Kartesisk koordinatsystem

Et kartesisk koordinatsystem er et ortogonalt koordinatsystem . Det er opkaldt efter det latiniserede navn Cartesius fra den franske matematiker René Descartes , der gjorde begrebet "kartesiske koordinater" kendt. I to- og tredimensionelt rum er det det hyppigst anvendte koordinatsystem, da mange geometriske fakta kan beskrives klart og tydeligt heri.

Akseorientering og rotationsretning for geodetiske og matematiske koordinatsystemer

Koordinatsystemet i todimensionalt rum

Som regel: højrehåndede kartesiske koordinatsystemer

Fladt (2-dimensionelt) kartesisk koordinatsystem med 2 punkter og deres koordinater

P(5|3)

{\ displaystyle P (5 | 3)}

{\ displaystyle P (5 | 3)}

og

Q(-4|2)

{\ displaystyle Q (-4 | 2)}

{\ displaystyle Q (-4 | 2)}

De to retningsakser er ortogonale med hinanden, dvs. de skærer hinanden i en vinkel på 90 °. Koordinatlinjerne er lige linjer i en konstant afstand fra hinanden. Forudsat matematisk højrehåndethed kaldes den vandrette akse abscisseaksen (fra latin linea abscissa "cut line ") eller højre akse. Den lodrette akse kaldes ordinataksen (fra latin linea ordinata "ordnet linje" ^[1] ) eller lodret akse .

Ofte i matematik er variablerne $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ bruges til at betegne koordinaterne, for eksempel når lige linjer eller kurver beskrives ved ligninger. Man taler derefter om $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ Akse i stedet for abscisseaksen og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ -Aksen i stedet for ordinataksen . Det $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ - eller. $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ -Værdien af et punkt kaldes abscissen eller ordinat . Nogle gange kaldes koordinatakser også abscissen eller ordinat kort .

Som en æselbro kan du huske, at navnene foran og bag i alfabetet altid hører sammen: $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ til abscissa og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ at ordinere. En anden mnemonic: O rdinatenachse viser (med positiv $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Værdier) o ben - x -aksen skal derfor (ved positiv $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ Værdier) til højre.

Pointen $O(0\mid 0)$ ${\ displaystyle O (0 \ mid 0)}$ $O (0 \ midt 0)$ , hvor de to akser mødes, kaldes koordinatoprindelsen eller origo (latin for "oprindelse").

For et punkt $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ med koordinaterne $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ skriver man $P(x|y)$ ${\ displaystyle P (x | y)}$ $P (x | y)$ eller $P=(x,y)$ ${\ displaystyle P = (x, y)}$ $P = (x, y)$ .

Venstrehåndede kartesiske koordinatsystemer

I geodesi byttes XY -koordinatakser, og geodetiske koordinatsystemer er undertiden begrænset til den første kvadrant for at undgå negative værdier. Til dette formål forskydes koordinatsystemets nulpunkt fiktivt mod sydvest, uden for kortlægningsområdet, ved hjælp af additionskonstanter, så der kun forekommer positive koordinatværdier (eksempel: Soldner-Berlin koordinatsystem). Venstrehåndede koordinatsystemer kan også findes på områder som økonomi, hvor for eksempel den afhængige størrelse af tilbud , pris-salg eller efterspørgselsfunktion normalt ikke er afbildet på den lodrette, men tværgående akse, mens den uafhængige er i stedet på den lodrette akse.

Venstrehåndede koordinatsystemer bruges også almindeligt i computergrafik . De fleste 2D -systemer bruger det øverste venstre hjørne som (0,0).

Koordinere systemer med mere end to dimensioner

I det tredimensionelle rum er der en tredje akse, den rumlige akse ( $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ -Axis, ikke vist her), kaldet Applikate (i geografi : Kote ). Mest liggende her $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ - og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ -Aksen i flyet, og $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ -Axis bruges til at vise højden. De otte rumdele, der dannes af koordinatplanerne, kaldes oktanter . Grafisk resulterer punkter her i en punktsky .

Som i det todimensionale tilfælde er der også tredimensionelle geodetiske koordinatsystemer $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ - og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ -Aksen byttede mens $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ -Axis peger opad som i det matematiske koordinatsystem.

I generaliseringen giver matematik mulighed for højere dimensionelle rum (se: 4D ). For eksempel kaldes aksen for ekspansionen i den fjerde rumlige dimension undertiden $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ -Axis, ekspansionsretningerne som ana ("ovenfor") og kata ("nedenfor").

Ansøgninger

Computer grafik

Den nuværende standard i branchen er det højrehåndede XYZ-koordinatsystem, hvor x peger til højre, y peger op og z peger ud, det vil sige ud af skærmen. Grafisk software som Maya og OpenGL bruger et højrehåndet koordinatsystem, mens DirectX , pbrt og PRMan bruger et venstrehåndet koordinatsystem. Valget af koordinatsystemets rethed spiller også en afgørende rolle, når det drejer sig om rotation og krydsprodukt af to vektorer . ^[2]

fysik

I fysik bruges den højre akse ofte til at repræsentere tid $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ bruges som en uafhængig variabel; af det kaldes så tiden eller $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ -Axis talt, mens den lodrette akse er variablen tidsvariabel, z. B. tilbagelagt afstand $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ eller hastigheden $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , repræsenteret og følgelig som $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ - eller $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Akse er udpeget.

Tredimensionelle koordinatsystemer tillader f.eks. Repræsentation af todimensionale statistiske fordelinger, hvor højdeaksen angiver sandsynligheds- eller tæthedsfunktionen.

En af de mest almindelige anvendelser af 3-aksede koordinatsystemer vil sandsynligvis være til rumlig registrering og beskrivelse, f.eks. B. i konstruktion, opmåling og navigation. I navigation bruges de f.eks. Til at lokalisere et objekt ved hjælp af GPS . Dette efterfølges af beskrivelsen af den rumlige orientering af objekter ved hjælp af vinkler, som ofte implementeres ved hjælp af rulle-, pitch- og yaw -vinkler ( RPY -vinkler ). Jordrelaterede koordinatsystemer anses ofte for at være omtrent kartesiske, fordi de faktisk er sfæriske koordinatsystemer . I de fleste tilfælde leverer brugen meget nyttige værdier til applikationen med relativt korte afstande - afvigelserne fra tilnærmelsen er typisk flere størrelsesordener mindre end den målenøjagtighed, der kræves til applikationen eller kan opnås i praksis baseret på andre faktorer.

historie

I definition 4 af Konika skriver Apollonios om paralleller, der "tegnes på en ordnet måde" til diameteren af et keglesnit. Det græske udtryk for "ordnet", tetagmenos , er gengivet på latin som ordinatim . Det er oprindelsen til ordet ordinat . ^[3]

Den første kendte brug af ordene abscissa og ordinat findes i et brev fra Gottfried Wilhelm Leibniz til Henry Oldenburg den 27. august 1676. ^[4]

Syntetisk geometri

Udtrykket kartesisk koordinatsystem er generaliseret i syntetisk geometri for fly : Der kaldes et affint koordinatsystem $(O,E_{1},E_{2})$ ${\ displaystyle (O, E_ {1}, E_ {2})}$ $(O, E_1, E_2)$ Kartesisk, hvis enheden peger $E_{1},E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}}$ $E_1, E_2$ tilstødende hjørner i en centreret firkant $O$ ${\ displaystyle O}$ $O$ er.

geodesi

Venstrehåndede kartesiske koordinatsystemer bruges i geodesi . X-aksen ( abscissa ) betragtes som hovedaksen, y-aksen (ordinat) opnås ved at rotere x-aksen med 100 gon (90 °) med uret omkring koordinaternes oprindelse. Den "geodetisk positive" rotationsretning er med uret og ikke mod uret som den "matematisk positive" retning.

Sammenlignet med højrehåndede kartesiske koordinatsystemer i matematik byttes x- og y-akserne: x-aksen peger normalt opad i kort og planer, y-aksen til højre. Ved nationale koordinater peger x-aksen mod nord og y-aksen peger mod øst.

Højden som den tredje koordinat (også kendt som applikatet ) blev - om overhovedet - bestemt og verificeret adskilt fra positionskoordinaterne i lang tid. På grund af denne adskillelse af position og højde var der ikke behov for tredimensionelle beregninger. I det omfang tredimensionelle rumlige referencer får betydning i geodesi, for eksempel gennem satellitpositionering , øges også betydningen af tredimensionelle koordinatsystemer.

Lokale koordinater

For lokale koordinatsystemer, dvs. koordinatsystemer, der ikke (foreløbig) er forbundet til et landsdækkende referencesystem , vælges x-aksen og nulpunktet passende. For eksempel kan det være hovedaksen for en bygning eller en polygonside og behøver ikke at pege mod nord. Y-aksen peger til højre fra denne akse.

For at undgå negative koordinater kan positive værdier føjes til koordinaterne, hvilket forskyder koordinaternes oprindelse. I tilfælde af mållinjer i den ortogonale metode betyder positive ordinater, at et punkt er til højre for mållinjen, punkter med negative ordinater er til venstre.

Landskoordinater

Oprindelse af koordinater

Fiktivt koordinatsystem med falsk øst på 500.000 m, hvilket er udbredt i praksis (UTM, GK). Den høje værdi er fiktiv, ligesom hældningen af de nærliggende længdegrader.

For længdegraden af det grundlæggende punkt eller den centrale meridian for en tværgående Mercator -projektion , i stedet for en koordinatværdi 0 - afhængigt af omfanget af det område, der skal kortlægges og andre praktiske overvejelser - sættes en vilkårlig værdi ( "falsk øst" , se fig.). På denne måde opnås en positiv "østværdi" (y -værdi) for hvert punkt, der kan repræsenteres.

Da retning nord-syd ("høj værdi", x-værdi, "falsk nording" ) bruges i overensstemmelse hermed, er der normalt en begrænsning til den første kvadrant i koordinatsystemet: alle kvadranter er defineret, men praktisk talt kun koordinaterne for første kvadrant brugt.

Østværdi (y-værdi)

Den rigtige værdi , også betegnet med y , er afstanden fra et punkt til (her lodret kørende) abscissa eller x-akse i plane kartesiske koordinatsystemer relateret til jordoverfladen. Den juridiske værdi derfor afstanden til den næste centrale meridian og svarer således til den engelske "easting".

For bedre håndtering i praksis undgås negative juridiske værdier (for områder vest for abscissen eller referencemeridianen) ved vilkårligt at angive en defineret juridisk værdi i stedet for nul (dvs. den centrale meridian) (omtalt som "falsk øst" i Engelsktalende lande, se ovenfor).

For eksempel blev oprindelsen af koordinaterne til den schweiziske nationale undersøgelse flyttet 600 km mod vest i Bordeaux -området for at undgå forvirring mellem højre og nordlige værdier: Koordinatværdier under 400.000 m skal være høje værdier, værdier ovenfor er altid østvendte værdier. På denne måde er det ikke nødvendigt at definere en sekvens af koordinatkomponenterne, og udvekslinger kan genkendes på grundlag af værdierne.

Et net i Gauß-Krüger-koordinatsystemet med en linjeafstand på 50 km er placeret over et kort over Tyskland.

Eksempel i Gauß-Krüger-systemet (med 500 km falsk øst): R 4541238. R gør det klart, at det er den østlige værdi. Det første tal (i dette tilfælde 4) repræsenterer kodenummeret for den respektive længdegrad, i dette tilfælde (4 · 3 = 12) for den centrale meridian 12 ° E. De resterende tal angiver nu i meter, hvor langt punktet er fra den centrale meridian efter at have trukket de 500 km: 541238-500000 = 41238. Den linje, vi leder efter (et punkt opnås kun med en tilsvarende høj værdi) er 41.238 km øst for længdegrad 12 ° E.

En falsk-østlig retning på 500 km for den centrale meridian som i UTM-koordinatsystemet sikrer, at hele det gyldige område for østværdien (6 cifre) er mellem 100.000 og 900.000.

Det finske YKJ-system forskyder koordinaternes oprindelse med 3.500 km mod vest for altid at modtage 7-cifrede koordinater vandret og lodret.

Høj værdi (x-værdi)

Den høje værdi , også omtalt som x , er afstanden mellem et punkt målt i nordretningen og dets basispunkt på koordinatsystemets horisontalt løbende basislinje (her y-aksen). Udtrykket høj værdi svarer til det engelske nord . Ved tilsvarende valgte positioner af y-aksen (f.eks. På ækvator for Europa) kan positive høje værdier også altid opnås.

Højre og nordlige værdier danner de todimensionale koordinater for et punkt.

Ansøgninger

På grund af jordens sfæriske form kan kartesiske koordinatsystemer kun kortlægge områder med begrænset forlængelse uden praktisk talt ingen forvrængninger ( sandt i længden ). Historisk set var de baseret på et lokalt grundlæggende punkt for trigonometrisk landmåling og blev strakt langs en normal vinkelret (nul længde, central meridian), som typisk, men ikke nødvendigvis, svarede til grundpunktets meridian . Moderne koordinatsystemer bruger længdegrader som reference eller centrale meridianer, hvis gradværdier kan deles med 3.

Praktiske anvendelser af kartesiske koordinatsystemer inden for geodesi er

Se også

litteratur

Bertold Witte , Peter Sparla: Landmåling og det grundlæggende i statistik for byggeindustrien . 7. udgave. Wichmann, Berlin 2011, ISBN 978-3-87907-497-6 , koordinatsystemer.

Weblinks

Forklaring med billeder på mathe-online.at
Eric W. Weisstein : Cartesiske koordinater . I: MathWorld (engelsk).
AB Ivanov: Kartesisk ortogonalt koordinatsystem . I: Michiel Hazewinkel (red.): Matematikens encyklopædi . Springer-Verlag og EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ). Skabelon: EoM / id
Kartesiske koordinater . I: PlanetMath . (Engelsk)
Find koordinater, og vis dem i forskellige systemer.

Individuelle beviser

^ Duden, den store udenlandske ordbog, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5 .
^ Scratchapixel: Koordinatsystemer
^ Helmuth Gericke : Matematik i antikken, Orient og Occident. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1 , s. 132.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 års geometri. 2. udgave. Springer, 2005, ISBN 3-540-22471-8 , s. 331.

[duden-1] Duden, den store udenlandske ordbog, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5 .

[2] Scratchapixel: Koordinatsystemer

[3] Helmuth Gericke : Matematik i antikken, Orient og Occident. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1 , s. 132.

[4] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 års geometri. 2. udgave. Springer, 2005, ISBN 3-540-22471-8 , s. 331.

[1]

[2]

[3]

[4]