Gyro teori

fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

Fig. 1: Regelmæssig presession af en symmetrisk top

Den gyroskopiske teori omhandler roterende legemer, hvor forskydninger i rummet og ændringer i form er af mindre betydning. [1]

Organer, som denne beskrivelse gælder for, omtales i teorien kollektivt som gyroskoper og indeholder så forskellige objekter som snurretoppe , lange projektiler eller jorden . De gyroskopiske bevægelser er lige så interessante for matematik, fysik og teknik - altså for teori og praksis. Formålet med teorien er at sætte applikationer som dem herunder på en sikker fod. [2]

Leonhard Euler grundlagde (analytisk) gyro -teorien i 1750 ved at oprette de gyro -ligninger, der er opkaldt efter ham i dag. De gyroskopiske ligninger er modstykket til Newtons anden lov, kraft er lig masse gange acceleration, for roterende stive legemer og er sammenlignelige grundlæggende for fysik.

Den klassiske gyroteori er næsten udelukkende dedikeret til den tunge gyro , der, som animationen viser, med sin inerti på en ejendommelig måde modstår at vælte på grund af sin vægt. [3] Op til begyndelsen af ​​det 21. århundrede blev bevægelser, der kunne repræsenteres analytisk , kun fundet i få tilfælde, og spørgsmålet om de gyroskopiske ligningers opløselighed i langt de fleste gyroskopiske bevægelser er stadig åbent. Moderne gyroteori er dedikeret til de generelle egenskaber ved det dynamiske system. [4] Ved reelle gyroskopiske fænomener er friktionseffekter væsentlige, hvormed f.eks. Opsætning af toppen kan forklares.

Gyro -teorien bruges i jernbaneteknik ( sinusbølge ), spin -stabilisering af skibe ( skibs -gyro), rumfartøjer og inertialnavigationssystemer samt i astronomi og ballistik .

historie

Den videnskabelige behandling af toppe begyndte med JA Segner (1704 - 1777), som også korrekt erkendte friktionens betydning for rejsning af topaksen. [5] Leonhard Euler udviklede en presessionsteori i 1736 [6] og i 1750 gyro-ligningerne, [7], som han var i stand til at løse i 1758 for den kraftfrie Euler-gyro eller i det mindste reducere den til elliptiske integraler . [8] Fra nu af var det muligt at udlede indsigt fra løsninger af ligningerne, men dette viste sig at være et ekstremt vedvarende "gyro -problem".

I modsætning til Newtons anden lov, der fejrede spektakulære succeser i himmelsk mekanik, var en løsning af de gyroskopiske ligninger kun mulig med Euler-gyroen og kun 38 år senere (1788) med den tunge symmetriske gyro med et fast punkt af Joseph-Louis Lagrange . [9] Carl Gustav Jacob Jacobi udgav teorien om elliptiske og theta -funktioner i 1829, hvormed gyro -ligningerne kan løses. Jacobi demonstrerede dette ved Euler -gyroen, og i 1849 anbefalede han flere gange at tackle problemet med disse funktioner. I mellemtiden (1834) bidrog Louis Poinsot med sin grafiske geometriske fortolkning af de gyroskopiske bevægelser, og Siméon Denis Poisson udgav sine kinematiske ligninger (1838). [11]

På trods af den lovende tilgang med theta -funktioner og konkurrencer fra det preussiske og russiske videnskabsakademi i 1850'erne viste det sig at være den "matematiske havfrue ", som gyroproblemet i Tyskland i mellemtiden er blevet døbt på grund af objektets æstetik og grundlæggende ligninger såvel som dets matematiske utilgængelighed, som ekstremt utilgængelige. [12] Sofia Kovalevskaya opdagede i 1888 den sidste sag, der kunne løses ved theta -funktioner, den tunge, symmetriske, inhomogene Kovalevskaya -top , hvormed den analytiske topteori kom til en bestemt konklusion. [13] Standardværkerne af Klein og Sommerfeld (skrevet 1896–1910), Richard Grammel (1920, 1950) eller Kurt Magnus (1971) kan stadig bruges i begyndelsen af ​​det 21. århundrede. Bevis på dette er, at det første værk stadig blev oversat til engelsk 100 år efter, at det blev udgivet. [14]

AM Lyapunov beviste i 1894, at de tre tilfælde af Euler, Lagrange og Kowalewskaja er de eneste, hvor løsningen af ​​bevægelsesligningerne er en unik tidsfunktion under alle indledende forhold, og É. Husson viste i 1905 [15], at disse toppe også er de eneste tilfælde, der kan løses ved algebraiske #bevægelsesintegraler . [16] Omkring 1900 fandt matematikere nogle integrerbare særlige tilfælde, [17] men spørgsmålet om opløseligheden af ​​langt de fleste gyroskopiske bevægelser er stadig åbent ind i det 21. århundrede. [18]

Selvom den klassiske gyroskopiske teori hovedsageligt vedrørte det stive legeme med et fast punkt, blev gyrolignende fænomener på roterende kæder undersøgt, deformerbare legemer - især jorden - eller væsker. Rumrejser tilføjede nye problemer, [19] som f.eks

  • selv-excitation (momenter anvendt i det kropsfikserede system) med henblik på stabilisering og positionskontrol, se stabilisering (rumrejser) ,
  • bevægelser af kroppe med varierende masser,
  • bevægelser af stive kroppe fyldt med væsker,
  • de roterende bevægelser i et centralt tyngdefelt eller
  • påvirke translationelle og rotationsbevægelser.

Fra midten af ​​det 20. århundrede, computer hardware og software, og med dem numerisk simulering , udviklet i en sådan grad, at bevægelsesligningerne kan beregnes med enhver indledende betingelser og med enhver ønsket nøjagtighed. [20] De analytiske løsninger mistede nu deres tidligere berettigede, centrale betydning, og teorien henvendte sig til de ikke-integrerbare sager. Analytiske og geometriske metoder opstod til deres undersøgelse, som igen og igen blev motiveret af Kovalevskaya -gyroskopet, som besatte videnskaben gennem det 20. århundrede. Undersøgelsesmetoderne for integrerbare sager blev overført til ikke-integrerbare dynamiske systemer i begyndelsen af ​​det 21. århundrede. [21]

Toppens egenskaber og deres bevægelser

Den gyroskopiske teori forstår, at en top er en stiv krop af enhver form, der udfører roterende bevægelser. Denne idealiserende model for rigtige gyroskoper gør det muligt at registrere deres adfærd med enklere matematiske værktøjer. [22] Den klassiske gyro -teori koncentrerede sig om den tunge gyro , som i et af sine punkter holdes i et inertisystem på en sådan måde, at den på en eller anden måde kan vende om på dette punkt. [23] Dette krav er kun en lille begrænsning, fordi hver stiv kropsbevægelse kan opdeles i rotation og translation, og hvis sidstnævnte er (omtrent) ensartet , spiller den ikke en rolle for den gyroskopiske bevægelse. Ved at fastgøre det i et punkt, elimineres de tre grader af bevægelsesfrihed, og kun de tre grader af rotationsfrihed i toppen forbliver, se #Reference -systemer og Euler -vinkler .

Hastigheden af ​​den roterende bevægelse er ubetydelig i den gyroskopiske teori. Det relativt langsomt roterende "jordgyroskop" er underlagt de gyroskopiske love ligesom en teknisk gyro, der roterer med 60.000 o / min , men lovene for disse såkaldte hurtige gyroskoper er ekstremt forenklede. [24]

Fig. 2: Bevægelsesform for en symmetrisk, prolet, kraftfri top

Bevægelserne i den kraftfrie top kaldes nutation i topteorien og den eksternt ophidsede presession [25] . [26] Disse navne er imidlertid ikke ensartede. Arnold [27] kalder f.eks. Den periodiske ændring i figurakseens hældning i forhold til lodlinjen i Lagrange -topnoten og den azimutale rotationspresession.

Rotationsaksen for et gyroskop er ikke fastgjort til kroppen, så det kan bevæge sig i forhold til gyroen og feje hen over korridorpælkeglen, der er fastgjort til kroppen, eller kortkegle. Samtidig bevæger rotationsaksen sig også i rummet og skaber derved en overflade, spærrestangen eller sporkeglen. Keglens forreste kurve er endepunktet for vinkelhastighedsvektoren, som nogle gange svinger kaotisk, kun sjældent antager en tilstand to gange og genererer eventuelle formede sporkegler og polære kegler . Hvis toppen har et fast punkt, er keglernes spidser placeret på dette faste punkt, og topens bevægelse kan tolkes som en skridsikker rullning af stangkeglen, der er fastgjort i kroppen på den rumligt fikserede sporkegle . [28] I regelmæssig recession som i den symmetriske Euler -top er koglerne cirkulære kegler, og bevægelsen gennem koglerne er særlig tydelig, se fig. 2.

Fig. 3: Egerhjul, der foregår vandret i en cirkel (langs den røde ellipse R) (fed sort)

Den kraftfrie top adlyder loven om bevarelse af energi på grund af manglen på ydre påvirkninger. Sådanne konserverede mængder er af stor interesse for gyroskopisk teori og kaldes #bevægelsesintegraler . Tæt forbundet med spillet toppen er Lagrange top , hvorpå paradoksale top fænomener skiller sig ud:

Med Kovalevskaya gyroskop er bevægelsesfunktionerne matematisk krævende, og næsten alle bevægelser ændrer deres stabilitetsadfærd, hvis de er hurtigere eller langsommere. Den tyske matematiker Wilhelm Hess opdagede det loxodromiske pendul i 1890, hvis tyngdepunkt bevæger sig som et sfærisk pendul under gyrospecifik gravitationsacceleration, se figur 4.

Fig. 4: Simuleret bevægelse af et Hess -pendul med tyngdepunktsakse og vinkelmomentplan (sort), hovedakser (blå), vinkelmoment (rød) og vinkelhastighed (grøn)

Hver top kan udføre permanent rotation omkring en lodret akse fastgjort til kroppen. Pseudoregulære præcessioner er også mulige, hvis vinkelmomentet er stort og justeret tæt på en symmetriakse. Bevægelsen ligner den normale prækession , hvor toppen roterer jævnt omkring en fast akse og en anden fastgjort til kroppen, som vist i fig. 1 , og de to akser danner en konstant vinkel. I pseudoregulær recession forekommer der imidlertid små, overlejrede, cycloidlignende svingninger i rotationsaksen, der knap er synlige for øjet, som også kaldes nutationer efter et ord lånt fra astronomi [29] . [30] En samling af nogle tilfælde, hvor nøjagtige løsninger af bevægelsesligningerne var vellykkede frem til begyndelsen af ​​det 21. århundrede kan findes i Euler-Poisson-ligningerne . [31]

Energioverfladen, som vinkelhastigheden bevæger sig på, kan beskrives analytisk for alle gyroskoper, og det viser sig, at området kan forgrenes i ustabil relativ ligevægt, for eksempel hvis den vertikalt placerede gyro er ustabil. I sådanne forgreningspunkter ændrer energioverfladen sine egenskaber ( topologi ), som kan vises analytisk og er af interesse med hensyn til gyroskopisk teori. [32]

Vinkelmoment og rotationsinerti

Momentum for et massepunkt , dets inerti i den momentane bevægelse, er fysisk givet af dets momentum , som er produktet af massen og hastigheden. Gyroskopernes momentum, deres inerti i den momentane rotation, er givet ved deres vinkelmoment , som er en vektormængde med retning og længde. Jo større vinkelmomentet er, desto vanskeligere er det at holde toppen fra sin momentane rotation.

Fig. 5: Ellipsoid af inerti (blå netværk) og hovedakser (blå pile) på en top (ikke vist)

Vinkelmomentet for et massepunkt, der roterer med en top, er givet ved dens afstand fra rotationsaksen og dens momentum, som øges med hastigheden, som stiger i toppen med afstanden til rotationsaksen. Således er vinkelmomentet for et massepunkt proportional med kvadratet af dets afstand til rotationsaksen. Masseproduktet og kvadratet af afstanden til rotationsaksen er massepunktets inertimoment og summeringen over alle massepunkter i gyroskopet giver sit inertimoment omkring den respektive akse.

Rotationsinertiens egenskaber ved rotation rundt om et referencepunkt på rotationsaksen kan tydeligt illustreres for en top ved sin inertis ellipsoid , se fig. 5. Afstanden mellem referencepunktet og skæringspunktets skæringspunkt med inertis ellipsoid bestemmer inertimomentet J omkring aksen. Halvakserne af ellipsoiden af ​​inerti er hovedakser og deres relative længder er relateret til toppen af inertimomenter i toppen, som er fysiske størrelser, der kendetegner toppen.

Rotationsaksen behøver ikke at være fast, men kan bevæge sig i rummet og i forhold til toppen, hvorved dets inertimoment kan ændre sig med aksens retning. I modsætning til hastighed og momentum er forholdet mellem rotationshastighed og vinkelmoment tidsafhængigt, og i øvrigt behøver begge størrelser ikke at være parallelle.

En karakteristisk dimension af gyroskopet kan bruges til at skalere længderne og et hovedinertimoment til at skalere tiden eller energien, [32] hvorfor to gyroskoper med lignende ellipsoider og sammenlignelige positioner i massecentret og referencepunktet er lignende under de samme indledende betingelser.

Hvirvelhastighed

Dynamikken i toppen kan formuleres med vinkelmomentet, der ligner dynamikken i massepunktet: [33]

Inertionsprincip
Den kraftfrie top bevæger sig på en sådan måde, at dens vinkelmoment forbliver konstant med hensyn til mængde og retning (ligesom et kraftfrit massepunkt bevæger sig ensartet).
Swirl rate (handlingsprincip)
Under påvirkning af drejningsmomenter bevæger gyroskopet sig på en sådan måde, at vinkelmomentvektorens ændringshastighed med hensyn til retning og størrelse er lig med virkningsmomentet (ligesom accelerationen af ​​massepunktet i retning af et handlende kraft).

Imidlertid stopper analogierne mellem rotation og translationel bevægelse, hvor de typiske gyroskopiske bevægelser begynder. Fordi mens momentum og hastighed altid er parallelle og proportionelle med hinanden i oversættelse, gælder dette ikke for vinkelmoment og rotationshastighed i de tilfælde, der er interessante med hensyn til gyroskopisk teori. Er en oprindeligt hvilende centrifugal af et rotationsstød forskudt omkring en akse i rotation, må den ikke dreje rundt om denne akse. [34] Med konstant vinkelmoment behøver vinkelhastigheden ikke at være konstant og omvendt, hvilket understøttes af Dschanibekow -effekten og Euler -gyroskopet . [35] Generelt:

  • Med konstant vinkelmoment ændres rotationsaksen kontinuerligt med fri bevægelse og de øverste vingler eller "ål".
  • Hvis rotationsaksen holdes, ændres vinkelmomentet kontinuerligt, for hvilke drejeaksens beslag tilfører de nødvendige drejningsmomenter og fjerner de gyroskopiske virkninger .
Fig. 6: Om parallelismens regel i samme retning

Swirlprincippet er den vigtigste fysiske lov i gyroskopisk teori og afspejles normalt i den parallelle retning i samme retning [36] , se figur 6.: Hvis et moment M påføres gyroen, forsøger gyroen at rotere, udtrykt ved vinkelmomentet L , for at justere momentets rotationsretning i samme retning, som er angivet med blåt på billedet.

Fig. 7: Kraftspar, der består af vægten F g og modsat lige stor kontaktkraft - F g samt det tilsvarende moment τ for den regelmæssigt foregående top.

Dette princip forklarer mange af egenskaberne ved gyroskopiske bevægelser. For eksempel, hvis en kraft virker på en top med et fast punkt, skabes en modkraft på det faste punkt og med det et kraftpar, der udøver et moment vinkelret på kraftparrets plan, se fig. 7. I dens retning - altid vinkelret på kraften - toppen afviger. Dette gælder dog kun vinkelmomentet og kun i tilfælde af et hurtigt gyroskop også rotationsaksen eller, hvis det er relevant, hovedaksen, som gyroen roterer. [37] Præcessionen med en vandret rotationsakse som i fig. 3 kan også klart forklares med reglen for den gyroskopiske virkning af det aksiale vinkelmoment .

Gyroskopisk effekt

Det mest slående træk ved gyroskoper er den gyroskopiske effekt eller den gyroskopiske effekt, som bliver mærkbar som et fantastisk kraftudtryk, når du forsøger at flytte en tops rotationsakse til en ny position. Den gyroskopiske effekt udtrykkes som en modstand, der kan gå langt ud over, hvad man ved i tilfælde af en hvilende krop. [38]

Ifølge reglen om parallelisme i samme retning forsøger den gyroskopiske effekt at sammenfalle aksen for sin egen rotation i retningen og orienteringen med aksen for den tvungne rotation. [39] Det er en d'Alembertian inertial kraft og som sådan et øjeblik af samme størrelse modsat et angribende øjeblik: moment og gyroskopisk effekt balanceres (er i dynamisk ligevægt .)

Den gyroskopiske effekt er lig med summen af ​​de øjeblikke, der udøves i kroppen af Euler og centrifugalkræfter . Euler -kræfterne er et udtryk for inertien mod vinkelacceleration , og centrifugalkræfterne opstår fra massens inerti mod ændringer i deres bevægelsesretning. I retningerne vinkelret på et angribende øjeblik neutraliserer de gyroskopiske virkninger af Euler og centrifugalkræfter hinanden og er der i dynamisk ligevægt med hinanden. Eulerkræfterne er udtryk for vinkelacceleration, der er forårsaget der af centrifugalkræfterne i toppen. Omvendt fører vinkelaccelerationerne til en ændring i rotationsaksen og rotationshastigheden, som påvirker centrifugalkræfterne. Resultatet af dette dynamiske samspil er den førnævnte tumbling og "æg" af den kraftfrie top.

De centrifugale effekter observeres kurve -gyroer , kantløbere teknisk udnyttet og hvirvelstabiliseringen.

Twist stabilisering

Fig. 8: Svinghjul for at forklare centrifugeringsstabiliseringen

En af de teknisk mest værdifulde egenskaber ved gyroskoper er evnen til at bruge dem til at stabilisere kroppe i deres rumlige tilpasning. Som allerede nævnt i begyndelsen udnyttes dette i skibe, rumfartøjer og projektiler.

Twistabiliseringen kan ses i det simple svinghjul i fig. 8, hvorved figuraksen (i første omgang i y-retningen) er fri, så den kan ændre sin retning efter behag. Et konstant øjeblik M z virker på dette ellers kraftfrie svinghjul i kort tid i z-retningen, hvilket får svinghjulet til at rotere omkring z. Denne rotation er imidlertid anderledes mærkbar på de stationære og roterende svinghjul:

  1. Når svinghjulet er i ro, får øjeblikket det til at rotere omkring z. Efter at øjeblikket er ophørt med at virke, stopper svinghjulet med at rotere omkring z, rotationsvinklen ψ for figuraksen omkring z øges monotont og er ubegrænset. Vinkelhastigheden og vinkelmomentet har kun en komponent, og de peger i z-retningen. Hældningsvinklen ϑ mellem figuraksen og momentaksen z forbliver uændret.
  2. Hvis svinghjulet roterer tilstrækkeligt hurtigt omkring figuraksen i begyndelsen, tegner et andet billede sig. Momentet fører til en lineær stigning i vinkelmomentet i z-retningen, men fordi denne komponent tilføjes vektorielt til det oprindelige vinkelmoment i y-retningen (som antages at være meget større), dvs. vinkelmomentet fortsætter med at være primært orienteret i y-retningen, og vinkelmoment og vinkelhastighed omslutter en spids vinkel (se energi-ellipsoid ), svinghjulet fortsætter med at rotere hovedsageligt omkring y-aksen. Som følge heraf forbliver rotationsvinklen ψ for figuraksen begrænset af z. Ifølge reglen om parallelisme i samme retning forsøger toppen at justere sin rotation til angrebsmomentet, hvorved vinklen ϑ falder.

Årsagen til øjeblikkets lille indflydelse på rotation af det roterende svinghjul omkring z er de inertielle kræfter, der opbygger gyroskopiske virkninger. Hvis rotationsaksen på en eller anden måde holdes af lejer, neutraliserer de disse gyroskopiske virkninger, og inertiekræfterne kan ikke udvikle deres potentiale. Spinstabilisering sker kun med gyroskoper, der har fuld bevægelsesfrihed i tre grader af rotationsfrihed. [40] Men selv da lykkes twiststabilisering ikke altid, som William Thomson, 1. baron Kelvin og Peter Guthrie Tait var i stand til at vise. [41]

Bevægelsens integraler

I centrifugal teorien i rotation af et gyroskop uforanderlige fysiske størrelser Integral, undertiden kaldet første integraler engelske første integraler. [18] Disse er af enestående betydning, fordi de muliggør løsningen af ​​gyro -ligningerne eller i det mindste, ligesom Jellett -integralen i spilgyroen , karakteriserer bevægelserne.

Med den kraftfrie Euler gyro er vinkelmomentet konstant, og dets rumligt fikserede komponenter samt mængden er integraler med gyroen. Hvis tyngdefeltet er konservativt , ligesom jordens, følger den gyroskopiske bevægelse loven om bevarelse af energi , hvorfor den samlede energi derefter er et integralt element. I tilfælde af en tung top har momentet for lodret tyngdekraft ingen komponent i den vinkelrette retning, og derfor er vinkelmomentet i denne retning et integreret element. Integralerne, såsom Kovalevskaya -konstanten , har imidlertid ikke altid en illustrerende betydning.

Med en tung top er der altid tre første integraler ( Euler-Poisson-ligningerne ) med seks ukendte. Hvis der findes et fjerde integral, kan et femte integral konstrueres med metoden for den sidste multiplikator [42], der er udtænkt af Carl Gustav Jacob Jacobi , hvormed bevægelsesligningerne løses. Fordi en af ​​de seks ukendte indtager rollen som den uafhængige variabel, da tiden ikke eksplicit fremgår af ligningerne. [43]

Reference systemer og Euler vinkler

Fig. 9: Eulers grundlæggende system (grønt) angiver akserne, omkring hvilke Euler -vinklerne ψ = α , ϑ = β og φ = γ roterer.

To referencesystemer bruges hovedsageligt i gyroteorien:

I inertialsystemet (blåt i fig. 9), hvor referencepunktet hviler og toppen roterer, er Euler -vinklerne defineret, hvilket angiver orienteringen af ​​topaksen i toppen i rummet. Tidspunktet for vinklerne bestemmer gyroskopets bevægelsesfunktion. I et system, der er fast i rummet, kan inertimomenterne variere over tid om ikke-faste akser.

I det samroterende, kropsfikserede referencesystem (rødt) er bevægelsesligningerne særligt lette at formulere, for der er inertimomenterne konstante over tid. Inertialkræfter, der opstår her, skal tages i betragtning i bevægelsesligningerne. Disse er Euler -kraften og centrifugalkraften . Corioliskræfter forekommer ikke her, fordi et stift legeme ikke har nogen bevægelse af sine massepunkter i forhold til kroppen.

I gyro-teorien udtrykkes basisvektorerne i det rumfaste referencesystem med Euler-vinklerne i standard x-konventionen (z, x ′, z ″). Vinklen ψ er precessionsvinklen, ϑ hældningsvinklen og φ bestemmer topens rotation . [44] Angiv enhedsvektorerne ê x, y, z standardfoden fast i rummet (blå i fig. 9) og ê X, Y, Z = ê 1,2,3 den bevægelige base roterende med kroppen (rød) , læs derefter de bevægelige baseenhedsvektorer i forhold til den rumligt faste base:

Vektoren

markerer knudeaksen (gul N på billedet). Vinkelhastigheden deres komponenter og vektorer hænger over

sammen. Häufig werden die Komponenten ω 1,2,3 im Hauptachsensystem auch mit p , q und r bezeichnet und gelegentlich tauschen die Winkel ψ und φ die Bedeutung.

Bei sin ϑ = 0 tritt eine Singularität auf, weil dann, wegen cos ϑ = ±1, die Winkel ψ und φ in den Basisvektoren nach denAdditionstheoremen nur als Kombination ψ ± φ vorkommen und somit verschiedene Winkel zur selben Basis führen können.

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Grammel (1920), S. 2, Grammel (1950), S. 3.
  2. Grammel (1920), S. V, Grammel (1950), S. III, Magnus (1971), S. 1.
  3. Grammel (1920), S. 3.
  4. Gashenenko und Richter (2003), S. 2527, 2532.
  5. Felix Klein , Conr. Müller: Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . Mechanik. Hrsg.: Akademien der Wissenschaften zu Göttingen , Leipzig, München und Wien. Vierter Band, 1. Teilband. BG Teubner, 1908, ISBN 978-3-663-16021-2 , S.   546 , doi : 10.1007/978-3-663-16021-2 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – siehe auch wikisource }).
  6. Ludwig Darmstaedter (Hrsg.): Handbuch zur Geschichte der Naturwissenschaften und Technik . Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1908, S.   209 ( Wikimedia Commons ).
  7. Clifford Truesdell : Die Entwicklung des Drallsatzes . In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5 ). Band   44 , April 1964, S.   154 , doi : 10.1002/zamm.19640440402 ( wiley.com ).
  8. Leonhard Euler : Über die Bewegung der Rotation von starren Körpern um eine variable Achse . In: Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Hrsg.): Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin . Band   14 . Petersburg 1758, S.   173 und 190 . (französisch, archive.org – Originaltitel: Du mouvement de rotation des corps solides autour d'un axe variable .).
  9. Joseph-Louis Lagrange : Mécanique Analytique . Tome Second. Corucier, Paris 1815, S.   265   f . (französisch, archive.org [abgerufen am 20. August 2017]). oder Joseph-Louis Lagrange: Analytische Mechanik . Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1797 ( archive.org – Deutsche Übersetzung von Friedrich Murhard).
  10. Tuschmann und Hawig (1993), S. 123.
  11. Siméon Denis Poisson : Traité de Méchanique . 3. Auflage. 1 bis 6. JG Garnier, Brüssel 1838 (französisch, archive.org ).
  12. Tuschmann und Hawig (1993), S. 123., Audin (2008), S. 91.
  13. Tuschmann und Hawig (1993), S. 119.
  14. siehe Literatur und F. Klein , A. Sommerfeld : The Theory of the Top . Volume I: Introduction to the Kinematics and Kinetics of the Top . Birkhäuser, Basel / Boston 2008, ISBN 978-0-8176-4720-9 , S.   vii ff ., doi : 10.1007/978-0-8176-4721-6 (englisch, springer.com – Originaltitel: Über die Theorie des Kreisels . Übersetzt von RJ Nagem, G. Sandri, Das Vorwort des Übersetzers mit historischem Abriss gibt es hier online als PDF-Datei (PDF)).
  15. Édouard Husson: Forschung nach algebraischen Integralen in der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt . In: Annales de la faculté des sciences de Toulouse 2 e série . 1906, S.   73–152 , doi : 10.5802/afst.232 (französisch, numdam.org [PDF; abgerufen am 7. März 2018] Originaltitel: Recherche des intégrales algébriques dans le mouvement d'un solide pesant autour d'un point fixe . Auf Seite 74 wird ein erster Beweisversuch von Roger Liouville 1897 als fehlerhaft aufgedeckt). , siehe auch Audin (2008), S. 106.
  16. Leimanis (1965), S. 53 ff.
  17. Magnus (1971), S. 129.
  18. a b Gashenenko und Richter (2003), S. 2525.
  19. K. Magnus : Kreiselprobleme/ Gyrodynamics . Symposion Celerina, 20. Bis 23. August 1962 / Symposion Celerina, August 20–23, 1962. Hrsg.: Hans Ziegler. Springer Verlag, Berlin ua 1963, ISBN 978-3-662-12200-6 , S.   7 , doi : 10.1007/978-3-662-12200-6 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  20. Magnus (1971), S. 109.
  21. Gashenenko und Richter (2003), S. 2532 f.
  22. Magnus (1971), S. 1.
  23. Grammel (1920), S. 3, Grammel (1950), S. 2, Tuschmann und Hawig (1993), S. 121.
  24. Magnus (1971), S. 2f.
  25. Magnus (1971), S. 119
  26. Duden│Präzession. Duden online, abgerufen am 5. November 2017 . sowie Duden│Nutation. Duden online, abgerufen am 8. März 2018 .
  27. Vladimir I. Arnol'd: Mathematische Methoden der klassischen Mechanik . Springer-Verlag, Basel 1988, ISBN 978-3-0348-6670-5 , S.   159 , doi : 10.1007/978-3-0348-6669-9 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – russisch: Математическе методы классическоя механики . Moskau 1979. Übersetzt von Prof. Dr. Peter Möbius, TU Dresden).
  28. Magnus (1971), S. 27.
  29. Kuypers (2016), S. 215
  30. EF Autenrieth , Max Ensslin: Technische Mechanik: Ein Lehrbuch der Statik und Dynamik für Ingenieure . Springer-Verlag, Berlin 1922, ISBN 978-3-642-98876-9 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 5. November 2017]).
  31. Magnus (1971), S. 108.
  32. a b Gashenenko und Richter (2003), S. 2526 f.
  33. Klein und Sommerfeld (1910), S. 762.
  34. Magnus (1971), S. 2 und S. 47, Grammel (1920), S. 43.
  35. Grammel (1920), S. 18.
  36. Klein und Sommerfeld (1910), S. 764.
  37. Grammel (1920), S. 59+62.
  38. Grammel (1920), S. 3
  39. Grammel (1920), S. 70.
  40. Klein und Sommerfeld (1910), S. 767 f.
  41. Grammel (1950), S. 261 f.
  42. Carl Gustav Jacob Jacobi : Vorlesungen über Dynamik . Hrsg.: A. Clebsch. Verlag G. Reimer, Berlin 1884, S.   73   ff . ( Textarchiv – Internet Archive ).
  43. Leimanis (1965), S. 10.
  44. Grammel (1920), S. 51.