Tilnærmelse til lille vinkel

Næsten den samme adfærd for nogle (trigonometriske) funktioner for x → 0

Den lille vinkel- tilnærmelse forstås at være den matematiske tilnærmelse , der antages at være vinklen $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ være tilstrækkelig lille til, at man kan dele sin sinus eller tangens med selve vinklen (i radianer ) og cosinus $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ kan erstatte:

{\begin{aligned}\sin x\approx x\\\tan x\approx x\\\cos x\approx 1\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x \ approx x \\\ tan x \ approx x \\\ cos x \ approx 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x \ approx x \\\ tan x \ approx x \\\ cos x \ approx 1 \ end {align}}}

Afledning

Grundlaget for denne tilgang er de respektive Maclaurin -serier af vinkelfunktionen (se også Taylor -serien ):

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}\mp \cdots

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {6}} + {\ frac {x ^ {5}} {120}} \ mp \ cdots}

\ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} 6} + {\ frac {x ^ {5}} {120}} \ mp \ cdots

\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2\,x^{5}}{15}}+\cdots

{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2 \, x ^ {5}} {15}} + \ cdots}

\ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} 3} + {\ frac {2 \, x ^ {5}} {15}} + \ cdots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\mp \cdots

{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {4}} {24}} \ mp \ cdots}

\ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} 2} + {\ frac {x ^ {4}} {24}} \ mp \ cdots

til $|x|\ll 1$ ${\ displaystyle | x | \ ll 1}$ $| x | \ ll 1$ stævningerne med en højere effekt på $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ omsorgssvigt i forhold til de foregående vilkår, så ovenstående tilnærmelser resulterer.

	Specifikt eksempel: sinus tilnærmelse og afvigelse kl
Eksempel på vinkler	$x=\pi /36=5^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 36 = 5 ^ {\ circ}}$ $x = \ pi / 36 = 5 ^ {\ circ}$	$x=\pi /24=7{,}5^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 24 = 7 {,} 5 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle x = \ pi / 24 = 7 {,} 5 ^ {\ circ}}$	$x=\pi /18=10^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}}$ $x = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}$
$x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ i grader $^{\circ }$ ${\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^ {\ circ}$ (deg)	$~~~5{,}0~$ ${\ displaystyle ~~~ 5 {,} 0 ~}$ ${\ displaystyle ~~~ 5 {,} 0 ~}$	$~~~7{,}5~$ ${\ displaystyle ~~~ 7 {,} 5 ~}$ ${\ displaystyle ~~~ 7 {,} 5 ~}$	$~~~10{,}0~$ ${\ displaystyle ~~~ 10 {,} 0 ~}$ ${\ displaystyle ~~~ 10 {,} 0 ~}$
$x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ i radianer $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ synd x$	$~~~0{,}08727=\pi /36$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 08727 = \ pi / 36}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 08727 = \ pi / 36}$	$~~~0{,}13090=\pi /24$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13090 = \ pi / 24}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13090 = \ pi / 24}$	$~~~0{,}1745=\pi /18$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 1745 = \ pi / 18}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 1745 = \ pi / 18}$
$\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ synd x$	$~~~0{,}08716~$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 08716 ~}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 08716 ~}$	$~~~0{,}13053~$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13053 ~}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13053 ~}$	$~~~0{,}1736~$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 1736 ~}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 1736 ~}$
Relativ afvigelse	$~~~0{,}13~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13 ~ \%}$ $~~~ 0 {,} 13 ~ \%$	$~~~0{,}29~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 29 ~ \%}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 29 ~ \%}$	$~~~0{,}51~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 51 ~ \%}$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 51 ~ \%}$

Tabel over den relative afvigelse eller fejlgrænse for den respektive tilnærmelse for de angivne vinkler:

	Relativ afvigelse sinus, tangens og cosinus kl
Tilnærmelse	$x=\pi /36=5^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 36 = 5 ^ {\ circ}}$ $x = \ pi / 36 = 5 ^ {\ circ}$	$x=\pi /24=7{,}5^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 24 = 7 {,} 5 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle x = \ pi / 24 = 7 {,} 5 ^ {\ circ}}$	$x=\pi /18=10^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}}$ $x = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}$
$x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ i stedet for $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ synd x$	$~~~0{,}13~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13 ~ \%}$ $~~~ 0 {,} 13 ~ \%$	$~~~0{,}3~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 3 ~ \%}$ $~~~ 0 {,} 3 ~ \%$	$~~~0{,}5~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 5 ~ \%}$ $~~~ 0 {,} 5 ~ \%$
$x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ i stedet for $\tan x$ ${\ displaystyle \ tan x}$ $\ tan x$	$-0{,}25~\%$ ${\ displaystyle -0 {,} 25 ~ \%}$ $-0 {,} 25 ~ \%$	$-0{,}6~\%$ ${\ displaystyle -0 {,} 6 ~ \%}$ $-0 {,} 6 ~ \%$	$-1{,}0~\%$ ${\ displaystyle -1 {,} 0 ~ \%}$ $-1 {,} 0 ~ \%$
$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ i stedet for $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$	$~~~0{,}38~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 38 ~ \%}$ $~~~ 0 {,} 38 ~ \%$	$~~~0{,}9~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 9 ~ \%}$ $~~~ 0 {,} 9 ~ \%$	$~~~1{,}5~\%$ ${\ displaystyle ~~~ 1 {,} 5 ~ \%}$ $~~~ 1 {,} 5 ~ \%$

Ansøgninger

Småvinkeltilnærmelsen er især vigtig i fysikken , hvor mange problemer kan løses analytisk ved hjælp af den lille vinkel-tilnærmelse, hvilket ellers ville føre til komplicerede elliptiske integraler med inklusion af vinkelfunktionerne. Anvendelseseksempler på den lille vinkel-tilnærmelse er det matematiske pendul , evalueringen af diffraktionen ved spalten , den paraxiale optik samt tilnærmelsen af parabel og cirkelbue ved behandling af linser og konkave spejle i nærheden af den optiske akse .

Moderat vinkelændring> 7 °

I teknisk mekanik er det også almindelig praksis at tage moderate vinkelændringer i betragtning. For at undgå, at cosinus falder helt ud i den lille vinkel-tilnærmelse, tages der også hensyn til det andet udtryk i Taylor-serieudvidelsen, således at:

${\text{cos}}(x)\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ text {cos}} (x) \ ca. 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ text {cos}} (x) \ ca. 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}}$ .

Et anvendelseseksempel er teorien om let buede skalstrukturer: Da krumningen har en afgørende indflydelse på den bærende adfærd, skal den tages i betragtning; på samme tid er tilnærmelsen beregnet til at reducere beregningsindsatsen.

Den mere præcise tilnærmelse resulterer nu i følgende egenskaber:

	Relativ afvigelse kl
Tilnærmelse	$x=\pi /18=10^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}}$ $x = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}$	$x=\pi /9=20^{\circ }$ ${\ displaystyle x = \ pi / 9 = 20 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle x = \ pi / 9 = 20 ^ {\ circ}}$	$x=2\pi /9=40^{\circ }$ ${\ displaystyle x = 2 \ pi / 9 = 40 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle x = 2 \ pi / 9 = 40 ^ {\ circ}}$
$1-{\frac {x^{2}}{2}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}}$ i stedet for $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$	$~~~-0{,}0039~\%$ ${\ displaystyle ~~~ -0 {,} 0039 ~ \%}$ ${\ displaystyle ~~~ -0 {,} 0039 ~ \%}$	$~~~-0{,}066~\%$ ${\ displaystyle ~~~ -0 {,} 066 ~ \%}$ ${\ displaystyle ~~~ -0 {,} 066 ~ \%}$	$~~~-1{,}27~\%$ ${\ displaystyle ~~~ -1 {,} 27 ~ \%}$ ${\ displaystyle ~~~ -1 {,} 27 ~ \%}$

litteratur

Berthold Schuppar: Elementær numerisk matematik . Springer, 2013, ISBN 978-3-322-80307-8 , s. 67-70 .