Integreret beregning

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Repræsentation af integralet som område under grafen over en funktion i integrationsområdet af så længe

Ud over differentialregning er integralregning den vigtigste gren af ​​den matematiske analysedisciplin . Det opstod fra problemet med areal- og volumenberegning . Integralet er en generisk betegnelse for det ubestemte og det bestemte integral. Beregningen af ​​integraler kaldes integration.

Den bestemte integral af en funktion tildeler et nummer til den. Hvis det bestemte integral af en reel funktion dannes i en variabel , kan resultatet udtrykkes i det todimensionale koordinatsystem som arealet af området mellem grafen for funktionen, -Aksis samt de begrænsende paralleller til -Axis løgne, angiv. Her tæller jordstykker under -Akse negativ. Man taler om det orienterede overfladeareal (også overfladebalance ). Denne konvention vælges således, at det deciderede integral er en lineær kortlægning , som er en central egenskab ved integralkonceptet både for teoretiske overvejelser og for konkrete beregninger. Dette sikrer også, at den såkaldte hovedsætning om differential- og integralregning gælder.

Den ubestemte integral af en funktion tildeler dette en masse funktioner, elementerne i primitive funktioner kaldes. Disse er kendetegnet ved, at deres første derivater matcher den funktion, der blev integreret. Hovedsætningen i differential- og integralregning giver oplysninger om, hvordan visse integraler kan beregnes ud fra antiderivativer.

I modsætning til differentiering er der ingen enkel algoritme, der dækker alle cases til integration af selv elementære funktioner. Integration kræver trænet gætning, brug af specielle transformationer ( integration ved substitution , delvis integration ), slå op i en integreret tabel eller brug af speciel computersoftware. Integrationen finder ofte kun sted cirka ved hjælp af såkaldt numerisk kvadratur .

I teknologien bruges såkaldte planimetre til omtrentlig arealbestemmelse, hvor summeringen af ​​arealelementerne udføres kontinuerligt. Den numeriske værdi af det område, der er bestemt på denne måde, kan aflæses på en tæller, som er forsynet med en vernier for at øge læsens nøjagtighed. Kemikere plejede at bruge en analytisk balance eller mikrobalance til at bestemme integralen af ​​ethvert område: området blev omhyggeligt skåret ud og vejet, ligesom et stykke af det samme papir var nøjagtigt 10 cm × 10 cm i størrelse; en regel på tre førte til resultatet.

Hvad er integralet (animation)

historie

Arealberegninger er blevet undersøgt siden oldtiden . I det 5. århundrede f.Kr. udviklede Eudoxus af Knidos udmattelsesmetoden baseret på en idé fra Antiphon , som bestod i at estimere overfladearealernes proportioner ved hjælp af indesluttede eller overlappende polygoner . Med denne metode var han i stand til at bestemme både arealet og mængden af ​​nogle enkle kroppe. Archimedes (287–212 f.Kr.) forbedrede denne tilgang, og derfor lykkedes det ham nøjagtigt at bestemme arealet af et område afgrænset af en parabolsk bue og en sekant uden at benytte grænsekonceptet , som endnu ikke var tilgængeligt på det tidspunkt; dette resultat kan let konverteres til integralet af en kvadratisk funktion, der kendes i dag. Han estimerede også forholdet mellem omkredsen og diameteren, , som en værdi mellem og væk.

Denne metode blev også brugt i middelalderen. I det 17. århundrede etablerede Bonaventure Francesco Cavalieri princippet om Cavalieri , ifølge hvilket to organer har samme volumen, hvis alle parallelle plansektioner har det samme område. I sit arbejde Astronomia Nova (1609) brugte Johannes Kepler metoder til at beregne Mars kredsløb, der i dag ville blive omtalt som numerisk integration. Fra 1612 forsøgte han at beregne mængden af ​​vinfade. I 1615 udgav han Stereometria Doliorum Vinariorum (" Stereometry of Wine Barrels"), senere også kendt som Keplers tønderegel .

I slutningen af ​​1600 -tallet lykkedes det Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz uafhængigt af hinanden at udvikle beregninger til differentialregning og dermed opdage analysens grundlæggende sætning (for opdagelseshistorien og striden om prioritet, se artikel Infinitesimal regning ; for integraltegnet og dets historie, se integraltegn ). Hendes arbejde tillod abstraktion af rent geometriske ideer og betragtes derfor som begyndelsen på analyse. De er bedst kendt gennem bogen af ​​adelsmanden Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital , der tog privattimer fra Johann I Bernoulli og offentliggjorde sin forskning om analyse. Begrebet integral går tilbage til Johann Bernoulli.

I 1800 -tallet blev al analyse lagt på et mere solidt fundament. I 1823 udviklede Augustin-Louis Cauchy først et integreret udtryk, der opfylder nutidens krav om stringens . Vilkårene for Riemann -integralet og Lebesgue -integralet opstod senere. Endelig fulgte udviklingen af målteori i begyndelsen af ​​det 20. århundrede.

Integreret til kompakte intervaller

"Kompakt" betyder her begrænset og lukket, så der bruges kun funktioner i formintervaller taget i betragtning. Åbne eller ubegrænsede intervaller er ikke tilladt.

motivering

Reduktion af komplekse områder til integraler

Et mål med den integrale beregning er beregning af arealet af flygtigt begrænsede områder af flyet. I de fleste tilfælde, der forekommer i praksis, beskrives sådanne områder af to kontinuerlige funktioner på et kompakt interval hvis grafer begrænser området (venstre billede).

Integreret 1.svg : Integreret 2.svg : Integreret 3.svg

Arealet af det grå område i det venstre billede er lig med forskellen mellem de grå områder i de to højre billeder. Så det er tilstrækkeligt at begrænse sig til den enklere sag om et område afgrænset af:

  • grafen over en funktion
  • to lodrette lige linjer og
  • samt -Akse.

På grund af dets grundlæggende betydning får denne type område et særligt navn:

,

læses som en integreret del af så længe over (eller: fra ) fra , . Faktoren bruges nu generelt som en ren notationskomponent og står for differentialet -Akse. I stedet for kan også være en anden variabel bortset fra og vælges f.eks som ikke ændrer integralets værdi.

Integrerede negative funktioner

Hvis du flytter grafen for en funktion i retning af -Akse omkring et stykke , tilføjes et rektangel til det pågældende område:

Integreret 2.svg : Integreret 4.svg

Integralen ændres efter arealet af dette rektangels bredde og højden , i formler

Hvis du ser på en kontinuerlig funktion, hvis værdier er negative, kan du altid få en finde så værdierne i intervallet er alle positive ( skal være større end mængden af ​​minimum i være). Med ovenstående betragtning opnår man

Integreret over en negativ funktion og positivt skift

det vil sige integralen af er forskellen mellem områderne i det hvide område i midten og det omgivende rektangel. Denne forskel er imidlertid negativ, det vil sige, hvis ovenstående formel skal være korrekt for enhver funktion, områder under - Tællingsakse negativ. Man taler derfor om et orienteret eller rettet område.

Hvis der er en eller flere nuller i intervallet, der skal undersøges, angiver integralet ikke længere arealet, men summen af ​​de (positive) områder af delområderne over -Aksen og de (negative) områder af delområderne under -Akse. Hvis du har brug for området mellem -Aksis og graf over funktionen, integralet skal deles på nuller.

Cavalieris princip og integritetens additivitet

Aksiomatisk tilgang

Det er ikke let at forstå begrebet område på en matematisk præcis måde. I løbet af tiden er der udviklet forskellige koncepter til dette. For de fleste applikationer er deres detaljer imidlertid irrelevante, da de blandt andet er enige om klassen af ​​kontinuerlige funktioner. I det følgende er nogle egenskaber ved integralet opført, som var motiveret ovenfor, og som gælder for hvert integral uanset den nøjagtige konstruktion. Derudover definerer de klart integrationen af ​​kontinuerlige funktioner.

Vær der rigtige tal , og lad det være et vektorrum af funktioner , som omfatter de kontinuerlige funktioner . Funktioner i kaldes "integrerbare". Så er en integral et kort

skrevet

med følgende egenskaber:

  • Linearitet: Til funktioner og er gældende
    • ,
    • .
  • Monotoni: Er for alle , det er det også
  • Integral af den karakteristiske funktion af et interval: faktisk et interval og er
sådan er det
lig med intervallets længde .

Betegnelser

  • De reelle tal og kaldes integrationsgrænser. De kan skrives over og under integraltegnet eller til siden af ​​integraltegnet:
eller
  • Funktionen, der skal integreres kaldes integrand .
  • Variablen kaldes integrationsvariabel. er integrationsvariablen taler man også om integration om . Integrationsvariablen er udskiftelig i stedet for
du kan lige så godt
eller
skrive. I eksemplet ovenfor fører det til uønsket tvetydighed, når et af bogstaverne eller bruges, fordi de allerede fungerer som identifikatorer for integrationsgrænserne. Du bør derfor sikre, at det tegn, der bruges til integrationsvariablen, ikke allerede er tildelt en anden betydning.
  • Den del " ”Kaldes differential , men har i denne sammenhæng for det meste kun symbolsk betydning. Derfor gøres der ikke noget forsøg på at definere det her. Integrationsvariablen kan læses fra differentialet.

Oprindelsen af ​​notationen

Den symbolske betegnelse for integraler går tilbage til den co-første beskrivelse af differential- og integralregning, Gottfried Wilhelm Leibniz . Integraltegnet stammer fra bogstavet lange s (ſ) for latinsk summa . Den multiplikative notation, der skal læses angiver, hvordan integralet - efter Riemann -integralet - består af strimler af højde og den uendelige breddegrad sammensat.

Alternativ stavning i fysik

I teoretisk fysik bruges der af pragmatiske grunde ofte en lidt anden notation for integraler (især for flere integraler). Der afholdes

tit

nogle gange bruges begge stavemåder forskellige steder.

Den anden notation har den ulempe, at den funktion, der skal integreres ikke længere igennem og er i parentes. Derudover kan der opstå misforståelser, for eksempel med Lebesgue -integralet . Den alternative notation har imidlertid også nogle fordele:

  • Udtrykket understreger, at integralet er en lineær operator, der virker på alt til højre for det.
  • Integraler vises ofte i fysikken, hvor den funktion, der skal integreres, er flere linjer lang, eller den er baseret på flere ubekendte integreret. Så kender du stavemåden allerede i begyndelsen af ​​integralet, hvilke variabler der er integreret og over hvilke grænser. Endvidere er tildeling af variabler til grænser derefter lettere.
  • Produkternes kommutativitet for summen, der forekommer i Riemann -tilnærmelsen understreges.

Eksempel:

i stedet for

Enkle konsekvenser af aksiomerne

  • er for alle , det er det også
  • Bliver kaldt med den overordnede norm for , gælder derefter
  • er for alle med et fast nummer , gælder derefter
Det følger heraf: Is en sekvens af integrerbare funktioner, som er ensartet modsat en (integrerbar) funktion konvergerer så er
Med andre ord: integralet er en kontinuerlig funktionel for den overordnede norm.
  • Integraler af trappefunktioner: Faktisk en trinfunktion , altså en usammenhængende forening af intervaller af længder , så det konstant med værdi er, så gælder
således klart lig med summen af ​​de orienterede områder af rektanglerne mellem funktionsgrafen for og -Akse.

Antiderivativer og hovedsætningen om differential- og integralregning

Integration er en tvetydig vending af differentiering. For at gøre dette mere præcist kræves begrebet antiderivativ : Is en funktion, det er navnet på en funktion en antiderivativ af hvis derivatet af lige er:

Denne inversion er tvetydig, fordi forskellige funktioner (f.eks. Polynomiske funktioner, der kun adskiller sig i Y-aksens aflytning) kan have et og samme derivat, hvilket betyder, at en funktion ikke kun har én, men et uendeligt antal antiderivativer.

Hovedsætningen i differential- og integralregning fastslår forholdet mellem antiderivativer og integraler. Der står: Er en kontinuerlig funktion på et interval og er en antiderivativ af , gælder derefter

Højre side forkortes ofte som

eller lignende

skrevet.

Dette forhold er hovedmetoden til den eksplicitte evaluering af integraler. Vanskeligheden ligger normalt i at finde et antiderivativ middel.

Den blotte eksistens er teoretisk sikret: den integrerede funktion

er for alle en antiderivativ af .

Egenskaber for antiderivativer

Du kan tilføje en konstant til en antiderivativ og få en anden antiderivativ: Faktisk et antiderivativt middel til en funktion og er en konstant så er

To antiderivativer med samme funktion defineret på et interval adskiller sig med en konstant: are og Antiderivativer af samme funktion , det er det også

så er forskellen en konstant. Er domænet for uden interval, er forskellen mellem to antiderivativer kun lokalt konstant .

Ubestemt integreret

Et antiderivativ kaldes også det ubestemte integral af - nogle gange betyder det også sæt af alle antiderivativer. er et antiderivativt, skriver man ofte upræcist

at foreslå, at hver antiderivativ af form med en konstant Har. Den konstante kaldes konstant for integration.

Bemærk, at notationen

den bruges imidlertid også ofte i formler til at angive, at ligninger holder for vilkårlige, konsekvent valgte grænser; for eksempel er med

mente det

for enhver er gældende.

Bestemmelse af antiderivativer

Se artiklen: Tabel over derivater og antiderivater eller ubestemte integraler i matematikformelsamlingen .

I modsætning til den afledte funktion er den eksplicitte beregning af et antiderivativ meget vanskelig eller umulig for mange funktioner. Det er derfor, integraler ofte slås op i tabeller (f.eks. En integreret tabel). Til manuel beregning af et antiderivativ middel er det ofte nyttigt at dygtigt bruge følgende standardteknikker.

Delvis integration

Delvis integration er omvendt af produktreglen for differentialregning. Det er:

Denne regel er gavnlig, når funktionen lettere end funktion skal integreres. Her skal produkterne og ikke faktorerne i sig selv vurderes.

Eksempel:

Hvis du sætter

og

sådan er det

og

og du får

Integration gennem substitution

Substitutionsreglen er et vigtigt værktøj til beregning af nogle vanskelige integraler, da den gør det muligt at integrere visse ændringer i funktionen, samtidig med at integrationsgrænserne ændres. Det er modstykket til kædereglen i differentialregning.

Være med og en antiderivativ af , det er det også en antiderivativ af fordi det gælder

og med udskiftningen

trods alt

Omformning gennem delvis fraktion dekomponering

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Spezielle Verfahren

Oft ist es möglich, unter Ausnutzung der speziellen Form des Integranden die Stammfunktion zu bestimmen.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, bei einem bekannten Integral zu beginnen und dieses durch Integrationstechniken solange umzuformen, bis das gewünschte Integral entsteht. Beispiel:

Um zu bestimmen, integrieren wir das folgende ähnliche Integral partiell:

Durch Umstellen folgt

Mehrfache Integration

Soll eine Funktion mehrfach integriert werden, liefert die Cauchy-Formel für mehrfache Integration für das -te iterierte Integral von am Punkt

das folgende Integral:

.

Anwendungen

Mittelwerte stetiger Funktionen

Um den Mittelwert einer gegebenen stetige Funktion auf einem Intervall zu berechnen, benutzt man die Formel

Da diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, ist diese Verallgemeinerung sinnvoll.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion im Intervall auch tatsächlich angenommen wird.

Beispiel für den Integralbegriff in der Physik

Ein physikalisches Phänomen , an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde . Die Beschleunigung des freien Falls in Mitteleuropa beträgt ca. 9,81 m/s². Die Geschwindigkeit eines Körpers zur Zeit lässt sich daher durch die Formel

ausdrücken.

Nun soll aber die Wegstrecke berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne die Geschwindigkeit , die sich aus der Zeit ergibt, konstant bleibt.

Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums beträgt daher

.

Die gesamte Wegstrecke lässt sich daher als

ausdrücken. Wenn man nun die Zeitdifferenz gegen Null streben lässt, erhält man

Das Integral lässt sich analytisch angeben mit

Die allgemeine Lösung führt zur Bewegungsgleichung des im konstanten Schwerefeld fallenden Körpers:

Weiter lässt sich aus dieser Bewegungsgleichung durch Differenzieren nach der Zeit die Gleichung für die Geschwindigkeit:

und durch nochmaliges Differenzieren für die Beschleunigung herleiten:

Weitere einfache Beispiele sind:

  • Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit.
  • Die elektrische Ladung eines Kondensators ist das Integral des durch ihn fließenden Stromes über die Zeit.
  • Das Integral des Produktes der spektralen Bestrahlungsstärke ( E e (ν) in W /m 2 Hz ) mit der spektralen Hellempfindlichkeitskurve des Auges liefert die Beleuchtungsstärke ( E in Lux = Lumen/m 2 ).
  • Das Integral der Strömungsgeschwindigkeit (Längskomponente) über den Querschnitt eines Rohres liefert den gesamten Volumenstrom durch das Rohr (weitere mehrdimensionale Integrale siehe unten ).

Konstruktionen

Cauchy-Integral

Augustin-Louis Cauchy
(1789–1857)

Eine Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion , die gleichmäßiger Limes einer Folge von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als

wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird.

Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle monotonen Funktionen , ebenso alle Funktionen , für die sich in endlich viele Intervalle unterteilen lässt, sodass die Einschränkung von auf eine stetige oder monotone Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall ist, dh alle stückweise stetigen Funktionen. Sie umfasst außerdem Funktionen von beschränkter Variation , da sich so eine Funktion als Differenz zweier monoton steigender Funktionen darstellen lässt. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.

Es gibt auch stetige Funktionen mit unendlicher Variation wie z. B. die durch und für auf dem Intervall definierte Funktion (siehe Variation ).

Riemann-Integral

Bernhard Riemann
(1826–1866)

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals nach Riemann ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion ; allerdings nicht durch gleichmäßige Approximation der Funktion selbst, sondern durch Approximation des Flächeninhalts durch Rechtecksummen.

Die Fläche wird durch die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Funktionswert innerhalb jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen.

Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten Riemann-Summen. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Höhe des Rechtecks, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.

Das Riemannsche Integral lässt sich mit Hilfe von Ober- und Untersummen definieren, siehe Riemannsches Integral. Konvergieren Ober- und Untersummen gegen den gleichen Grenzwert , so ist dieser Grenzwert das Integral im Sinne von Riemann. Integrierbar in diesem Sinne sind z. B. sämtliche Funktionen, für die das Cauchy-Integral existiert.

Das Riemann-Integral existiert z. B. nicht für die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen im Intervall , dh für die Dirichlet-Funktion . Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Léon Lebesgue ( Lebesgue-Integral ), Thomas Jean Stieltjes ( Stieltjesintegral ) und Alfréd Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.

Stieltjes-Integral

Beim Stieltjes-Integral geht man von monotonen Funktionen aus, oder von solchen mit endlicher Variation , das sind Differenzen von zwei monotonen Funktionen, und definiert für stetige Funktionen Riemann-Stieltjes'sche Summen als

Durch Limesbildung in der üblichen Weise erhält man dann das sogenannte Riemann-Stieltjes-Integral .

Solche Integrale sind auch dann definiert, wenn die Funktion nicht differenzierbar ist (andernfalls gilt ). Ein bekanntes Gegenbeispiel ist die sogenannte Heaviside-Funktion , deren Wert gleich Null für die negativen Zahlen, Eins für positive und z. B. für den Punkt ist. Man schreibt, für und erhält so die „verallgemeinerte Funktion“ , das sogenannte Diracmaß , als ein nur für den Punkt definiertes Maß.

Lebesgue-Integral

Henri Lebesgue (1875–1941)

Einen moderneren und – in vielerlei Hinsicht – besseren Integralbegriff als den des Riemann'schen Integrals liefert das Lebesgue-Integral. Es erlaubt zum Beispiel die Integration über allgemeine Maßräume . Das bedeutet, dass man Mengen ein Maß zuordnen kann, das nicht notwendig mit ihrer geometrischen Länge bzw. ihrem Rauminhalt übereinstimmen muss, so zum Beispiel Wahrscheinlichkeitsmaße in der Wahrscheinlichkeitstheorie . Das Maß, das dem intuitiven Längen- bzw. Volumenbegriff entspricht, ist das Lebesgue-Maß . In der Regel wird das Integral über dieses Maß als Lebesgue-Integral bezeichnet. Man kann beweisen, dass für jede Funktion, die über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, auch das entsprechende Lebesgue-Integral existiert und die Werte beider Integrale übereinstimmen. Umgekehrt sind aber nicht alle Lebesgue-integrierbaren Funktionen auch Riemann-integrierbar. Das bekannteste Beispiel dafür ist die Dirichlet-Funktion , also die Funktion, die für rationale Zahlen den Wert Eins, aber für irrationale Zahlen den Wert Null hat. Neben der größeren Klasse an integrierbaren Funktionen zeichnet sich das Lebesgue-Integral gegenüber dem Riemann-Integral vor allem durch die besseren Konvergenzsätze aus ( Satz von der monotonen Konvergenz ,Satz von der majorisierten Konvergenz ) und die besseren Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral normierten Funktionenräume (etwa Vollständigkeit ).

In der modernen Mathematik versteht man unter Integral oder Integrationstheorie häufig den lebesgueschen Integralbegriff.

Uneigentliches Integral

Das Riemann-Integral ist (im eindimensionalen Raum) nur für kompakte , also beschränkte und abgeschlossene , Intervalle definiert. Eine Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Singularitäten bietet das uneigentliche Integral. Auch in der Lebesgue-Theorie können uneigentliche Integrale betrachtet werden, jedoch ist dies nicht so ergiebig, da man mit dem Lebesgue-Integral schon viele Funktionen mit Singularitäten oder unbeschränktem Definitionsbereich integrieren kann.

Verfahren zur Berechnung bestimmter und uneigentlicher Integrale

Numerische Verfahren

Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion explizit anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, das bestimmte Integral näherungsweise zu berechnen. Man spricht dann von numerischer Quadratur oder numerischer Integration . Viele Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel durch Polynome. Die Trapezregel oder auch die simpsonsche Formel (deren Spezialfall als keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür, hier wird durch die Funktion ein Interpolationspolynom gelegt und dann integriert.

Bereits lange vor der Verbreitung von Computern wurden für die numerische Integration Verfahren zur automatischen Schrittweitensteuerung entwickelt. Heute bietet die Computeralgebra die Möglichkeit, komplexe Integrale numerisch in immer kürzeren Zeiten bzw. immer genauer zu lösen, wobei auch bei leistungsfähigen Systemen noch Schwierigkeiten bei uneigentlichen Integralen bestehen, für deren Berechnung oft spezielle Verfahren wie Gauß-Kronrod angewendet werden müssen. Ein Beispiel für ein solches hartes Integral ist:

Klassische Verfahren sind z. B. die Eulersche Summenformel , bei der das bestimmte Integral durch eine im Allgemeinen asymptotische Reihe approximiert wird. Weitere Methoden basieren auf der Theorie der Differenzenrechnung , als wichtiges Beispiel ist hier die Gregorysche Integrationsformel zu nennen.

Exakte Verfahren

Leonhard Euler

Es gibt eine Reihe von Verfahren, mit denen bestimmte und uneigentliche Integrale exakt in symbolischer Form berechnet werden können.

Falls stetig und zu eine Stammfunktion bekannt ist, lässt sich das bestimmte Integral

durch den Hauptsatz berechnen. Problematisch ist, dass die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionsklassen führt. ZB ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen und . Auch die Klasse der so genannten elementaren Funktionen ist nicht abgeschlossen. So hat Joseph Liouville bewiesen, dass die Funktion keine elementare Stammfunktion besitzt. Leonhard Euler war einer der ersten, die Methoden zur exakten Berechnung bestimmter und uneigentlicher Integrale ohne Bestimmung einer Stammfunktion entwickelten. Im Laufe der Zeit sind zahlreiche allgemeinere und speziellere Methoden zur bestimmten Integration entstanden:

  • Benutzung des Residuensatzes
  • Darstellung des von einem Parameter abhängigen Integrals durch spezielle Funktionen
  • Differentiation oder Integration des Integrals nach einem Parameter und Vertauschung der Grenzprozesse
  • Benutzung einer Reihenentwicklung des Integranden mit gliedweiser Integration
  • durch partielle Integration und Substitution das Integral auf sich selbst oder ein anderes zurückführen

Bis zum Ende des 20. Jahrhunderts sind zahlreiche (teils mehrbändige) Integraltafeln mit bestimmten Integralen entstanden. Zur Illustration der Problematik einige Beispiele:

Besondere Integrale

Es gibt eine Reihe von bestimmten und uneigentlichen Integralen, die eine gewisse Bedeutung für die Mathematik haben und daher einen eigenen Namen tragen:

und speziell für und :

Mehrdimensionale Integration

Wegintegrale

Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve

Ist ein Weg , also eine stetige Abbildung, und eine skalare Funktion, so ist das Wegintegral von entlang definiert als

Ist , so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve (physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

Reelle Wegintegrale für vektorielle Funktionen

In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form verwendet: ist eine Vektorfunktion , und es wird das Integral

betrachtet, wobei der Ausdruck in den gewinkelten Klammern ein Skalarprodukt darstellt.

Komplexe Wegintegrale

In der Funktionentheorie , also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral . Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz , ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral einer meromorphen Funktion entlang eines geschlossenen Weges hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

Oberflächenintegrale

Beispiel: Berechnung von Rauminhalten

Als Beispiel wird das Volumen zwischen dem Graphen der Funktion mit über dem Einheitsquadrat berechnet. Dazu teilt man das Integral über auf zwei Integrale auf, eines für die - und eines für die -Koordinate:

Für ergibt das Oberflächenintegral den Flächeninhalt der Integrationsfläche.

Volumenintegrale

Für berechnet das Volumenintegral den Volumeninhalt des Integrationsbereiches.

Integration über mehr- und höherdimensionale Bereiche

Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der der Integrand operiert, nicht die Zahlengerade , sondern der -dimensionale euklidische Raum ist.

Satz von Fubini und Transformationssatz

Für mehrdimensionale Integrale, also auch Flächen- und Volumenintegrale, findet der Satz von Fubini Anwendung, der es erlaubt, die Integrale in beliebiger Reihenfolge über die einzelnen Koordinaten aufzuspalten und sie nacheinander abzuarbeiten:

Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in , und muss man aus der Begrenzung des Volumens ermitteln. Analog zu den uneigentlichen Integralen im Eindimensionalen (siehe oben) kann man aber auch Integrale über den gesamten, unbeschränkten -dimensionalen Raum betrachten.

Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im Mehrdimensionalen ist der Transformationssatz . Sei offen und eine injektive , stetig differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante für alle gilt. Dann ist

Integrale über Mannigfaltigkeiten

Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch Mannigfaltigkeiten beschrieben. Diese werden durch sogenannte Karten beschrieben.

Integration über ein Kartengebiet

Sei eine -dimensionale Untermannigfaltigkeit des und ein Kartengebiet in , also eine offene Teilmenge in , für die es eine Karte gibt, die sie diffeomorph auf eine offene Teilmenge des abbildet. Ferner sei eine Parametrisierung von , also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die homöomorph auf abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet folgendermaßen definiert:

wobei die Gramsche Determinante ist. Das rechte Integral kann mit den oben beschriebenen Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im Wesentlichen aus dem Transformationssatz.

Integration über eine Untermannigfaltigkeit

Ist eine Zerlegung der 1 gegeben, die mit den Karten der Untermannigfaltigkeit verträglich ist, kann einfach getrennt über die Kartengebiete integriert und aufsummiert werden.

Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes

Für spezielle Funktionen lassen sich die Integrale über Untermannigfaltigkeiten einfacher ausrechnen. In der Physik besonders wichtig sind hierbei zwei Aussagen:

Zum einen der gaußsche Integralsatz , nach dem das Volumenintegral über die Divergenz eines Vektorfeldes gleich dem Oberflächenintegral über das Vektorfeld (dem Fluss des Feldes durch die Oberfläche) ist: Sei kompakt mit abschnittsweise glattem Rand . Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld . Sei ferner ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von . Dann gilt

mit der Abkürzung .

Durch diesen Satz wird die Divergenz als sogenannte Quellendichte des Vektorfeldes interpretiert. Durch die Indizes bzw. am -Operator wird die Dimension der jeweiligen Integrationsmannigfaltigkeit zusätzlich betont.

Bei expliziter Verwendung von Mehrfachintegralen wird (unter Verzicht auf die Indizierung) für :

Also: Das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen ist gleich dem Integral des Flusses aus der Oberfläche.

Zum zweiten der Satz von Stokes , der eine Aussage der Differentialgeometrie ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums direkt mit Mehrfachintegralen schreiben lässt.

Ist eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes , so gilt

wobei die Rotation des Vektorfeldes bezeichnet.

Durch diesen Satz wird die Rotation eines Vektorfeldes als sogenannte Wirbeldichte des Vektorfeldes interpretiert; dabei ist der dreikomponentige Vektor und der Rand von eine geschlossene Kurve im .

Integration von vektorwertigen Funktionen

Die Integration von Funktionen, die nicht reell- oder komplexwertig sind, sondern Werte in einem allgemeineren Vektorraum annehmen, ist ebenfalls auf verschiedenste Arten möglich.

Die direkte Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen ist das Bochner-Integral (nach Salomon Bochner ). Viele Ergebnisse der eindimensionalen Theorie übertragen sich dabei wortwörtlich auf Banachräume.

Auch die Definition des Riemann-Integrals mittels Riemann'scher Summen auf vektorwertige Funktionen zu übertragen, fällt nicht schwer. Ein entscheidender Unterschied ist hierbei jedoch, dass dann nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion Bochner-integrierbar ist.

Eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals, die diesen Mangel behebt, ist das McShane-Integral , das sich am einfachsten über verallgemeinerte Riemann'sche Summen definieren lässt.

Auch das Birkhoff-Integral ist eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals. Im Gegensatz zum McShane-Integral benötigt die Definition des Birkhoff-Integrals jedoch keine topologische Struktur im Definitionsbereich der Funktionen. Sind jedoch die Voraussetzungen für die McShane-Integration erfüllt, so ist jede Birkhoff-integrierbare Funktion auch McShane-integrierbar. [1]

Außerdem ist noch das Pettis-Integral als nächster Verallgemeinerungsschritt erwähnenswert. Es nutzt eine funktionalanalytische Definition, bei der die Integrierbarkeit auf den eindimensionalen Fall zurückgeführt wird: Sei dafür ein Maßraum . Eine Funktion heißt dabei Pettis-integrierbar, wenn für jedes stetige Funktional die Funktion Lebesgue-integrierbar ist und für jede messbare Menge ein Vektor existiert, sodass

gilt. Der Vektor wird dann passenderweise mit bezeichnet.

Für Funktionen , die Werte in einem separablen Banachraum annehmen, stimmt das Pettis-Integral mit dem McShane- und dem Bochner-Integral überein. Wichtigster Spezialfall all dieser Definitionen ist der Fall von Funktionen in den , die bei allen diesen Definitionen einfach komponentenweise integriert werden.

Verallgemeinerungen

Der Integralbegriff wurde vielfältig ausgeweitet, einige Varianten sind:

Maßtheorie

Haarsches Maß

Das Haarsche Maß, nach Alfréd Haar , stellt eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes für lokalkompakte topologische Gruppen dar und induziert damit auch ein Integral als Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals.

Integration auf Mannigfaltigkeiten

Siehe: Integration von Differentialformen

Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der Differentialgeometrie .

Siehe auch

Literatur

  • Schulbücher:
    • Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
  • Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
  • Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (zum Beispiel Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
    • Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000.
    • Lothar Papula : Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 1. 13. Auflage. Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 978-3-8348-1749-5 .
  • Historisches:
    • Adolph Mayer: Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale. Teubner, Leipzig 1866 ( Digitalisat ).
    • Bernhard Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. Göttingen 1867 ( Volltext ), mit der Erstdefinition des Riemann-Integrals (Seite 12 ff.).

Weblinks

Wikibooks: Einführung in die Integralrechnung – Lern- und Lehrmaterialien
Wiktionary: Integralrechnung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. D. Fremlin: The McShane and Birkhoff integrals of vector-valued functions. ( Memento vom 28. April 2015 im Internet Archive ).