Kompleks AC -regning

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Den komplekse vekselstrømberegning er en elektroteknisk metode til beskrivelse og beregning af opførsel af lineære tidsinvariante systemer med sinusformet vekselstrøm og sinusformet vekselstrøm . Disse er i. A. beskrevet af differentialligninger, hvis klassiske løsningsmetoder er relativt vanskelige og ugunstige for "ingeniørpraksis". Den komplekse vekselstrømberegning tillader, med visse begrænsninger, som en symbolsk metode, transformation af differentialligningerne til algebraiske ligninger , hvis løsning er meget enklere og samtidig lettere at fortolke. Dette reducerer beregningen af ​​vekselstrømnet til beregningsmetoderne for jævnstrømnet.

Den komplekse vekselstrømregning blev oprettet i slutningen af ​​1800 -tallet for at løse problemerne med vekselstrømsteknologi, der derefter var afventende. Det går tilbage til Charles P. Steinmetz , der grundlagde den symbolske metode til vekselstrømsteknologi i sin afhandling i 1889, og til formidlingen af ​​denne teori efter 1893 gennem mange værker af Arthur Edwin Kennelly . [1] En matematisk nøjagtig fremstilling af de anvendte løsningsmetoder med komplekse spændinger og strømme blev givet i 1937 af Wilhelm Quade . [2] I sin historiske klassifikation er den komplekse vekselstrømberegning i sig selv en første operatørberegning i systemteori, og på den anden side har dens succes givet drivkraft til udviklingen af ​​yderligere operatørberegninger (f.eks. Heaviside -operatørberegning , Laplace -transformation ). Hvis kravene er opfyldt, kan denne symbolske metode også bruges til andre (ikke-elektriske) systemer.

Stavemåder, betingelser og begrænsninger

At forstå den komplekse vekselstrømberegning kræver viden om komplekse tal og beregning af elektriske netværk . Det omhandler spændinger og strømme, der varierer over tid, og som følger en sinusformet kurve. For at udtrykke denne variation i forhold til de tidsmæssigt faste værdier betegnes øjeblikkelige værdier, der ændres over tid med små bogstaver, spændinger som små bogstaver og strømme som en lille . For udtrykkeligt at identificere tidsafhængigheden, brevet tilføjes i runde parenteser, [3] [4] , z. B. . Formelsymboler med komplekse størrelser er angivet med en understregning. [5] [6] for den imaginære enhed er inden for elektroteknik, brevet brugt (med ), [7] for at undgå forvirring med brevet der bruges til den (tidsafhængige) strøm.

Den komplekse vekselstrømberegning er kun gældende for lineære tidsinvariante systemer , fordi den antager gyldigheden af superpositionsteoremet . Derfor skal alle komponenter, såsom modstande, kondensatorer og spoler, vise lineære egenskaber i det pågældende frekvensområde. Dette gælder f.eks. Ikke spoler med magnetisk mætning eller kondensatorer, hvis dielektriske konstant afhænger af det elektriske feltstyrke . Den komplekse AC-beregning er også udtrykkeligt ikke anvendelig for enheder, hvis hovedfunktion er baseret på stærke ikke-lineariteter (f.eks. Modulatorer og ensrettere ), fordi ikke-lineariteterne resulterer i ikke-sinusformede signaler og dermed "nye" frekvenser. Som regel er egenskaberne ved halvlederkomponenter også ikke-lineære. Men hvis disse drives med små sinusformede signaler i det konstante område af karakteristika , kan denne egenskab lineariseres, og den komplekse AC -beregning kan bruges. På denne måde kan to-port-teorien for eksempel kun bruges til transistorkredsløb .

Den komplekse vekselstrømberegning er baseret på sinusformede elektriske eller fysiske størrelser, hvor den forbigående proces, der opstår ved tænding, er så lang tid siden, at den ikke længere har indflydelse på systemets adfærd. I denne steady state forekommer kun sinusformede mængder med samme vinkelfrekvens i systemet på. Derfor kan kun denne steady state beregnes med den komplekse vekselstrømberegning, men ikke den flygtige tilkoblingsproces. Dette er også grunden til, at koblingsprocesser, såsom at skifte direkte og veksel spændinger til og fra, samt systemets adfærd i tilfælde af individuelle pulser eller pulssekvenser , ikke kan analyseres ved hjælp af den komplekse vekselstrømberegning alene. Der er dog generaliserede metoder baseret på den komplekse AC -beregning, f.eks. B. Fourier -serien og Laplace -transformationen , som gør disse beregninger mulige.

I det følgende betragtes kun spænding og strømstyrke som eksempler, selvom alle udsagn også gælder for andre fysiske størrelser.

Generel introduktion

Bestemmelsen af ​​forholdet mellem strøm og spænding i et elektrisk kredsløb er en af ​​de grundlæggende opgaver inden for elektroteknik.

Bliver en konstant spænding over tid givet og strømstyrken er bestemt, eller den aktuelle styrke givet og spændingen sådan er forholdet som elektrisk modstand eller forholdet som elektrisk konduktans udpeget.

Ohmiske modstande, induktanser eller kapacitanser forekommer som passive lineære elementer i vekselstrømskredsløbet. Følgende gælder for disse elementer:

  • Ohmisk modstand : strømmen er proportional med spændingen:
  • Induktans : ændringen i strømintensitet er proportional med spændingen:
    eller tilsvarende
  • kapacitet : Spændingsændringen er proportional med strømstyrken:
    eller tilsvarende

Hvis en af ​​de angivne værdier - spænding eller strømstyrke (simpelthen kaldet strøm) - er konstant, er den resulterende værdi kun konstant i tilfælde af rent ohmiske kredsløb. De anvendte beregningsmetoder er derefter, og først derefter, likestrømberegningens. En ideel induktans ville repræsentere en kortslutning, en ideel kapacitans en afbrydelse af den aktuelle gren. Når der tændes eller slukkes, er der midlertidigt ingen periodisk proces, fordi overgangen er underlagt en forbigående proces .

Hvis den angivne værdi ikke er konstant, eller hvis kredsløbet ikke er rent ohmsk, er strøm / spændingsforholdet mere kompliceret. Kapaciteter og induktanser skal derefter strømme ind i beregningen via differentialligninger . Beregningen kan dog være lettere i særlige tilfælde.

Et sådant specielt tilfælde eksisterer, når den angivne variabel har et sinusformet periodisk forløb, f.eks. B. en sinusformet strøm (se vekselstrøm )

eller en sinusformet spænding

det er og også den maksimale værdi, også kaldet amplitude , er vinkelfrekvensen , og også er nulfasevinklen for den skiftende mængde. [8] Forskellen kaldes faseforskydningsvinklen .

Den resulterende variabel har derefter et ligeledes sinusformet periodisk forløb af den samme frekvens , som dog kan ændre sig i faseskiftet og amplitudeforholdet med frekvensen (alternativt periodens varighed ).

Den matematiske behandling af beregninger i denne henseende udføres med fordel ved hjælp af komplekse størrelser , da disse gør løsningen af ​​trigonometriske opgaver meget lettere.

Kompleks spænding og kompleks strøm

Vektordiagram over en spænding i det komplekse plan

I et vektordiagram kan en harmonisk svingning (sinusformet svingning) repræsenteres af en med vinkelfrekvensen markør, der roterer omkring nulpunktet i det komplekse plan , hvis længde repræsenterer amplituden. Dette gør en overgang fra en tidsfunktion til en funktion af vinklen, fasevinklen i denne sammenhæng Hedder. Dette stiger tilsvarende på. Markøren roterer mod uret for at matche vinklens tælleretning. Det kaldes også en roterende markør. [5] Oscillationens tidsforløb kan opnås ved at projicere den roterende markørspids på den imaginære akse (sinusfunktion) eller den virkelige akse (cosinusfunktion).

En roterende markør til spænding eller kan repræsenteres af en kompleks stress , som er defineret som følger:

Det sidste udtryk repræsenterer den såkaldte præfiksnotation . Som i det næstsidste udtryk er den komplekse mængde angivet i polære koordinater .

Eksempel: formlen taler: er lig med Levere , hvori beløbet og argumentet om kompleks størrelse er.

Man definerer analogt for strømmen eller den komplekse strøm :

Afhængigt af om cosinus eller sinus fortrinsvis bruges til at beskrive alle signaler, kan de reelle størrelser repræsenteres som reelle dele eller imaginære dele af de komplekse størrelser. Alternativt kan de reelle mængder også bestemmes ved at tilføje eller fratrække de konjugerede komplekse signaler:

eller.

Repræsentationen baseret på de konjugerede komplekse signaler muliggør fortolkningen af ​​det virkelige signal som en superposition af en (mod uret) roterende markør - det komplekse signal - og en markør, der roterer i den modsatte retning (med uret) - det konjugerede komplekse signal.

Komplekse amplituder og komplekse rms -værdier

Definitionen af komplekse amplituder ( fasorer ) (der oprindeligt fungerer som en forkortelse) er afgørende for den komplekse beregning.

og

eller alternativt af komplekse effektive værdier

og

fra de (reelle) amplituder eller effektive værdier og nulfasevinklerne.

Det betyder, at de komplekse øjeblikkelige værdier kan skrives som

og

Da de komplekse amplituder og de komplekse rms -værdier ikke afhænger af tid, svarer de til stationære pointer til repræsentation af et sinusformet signal. De kombinerer de to reelle konstanter, amplitude eller rms-værdi og nulfasevinklen, til at danne en kompleks, tidsuafhængig konstant. Ved at gange med det harmoniske eksponentielle , som repræsenterer en roterende enhedsmarkør, oprettes den komplekse spænding eller den komplekse strøm igen. Denne faktor forekommer ensartet i hvert komplekst signal i hele systemet. Ved hjælp af de komplekse amplituder kan de virkelige signaler endelig skrives som følger:

eller.

På grund af superpositionsteoremet, der per definition er gyldigt, er det tilstrækkeligt at udføre alle beregninger kun med de komplekse signaler og bruge den virkelige eller imaginære del af resultatet til sidst. Dette gælder addition og subtraktion, multiplikation med reelle konstanter og differentiering og integration, men ikke multiplikation eller division af signaler. Computing med komplekse signaler er generelt lettere end computing med ægte sinusformede signaler.

Det viser sig, at i alle beregninger er vinkelfrekvensen altid med den imaginære enhed forbundet opstår. Derfor bruges udtrykket imaginær frekvens stadig i litteraturen (som en afgrænsning til kompleks frekvens ) Brugt. Hvis du udvider værdiområdet fra ved " negative frekvenser " af så længe , så er denne negative semiaxis af frekvensen "dækket" af det andet (komplekse konjugat) udtryk. Et ægte sinusformet signal af vinkelfrekvensen består derfor altid af et par komplekse signaler med de imaginære frekvenser og .

Det rent imaginære udtryk viser sig også at være en differentialoperator , fordi den f.eks. gælder for den tid, der er afledt af den komplekse spænding

Fordi den "komplicerede" differentialoperatør ved en simpel multiplikation med udskiftes, bliver differentialligninger til algebraiske ligninger, der er meget lettere at løse.

Ohms lov på det komplekse område

Kompleks modstand

Vektordiagram over en modstand

Mens forholdet mellem en sinusformet spænding og en sinusformet strøm resulterer kun i en tidsuafhængig værdi ved en ohmsk modstand , den er generelt tidsafhængig og repræsenterer derfor ikke en praktisk anvendelig størrelse til beskrivelse af en topolet . På den anden side er der forholdet mellem en kompleks spænding og en kompleks strømintensitet ved hver lineær to-polet en kompleks tidsuafhængig konstant, fordi den harmoniske eksponentielle At i hvert komplekst signal som en faktor er inkluderet, forkortes . Denne erklæring kaldes undertiden Ohms lov om vekselstrømsteknik . Konstanten kaldes en kompleks modstand , en impedans eller en modstandsoperator udpeget:

Impedansen kan også beregnes som forholdet mellem de komplekse amplituder eller de komplekse rms -værdier for spænding og strøm. På denne måde kan impedansen i det komplekse plan repræsenteres som en markør i hvile. Det er generelt baseret på vinkelfrekvensen være afhængig. Det er i den virkelige del , som kaldes effektiv modstand eller modstand, og den imaginære del , som kaldes reaktans eller reaktans, kan opdeles:

Det gensidige af impedansen kaldes kompleks konduktans , adgang eller konduktansoperatør :

Indlæggelsen kan være i den virkelige del , som kaldes konduktans eller konduktans, og den imaginære del At en modtagelse eller modtagelse kaldes, er opdelt:

Ohmisk modstand

Vil blive inkluderet i introduktionen til ohmsk modstand ovenfor stående ligning i stedet for og Markør indsat, så opstår

Der er en reel mængde, skal generelt se på vinklerne

værende. Tipsene og altid have den samme nulfasevinkel ved den ohmiske modstand. Dette svarer til den observation, at og er i fase. Den komplekse modstand er derefter:

Kondensator

Werden in die oben für die Kapazität stehende Gleichung anstelle von und Zeiger eingesetzt, so entsteht nach Ausführung der Differenziation

Nach Umstellung und mit

ergibt sich

Dann muss im allgemeinen Ansatz im Blick auf die Winkel

sein. Das entspricht der Beobachtung, dass im Falle eines idealen Kondensators gegenüber um −π/2 oder −90° in der Phase verschoben ist. Die Impedanz ist dann

Scheinwiderstand eines Kondensators bei

In Blick auf Real- und Imaginärteil besteht der komplexe Widerstand hier nur aus einem negativen Imaginärteil. Dieser liefert einen negativen Blindwiderstand für den Kondensator

Der komplexe Widerstand eines Kondensators wird also auf der imaginären Achse in negative Richtung aufgetragen. Der Formel ist zu entnehmen, dass der Blindwiderstand des Kondensators umso kleiner wird, je höher die Frequenz gewählt wird.

Spule

Werden in die oben für die Induktivität stehende Gleichung anstelle von und Zeiger eingesetzt, so entsteht nach Ausführung der Differenziation

Nach Umstellung und mit

ergibt sich

Dann muss im allgemeinen Ansatz im Blick auf die Winkel

sein. Das entspricht der Beobachtung, dass im Falle einer idealen Spule gegenüber um π/2 oder 90° voreilt. Die Impedanz ist dann

Scheinwiderstand einer Spule bei

In Blick auf Real- und Imaginärteil besteht der komplexe Widerstand hier nur aus einem positiven Imaginärteil. Dieser liefert einen positiven Blindwiderstand für die Spule

Der komplexe Widerstand der Spule liegt nun, wie beim Kondensator, auf der imaginären Achse. Allerdings wird er, anders als beim Kondensator, in positiver Richtung aufgetragen. Auch wird der Blindwiderstand der Induktivität mit steigender Frequenz größer, im Gegensatz zum Kondensator. Diese gegensätzlichen Eigenschaften führen in einer Reihenschaltung aus Spule und Kondensator bei einem bestimmten dazu, dass sich die Blindwiderstände zu null addieren, was als Reihenresonanz im Schwingkreis bezeichnet wird.

Die symbolische Methode

Lösungsprogramm

Wie oben gezeigt wurde, können mit Hilfe der komplexen Spannungen und Ströme, der Eigenschaft von als Differentialoperator sowie der definierten Impedanzen und Admittanzen die Netzwerk-Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen transformiert und dadurch einfacher gelöst werden.

Die „eigentliche“ symbolische Methode der komplexen Wechselstromrechnung geht aber noch einen Schritt weiter. Ohne erst die Netzwerk-Differentialgleichung aufzustellen, wird schon das Schaltbild „ins Komplexe transformiert“. Das wird im Folgenden Lösungsprogramm deutlich:

  1. Im Schaltbild werden alle (stationären sinusförmigen) Spannungen und Ströme durch ihre (zeitunabhängigen) komplexen Amplituden oder Effektivwerte ersetzt.
  2. Im Schaltbild werden alle (linearen) Zweipolgleichungen der Bauelemente durch ihre Impedanzen oder Admittanzen ersetzt. Diese erhält man, indem man den (evtl. vorhandenen) Differentialoperator durch ersetzt.
  3. Das (algebraische) Gleichungssystem des Netzwerkes wird aufgestellt. Dazu werden neben den Grundregeln der Gleichstromtechnik ( Kirchhoffsche Regeln , ohmsches Gesetz , Reihenschaltung , Parallelschaltung , Spannungsteilerregel , Stromteilerregel ) die vereinfachten Analyseverfahren für lineare Netzwerke benutzt.
  4. Die Berechnung der komplexen Amplituden bzw. Effektivwerte der gesuchten Größen durch Auflösen des algebraischen Gleichungssystems erfolgt mit den bekannten mathematischen Methoden für lineare Gleichungssysteme . In der Praxis sind die ermittelten komplexen Amplituden bzw. Effektivwerte genügend aussagekräftig (z. B. als Zeigerdiagramm oder in Ortskurven ). Die Darstellung in Exponentialschreibweise gestattet das direkte Ablesen von reellen Amplituden und Nullphasen, so dass hier die Berechnung enden kann.
  5. Bei Bedarf kann eine „Rücktransformation“ der ermittelten komplexen Amplituden oder Effektivwerte in die reellen Signale durch Multiplikation mit bzw. und anschließender Real- bzw. Imaginärteilbildung erfolgen.

Mit Hilfe dieser symbolischen Methode der komplexen Wechselstromrechnung wird die Berechnung von Wechselstromnetzwerken auf die Methoden der Gleichstromnetzwerke, aber nicht unbedingt auf deren Einfachheit reduziert.

Manche Autoren sprechen bei der symbolischen Methode der komplexen Wechselstromrechnung, angelehnt an andere Operatorenrechnungen , von einer Transformation der sinusförmigen Signale des Zeitbereichs in die komplexen Amplituden des Frequenzbereichs . Anschaulich ist dies mittels der Fouriertransformation darstellbar. Die Fouriertransformation einer Spannung im Originalbereich (Zeitbereich) ergibt, bei entsprechender Normierung,


gerade die komplexe Amplitude bzw. den komplexen Effektivwert im Bildbereich (Frequenzbereich). Die Fourierkoeffizienten entsprechen somit gerade den ruhenden komplexen Zeigern bzw. . Die Fouriertransformation kann demnach als formale Vorschrift aufgefasst werden, wie die zeitabhängigen reellen Strömen und Spannungen in die komplexe Beschreibung transformiert werden und wieder zurück.

Der Vorteil dieser gegenseitigen Zuordnung und der Nutzung der symbolischen Methode der komplexen Wechselstromrechnung wurde durch „langjährige Anwendung“ in der Praxis der Wechselstrom- und Hochfrequenzschaltungen gezeigt.

Beispiel zum Lösungsprogramm

Am Beispiel eines Tiefpasses soll die Vorgehensweise demonstriert werden:

Schaltbild eines Tiefpasses im Bildbereich der komplexen Wechselstromrechnung

Gegeben sei die Generatorspannung und alle Werte der Bauelemente, gesucht ist die Spannung am Lastwiderstand . Beide sind von Anfang an als komplexe Effektivwerte beschriftet. Auch die Bauelemente sind durch ihre (komplexen) Impedanzen gekennzeichnet. Die Lösung lässt sich sofort aufgrund der Regeln für Reihen- und Parallelschaltung sowie der Spannungsteilerregel niederschreiben:

Wir teilen Zähler und Nenner durch

und reduzieren den Doppelbruch mit

und erhalten schließlich das gesuchte Übertragungsverhalten im Frequenzbereich mit einem nach Real- und Imaginärteil geordneten Nenner:

Das Ergebnis kann zur weiteren Auswertung normiert und als Ortskurve grafisch dargestellt werden. Alternativ wandelt man es in Exponentialschreibweise um und kann den Frequenzgang von Amplitude und Phase getrennt ablesen sowie bei Bedarf grafisch darstellen:

Die klassische Lösung dieses Beispiels mit Hilfe von Differentialgleichungen wäre zum gleichen Ergebnis gekommen, hätte jedoch ein Mehrfaches an komplizierteren Rechenaufwand benötigt.

Regeln für die Zeigerdarstellung

Die Regeln über Parallelschaltung und Reihenschaltung sowie die kirchhoffschen Regeln gelten in der Wechselstromtechnik unverändert weiter, wenn sie auf komplexe Größen angewendet werden. Zuerst wird festgelegt, von welcher Größe zweckmäßigerweise auszugehen ist. Häufig erweist es sich als zweckmäßig, diese Größe in die reelle Achse zu legen.

Sind alle Bauelemente in Reihe geschaltet, so ist es zweckmäßig, den Strom vorzugeben. Für jedes Element, durch das derselbe Strom fließt, können die angelegte Spannung bestimmt und dann alle Spannungen durch Addition der Zeiger zusammengefasst werden. Gleichwertig können erst alle Widerstände komplex addiert und dann mit dem Strom multipliziert werden.

Sind jedoch alle Bauelemente parallel geschaltet, so wird eine Spannung vorgegeben. Für jedes Element können der Strom getrennt berechnet und dann alle komplexen Ströme durch Aneinanderreihung der Zeiger addiert werden. Gleichwertig können erst alle komplexen Leitwerte addiert und dann mit der Spannung multipliziert werden.

Ist die Schaltung eine Mischform, so sollte sie elementar zerlegt und jede Teilschaltung getrennt berechnet werden, bevor alles wieder zusammensetzt wird. Ein Beispiel wird in Resonanztransformator beschrieben.

Zeiger in der komplexen Ebene für eine RC-Reihenschaltung:
oben: Wechselstrom und Spannung,
unten: Wechselstromwiderstände

Beispiel für die Zeigerdarstellung

An einer Reihenschaltung eines Widerstands und eines Kondensators liegt eine Wechselspannung mit an.

Sie hat einen Wirkwiderstand

und einen Blindwiderstand

mit der Umrechnung der Maßeinheiten

die sich bei einer Reihenschaltung als komplexe Größen zur Gesamtimpedanz addieren

Der Scheinwiderstand (Betrag der Impedanz) ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras zu

Er ist also das Verhältnis der Beträge von Spannung und Stromstärke. Für den Phasenverschiebungswinkel φ zwischen Spannung und Strom in dieser Schaltung folgt:

Das ermöglicht die Schreibweise in Polarkoordinaten:

Leistung bei komplexer Rechnung

Im Produkt aus einer komplexen Spannung und einem konjugiert komplexen Strom heben sich die zeitabhängigen Teile und gegenseitig auf und es geht nur die gegenseitige Phasenverschiebung ein. Der dabei entstehende zeitunabhängige Zeiger, welcher mit der komplexen Wechselstromrechnung vereinbar ist, wird als komplexe Leistung oder komplexe Scheinleistung bezeichnet. [8] [5]

Darin sind die in der Wechselstromtechnik üblichen drei Kenngrößen zur Leistung enthalten:

  • die Wirkleistung , die als Gleichwert über definiert wird; der Schwingungsanteil fällt durch die Mittelwertbildung heraus. Es ergibt sich
  • die ebenfalls frei von Schwingungsanteilen (Augenblickswerten) definierte (Verschiebungs-) Blindleistung

Anwendung und Verallgemeinerung

Neben der Analyse klassischer Wechselstromnetzwerke der Stark- und Schwachstromtechnik ist die komplexe Wechselstromrechnung unabdingbare Voraussetzung für folgende Bereiche der linearen Elektrotechnik und der linearen Analogelektronik:

Schon kurz nach ihrer Publizierung wurde versucht, die komplexe Wechselstromrechnung zu verallgemeinern. Das erfolgte im Laufe der Zeit in mehreren Richtungen: [9]

  • Die Anwendung der komplexen Fourierreihen in der Elektrotechnik ermöglichte die Nutzung der Impedanzfunktionen auch für nichtsinusförmige periodische Signale.
  • Die erweiterte symbolische Methode ermöglichte durch Einführung der komplexen Frequenz aufgrund der Verallgemeinerung der komplexen Wechselstromrechnung auf exponentiell anschwellende und abklingende sinusförmige Signale die bessere Untersuchung von Impedanzfunktionen im Pol-Nullstellen-Diagramm und legte die Grundlagen für die Theorie der Netzwerk- und Filtersynthese.
  • Bald wurde versucht, eine symbolische Methode auch für nichtperiodische Signale zu nutzen. Es entstand die Operatorenrechnung nach Heaviside , aber erst die Fourier- und Laplace-Transformation (in ihren verschiedenen Ausprägungen) brachten hier den Durchbruch. DieOperatorenrechnung nach Mikusiński ermöglichte eine rein algebraische Begründung dieser Methoden.
  • Eine solche Begründung wurde auch als AC-Kalkül [10] , welches auf die Einführung komplexwertiger Zeitfunktionen verzichtet, als Alternative für die komplexe Wechselstromrechnung ausgearbeitet.

In Bezug auf diese Aufzählung ist ergänzend anzumerken, dass die Impedanz- und Admittanzfunktionen der komplexen Wechselstromrechnung in allen genannten Verallgemeinerungen fast unverändert weiter genutzt werden können.

Literatur

  • Klaus Lunze : Theorie der Wechselstromschaltungen . 8. Auflage. Verlag Technik GmbH, Berlin 1991, ISBN 3-341-00984-1 .
  • Reinhold Paul: Elektrotechnik 2 – Netzwerke . Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1994, ISBN 3-540-55866-7 .
  • Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger: Theoretische Elektrotechnik . 18. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-78589-7 .

Einzelnachweise

  1. Charles P. Steinmetz: Die Anwendung complexer Größen in der Elektrotechnik . Nr.   14. . Elektrotechnische Zeitung (ETZ), 1893.
  2. Wilhelm Quade: Mathematische Begründung der komplexen Wechselstromrechnung . Nr.   2 . Deutsche Mathematiker-Vereinigung (DMV), 1937, S.   18–31 .
  3. DIN 5483-2:1982 Zeitabhängige Größen – Teil 2: Formelzeichen , Kap. 1.5
  4. DIN EN 60027-1:2007 Formelzeichen für die Elektrotechnik – Teil 1: Allgemeines , Kap. 2.2.4
  5. a b c DIN 5483-3:1994 Zeitabhängige Größen – Teil 3: Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger Größen
  6. DIN 1304 -1:1994 Formelzeichen – Teil 1: Allgemeine Formelzeichen
  7. DIN 1302 :1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
  8. a b DIN 40 110-1:1994 Wechselstromgrößen – Teil 1: Zweileiter-Stromkreise
  9. Gerhard Wunsch : Geschichte der Systemtheorie (= Wissenschaftliche Taschenbücher: Texte und Studien . Band   296 ). Akademie-Verlag, Leipzig 1985, DNB 850752914 .
  10. Wolfgang Mathis: Theorie nichtlinearer Netzwerke . Springer, 1987, ISBN 978-3-540-18365-5 .

Weblinks