Gensidig

Den gensidige værdi (også den gensidige værdi eller den gensidige ) en af $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ andet nummer $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ er tallet i regning, der starter med $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ multiplicerer tallet $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ resultater; han kaldes ${\tfrac {1}{x}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {x}}}$ $\ tfrac {1} {x}$ eller $x^{-1}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ $x ^ {- 1}$ skrevet ned.

ejendomme

Grafen for den gensidige funktion er en hyperbola .

Jo tættere et tal $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ løgne, jo bredere er dens gensidige af $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ fjernet. Nummeret $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ i sig selv har ingen gensidig værdi og er heller ikke en gensidig værdi. Ved $y=f(x)={\tfrac {1}{x}}$ ${\ displaystyle y = f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$ $y = f (x) = {\ tfrac 1x}$ Den beskrevne gensidige funktion (se figur) har en pol der . Det gensidige af et positivt tal er positivt, det gensidige af et negativt tal er negativt. Dette finder sit geometriske udtryk i, at grafen brydes ned i to hyperboliske grene, der ligger i den første og tredje kvadrant. Den gensidige funktion er en involution , det vil sige den gensidige af den gensidige af $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ er igen $x .$ ${\ displaystyle x.}$ $x.$ Er en størrelse $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ omvendt proportional med en størrelse $x,$ ${\ displaystyle x,}$ $x,$ så er det proportionelt med det gensidige af $x .$ ${\ displaystyle x.}$ $x.$

Den gensidige brøkdel af en brøkdel , som er den gensidige af en kvotient ${\tfrac {a}{b}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$ ${\ tfrac fra}$ med $a,b\neq 0,$ ${\ displaystyle a, b \ neq 0,}$ $a, b \ neq 0,$ opnås ved at skifte tæller og nævner:

{\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ frac {a} {b}}} = {\ frac {b} {a}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ frac {a} {b}}} = {\ frac {b} {a}}}

Beregningsreglen for dividering med en brøkdel følger heraf: En brøkdel divideres med at multiplicere med dens gensidige værdi. Se også brøker .

Det gensidige ${\tfrac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$ ${\ tfrac 1n}$ et naturligt tal $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ kaldes en bagagerumspause .

Også til hver af $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ forskellige komplekse tal $z=a+b\mathrm {i}$ ${\ displaystyle z = a + b \ mathrm {i}}$ $z = a + b {\ mathrm i}$ med reelle tal $-en, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $væk$ der er en gensidig værdi ${\tfrac {1}{z}}.$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {z}}.}$ ${\ tfrac {1} {z}}.$ Med det absolutte beløb $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ ${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ $| z | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}$ fra $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ og også $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ konjugeret komplekst tal ${\overline {z}}=a-b\mathrm {i}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}} = fra \ mathrm {i}}$ $\ overline {z} = a-b {\ mathrm i}$ er gældende:

{\frac {1}{a+b\mathrm {i} }}={\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {a-b\mathrm {i} }{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i}

{\ displaystyle {\ frac {1} {a + b \ mathrm {i}}} = {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ overline {z}} {z {\ overline {z} }}} = {\ frac {\ overline {z}} {| z | ^ {2}}} = {\ frac {ab \ mathrm {i}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} - {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ mathrm {i}}

{\ frac {1} {a + b {\ mathrm i}}} = {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ overline {z}} {z \ overline {z}}} = { \ frac {\ overline {z}} {| z | ^ {2}}} = {\ frac {ab {\ mathrm i}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ frac { a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} - {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} {\ mathrm i}

Eksempler

Det gensidige af $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ er tur $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .
Det gensidige af $0{,}001$ ${\ displaystyle 0 {,} 001}$ ${\ displaystyle 0 {,} 001}$ er $1000$ ${\ displaystyle 1000}$ $1000$ .
Det gensidige af $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ er ${\tfrac {1}{2}}=0{,}5$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} = 0 {,} 5}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} = 0 {,} 5}$ .
Brøkens gensidige ${\tfrac {2}{5}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {5}}}$ ${\ tfrac {2} {5}}$ er ${\tfrac {5}{2}}=2{\tfrac {1}{2}}=2{,}5$ ${\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} = 2 {\ tfrac {1} {2}} = 2 {,} 5}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} = 2 {\ tfrac {1} {2}} = 2 {,} 5}$ .
Det gensidige af det komplekse tal $3+4\mathrm {i}$ ${\ displaystyle 3 + 4 \ mathrm {i}}$ $3 + 4 {\ mathrm i}$ er ${\tfrac {1}{3+4\mathrm {i} }}={\tfrac {3}{25}}-{\tfrac {4}{25}}\mathrm {i}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3 + 4 \ mathrm {i}}} = {\ tfrac {3} {25}} - {\ tfrac {4} {25}} \ mathrm {i}}$ ${\ tfrac {1} {3 + 4 {\ mathrm i}}} = {\ tfrac {3} {25}} - {\ tfrac {4} {25}} {\ mathrm i}$ .

generalisering

En generalisering af det gensidige er den multiplikative inverse $x^{-1}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ $x ^ {- 1}$ til en enhed $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ af en enhedsring . Det er også efter ejendom $x^{-1}\cdot \ x=x\cdot \ x^{-1}=1$ ${\ displaystyle x ^ {- 1} \ cdot \ x = x \ cdot \ x ^ {- 1} = 1}$ $x ^ {{- 1}} \ cdot \ x = x \ cdot \ x ^ {{{- 1}} = 1$ defineret, hvor $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ betegner elementet i ringen.

Hvis det er z. B. er en ring af matricer, enheden er ikke tallet $1,$ ${\ displaystyle 1,}$ $1,$ men identitetsmatrixen . Matricer, for hvilke der ikke er nogen invers matrix , kaldes ental .

relaterede emner

Hvis en mængde er proportional med en andens gensidige, er der gensidig proportionalitet .

Weblinks

Wiktionary: reciprok - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

litteratur

Baggrundsviden for lærerstuderende om regning:

Friedhelm Padberg: Aritmetikkens didaktik. Til læreruddannelse og læreruddannelse. 3. forstørrede, fuldstændig reviderede udgave, genoptryk . Spektrum Akademischer Verlag, München 2009, ISBN 978-3-8274-0993-5 .