Kompleks nummer

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Bogstavet C med en dobbelt linje
står for sættet med komplekse tal
De komplekse tal (ℂ) indeholder de reelle tal (ℝ), som indeholder de rationelle tal (ℚ), som igen omfatter hele tal (ℤ) og de naturlige tal (ℕ)

De komplekse tal udvider talområdet for de reelle tal på en sådan måde, at ligningen bliver løseligt. Da feltet med reelle tal er et ordnet felt og derfor er alle reelle firkanter ikke -negative , kan løsningen på denne ligning ikke være reel. Så du skal bruge et nyt nummer , det gør det kaldes, med ejendommen Dette nummer kaldes en imaginær enhed . I elektroteknik , brevet bruges til at undgå forveksling med en (af eller udpeget) fra tid for at forhindre afhængig strømstyrke .

Komplekse tal kan være i formen er repræsenteret, hvor og rigtige tal er og er den imaginære enhed. De sædvanlige beregningsregler for reelle tal kan anvendes på de komplekse tal, der er repræsenteret på denne måde, med altid igennem kan udskiftes og omvendt. Symbolet ( Unicode U + 2102: ℂ, se bogstav med dobbelt bjælke).

Antallet af komplekse tal konstrueret på denne måde danner et forlængelsesfelt med de reelle tal og har en række fordelagtige egenskaber, der har vist sig at være yderst nyttige inden for mange områder inden for naturvidenskab og ingeniørvidenskab . En af årsagerne til disse positive egenskaber er den algebraiske lukning af de komplekse tal. Det betyder, at hver algebraisk ligning med positiv grad har en løsning over de komplekse tal, hvilket ikke er sandt for reelle tal. Denne egenskab er indholdet af grundsætningen om algebra . En anden grund er en forbindelse mellem trigonometriske funktioner og den eksponentielle funktion ( Eulers formel ), som kan etableres ved hjælp af komplekse tal. Desuden er hver på et åbent sæt, når den var kompleks differentierbar funktion, der også er uendeligt differentierbar - i modsætning til i analysen af de reelle tal. Funktionernes egenskaber med komplekse argumenter er genstand for funktionsteori , også kaldet kompleks analyse.

definition

De komplekse tal kan defineres som et talområde i betydningen et sæt tal, for hvilke de grundlæggende aritmetiske operationer for addition , multiplikation , subtraktion og division forklares med følgende egenskaber:

  • De reelle tal er indeholdt i de komplekse tal. Det betyder, at hvert reelt tal er et komplekst tal.
  • Den associative lov og den kommutative lov gælder for tilføjelse og multiplikation af komplekse tal.
  • Distributionsloven gælder.
  • For ethvert komplekst tal der er et komplekst tal , så det .
  • For ethvert komplekst tal bortset fra nul der er et komplekst tal , så det .
  • Der er et komplekst tal med ejendommen .
  • Blandt alle talområder med de førnævnte egenskaber er de komplekse tal minimale.

Det sidste krav er ensbetydende med at have et komplekst tal i formularen (eller i forkortet notation eller ) med reelle tal og kan repræsentere. Den imaginære enhed er ikke et reelt tal. Eksistensen af ​​et sådant talinterval demonstreres i afsnittet om konstruktion af komplekse tal .

Ved hjælp af udtrykkene krop og isomorfisme kan dette formuleres som følger: Der er minimale legemer, som er legemer af reelle tal og et element med ejendommen indeholde. I en sådan krop har hvert element det en og kun en repræsentation som med rigtige De komplekse tal er isomorfe for enhver sådan krop.

Koefficienterne bruges som en reel eller imaginær del af udpeget. Der er etableret to notationer for dette:

  • og
  • og

notation

Notationen i formularen er også kendt som den kartesiske eller algebraiske form (opkaldt efter René Descartes ). Betegnelsen kartesisk forklares ved repræsentationen i det komplekse eller gaussiske talplan (se nedenfor). Der er også repræsentationen ; [1] i standarden DIN 1302: 1999 Generelle matematiske symboler og begreber forekommer det dog ikke.

I elektroteknik bruges den lille i allerede til strømme, der ændrer sig over tid (se vekselstrøm ) og kan føre til forvirring med den imaginære enhed at lede. I overensstemmelse med DIN 1302 kan bogstavet j derfor bruges i dette område.

I fysik , mellem for strømstyrken med vekselstrøm og differentieret til den imaginære enhed. På grund af den meget klare adskillelse fører dette ikke til forvirring for den opmærksomme læser og bruges stort set i denne form både i den fysisk-eksperimentelle og i den fysisk-teoretiske litteratur; Denne delikatesse kan dog ikke holdes i hånden, hvorfor det ofte er tilfældet bruges som et symbol for den imaginære enhed. Se også: Kompleks AC -regning

Komplekse tal kan understreges i henhold til DIN 1304-1 og DIN 5483-3 for at skelne dem fra reelle tal .

Beregning i algebraisk form

tilføjelse

Illustrerer tilføjelsen af ​​to komplekse tal i det komplekse plan

Til tilføjelse af to komplekse tal med og med er gældende

subtraktion

For at trække to komplekse tal fra og (se tilføjelse) gælder

multiplikation

Til multiplikation af to komplekse tal og (se tilføjelse) gælder

division

Til opdeling af det komplekse tal efter det komplekse tal (se tilføjelse) med man udvider brøkdelen med nævneren konjugeret komplekst tal . Dette gør nævneren reel og positiv (og er blot kvadratet af mængden af ):

Prøveberegninger

Tilføjelse:

Subtraktion:

Multiplikation:

Division:

Andre ejendomme

  • Kroppen et af de komplekse tal er en overkrop af , på den anden side en todimensionel - vektorrum . Isomorfismen er også kendt som naturlig identifikation . Som regel er dette også vant til formel som med den passende komplekse multiplikation at definere og derefter at sætte. Samtidig bestemmes følgende:
    1. Rotationen af ​​det komplekse plan ved oprindelsen ved den positive vinkel overfører det positive virkelige ind i den positivt-imaginære enhed .
    2. Hvis den positive-reelle semiaxis i det komplekse plan går til højre, placeres den positivt-imaginære semiaxis opad. Dette er i tråd med den matematisk positive sans for rotation .
  • Kroppens udvidelse er af karakter ; er mere præcis isomorf til faktorringen , hvori det minimale polynom af om er. Også former har allerede den algebraiske konklusion af .
  • som - ejer vektorrum basen . Ved siden af ​​er det ligesom enhver krop også et vektorrum over sig selv, dvs. et endimensionelt rum -Vektorrum med bund .
  • og er præcis løsningerne i den kvadratiske ligning . Med det i tankerne, kan (men også ) som " roden til “Skal forstås. [2]
  • er i strid med intet ordnet legeme , dvs. der er ikke noget lineært ordeneforhold, der er kompatibelt med kropsstrukturen . Det er derfor ikke meningsfuldt at bruge to forskellige komplekse tal (baseret på addition og multiplikation i ) bestemme, hvilken af ​​de to der er det større eller det mindste tal.

Beløb og metrisk

beløb

Beløbet et komplekst tal er længden af sin vektor i det gaussiske plan og kan være z. B. til

fra deres virkelige del og imaginær del Beregn. Som en længde er den absolutte værdi reel og ikke negativ.

Eksempler:

Metrisk

Den ene gennem afstandsfunktionen induceret metrisk giver det komplekse vektorrum med sin standard topologi . Det matcher produkttopologien af enig som begrænsning fra med standardmåling Tændstikker.

Begge værelser hvordan er helt under disse metrics. I begge rum kan det topologiske koncept for kontinuitet udvides til at omfatte analytiske begreber som differentiering og integration .

Kompleks nummerniveau

Gaussisk plan med et komplekst tal i kartesiske koordinater (a, b) og i polære koordinater (r, φ)

Mens mængden de reelle tal kan illustreres med punkter på en talelinje , man kan bruge sættet komplekse tal som punkter i et plan (komplekst plan, gaussisk talplan). Dette svarer til den "dobbelte natur" som et todimensionalt ægte vektorrum. Delsættet af reelle tal danner den vandrette akse, delsættet af rent imaginære tal (dvs. med reel del 0) danner den lodrette akse. Et komplekst tal med har derefter den vandrette koordinat og den lodrette koordinat , er derfor med talparret identificeret.

Ifølge definitionen, tilsætning af komplekse tal svarer til vektoren Desuden hvorved punkterne i antallet plan er identificeret med deres position vektorer . I det gaussiske plan er multiplikationen en rotationsstrækning , som vil blive tydeligere efter indførelsen af ​​polarformen herunder.

Polar form

Farvegengivelsen af ​​det komplekse talniveau bruges ofte til at illustrere komplekse funktioner (her: identitet). Farven koder argumentet og lysstyrken giver mængden på.

Brugt i stedet for de kartesiske koordinater og Polære koordinater og med som argumentfunktion kan man bruge det komplekse tal også i den følgende såkaldte polarform baseret på Eulers relation (også polær repræsentation ) [3]

repræsentere det, der består og resultater. Repræsentationen ved hjælp af den komplekse eksponentielle funktion kaldes også eksponentiel repræsentation (den polære form), repræsentationen ved hjælp af udtrykket trigonometrisk repræsentation (af den polære form). På grund af Eulers forhold er begge repræsentationer ækvivalente. Desuden er der de forkortede stavemåder for dem, især i praksis

hvori for summen og repræsentationen med vinkeloperatoren kaldes forsyningsdisplay .

I det komplekse numeriske niveau, svarer til den euklidiske vektors længde (dvs. afstanden til oprindelsen 0) og vinklen på det tal, der er omsluttet med den virkelige akse . Normalt ringer man dog her mængden af (eller dets modul ) (notation ) og vinklen argumentet (eller fasen ) af (Notation ).

Der og med samme nummer kan tildeles, er den polære repræsentation i første omgang tvetydig. Derfor begrænser man mest på intervallet , altså a, for derefter at bruge dens hovedværdi til i stedet for selve argumentet at tale. Nummeret dog kan ethvert argument tildeles, og i dette tilfælde kan det faktisk af klarheds skyld sættes til 0.

Argumentet om er også den imaginære del af den komplekse naturlige logaritme

Med valget af en helt defineret gren af ​​logaritmen er også en argumentfunktion bestemt (og omvendt).

Alle værdier danne enhedscirklen for de komplekse tal med mængden Disse tal kaldes også unimodul og danner cirkel gruppe .

Den omstændighed, at multiplikation af komplekse tal (bortset fra nul) svarer til roterende strækning kan udtrykkes matematisk som følger: multiplikative gruppe de komplekse tal uden nul kan ses som det direkte produkt af gruppen af rotationer , cirkelgruppen og strækningen med en anden faktor end nul, den multiplikative gruppe forståelse. Den tidligere gruppe kan opdeles i argumentet parametrer , svarer det andet til beløbene.

Kompleks bøjning

Et komplekst tal og det komplekse tal konjugeret til det

Hvis du ændrer tegnet på den imaginære del et komplekst tal så du får det til konjugeret komplekst tal (også nogle gange skrevet).

Bøjningen er en (involutiv) kropsautomorfisme, da den er kompatibel med addition og multiplikation, det vil sige for alle er gældende

I den polære repræsentation har konjugatet et komplekst tal hvis mængden er uændret, bare den negative vinkel på Man kan tolke konjugeringen i det komplekse talplan som refleksionen på den virkelige akse . Især er de reelle tal kortlagt til sig selv under konjugeringen.

Produktet af et komplekst tal og deres komplekse konjugater giver kvadratet af deres beløb:

De komplekse tal danner således et trivielt eksempel på en C * algebra .

Summen af ​​et komplekst tal og deres komplekse konjugater resulterer i 2 gange deres virkelige del:

Forskellen mellem et komplekst tal og deres komplekse konjugater resulterer i det - gange deres imaginære del:

Konverteringsformler

Fra algebraisk form til polarform

til er i algebraisk form

til er argumentet Enhver, men er ofte indstillet til 0 eller efterladt udefineret. til kan argumentet i intervallet ved hjælp af en trigonometrisk omvendt funktion, fx ved hjælp af arccosinen

til
til

Vær beslutsom. Metoder, der anvender arktangenten, er anført i artiklen Arctangent og Arctangent § Konvertering af plan kartesiske koordinater til polære . Dette inkluderer også varianten af ​​arctangent -funktionen, som gøres tilgængelig på mange programmeringssprog og regneark , ofte kaldet arctan2 , men også atan2 , som modtager både værdier og resultatet afhængigt af tegn på und dem passenden Quadranten zuordnet.

Die Berechnung des Winkels im Intervall kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall berechnet wird und dann um vergrößert wird, falls er negativ ist:

(siehe Polarkoordinaten ).

Von der Polarform in die algebraische Form

Wie weiter oben stellt den Realteil und den Imaginärteil jener komplexen Zahl dar.

Arithmetische Operationen in der Polarform

Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:

Bei der Multiplikation werden die Beträge und miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen bzw. addiert. Bei der Division wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:

Trigonometrische Form

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.
Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.
  • mit

    und der arctan2 -Funktion.

Exponentialform

  • mit und wie oben.

Rechenoperationen 3. Stufe

Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren , Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren .

Potenzen

Natürliche Exponenten

Für natürliche Zahlen berechnet sich die -te Potenz in der polaren Form zu

(siehe den Satz von de Moivre ) oder für die algebraische Form mit Hilfe des binomischen Satzes zu

Beliebige komplexe Exponenten

Die allgemeine Definition einer Potenz mit komplexer Basis und komplexem Exponenten lautet

wobei für den Hauptwert des komplexen Logarithmus steht (siehe unten), damit liefert die Formel ebenfalls einen Hauptwert. Im Fall allerdings stimmen alle in Frage kommenden Ergebnisse mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig.

Wurzeln

Logarithmen

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle auf ) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl heißt Logarithmus der komplexen Zahl , wenn

Mit ist auch jede Zahl mit beliebigem ein Logarithmus von . Man arbeitet daher mit Hauptwerten , dh mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

ist

mit und . Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl ist

wobei der Hauptwert des Arguments von ist.

Naheliegenderweise gelten die Logarithmengesetze für den Hauptwert des natürlichen Logarithmus nur modulo .

Die endlichen Untergruppen

Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe sind Einheitswurzeln . Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa . Da kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe zyklisch ist und genau aus den Elementen

besteht. Alle Elemente liegen auf dem Einheitskreis .

Die Vereinigung aller endlichen Untergruppen ist eine Gruppe, die zur Torsionsgruppe isomorph ist. Sie liegt dicht in ihrer Vervollständigung , der schon erwähnten Kreisgruppe , die auch als 1-Sphäre aufgefasst werden kann und zu isomorph ist.

Pragmatische Rechenregeln

Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:

  • Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
  • Die Multiplikation komplexer Zahlen kann je nach Vorgabe vorteilhaft in algebraischer Form oder in Exponentialform (Multiplikation der Beträge und Addition der Argumente (Winkel)) durchgeführt werden.
  • Bei der Division komplexer Zahlen werden in Exponentialform ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert, oder in algebraischer Form der Quotient mit dem konjugierten Nenner erweitert.
  • Beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag potenziert und ihr Argument (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert; die Benutzung der algebraischen Form (mit Newtons Binomialsatz ) ist in den meisten Fällen umständlicher (insbesondere für höhere Potenzen).
  • Beim Radizieren (Wurzelziehen) einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag radiziert und ihr Argument (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer -ten Wurzel entstehen Lösungen, die im Winkel von um den Ursprung der gaußschen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik) . Eine Quadratwurzel kann auch recht einfach in kartesischer Form berechnet werden.
  • Beim Multiplizieren in algebraischer Form lässt sich durch folgendes Verfahren eine der vier Multiplikation einsparen. Allerdings sind drei zusätzliche Additionen bzw. Subtraktionen notwendig und die Berechnung lässt sich schlechter parallelisieren.

Konstruktion der komplexen Zahlen

In diesem Abschnitt wird nachgewiesen, dass tatsächlich ein Körper der komplexen Zahlen existiert, der den in der obigen Definition geforderten Eigenschaften genügt. Es sind dabei verschiedene Konstruktionen möglich, die jedoch bis auf Isomorphie zum selben Körper führen.

Paare reeller Zahlen

Die Konstruktion nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit : Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum der geordneten reellen Zahlenpaare wird neben der Addition

(das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch

definiert.

Nach dieser Festlegung schreibt man , und wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen. Die imaginäre Einheit wird dann durch definiert.

Da eine Basis des bilden, lässt sich damit als Linearkombination

darstellen.

Erste Eigenschaften

  • Die Abbildung ist eine Körpereinbettung von in , aufgrund derer wir die reelle Zahl mit der komplexen Zahl identifizieren.

Bezüglich der Addition ist:

  • die Zahl das neutrale Element (das Nullelement) in und
  • die Zahl das inverse Element in .

Bezüglich der Multiplikation ist:

  • die Zahl das neutrale Element (das Einselement) von und
  • das Inverse ( Reziproke ) zu ist .

Bezug zur Darstellung in der Form a + b i

Durch wird die imaginäre Einheit festgelegt; für diese gilt , was nach obiger Einbettung gleich entspricht.

Jede komplexe Zahl besitzt die eindeutige Darstellung der Form

mit ; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen.

Polynome: Adjunktion

Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring

des Polynomringes in einer Unbestimmten über den reellen Zahlen. Die Zahl entspricht dabei dem Bild der Unbestimmten , die reellen Zahlen werden mit den konstanten Polynomen identifiziert.

Dieses Konstruktionsprinzip ist auch in anderem Kontext anwendbar, man spricht von Adjunktion .

Matrizen

Die Menge der - Matrizen der Form

mit

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit bzw. die imaginäre Einheit durch die Einheitsmatrix bzw. die Matrix dargestellt. Daher gilt:

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen -Matrizen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern und nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum . Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene .

Geschichte

Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von Carl Friedrich Gauß ( Theoria residuorum biquadraticorum, 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano ( Ars magna, Nürnberg 1545) und Rafael Bombelli ( L'Algebra, Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück. [4]

Die Unmöglichkeit eines naiven Radizierens der Art ist bei der Behandlung quadratischer Gleichungen schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z. B. schon in der um 820 n. Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî . Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar sei, blieb die mathematische Forschung nicht stehen.

In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501–1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung

keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die Lösung

der allgemeinen normierten quadratischen Gleichung

für und die Werte −10 bzw. 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre, dem sich ergebenden Ausdruck

einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach denselben Regeln rechnen dürfte wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke

in der Tat je eine Lösung darstellen.

Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl und einer positiven reellen Zahl zusammengesetzten Zahlen

oder

hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert, die ursprünglich von René Descartes stammt, der in seiner La Géométrie (1637) damit die Schwierigkeit des Verständnisses komplexer Zahlen als nichtreeller Lösungen algebraischer Gleichungen ausdrückte. John Wallis erzielte im 17. Jahrhundert erste Fortschritte in Hinblick auf eine geometrische Interpretation komplexer Zahlen. Gottfried Wilhelm Leibniz nannte sie 1702 eine feine und wunderbare Zuflucht des menschlichen Geistes, beinahe ein Zwitterwesen zwischen Sein und Nichtsein. [5] Die Einführung der imaginären Einheit als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben. Er erzielte durch Rechnen mit imaginären Zahlen wertvolle neue Erkenntnisse, zum Beispiel veröffentlichte er die Eulersche Formel 1748 in seiner Einführung in die Analysis und veröffentlichte erstmals explizit die Formel von Abraham de Moivre (Ende des 17. Jahrhunderts, dieser wiederum hatte sie von Isaac Newton [6] ), aber auch Euler hatte noch große Schwierigkeiten beim Verständnis und der Einordnung komplexer Zahlen, obwohl er routinemäßig damit rechnete.

Die geometrische Interpretation wurde zuerst vom dänischen Landvermesser Caspar Wessel (1799 veröffentlicht in den Abhandlungen der Königlich Dänischen Akademie der Wissenschaften , aber erst rund hundert Jahre später weiteren Kreisen bekannt), [7] von Jean-Robert Argand (in einem obskuren Privatdruck 1806, den aber Legendre zur Kenntnis kam und der 1813 breiteren Kreisen bekannt wurde) und Gauß (unveröffentlicht) entdeckt. Gauß erwähnt die Darstellung explizit in einem Brief an Friedrich Bessel vom 18. Dezember 1811. [8] Nach Argand wird die geometrische Darstellung in der Zahlenebene manchmal auch Arganddiagramm genannt.

Als Begründer der komplexen Analysis gilt Augustin-Louis Cauchy in einer 1814 bei der französischen Akademie eingereichten Arbeit über Integration im Komplexen, die aber erst 1825 veröffentlicht wurde. 1821 definierte er in seinem Lehrbuch Cours d'analyse eine Funktion einer komplexen Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie .

Ausgehend von philosophischen Ideen Immanuel Kants fand William Rowan Hamilton 1833 eine logisch einwandfreie Begründung der komplexen Zahlen als geordnetes Paar reeller Zahlen. Er deutete die komplexe Zahl als Zahlenpaar und definierte Addition beziehungsweise die Multiplikation durch: [9]

Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der „imaginären“ Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte zu einer schiefen, aber beibehaltenen Bezeichnung entwickelt.

Bedeutung

Komplexe Zahlen in der Physik

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems als Element eines ( projektiven ) Hilbertraums über den komplexen Zahlen aufgefasst. Komplexe Zahlen finden Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödingergleichung und der Klein-Gordon-Gleichung . Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen . Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung geeignete Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Dadurch werden in der Zwischenrechnung harmonische Schwingungen (reell) zu Kreisbewegungen in der komplexen Ebene ergänzt, die mehr Symmetrie aufweisen und deswegen einfacher zu behandeln sind.

In der Optik werden die brechenden und absorbierenden Effekte einer Substanz in einer komplexen, wellenlängenabhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) oder dem komplexen Brechungsindex zusammengefasst, die wiederum auf die elektrische Suszeptibilität zurückgeführt wird.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potentialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils ( Joukowski-Profil ) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im Allgemeinen nicht aus.

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

In der Elektrotechnik besitzt die Darstellung elektrischer Größen mit Hilfe komplexer Zahlen weite Verbreitung. Sie wird bei der Berechnung von zeitlich sinusförmig veränderlichen Größen wie elektrischen und magnetischen Feldern verwendet. Bei der Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung als komplexe Größe und entsprechenden Darstellungen für Widerstände, Kondensatoren und Spulen vereinfachen sich die Berechnungen des elektrischen Stromes , der Wirk- und der Blindleistung in einer Schaltung. Die durch Differentialquotienten oder Integrale gegebene Verkopplung geht über in eine Verkopplung durch trigonometrische Funktionen; die Berechnung der Zusammenhänge lässt sich damit wesentlich erleichtern. Auch das Zusammenwirken mehrerer verschiedener sinusförmiger Spannungen und Ströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten ihre Nulldurchgänge haben können, lässt sich in komplexer Rechnung leicht darstellen. Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung .

In den letzten Jahren hat die digitale Signalverarbeitung außerordentlich an Bedeutung gewonnen, deren Fundament die Rechnung mit komplexen Zahlen bildet.

Körpertheorie und algebraische Geometrie

Der Körper der komplexen Zahlen ist der algebraische Abschluss des Körpers der reellen Zahlen.

Je zwei algebraisch abgeschlossene Körper mit derselben Charakteristik und demselben Transzendenzgrad über ihrem Primkörper (der durch die Charakteristik festgelegt ist) sind ( ringtheoretisch ) isomorph . [10] Bei einem Körper von Charakteristik 0 mit überabzählbarem Transzendenzgrad ist dieser gleich der Kardinalität des Körpers. Körpertheoretisch bilden die komplexen Zahlen also den einzigen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 und der Kardinalität des Kontinuums . Eine Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen ist mithilfe dieser Feststellung auch rein algebraisch etwa als Erweiterung des algebraischen Abschlusses der rationalen Zahlen um viele transzendente Elemente möglich. Eine weitere Konstruktion liefert ein Ultraprodukt : Hierzu bilde man zu jedem endlichen Körper seinen algebraischen Abschluss und bilde von ihnen das Ultraprodukt bezüglich eines beliebigen freien Ultrafilters . Aus dem Satz von Łoś folgt, dass dieses Ultraprodukt ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0 ist, die Kardinalität des Kontinuums folgt aus mengentheoretischen Überlegungen. [11]

Unter dem Schlagwort Lefschetz-Prinzip werden verschiedene Sätze zusammengefasst, die es erlauben, Ergebnisse der algebraischen Geometrie , die über den komplexen Zahlen bewiesen werden, auf andere algebraisch abgeschlossene Körper mit Charakteristik 0 zu übertragen (was maßgeblich auf der Vollständigkeit der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 aufbaut). Die Betrachtung des komplexen Falls bietet den Vorteil, dass dort topologische und analytische Methoden eingesetzt werden können, um algebraische Ergebnisse zu erhalten. [12] Obige Ultraproduktkonstruktion erlaubt die Übertragung von Ergebnissen im Fall einer Charakteristik ungleich 0 auf die komplexen Zahlen. [13]

Spektraltheorie und Funktionalanalysis

Viele Ergebnisse der Spektraltheorie gelten für komplexe Vektorräume in größerem Umfang als für reelle. So treten z. B. komplexe Zahlen als Eigenwerte reeller Matrizen auf (dann jeweils zusammen mit dem konjugiert-komplexen Eigenwert). Das erklärt sich dadurch, dass das charakteristische Polynom der Matrix aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit von über den komplexen Zahlen stets in Linearfaktoren zerfällt. Dagegen gibt es reelle Matrizen ohne reelle Eigenwerte, während das Spektrum eines beliebigen beschränkten Operators auf einem komplexen (mindestens eindimensionalen) Banachraum nie leer ist. [14] In der Spektraltheorie auf Hilberträumen lassen sich Sätze, die im reellen Fall nur für selbstadjungierte Operatoren gelten, im komplexen Fall oft auf normale Operatoren übertragen.

Auch in weiteren Teilen der Funktionalanalysis spielen die komplexen Zahlen eine besondere Rolle. So wird etwa die Theorie der C*-Algebren meist im Komplexen betrieben, die harmonische Analyse befasst sich mit Darstellungen von Gruppen auf komplexen Hilberträumen.

Funktionentheorie und komplexe Geometrie

Das Studium differenzierbarer Funktionen auf Teilmengen der komplexen Zahlen ist Gegenstand der Funktionentheorie . Sie ist in vieler Hinsicht starrer als die reelle Analysis und lässt weniger Pathologien zu. Beispiele sind die Aussage, dass jede in einem Gebiet differenzierbare Funktion bereits beliebig oft differenzierbar ist, oder der Identitätssatz für holomorphe Funktionen .

Die Funktionentheorie ermöglicht oft auch Rückschlüsse auf rein reelle Aussagen, beispielsweise lassen sich manche Integrale mit dem Residuensatz berechnen. Ein wichtiges Einsatzgebiet dieser Methoden ist die analytische Zahlentheorie , die Aussagen über ganze Zahlen auf Aussagen über komplexe Funktionen zurückführt, häufig in der Form von Dirichletreihen . Ein prominentes Beispiel ist die Verbindung zwischen Primzahlsatz und riemannscher ζ-Funktion . In diesem Zusammenhang spielt die riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle.

Die oben erwähnte Starrheit holomorpher Funktionen tritt noch stärker bei globalen Fragen in Erscheinung, dh beim Studium komplexer Mannigfaltigkeiten . So gibt es auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit keine nichtkonstanten globalen holomorphen Funktionen; Aussagen wie der Einbettungssatz von Whitney sind im Komplexen also falsch. Diese sogenannte „analytische Geometrie“ (nicht mit der klassischen analytischen Geometrie von René Descartes zu verwechseln!) ist auch eng mit der algebraischen Geometrie verknüpft, viele Ergebnisse lassen sich übertragen. Die komplexen Zahlen sind auch in einem geeigneten Sinne ausreichend groß, um die Komplexität algebraischer Varietäten über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 zu erfassen (Lefschetz-Prinzip).

Literatur

  • Paul Nahin: An imaginary tale. The story of . Princeton University Press, 1998.
  • Reinhold Remmert: Komplexe Zahlen. In D. Ebbinghaus ua (Hrsg.): Zahlen. Springer, 1983.

Verwandte Themen

Weblinks

Commons : Komplexe Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wikibooks: Imaginäre und komplexe Zahlen – eine kompakte Einführung
Wikibooks: Komplexe Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

  1. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1: Mit Lösungshinweisen zu 420 Übungsaufgaben . 4. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-31764-7 .
  2. Bei Verwendung des Zeichens ist noch deutlicher gemacht, als es vielleicht bei Verwendung von wäre, dass bei jedem Vorkommen dieselbe Lösung von (dasselbe „Vorzeichen“) genommen werden muss. Dennoch bleiben alle algebraischen Aussagen gültig, wenn überall durch ersetzt wird.
  3. Ehrhard Behrends: Analysis . 6. Auflage. Band   1 . Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07122-6 , doi : 10.1007/978-3-658-07123-3 .
  4. Helmuth Gericke : Geschichte des Zahlbegriffs . Bibliographisches Institut, Mannheim 1970, S.   57–67 .
  5. Remmert: Komplexe Zahlen. In: Ebbinghaus ua: Zahlen. Springer 1983, S. 48.
  6. Nahin: An imaginary tale. S. 56.
  7. Stillwell: Mathematics and its History. Springer, S. 287.
  8. Morris Kline : Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, 1972, Band 2, S. 631. Der Brief ist in Band 8 der Werke, S. 90 abgedruckt. Gauss verwendet die komplexe Zahlenebene wesentlich in seinem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra von 1816.
    Felix Klein : Geschichte der Mathematik im 19. Jahrhundert. S. 28.
  9. Heinz-Wilhelm Alten : 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen . Springer, Berlin ua 2003, ISBN 3-540-43554-9 , S.   310 .
  10. Daher kommt auch, dass es überabzählbar viele „wilde“ Automorphismen von gibt; siehe Paul B. Yale: Automorphisms of the Complex Numbers. maa.org (PDF; 217 kB).
  11. H. Schoutens: The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra . (PDF) Springer , 2010, S. 16.
  12. Gerhard Frey , Hans-Georg Rück: The Strong Lefschetz Principle in Algebraic Geometry . In: manuscripta mathematica . Band   55 , 1986, S.   385 ( online ).
  13. Frey, Rück, S. 389.
  14. Dirk Werner : Funktionalanalysis . 7. Auflage. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-21016-7 , S.   261 .