forskelle i størrelse. Et eksempel på en (ofte intuitiv) anvendelse i atomfysik er enigheden om, at partikler er "uendeligt langt" fra hinanden og derfor "næsten ikke" påvirker hinanden. Et andet intuitivt korrekt eksempel fra stokastik er udsagn igen og igen fra elever og elever om, at nogle begivenheder bør tildeles en "uendelig lille", men virkelig positiv sandsynlighed. Tilsvarende begivenhedsrum kan modelleres ved hjælp af uendeligt mange.

Se også

litteratur

  • S. Albeverio, JE Fenstad, R. Hoegh-Krohn, T. Lindstrom: Ikke-standardiserede metoder i stokastisk analyse og matematisk fysik . Academic Press, 1986.
  • CB Boyer: Beregningens historie og dens konceptuelle udvikling . Dover, New York 1949.
  • O. Deiser: Reelle tal. Det klassiske kontinuum og de naturlige konsekvenser . Springer, Berlin 2007.
  • W. Dunham: Regnegalleriet. Mesterværker fra Newton til Lebesgue . Princeton University Press, Princeton, New Jersey 2005.
  • CH Edwards Jr.: Beregningens historiske udvikling . Springer, New York 1979.
  • Heinz-Jürgen Heß: Opfindelse af den uendelige calculus . I: Erwin Stein , Albert Heinekamp (red.): Gottfried Wilhelm Leibniz - Den store filosof og universelle lærdes arbejde som matematiker, fysiker, tekniker . Gottfried Wilhelm Leibniz Society, Hannover 1990, s. 24–31. ISBN 3-9800978-4-6 .
  • H.-N. Jahnke (red.): Analysehistorie . Spektrum, Heidelberg 1999.
  • H. Kaiser / W. Nöbauer: Matematikhistorie . Oldenbourg, 2003, s. 202-263.
  • H.-H. Körle: Analysens fantastiske historie. Deres problemer og metoder siden Democritus og Archimedes. Derudover de grundlæggende vilkår i dag . Oldenbourg, München 2009.
  • M. Kordos: Forays gennem matematikkens historie . 1999.
  • D. Laugwitz: Tal og kontinuum . BI, Mannheim 1986.
  • A. Robinson: Ikke-standard analyse . 1966.
  • K. Volkert: History of Analysis. BI, Mannheim 1988.
  • W. Walter: Analyse 1 . Springer, Berlin 1997.