Knudepunkt

Et kryds (fra latin iungere "at linke, forbinde") er en logisk forbindelse mellem udsagn inden for den propositionelle logik , dvs. en logisk operator . Kryds kaldes også forbindelsesled, stik, operatører af sætninger, sætningsforbindelser, sætningsforbindelser, propositionelle links, logiske forbindelsesord, forbinder tegn eller funktioner og klassificeres som logiske partikler .

Sprogligt er der ofte ingen skelnen mellem det respektive link i sig selv (f.eks. Konjunktionen ) og det ord eller det sproglige tegn, der kendetegner det (f.eks. Ordet "og" eller tegnet "∧").

I programmeringssprog bruges også propositionelle logikker, men de adskiller sig i væsentlige punkter fra de sædvanlige propositionelle logikker. Der betegnes de hovedsageligt som logiske operatorer .

Sammenkædning af udsagn

I (formel) logik , en erklæring, der er sammensat af andre udsagn ved hjælp af partikler som "og", "eller", "hvis - så" og "det er ikke tilfældet, at" kaldes kompleks eller sammensat erklæring eller som link til udsagn . En erklæring, der ikke er sammensat af andre udsagn, kaldes en atomisk sætning .

For eksempel, hvis Anna ferie har, så går hun til havet.

Spørgsmålet om, hvilke af de teoretisk mulige forbindelser der skal bruges til et logisk system, er - naturligvis ud over kravet om funktionel fuldstændighed - af rent pragmatisk karakter. I klassisk propositionel logik (se klassisk logik ) er de følgende kryds mest almindelige (relateret til to udsagn $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ og $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ ):

negationen $\neg P$ ${\ displaystyle \ neg P}$ $\ neg P$ svarer til en negativ
den materielle implikation , også kaldet subjunktion eller betinget, $P\rightarrow Q$ ${\ displaystyle P \ højre pil Q}$ $P \ højre pil Q$ , svarer til den tilstrækkelige betingelse "(allerede) hvis P, så Q"
den bikonditionelle , også kaldet bisubjunction eller ækvivalens, $P\leftrightarrow Q$ ${\ displaystyle P \ venstrehøjre pil Q}$ $P \ venstrehøjre pil Q$ , svarer til en tilstrækkelig og nødvendig betingelse, "Q if and only if P"
forbindelsen $P\land Q$ ${\ displaystyle P \ land Q}$ $P \ land Q$ , det logiske og: "Både P og Q"
adskillelsen $P\vee Q$ ${\ displaystyle P \ vee Q}$ $P \ vee Q$ , inklusive eller: "Enten P eller Q eller begge dele"

Extensionalitet

En operatør kaldes sandhedsfunktionel eller udvidet, hvis sandhedsværdien af en sammensat sætning dannet af den entydigt bestemmes af sandhedsværdierne i dens undersætninger. Forbindelserne mellem den klassiske propositionelle logik er udvidede i denne forstand. For en mere præcis definition af extensionality se extensionsitetsprincippet .

Sandhedstabeller

Skema: Sandhedstabel for et tocifret kryds mellem en toværdset logik
$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	$P\circ Q$ ${\ displaystyle P \ circ Q}$ $P \ cirk Q$
w	w	$WHW(P\circ Q)$ ${\ displaystyle WHW (P \ circ Q)}$ $WHW (P \ cirk Q)$ , til $WHW(P)=$ ${\ displaystyle WHW (P) =}$ $WHW (P) =$ tryllestav $WHW(Q)=$ ${\ displaystyle WHW (Q) =}$ $WHW (Q) =$ w
w	f	$WHW(P\circ Q)$ ${\ displaystyle WHW (P \ circ Q)}$ $WHW (P \ cirk Q)$ , til $WHW(P)=$ ${\ displaystyle WHW (P) =}$ $WHW (P) =$ tryllestav $WHW(Q)=$ ${\ displaystyle WHW (Q) =}$ $WHW (Q) =$ f
f	w	$WHW(P\circ Q)$ ${\ displaystyle WHW (P \ circ Q)}$ $WHW (P \ cirk Q)$ , til $WHW(P)=$ ${\ displaystyle WHW (P) =}$ $WHW (P) =$ f og $WHW(Q)=$ ${\ displaystyle WHW (Q) =}$ $WHW (Q) =$ w
f	f	$WHW(P\circ Q)$ ${\ displaystyle WHW (P \ circ Q)}$ $WHW (P \ cirk Q)$ , til $WHW(P)=$ ${\ displaystyle WHW (P) =}$ $WHW (P) =$ f og $WHW(Q)=$ ${\ displaystyle WHW (Q) =}$ $WHW (Q) =$ f

"

P.

{\ displaystyle P}

P.

"og"

Q

{\ displaystyle Q}

Q

"Er der to udsagn,"

\circ

{\ displaystyle \ circ}

\ cirk

"Står for forbindelsen som en logisk operation"

W. H W.

{\ displaystyle WHW}

WHW

"For sandhedsværdi," w "for sandhedsværdien" den sande "," f "for sandhedsværdien" den falske ".

De såkaldte sandhedstabeller er en metode til tydeligt at vise kurven for sandhedsværdi for extensional joiners i en logik med et begrænset antal sandhedsværdier. I disse er sandhedsværdien af det overordnede udsagn specificeret i hver linje for et overordnet udsagn sammensat af individuelle udsagn ved hjælp af krydset for hver mulig tildeling af sandhedsværdier til de enkelte udsagn. For et tocifret punkt i en tocifret logik kan en sandhedstabel ligne tabellen til højre:

Mulige kryds

Antallet af udsagn, som (eller som) en operatør forbinder til en ny sætning, kaldes dens arity : En etcifret operator kombinerer med en enkelt sætning for at lave en ny sætning, og tocifrede forbindelser med to sætninger for at lave en ny erklæring og så videre. Generelt kombineres et n-cifret kryds med n-sætninger for at danne et nyt.

Arity skal ikke forveksles med valensen, altså med spørgsmålet om, hvor mange sandhedsværdier der er tilladt (se princippet om bivalens ).

I klassisk logik er det vigtigste encifrede substantiv negationen . Vigtige tocifrede sammenføjninger er konjunktionen og disjunktionen (ofte bruges kun disse to). Klassiske tre- og flercifrede kryds kan også spores tilbage til kombinationer af et- og tocifrede kryds.

Generelt er der for en $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -værdi -logik, dvs. for en logik med uendeligt mange sandhedsværdier, hvis antal er m, $m^{m^{n}}$ ${\ displaystyle m ^ {m ^ {n}}}$ $m ^ {m ^ {n}}$ $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -cifrede sandhedsfunktionelle forbindelser. Så for den toværdige propositionelle logik er der $2^{2^{1}}=4$ ${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {1}} = 4}$ $2 ^ {2 ^ {1}} = 4$ encifrede kryds og $2^{2^{2}}=16$ ${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2}} = 16}$ $2 ^ {2 ^ {2}} = 16$ tocifrede kryds. Der er allerede til den treværdige forslagslogik $3^{3^{1}}=27$ ${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {1}} = 27}$ $3 ^ {3 ^ {1}} = 27$ enkelt ciffer og $3^{3^{2}}=19\,683$ ${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {2}} = 19 \, 683}$ ${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {2}} = 19 \, 683}$ tocifrede kryds.

De seksten tocifrede sammenføjninger af den toværdige logik er vist i nedenstående tabel.

Tabel over de tocifrede stik i en toværdig logik

Navne

Sandhedsværdier

Symboler

formel

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$
w	w

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$
w	f

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$
f	w

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$
f	f

Modsigelse

f

\bot

{\ displaystyle \ bot}

\ bot

P~\land ~\neg P

{\ displaystyle P ~ \ land ~ \ neg P}

{\ displaystyle P ~ \ land ~ \ neg P}

sammenhæng

w

f

\wedge

{\ displaystyle \ wedge}

\ kile

P~\land ~Q

{\ displaystyle P ~ \ land ~ Q}

{\ displaystyle P ~ \ land ~ Q}

Indlægssektion, kun P

f

w

f

\not \rightarrow

{\ displaystyle \ not \ rightarrow}

\ ikke \ højrepil

,

\not \supset

{\ displaystyle \ not \ supset}

\ ikke \ supset

P~\land ~\neg Q

{\ displaystyle P ~ \ land ~ \ neg Q}

{\ displaystyle P ~ \ land ~ \ neg Q}

Uafhængighed, identitet af P

w

f

\rfloor

{\ displaystyle \ rfloor}

gulv

P.

{\ displaystyle P}

P.

Pre-sektion, kun Q

f

w

f

\not \leftarrow

{\ displaystyle \ not \ leftarrow}

\ ikke \ venstrepil

,

\not \subset

{\ displaystyle \ not \ subset}

\ ikke \ delsæt

~\neg P~\land ~Q

{\ displaystyle ~ \ neg P ~ \ land ~ Q}

{\ displaystyle ~ \ neg P ~ \ land ~ Q}

Postpendenz, identitet af Q

w

f

w

f

\lfloor

{\ displaystyle \ lfloor}

\ lgulv

Q

{\ displaystyle Q}

Q

Kontravalens , eksklusiv disjunktion, XOR

f

w

f

\not \leftrightarrow

{\ displaystyle \ not \ leftrightarrow}

\ ikke \ venstrehøjre pil

,

\not \equiv

{\ displaystyle \ not \ equiv}

\ ikke \ ækvivalent

,

\veebar

{\ displaystyle \ veebar}

\ veebar

,

{\dot {\vee }}

{\ displaystyle {\ dot {\ vee}}}

\ dot \ vee

,

\oplus

{\ displaystyle \ oplus}

\ oplus

\neg (P~\leftrightarrow ~Q)

{\ displaystyle \ neg (P ~ \ venstrehøjre pil ~ Q)}

\ neg (P ~ \ venstrehøjre pil ~ Q)

Adskillelse , tillæg

w

f

\vee

{\ displaystyle \ vee}

\ vee

P~\lor ~Q

{\ displaystyle P ~ \ lor ~ Q}

{\ displaystyle P ~ \ lor ~ Q}

Peirce -funktion , NOR, nihilition, afvisning

f

w

\downarrow

{\ displaystyle \ downarrow}

\ downarrow

,

{\overline {\vee }}

{\ displaystyle {\ overline {\ vee}}}

\ overline \ vee

~\neg P~\land ~\neg Q

{\ displaystyle ~ \ neg P ~ \ land ~ \ neg Q}

{\ displaystyle ~ \ neg P ~ \ land ~ \ neg Q}

Bicondition , Bijunktion , ækvivalens

w

f

w

\leftrightarrow

{\ displaystyle \ leftrightarrow}

\ venstrehøjre pil

,

\equiv

{\ displaystyle \ equiv}

\ equiv

P~\leftrightarrow ~Q

{\ displaystyle P ~ \ venstrehøjre pil ~ Q}

P ~ \ venstrehøjre pil ~ Q

Postnon afhængighed, negation af Q

f

w

f

w

\lceil

{\ displaystyle \ lceil}

\ lceil

\neg Q

{\ displaystyle \ neg Q}

\ neg Q

Replikation

w

f

w

\leftarrow

{\ displaystyle \ leftarrow}

\ venstre pil

,

\subset

{\ displaystyle \ delsæt}

\ delsæt

P~\leftarrow ~Q

{\ displaystyle P ~ \ leftarrow ~ Q}

{\ displaystyle P ~ \ leftarrow ~ Q}

Prenonpendens, negation af P

f

w

\rceil

{\ displaystyle \ rceil}

\ rceil

\neg P

{\ displaystyle \ neg P}

\ neg P

Subjunktion , implikation , betinget

w

f

w

\rightarrow

{\ displaystyle \ rightarrow}

\ højre pil

,

\supset

{\ displaystyle \ supset}

\ supset

P~\rightarrow ~Q

{\ displaystyle P ~ \ rightarrow ~ Q}

P ~ \ højrepil ~ Q

Sheffer -funktion , NAND , eksklusion

f

w

\mid

{\ displaystyle \ mid}

\ midt

,

\uparrow

{\ displaystyle \ uparrow}

\ pil op

,

\barwedge

{\ displaystyle \ barwedge}

\ bargedge

~\neg P~\lor ~\neg Q

{\ displaystyle ~ \ neg P ~ \ lor ~ \ neg Q}

{\ displaystyle ~ \ neg P ~ \ lor ~ \ neg Q}

tautologi

w

\top

{\ displaystyle \ top}

\Top

P~\lor ~\neg P

{\ displaystyle P ~ \ lor ~ \ neg P}

{\ displaystyle P ~ \ lor ~ \ neg P}

Reducerbarhed og funktionel fuldstændighed

Det er muligt at udtrykke individuelle links gennem andre; for eksempel kan være konjunktionen $A\land B$ ${\ displaystyle A \ land B}$ $A \ land B$ gennem disjunktion og negation som $\neg (\neg A\lor \neg B)$ ${\ displaystyle \ neg (\ neg A \ lor \ neg B)}$ ${\ displaystyle \ neg (\ neg A \ lor \ neg B)}$ eller betinget $P\rightarrow Q$ ${\ displaystyle P \ højre pil Q}$ $P \ højre pil Q$ ved adskillelse $\neg P\vee Q$ ${\ displaystyle \ neg P \ vee Q}$ $\ neg P \ vee Q$ at udtrykke. Generelt kaldes et sæt forbindelser i forhold til et logisk system funktionelt komplet eller semantisk komplet, hvis alle andre forbindelser i det logiske system kan udtrykkes ved hjælp af det pågældende forbindelsesmiddel. For den klassiske propositionelle logik er for eksempel sæt af forbindelser $\{{\neg },{\land }\}$ ${\ displaystyle \ {{\ neg}, {\ land} \}}$ $\ {{\ neg}, {\ land} \}$ , $\{{\neg },{\lor }\}$ ${\ displaystyle \ {{\ neg}, {\ lor} \}}$ $\ {{\ neg}, {\ lor} \}$ og $\{{\neg },{\rightarrow }\}$ ${\ displaystyle \ {{\ neg}, {\ rightarrow} \}}$ $\ {{\ neg}, {\ rightarrow} \}$ funktionelt komplet. Det betyder, at alle forbindelser i klassisk propositionel logik kan spores tilbage til negation og konjunktion, til negation og disjunction eller til negation og betinget. Ofte brugte sæt af sammenføjninger er $\{{\neg },{\land },{\lor }\}$ ${\ displaystyle \ {{\ neg}, {\ land}, {\ lor} \}}$ $\ {{\ neg}, {\ land}, {\ lor} \}$ , $\{{\neg },{\land }\}$ ${\ displaystyle \ {{\ neg}, {\ land} \}}$ $\ {{\ neg}, {\ land} \}$ , $\{{\neg },{\lor }\}$ ${\ displaystyle \ {{\ neg}, {\ lor} \}}$ $\ {{\ neg}, {\ lor} \}$ .

Faktisk er det muligt at repræsentere alle links ved hjælp af et enkelt link, nemlig med Sheffer -funktionen (NAND), men også med Peirce -funktionen (NOR).

Sheffer operatører

Hvis alle andre sammenføjninger kan udtrykkes med kun én sammenføjning, det vil sige uden tilføjelse af andre sammenføjninger, kaldes denne sammenføjning Sheffer -operatøren eller Sheffer -funktionen (efter Henry Maurice Sheffer ). For den klassiske propositionelle logik er der præcis to Sheffer -operatører : Shefferstrich , også kaldet NAND ( $\uparrow$ ${\ displaystyle \ uparrow}$ $\ pil op$ eller $\vert$ ${\ displaystyle \ vert}$ $\ vert$ ) og Peirce -operatøren , også kaldet NOR $\downarrow$ ${\ displaystyle \ downarrow}$ $\ downarrow$ .

Intensive operatører

Logiske operatorer, hvor sandhedsværdien af en sætning dannet ud fra dem ikke entydigt bestemmes af sandhedsværdierne i deres underklausuler, kaldes forsætlige sammenføjninger . Intensional er f.eks. B. de etcifrede modaloperatører "det er nødvendigt" og "det er muligt" (se modal logik ): Det faktum, at en erklæring er sand, betyder ikke, at denne erklæring også er nødvendig. At en erklæring er forkert betyder ikke, at den er umulig. Derfor kan metoderne ikke behandles sandhedsfunktionelt.

Til fortolkningen af intensionsforbindelser har man brug for mere komplekse modeller end de udvidede sandhedstabeller. Den første betydelige formelle semantik for intensionssamlinger er sandsynligvis Kripke -semantikken, der oprindeligt blev udviklet af Saul Aaron Kripke til fortolkning af modal logik (se modal logik ). Kripke semantik er også velegnet til fortolkning af intuitionistisk logik.

Eksempler

Sandhedstabel for konjunktionen
i toværdig klassisk logik

Sandhedstabel for adskillelsen
i toværdig klassisk logik

Sandhedstabel for den materielle betydning
i toværdig klassisk logik

Sandhedstabel for konjunkturisten
i den treværdige logik Ł3
af Jan Łukasiewicz (1920)

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	$P\land Q$ ${\ displaystyle P \ land Q}$ $P \ land Q$
rigtigt	rigtigt	rigtigt
rigtigt	ikke korrekt	ikke korrekt
ikke korrekt	rigtigt	ikke korrekt
ikke korrekt	ikke korrekt	ikke korrekt

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	$P\lor Q$ ${\ displaystyle P \ lor Q}$ $P \ lor Q$
rigtigt	rigtigt	rigtigt
rigtigt	ikke korrekt	rigtigt
ikke korrekt	rigtigt	rigtigt
ikke korrekt	ikke korrekt	ikke korrekt

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	$P\rightarrow Q$ ${\ displaystyle P \ højre pil Q}$ $P \ højre pil Q$
rigtigt	rigtigt	rigtigt
rigtigt	ikke korrekt	ikke korrekt
ikke korrekt	rigtigt	rigtigt
ikke korrekt	ikke korrekt	rigtigt

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	$P\land Q$ ${\ displaystyle P \ land Q}$ $P \ land Q$
1	1	1
1	½	½
1	0	0
½	1	½
½	½	½
½	0	0
0	1	0
0	½	0
0	0	0

Sandhedstabel for konjunkturisten
i den treværdige logik B3
af Dimitri Anatoljewitsch Bočvar (1938)

I den dialogiske logik

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	$P\land Q$ ${\ displaystyle P \ land Q}$ $P \ land Q$
1	1	1
1	½	½
1	0	0
½	1	½
½	½	½
½	0	½
0	1	0
0	½	½
0	0	0

modstander	Forsvarer
	$P\rightarrow Q$ ${\ displaystyle P \ højre pil Q}$ $P \ højre pil Q$
$P. ?$ ${\ displaystyle P?}$ $P?$		Den konjunktive påstand angribes i henhold til den konjunktive regel: Den foregående $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ hævdes.
	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	Som forsvar bruges følgende $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ kaldes, kan dette gøres ved at overtage $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ den forrige linje skal forsvares. Afhængigt af regelsættet kan udsagnet først fremsættes $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ at blive angrebet.

Weblinks

Wikibooks: Math for non -freaks: Junktor - lærings- og undervisningsmateriale

Wiktionary: Junktor - forklaringer på betydninger, ordoprindelse , synonymer, oversættelser

litteratur

Benjamin Schnieder : Junktoren , i: Nikola Kompa (Hrsg.): Handbuch Sprachphilosophie . Metzler, Stuttgart 2015, ISBN 978-3-476-02509-8 , s. 166-173.