Interval (musik)

Som et interval (fra latinsk intervallum , ' rum ' , faktisk "mellem Schanzpfahl", fra latin vallus " Schanzpfahl ") ^[1] er tonehøjden mellem to toner, der lyder samtidigt eller den ene efter den anden. Hvis de to toner lyder på samme tid ("samtidigt"), taler den ene om et harmonisk interval, mens de lyder efter hinanden ("successivt"), om et melodisk interval.

Hvert interval svarer til en bestemt kvotient (et forhold, en andel): oprindeligt et strenglængdeforhold, generelt et frekvensforhold . Som sådan er intervaller grundlæggende for opfattelsen af ​​musik: to tonehøjde -sekvenser opfattes som to transpositioner af "den samme melodi ", hvis sekvenserne af forholdene for de successive frekvenser matcher, dvs. intervallernes sekvenser, uanset startfrekvensen . ^[2] Det samme gælder toner, der lyder på samme tid, som en akkord .

Det vigtigste interval, oktaven, er grundlaget for alle historisk udviklede tonesystemer. Tonehøjden for ethvert oktavinterval kan opdeles i den ene eller den anden diatonisk - heptatonisk skala . Stigernes pladser er opkaldt efter de latinske ordinalnumre : "Prime" (fra latinsk prima , "den første"), "anden" (fra secunda , "den anden"), "tredje" (fra tertia , "den tredje ") osv. Trinene danner intervaller med stigenes starttone, der hver har samme navn som trin. ^[3] Selve starttonen bærer tallet 1. Derfor er intervallerne baseret på et inkluderende tællesystem : Prime angiver intervallet, som starttonen (eller en hvilken som helst tone) danner med sig selv, det vil sige afstanden 0 tone niveauer, sekund afstanden fra den første til den anden tone, det vil sige afstanden 1 tone niveau osv.

Hvis udtrykket ikke refererer til intervallet, men til det relevante toneniveau, bruges nogle gange de klarere udtryk tredje tone , femte tone osv. ^{[4] [5]}

Nogle vigtige intervaller er givet af de naturlige toneserier , især intervallerne oktav , femte , fjerde og større tredjedel .

Eksempel : Major tredje f 'a', fjerde f 'b', femte f 'c' og oktav f 'f' '. ^[6]

Intervallernes størrelse Deres størrelse måles ofte i cent . Ved tilføjelse (successiv udførelse) af intervaller skal centmålene tilføjes, men frekvensforholdene skal multipliceres.

I konventionel europæisk musik er det mindste interval, der bruges, det lille sekund , også kaldet en halvtone . I lige tuning måler den 100 cent. Alle andre intervaller, der forekommer i denne tuning, kan også specificeres som antal halvtoner. ^[7]

Udførelse af intervaller den ene efter den anden

Udførelsen af ​​intervaller efter hinanden kan beskrives ved en addition eller subtraktion. De tilhørende frekvensforhold multipliceres eller divideres.

For eksempel:

• Tilføjelse: ren mindre tredjedel + ren major tredjedel = ren femte eller subtraktion: ren femte - ren mindre tredjedel = ren major tredjedel.
• I cent , omtrentlige værdier: 316 cents + 386 cents = 702 cents eller 702 cents - 316 cents = 386 cents.
• Frekvensforhold: ^_6/5 • ^_5/4 = ^_3/2 eller ^{_{3/2: 6/5}} = ^_5/4.

Intervallernes frekvensforhold opfører sig eksponentielt. Derfor beregnes størrelsen af ​​et interval logaritmisk.

interval	størrelse	Frekvensforhold
1 oktav	= 1200 øre	2: 1
2 oktaver	= 2400 øre	4: 1
3 oktaver	= 3600 øre	8: 1
5. ≈7 / 12 oktav [8]	1200 • log 2 (3/2) cent ≈ 702 cent	3: 2

Det gamle Grækenland

Hovedartikel → Musikteori i det antikke Grækenland → Tonefamilierne

Ifølge legenden Pythagoras i smedjen definerede han de intervaller, der er centrale for tonaliteten, som heltalsfrekvensforhold af længder af vibrerende strenge i en monokord :

• Oktav (frekvens): 2: 1 (oktav op ved halvering af længden)
• Femte (frekvens): 3: 2 (femte opad ved to tredjedele af længden)
• Fjerde (frekvens): 4: 3 (oktav 2: 1 op, derefter femte 3: 2 ned, så: ² ⁄ ₁ : ³ ⁄ ₂ = ⁴ ⁄ ₃ ) ^[9]
• Hel tone (frekvens): 9: 8 (femte 3: 2 op, derefter fjerde 4: 3 ned, så: ³ ⁄ ₂ : ⁴ ⁄ ₃ = ⁹ ⁄ ₈ ) ^[9]

Han tog ikke højde for den store tredjedel (5: 4), men et interval bestående af to store hele toner, ved det syntoniske komma (81:80): ditonen (81:64). Hvis ditonen blev trukket fra en ren fjerde, forblev leimma (256: 243). Med disse intervaller kunne der ikke dannes nogen stabil harmonisk triade , så oldgræsk musik ikke udviklede nogen harmoni i senere europæisk forstand. ^[10] Kun Archytas og Didymos bestemte den største tredjedel (5: 4), Eratosthenes den mindre tredjedel (6: 5).

Pythagoræerne tillod kun intervaller, der kunne beregnes som heltalsforhold. De fandt ikke en kvot hvis fordobling resulterer i 9: 8, så de ikke kunne opdele hele tonen i to lige halvtoner, men kun i en mindre ( diesis ) og en større ( apotom ) halvtone. For dem var en oktav matematisk ikke ligefrem identisk med summen af ​​seks hel-tone eller tolv halvtonetrin, fordi tolv perfekte femtedele i træk resulterer i en lidt højere måletone end den syvende oktav i den originale tone. Forskellen er kendt som Pythagoras komma . ^[11]

For første gang konverterede Philolaos tilføjede musikalske intervaller til flere akustiske proportioner. Denne metode blev optimeret efter 1585 af Simon Stevin ved hjælp af en eksponentiel funktion og omkring 1640 af Bonaventura Francesco Cavalieri og Juan Caramuel y Lobkowitz ved hjælp af den logaritmiske omvendte funktion. Euklid forstod hypotetisk intervalforhold som frekvensforhold uden at kunne måle dem.

I modsætning til pythagoræerne definerede Aristoxenus ikke intervaller matematisk, men akustisk som et hørbart "rum" (diastema) mellem to toner af en kontinuerlig melodi , som svarede til græsk musikpraksis. Derfor tildelte han et bestemt antal faste tonehøjder (toner) til hvert interval, det omfatter. Den fjerde indeholdt fire på hinanden følgende toner, en såkaldt tetrachord . Dens ydre toner blev senere også kort omtalt som intervallet, så udtrykket fremover betød afstanden fra den første til den sidste tone i en sådan tonesekvens.

Aristoxenus opdelte hele tonen praktisk talt i to, tre eller fire lige store underintervaller. De forskellige kombinationer af halvtoner og hele toner i en tetrachord resulterede i dens slægt ( tonetype : diatonisk, kromatisk eller enharmonisk). To tetrachords, der fulgte hinanden i en afstand af en hel tone, resulterede i forskellige skalaer (modes) inden for rammerne af en oktav. ^[12]

Europæisk tonalitet

Intervalnavne og skaleniveauer

Forskellige tonale systemer opstod i Europa, af hvilke den dur-mol tonale system, sejrede over alternativerne i dag er kendt som kirkens tilstande i Centraleuropa . Alle disse europæiske tonesystemer er baseret på heptatoniske skalaer , dvs. skalaer med syv tonehøjder pr. Oktav, som er specielt diatoniske med fem hel-tone og to halvtonetrin. De velkendte diatoniske intervalnavne stammer fra de latinske ordinaltal for disse pladser ( prima "den første", secunda "den anden", tertia "den tredje" osv.). Følgende intervalnavne findes i litteraturen:

Typer af intervaller

Intervaller i notebilledet

Intervallerne andet, tredje, sjette og syvende forekommer i to typer hver, som et stort og lille interval. Forskellen er en halvtone i hvert tilfælde.

Desuden kan hvert interval være for stort eller reduceret . Dette betyder også at forstørre eller reducere med en halvtone. Den overdrevne fjerde (også kaldet triton ) og den formindskede femte findes allerede i rodtoneserien : F - B eller B - f , og følgelig i hver større skala mellem fjerde og syvende grad og hver mindre skala mellem den anden og sjette grad. Disse to intervaller lyder ens i den samme tuning . I alle andre tilfælde skyldes overdrevne eller reducerede intervaller ændringer , dvs. stigning eller formindskelse af en tone med et halvtonet trin.

Primer, fjerdedele, femtedele og oktaver, der hverken er overdrevne eller formindskes, siges at være rene . (Ordet "ren" har intet at gøre med ren stemning her.)

Som en forkortet notation for intervaller og for tonehøjder i akkorder (tre eller flere toner af forskellige tonehøjder i harmoni) er blevet almindelig: ^[17]

• Arabiske tal for intervallets størrelser eller tonehøjder: 1 = primtal, 2 = sekund, 3 = tredje osv.
• + = stort
• - = lille
• > = reduceret (som decrescendo -symbol)
• <= overdreven (som crescendo -tegn)

I musikalsk praksis er dobbelte overdrevne og dobbelt reducerede intervaller sjældne.

Komplementære intervaller

Komplementære intervaller , supplerende intervaller eller reverseringsintervaller er hver to intervaller i oktavrummet, der supplerer hinanden til en oktav. Det komplementære interval oprettes ved at flytte den øvre tone en oktav ned eller den nederste en oktav op i det givne interval (grundform). Hver er komplementær:

• Primtal og oktaver,
• Sekunder og syvende.
• Tredjedele og sjettedele,
• Fjerdedele og femtedele.

Rene intervaller forbliver rene, store suppleres med små, formindskede med overdrevne og omvendt. Intervaller, der går ud over oktaven, suppleres ikke separat, men ses som tilføjelse til en oktav: Et decime svarer til en oktav plus en tredjedel; en sjette er så også komplementær til den.

Konsonanser og dissonanser

Hvis tonerne i et interval lyder på samme tid, er de opdelt i konsonant ("lydende sammen") og dissonante ("divergerende") lyde. Intervaller kaldes konsonant, hvis toner opfattes som fusionerende med hinanden, velsiddende, harmonisk afslappet, rolig og stabil. Intervaller betragtes som dissonante, hvis toner har en stærk friktion mod hinanden og lyder rastløse og derfor skaber lytterens ønske om at opløse sig i en konsonans.

Hvilke intervaller der er eller opfattes som konsonant eller dissonant, afhænger først og fremmest af kulturelt påvirkede lyttevaner. Generelt gælder imidlertid følgende: konsonansgraden er højere, jo mindre hele tal bruges til at udtrykke forholdet (andelen) af svingningstallene (frekvenser) af de to toner i et interval. Denne opdagelse tilskrives Pythagoras . I antikken og i middelalderen blev kun oktaven (frekvensforholdet 1: 2), den femte (2: 3) og den fjerde (3: 4) betragtet som konsonanser. ^[18] Siden omkring 1500 er tredjedele og sjettedele gradvist blevet opfattet som konsonanser. Alle sekunder og syvende og alle overdrevne eller formindskede primtal, fjerdedele, femtedele og oktaver betragtes som dissonanser. Den fjerde havde en særlig position siden 1500 -tallet: i teorien om komposition og kontrapunkt blev det betragtet som en dissonans, hvis den blev dannet af tre eller flere stemmer af de lavere stemmer i en polyfonisk indstilling.

Mulighederne for brug af konsonantintervaller er støt udvidet gennem århundredernes udvikling af polyfonisk musik i Europa. Ifølge den traditionelle teori om harmoni i europæisk kunstmusik bruges dissonante lyde hovedsageligt i musikalsk komposition til at skabe harmonisk spænding på ustressede beats og især til at danne kadence ved finaler eller interne caesuras . Et særligt typisk eksempel på dette er den dominerende syvende akkord , der har den mindre syvende som en dissonant tone. I den funktionelle harmonik i europæisk musik har denne lyd funktionen til at øge den harmoniske spænding før konsonantens sidste lyd. Den funktionelt harmoniske lytter hører en klar stræbtendens i syvende ( ledetonen ) - det skal løses ned i en halvtone.

Brugen af ​​dissonanser til øget harmonisk spænding blev stadig mere udbredt i romantikken og senromantikken . Allerede Richard Wagners , Max Regers eller Gustav Mahlers musik viste tendenser til, at næsten hver tone, der tilhører skalaen eller uden for skalaen, kunne bruges som en tonetone, der kunne løses opad eller nedad, så tonaliteten begyndte at opløses (se også: formindsket akkord , overdreven akkord ).

I atonal musik fra det 20. århundrede, men f.eks. B. med jazz kan man så tale om en frigørelse af dissonans. I tolvtonemusikkompositionsteknikken foretrækkes dissonanser. Som et resultat heraf fremstår bevidst indstillede konsonanser "ustabile" i disse musikstykker; På grund af denne stimulans kunne triaden i tolvtonet musik f.eks. Bruges som et særligt udtryksmiddel i form af et motiv.

I jazz harmoniske , akkorder med tilsat syvende, niende eller formindskede femtedele overtage funktionen af de vigtigste lyde, mens i henhold til traditionel harmoni disse kan kun bestå af konsonant intervaller.

Humør

Diatoniske intervaller i oktavrummet har heltalsvibrationsforhold og har derfor hver en karakteristisk lyd, så de kan genkendes og differentieres, selvom de er lidt ude af stemning. Derfor vises de under samme navn i forskellige stemninger .

I ren tuning indstilles alle intervaller præcist fra rodnoten i en større eller mindre skala og lyder optimalt ud fra dette: de små og store sekunder med frekvensforholdet ¹⁶ ⁄ ₁₅ og ⁹ ⁄ ₈ eller ¹⁰ ⁄ ₉ , ^[19] dø minor og major tredje med ⁶ ⁄ ₅ og ⁵ ⁄ ₄ , den fjerde og femte med ⁴ ⁄ ₃ og ³ ⁄ ₂ , den mindre og major sjette med ⁸ ⁄ ₅ og ⁵ ⁄ ₃ og den mindre og major syvende med ¹⁶ ⁄ ₉ eller. ⁹ ⁄ ₅ ^[20] og ¹⁵ ⁄ ₈ . Triaderne (tredjedele og femtedele) af tonikken, den dominerende og den subdominante er rene. Med moduleringer (ud over et ændring af tegn i notationen) er der en tonehøjdeforskel på et syntonisk komma . Hvis du indstiller et 12-trins tastatur til en ren skala, kan andre taster kun bruges i begrænset omfang, hvilket i høj grad begrænser de harmoniske muligheder.

Derfor har såkaldte temperaturer med små detunings været almindelige siden renæssancen for at kunne bruge flere nøgler. Særlige stemninger er opkaldt efter de særlige intervaller, der kendetegner dem. I mellemtonetuningen indstilles mange større tredjedele (femtedelen er derfor cirka 5 cent for lille), og det syntoniske komma fordeles jævnt over andre intervaller. I tilfælde af de velhæmmede tuninger blev afvigelserne fra den rene tuning udvidet, så alle nøgler i cirkel af femtedele - omend med forskellige egenskaber - blev spilbare.

Enheden cent bruges til at "måle" de fine ændringer i intervallerne i de forskellige stemninger. Med lige tuning er alle tolv halvtoner i oktaven præcist indstillet til 100 cent, så det pythagoreiske komma fordeles over alle tonehøjder. Selvom alle andre intervaller er lidt ude af stemme, lyder de ens i alle taster.

Tabeller over femtedele og tredjedele i alle baner og i de forskellige tuninger findes i afsnittet Sammenligning af tuningsystemer .

Tabel over intervaller

Detaljerede intervaltabeller for Pythagoras, middel-tone, ren og lige tuning:

• se tonestruktur (matematisk beskrivelse)

Lydprøver

Hukommelseshjælpemidler

Begyndelsen på velkendte populære sangmelodier bruges ofte til at gøre de vigtigste diatoniske intervaller lettere at huske. Denne metode til øretræning er dog kun pålidelig i begrænset omfang, da de samme intervaller kan lyde forskelligt i andre musikalske sammenhænge - afhængigt af blandt andet skalaens placering, tonens køn, tonen i tonen og udtrykket. For eksempel lyder den mindre tredjedel fra E til G i C -dur (for eksempel i "Olé, olé, olé") anderledes end det samme interval i nøglen til e -moll (f.eks. I " O Heiland, riv himlen ", EG 7). Den store tredjedel vækker normalt en større tilknytning fra den nederste tone og opefter, men kan også lyde mørk, når den spilles nedad: for eksempel i det unisont spillede åbningsmotiv i Beethovens “Skæbnesvangre symfoni” (GGG-Es) . Her er det endnu ikke hørbart, om dette interval skal klassificeres som en del af en C -moll- eller E -dur -dur. Ved relativ solisering ( bevægelig do ) navngives derfor de forskellige funktioner på niveauerne med stavelser. I 2003/2004 udgav Mark Alburger en ekstremt omfattende liste med mange hundrede eksempler. Han arrangerede disse på basis af Moveable-Do-System, som er udbredt i USA. ^[21] Følgende tabel tager højde for den klassificering, som Alburger foreslår. De små sekunder fra tredje til fjerde skala er markeret som Mi-Fa. For hele den kromatiske skala bruges stavelserne til den relative solmisering inklusive de mest almindelige ændringer Do -Ra- Re -Me- Mi - Fa -Fi- Sol -Le- La -Te- Ti . For eksempel kaldes tonicens mindre triade Do-Me-Sol i dette Moveable-Do-system.

Matematiske definitioner

Se: Hovedartikelens struktur (matematisk beskrivelse)

Frekvensforhold kan tildeles intervaller. Frekvensforholdet mellem multipla af intervaller stiger eksponentielt. Cent -målet er et logaritmisk mål for frekvensforholdene. Dette er proportionalt med intervallets størrelse . Cent er en underenhed af oktaven med definitionen 1200 cent = 1 oktav (eller 1 halvtone på samme niveau = 100 cent ).

Ved tilføjelse af intervaller (den ene efter den anden) tilføjes centenhederne, men frekvensforholdene multipliceres.

Eksempel:

Femte + fjerde = 702 cent + 498 cent = 1200 cent = oktav. (Frekvensforhold: ³ ⁄ ₂ × ⁴ ⁄ ₃ = ² ⁄ ₁ )

Mindre tredjedel + større tredjedel = 316 øre + 386 øre = 702 øre = femte. (Frekvensforhold: ⁶ ⁄ ₅ × ⁵ ⁄ ₄ = ³ ⁄ ₂ )

Et intervalrum kan ses som et additivt ordnet beregningsområde. Tilføjelsen svarer til udførelsen af ​​intervaller efter hinanden.

De vigtigste intervaller er:

Se også

• Alle intervaller
• Mikrointerval

litteratur

• Sigalia Dostrovsky, John T. Cannon: Udvikling af musikalsk akustik (1600-1750). I: Frieder Zaminer (red.): Musikteoriens historie. Bind 6. Darmstadt 1987, ISBN 3-534-01206-2 , s. 7-79.
• Mark Lindley: Humør og temperatur. I: Frieder Zaminer (red.): Musikteoriens historie. Bind 6. Darmstadt 1987, ISBN 3-534-01206-2 , s. 109-332.
• Wilfried Neumaier: Hvad er et lydsystem? Frankfurt am Main / Bern / New York 1986, ISBN 3-8204-9492-8 .
• Frank Haunschild: Den nye teori om harmoni. Bind 1. AMA-Verlag, Brühl 1998, ISBN 978-3-927190-00-9 , s. 32-42 ( intervaller ) og 104 ( generel information om akkorder).
• Wieland Ziegenrücker: Allgemeine Musiklehre mit Fragen und Aufgaben zur Selbstkontrolle. Deutscher Verlag für Musik, Leipzig 1977; Taschenbuchausgabe: Wilhelm Goldmann Verlag, und Musikverlag B. Schott's Söhne, Mainz 1979, ISBN 3-442-33003-3 , S. 63–77 ( Die Intervalle ).
• Bernd Alois Zimmermann : Intervall und Zeit: Aufsätze und Schriften zum Werk. Edition Schott, Mainz 1974, ISBN 3-7957-2952-1 .

Weblinks

Commons : Musical intervals – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Liste von Frequenzverhältnissen und ihren deutschen Intervallnamen ( Memento vom 11. Juli 2007 im Internet Archive )
• GNU Solfege, freie Gehörtrainingssoftware
• Weiterer Intervalltrainer
• Lissajous Kurven: Simulation zur graphischen Darstellung von musikalischen Intervallen, Schwebungen, schwingender Saiten
• Joachim Mohr: Töne und Intervalle
• Ulrich Kaiser: Intervalle und Akkorde OpenBook für Kinder
• Visualisierungen von Intervallen – Proportionen, Obertöne, etc. interaktive Webanwendung, erfordert JavaScript

Einzelnachweise

1. ↑ Zur Etymologie vgl. Helmut KH Lange: Allgemeine Musiklehre und musikalische Ornamentik. Ein Lehrbuch für Musikschulen, Konservatorien und Musikhochschulen. Franz-Steiner-Verlag, Stuttgart 1991, S. 57; ergänzend Douglas Harper:interval . In: Online Etymology Dictionary (englisch).
2. ↑ Carl Stumpf: Die Anfänge der Musik , Berlin 1911, S. 10.
3. ↑ M. Honegger, G. Massenkeil (Hrsg.): Das große Lexikon der Musik. Herder, 1976, Band 4, S. 194.
4. ↑ HJ Moser: Allgemeine Musiklehre. 3. Auflage. Verlag de Gruyter, 1968, S. 42.
5. ↑ Walter Opp: Handbuch Kirchenmusik , Band 1. Merseburger, 2001, ISBN 3-87537-281-6 , S. 216, 225, 235.
6. ↑ Mit den Frequenzen für f' (352 Hz ), a' (440 Hz), b' (469,33 Hz), c'' (528 Hz) und f'' (704 Hz) berechnet sich das Frequenzverhältnis der Intervalle folgendermaßen: Große Terz=5:4 (f' a': 440 Hz:352 Hz = 5:4), Quarte=4:3 (f' b': 469,33 Hz:352 Hz = 4:3), Quinte=3:2 (f' c'' 528 Hz:352 Hz = 3:2) und Oktave=2:1 (f' f'': 704 Hz:352 Hz = 2:1)
7. ↑ In nicht gleichstufigen Stimmungen gibt es allerdings mehrere verschieden große Halbtöne, z. B. in der reinen Stimmung insgesamt drei. Die Zahl der Halbtöne eines Intervalls ist dann nur eine angenäherte Beschreibung.
8. ↑ 7/12 Oktave = 700 Cent
9. ↑ ^{a b} Die Rechnung erfolgt hier in moderner Fassung mit den Frequenzverhältnissen (Intervalle aufwärts größer als 1, Intervalle abwärts kleiner als 1). Den Längenverhältnissen der Saite entsprechen die Kehrwerte der Frequenzverhältnisse.
10. ↑ Arnold Schering: Handbuch der Musikgeschichte , Georg Olms Verlag, Hildesheim 1976, S. 23.
11. ↑ Peter Schnaus: Europäische Musik in Schlaglichtern. Meyers Lexikonverlag, Mannheim ua 1990, ISBN 3-411-02701-0 , S. 28.
12. ↑ Peter Schnaus: Europäische Musik in Schlaglichtern. S. 25.
13. ↑ ^{a b c} Helmut KH Lange: Allgemeine Musiklehre und musikalische Ornamentik. Ein Lehrbuch für Musikschulen, Konservatorien und Musikhochschulen . Franz Steiner, Stuttgart 1991, ISBN 978-3-515-05678-6 , S.   59 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  
14. ↑ ^{a b} Gottfried Weber: Allgemeine Musiklehre für Lehrer und Lernende . Carl Wilhelm Leske, Darmstadt 1822, S.   58 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  
15. ↑ Mark Levine: Das Jazz Piano Buch . Advance Music, Petaluma 1992, ISBN 3-89221-040-3 , S.   33 .  
16. ↑ Helmut KH Lange: Allgemeine Musiklehre und musikalische Ornamentik. Ein Lehrbuch für Musikschulen, Konservatorien und Musikhochschulen . Franz Steiner, Stuttgart 1991, ISBN 978-3-515-05678-6 , S.   24 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  
17. ↑ online Musiktheorie nach Everard Sigal
18. ↑ Hermann Grabner: Allgemeine Musiklehre , S. 84.
19. ↑ In der reinen Stimmung gibt es zwei Ganztöne: den großen (pythagoreischen) Ganzton mit dem Frequenzverhältnis ⁹ ⁄ ₈ und den kleinen Ganzton mit dem Frequenzverhältnis ¹⁰ ⁄ ₉ . Die Hintereinanderausführung dieser beiden Ganztonintervalle ergibt die große Terz mit dem Frequenzverhältnis ⁵ ⁄ ₄ .
20. ↑ Entsprechend den zwei großen Sekunden (Ganztönen) gibt es zwei kleine Septimen mit den Frequenzverhältnissen ¹⁶ ⁄ ₉ und ⁹ ⁄ ₅ .
21. ↑ Mark Alburger: The solfege project, Comparative melody classification: Do through Fi . In: 21st-Century-Music 10(9), 2003, 1–11. online und Mark Alburger: The solfege project: Comparative melody classification –Sol through Ti . In: 21st-Century-Music 11(10), 2004 5–10. online
22. ↑ Diese Bezeichnung ist enharmonisch nicht ganz korrekt, allerdings wird man in dieser hier für das Anfangsstadium des Musiklernerns dargestellten Methode mit solchen komplexen Unterscheidungen von kleiner Sekunde und übermäßiger Prim überfordert sein