cirkel

Cirkel med centrum M og radius r

En cirkel er en flad geometrisk figur . Det er defineret som sættet af alle punkter på et plan, der er i en konstant afstand fra et givet punkt på dette plan ( midtpunktet ). Afstanden mellem punkterne på cirklen til midten af radius eller radius af cirklen, det er et positivt reelt tal . Cirklen er et af de klassiske og grundlæggende objekter i den euklidiske geometri .

I daglig tale bruges udtrykket cirkel ofte til at referere til et cirkulært område eller en rund skive .

Den gamle egyptere og babylonierne forsøgte at bestemme området for cirklen ca. I det antikke Grækenland tiltrak cirklen interesse på grund af dets perfektion. Arkimedes forsøgte uden held at konvertere cirklen til en firkant med det samme område ved hjælp af kompas- og linealværktøjerne for at kunne bestemme cirklens areal (se kvadrering af cirklen ). Først i 1882 kunne Ferdinand von Lindemann demonstrere ved at demonstrere en særlig egenskab ved cirkelnummeret, at denne opgave var uløselig.

Forklaringer af ord

Cirkulære områder

Ifølge definitionen nævnt i begyndelsen er en cirkel en kurve , dvs. en endimensionel struktur og ikke en todimensionel overflade . Idet ordet "cirkel" ofte anvendes upræcist til det lukkede område, udtrykkene cirkel linje, cirkel kant eller cirkelslag ^{[1], er} ofte anvendt i stedet for cirkel - i modsætning til det cirkulære område eller cirkulær skive. Matematikere skelner derefter mellem den lukkede cirkulære overflade eller skive og den åbne (eller indersiden af en cirkel ), afhængigt af om den cirkulære linje tilhører den eller ej.

Sløjfe, sene, sektor, segment og ring

Bue , sektor og segment af en cirkel

Cirkulær ring

En forbundet delmængde af cirklen (dvs. den cirkulære linje) er en bue . En linje, der forbinder to punkter på den cirkulære linje, kaldes en cirkulær akkord . Hver akkord har to buer. De længste sener i cirklen er dem, der passerer gennem centrum, dvs. diametrene . De tilhørende buer kaldes halvcirkler. Hvis akkorden ikke er en diameter, har buerne forskellige længder.

En sektor af en cirkel (sektion af en cirkel) er et område, der er afgrænset af to radier og en bue mellem dem. Hvis de to radier danner en diameter, betegnes sektoren også som en halvcirkel.

Cirkelsegmenter (cirkelsegmenter) er omsluttet af en bue og en akkord.

En cirkulær ring dannes, når du skærer en mindre cirkel med samme midtpunkt ud af en cirkel.

Tangent, forbipasserende og sekant

Der er tre muligheder for placeringen af en lige linje i forhold til en given cirkel:

Forholdet mellem cirkel og tangent , forbipasserende og sekant

Hvis afstanden mellem midten og den lige linje er mindre end cirkelens radius, har cirklen og den lige linje to (forskellige) skæringspunkter, og den lige linje kaldes en sekant (latinsk secare = at skære). Nogle gange omtales det særlige tilfælde af en sekant, der løber gennem midten af en cirkel, som midten.
Hvis afstanden mellem midtpunktet og den lige linje svarer til radius, er der præcis ét fælles punkt. Det siges, at den lige linje rører ved cirklen, og den lige linje kaldes en tangent (latin tangere = at røre ved). En tangent er vinkelret ( ortogonal , normal) til den tilsvarende radius ved kontaktpunktet.
Hvis afstanden mellem midten af cirklen og den lige linje er større end cirkelens radius, har cirklen og den lige linje intet til fælles. I dette tilfælde kaldes den lige linje for en forbipasserende . Dette navn har ingen direkte latinsk oprindelse, men stammer sandsynligvis fra fransk. eller ital. passante = dannet af forbipasserende. Den latinske rod er passus = trin.

Formel definition

En cirkel med et midtpunkt

M.

{\ displaystyle M}

M.

, Radius

r

{\ displaystyle r}

r

og diameter

d

{\ displaystyle d}

d

.

I et niveau $E.$ ${\ displaystyle E}$ $E.$ er en cirkel $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ med fokus $\mathrm {M} \in E$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} \ in E}$ $\ mathrm {M} \ i E$ og radius $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ det indstillede punkt

k=\left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}=r\right\}.

{\ displaystyle k = \ left \ {\ mathrm {X} \ in E ~ \ vert ~ {\ overline {\ mathrm {MX}}} = r \ right \}.}

k = \ venstre \ {\ mathrm {X} \ i E ~ \ vert ~ \ overline {\ mathrm {MX}} = r \ højre \}.

^[2]

Hvor er radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ et positivt reelt tal, og ${\overline {\mathrm {MX} }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {MX}}}}$ $\ overline {\ mathrm {MX}}$ angiver rutens længde $[\mathrm {MX} ]$ ${\ displaystyle [\ mathrm {MX}]}$ $[\ mathrm {MX}]$ .

Den dobbelte radius kaldes diameter og er ofte med $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ udpeget. radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ og diameter $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ er gennem relationer $d=2r$ ${\ displaystyle d = 2r}$ $d = 2r$ eller $r=d/2$ ${\ displaystyle r = d / 2}$ $r = d / 2$ knyttet sammen.

Nogle gange kaldes hver linje, der forbinder midtpunktet med et punkt på den cirkulære linje, en radius , og hver linje, der går gennem midtpunktet og begge endepunkter er på den cirkulære linje, kaldes en diameter. I denne måde at tale på er tallet $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ længden af hver radius og tallet $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ længden af hver diameter.

Det åbne cirkulære område er formelt defineret som sæt af punkter

\left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}<r\right\},

{\ displaystyle \ left \ {\ mathrm {X} \ in E ~ \ vert ~ {\ overline {\ mathrm {MX}}} <r \ right \},}

\ venstre \ {\ mathrm {X} \ i E ~ \ vert ~ \ overline {\ mathrm {MX}} <r \ right \},

den lukkede cirkulære disk som

\left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}\leq r\right\}.

{\ displaystyle \ left \ {\ mathrm {X} \ in E ~ \ vert ~ {\ overline {\ mathrm {MX}}} \ leq r \ right \}.}

\ venstre \ {\ mathrm {X} \ i E ~ \ vert ~ \ overline {\ mathrm {MX}} \ le r \ right \}.

historie

I teknologien muliggør hjulets cirkulære form rullende bevægelse.

Egyptens og babyloniernes tid

Fragment af Rhind papyrus

Tilnærmelse af det cirkulære område i Rhind -papyrus, figuren ovenfor fortolkes som en uregelmæssig ottekant, under beregningstrinnene ved hjælp af eksemplet d = 9 ( Chet ).

Sammen med punktet og den lige linje er cirklen et af de ældste elementer i præ-græsk geometri. ^[3] Allerede for fire tusinde år siden behandlede egypterne det i deres studier af geometri. Du kunne se arealet $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ af en cirkel ved at trække en niende af dens længde fra diameteren d og multiplicere resultatet med dig selv. Så du regnede

A\approx \left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}={\frac {256}{81}}r^{2}=3{,}16049\dotso \cdot r^{2}

{\ displaystyle A \ approx \ left ({\ frac {8} {9}} d \ right) ^ {2} = {\ frac {256} {81}} r ^ {2} = 3 {,} 16049 \ dotso \ cdot r ^ {2}}

A \ cirka \ venstre (\ frac {8} {9} d \ højre) ^ 2 = \ frac {256} {81} r ^ 2 = 3 {,} 16049 \ dotso \ cdot r ^ 2

og dermed cirka (med en afvigelse på kun ca. +0,6%) arealet af et cirkulært område. Denne tilnærmelse blev fundet i den gamle egyptiske afhandling Papyrus Rhind , den kan opnås, hvis cirklen er tilnærmet af en uregelmæssig ottekant. ^[4]

Babylonierne (1900 til 1600 f.Kr.) brugte en helt anden metode til at beregne arealet af den cirkulære disk. I modsætning til egypterne gik de fra omkredsen $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ fra dem er tre gange cirkeldiameteren $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ værdsat. Arealet blev derefter anslået til at være en tolvtedel af omkredsen af kvadratet , så ^[5]

A\approx {\frac {1}{12}}U^{2}\approx {\frac {9}{12}}d^{2}=3r^{2},

{\ displaystyle A \ approx {\ frac {1} {12}} U ^ {2} \ approx {\ frac {9} {12}} d ^ {2} = 3r ^ {2},}

A \ approx \ frac {1} {12} U ^ 2 \ approx \ frac {9} {12} d ^ 2 = 3 r ^ 2,

et markant dårligere resultat med en afvigelse på -4,5%.

Babylonierne behandlede også dele af en cirkel. Du kan beregne akkordens længde eller højden af segmentet i en cirkel (linjen vinkelret på midten af akkorden mellem akkorden og omkredsen). Med dette etablerede de akkordgeometrien , som senere blev udviklet af Hipparchus, og som Claudius Ptolemaios placerede i begyndelsen af sin astronomiske lærebog Almagest . ^[6]

Antikken

Titelside til Henry Billingsleys engelske oversættelse af Elements (1570)

Grækerne ses mest som grundlæggerne af naturvidenskaben. Thales i Milet (624-546 f.Kr.) anses for at være den første store filosof på denne tid, der beskæftigede sig med matematik. Han bragte kendskab til geometri fra Egypten til Grækenland, såsom udsagnet om, at diameteren skærer cirklen. Andre udsagn om geometri blev fremsat af Thales selv. Sætningen , der i dag er opkaldt efter Thales, siger, at perifere vinkler i en halvcirkel er rette vinkler . Især Thales var den første til at bruge begrebet vinkel . ^[7]

Den første kendte definition af cirklen går tilbage til den græske filosof Platon (428 / 427-348 / 347 f.Kr.), som han formulerede i sin dialog Parmenides :

"Det er sandsynligvis rundt, hvis yderste dele er overalt i samme afstand fra midten."

- Platon: Parmenides ^[8]

Den græske matematiker Euklides af Alexandria levede omkring 300 år før Kristus. Lidt vides om ham selv, men hans arbejde inden for geometri var betydeligt. Hans navn er stadig i brug i dag i sammenhænge såsom euklidisk rum , euklidisk geometri eller euklidisk metrik . Hans vigtigste værk var Elements , en afhandling på tretten bind, hvor han opsummerede og systematiserede sin tids regning og geometri . Han udledte de matematiske udsagn fra postulater og grundlagde dermed euklidisk geometri. Det tredje bind af elementerne omhandlede cirkelens lære. ^[9]

Fra Archimedes , der sandsynligvis levede mellem 287 f.Kr. F.Kr. og 212 f.Kr. BC boede på Sicilien, en detaljeret afhandling med titlen Cirkulær måling er kommet ned til os. ^[10] Han demonstrerede i dette arbejde, at overfladearealet af arealet af en cirkel svarende til en højre trekant med cirkelradius end den ene hånd og omkredsen end den anden katetus er. Området af cirklen kan angives som ½ · radius · omkreds . Med denne viden spores han problemet med at kvadrere cirklen tilbage til spørgsmålet om, hvorvidt omkredsen kunne konstrueres ud fra den givne radius.

I sine papir cirkel måling Archimedes kunne også vise, at omkredsen af en cirkel med diameteren er større end 3 ^_10/71 og mindre end 3. ^_1/7 Af praktiske formål bruges denne tilnærmelse ^_22/7 (~ 3.143) stadig i dag.

Af disse to udsagn konkluderes det, at arealet af en cirkel som næsten ¹¹ / opfører sig til kvadratet med dens diameter _fjortende Euklid vidste allerede, at arealet af en cirkel er proportional med kvadratet af dens diameter. ^[11] Archimedes giver en god tilnærmelse til proportionalitetskonstanten.

I et yderligere arbejde med spiraler ^[10] beskriver Archimedes konstruktionen af den arkimediske spiral, der senere blev opkaldt efter ham. Med denne konstruktion var det muligt for Archimedes at plotte omkredsen af en cirkel på en lige linje. På denne måde kunne arealet af en cirkel nu bestemmes nøjagtigt. Denne spiral kan imidlertid ikke konstrueres med et kompas og lineal. ^[12]

Apollonios von Perge levede omkring 200 år før Kristus. I sin koniske sektionsteori Konika , blandt andet, forstod han ellipsen og cirklen som skæringspunktet mellem en lige cirkelkegle - ligesom den stadig er defineret i dag i algebraisk geometri . Hans fund går tilbage til hans forgængere Euclid og Aristaios (omkring 330 f.Kr.), hvis skriftlige afhandlinger om keglesnit imidlertid ikke har overlevet. ^[13]

Det apollonske problem er opkaldt efter Apollonios med at konstruere de cirkler, der berører de givne cirkler med de euklidiske værktøjer lineal og kompas for tre givne cirkler. Men i forhold til Euklides elementer, som også dannede grundlaget for geometri i middelalderen, fandt Apollonios 'værker i første omgang kun opmærksomhed i det islamiske område. I Vesteuropa blev hans bøger kun vigtigere i 1600 -tallet, da Johannes Kepler genkendte ellipsen som den sande bane på en planet omkring solen. ^[14]

Renæssance

I videnskabshistorien kaldes perioden mellem 1400 og 1630 e.Kr. normalt for renæssancen , selvom perioden f.eks. Ikke svarer til periodiseringen af kunsthistorien. I løbet af denne tid modtog Euclids elementer mere opmærksomhed igen. De var blandt de første trykte bøger og blev udgivet i mange forskellige udgaver i de følgende århundreder. Erhard Ratdolt producerede den første trykte udgave af elementerne i Venedig i 1482. En af de vigtigste udgaver af Euclids elementer blev udgivet af jesuitter Christoph Clavius . Ud over de sene antikke bøger XIV og XV tilføjede han en sekstende bog og andre omfattende tilføjelser til de egentlige tekster af Euklid. For eksempel tilføjede han en konstruktion af de fælles tangenter i to cirkler. ^[15]

19. århundrede

Ferdinand von Lindemann

Efter forarbejde af Leonhard Euler , der etablerede Eulers identitet , Johann Heinrich Lambert og Charles Hermite , kunne Ferdinand von Lindemann i 1882 bevise, at tallet $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ er transcendent . Det vil sige, at der ikke er nogen polynomfunktion med rationelle koefficienter, for hvilke π er et nul. Men da det allerede blev vist i 1600 -tallet, at cirklen tal $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ et nul af en sådan polynomfunktion skulle være, for at cirkelens kvadratur kunne fungere med kompas og lineal, det var således også bevist, at der ikke kan være en sådan procedure. ^[16]

Ligninger

I analytisk geometri beskrives geometriske objekter ved hjælp af ligninger . Punkter i flyet er normalt baseret på deres kartesiske koordinater $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ og en cirkel er derefter sættet af alle punkter, hvis koordinater opfylder den respektive ligning.

Koordinere ligning

Den euklidiske afstand af et punkt $\mathrm {X} =(x,y)$ ${\ displaystyle \ mathrm {X} = (x, y)}$ $\ mathrm {X} = (x, y)$ fra punktet $\mathrm {M} =(x_{M},y_{M})$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} = (x_ {M}, y_ {M})}$ $\ mathrm {M} = (x_M, y_M)$ er beregnet som

{\overline {\rm {XM}}}={\sqrt {(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}}}.

{\ displaystyle {\ overline {\ rm {XM}}} = {\ sqrt {(x-x_ {M}) ^ {2} + (y-y_ {M}) ^ {2}}}.}

\ overline {\ rm XM} = \ sqrt {(x-x_M) ^ 2 + (y-y_M) ^ 2}.

Ved at kvadrere den definerende ligning ${\overline {\rm {XM}}}=r$ ${\ displaystyle {\ overline {\ rm {XM}}} = r}$ $\ overline {\ rm XM} = r$ resultaterne af koordinatligningen

\left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}

{\ displaystyle \ venstre (x-x_ {M} \ højre) ^ {2} + \ venstre (y-y_ {M} \ højre) ^ {2} = r ^ {2}}

\ venstre (x-x_M \ højre) ^ 2 + \ venstre (y-y_M \ højre) ^ 2 = r ^ 2

for pointene $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ på cirklen med midten $\mathrm {M} =(x_{M},y_{M})$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} = (x_ {M}, y_ {M})}$ $\ mathrm {M} = (x_M, y_M)$ og radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Når det multipliceres, resulterer dette i:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + af + c = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + af + c = 0}

med

a=-2x_{M}

{\ displaystyle a = -2x_ {M}}

{\ displaystyle a = -2x_ {M}}

,

b=-2y_{M}

{\ displaystyle b = -2y_ {M}}

{\ displaystyle b = -2y_ {M}}

og

c=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}-r^{2}

{\ displaystyle c = x_ {M} ^ {2} + y_ {M} ^ {2} -r ^ {2}}

{\ displaystyle c = x_ {M} ^ {2} + y_ {M} ^ {2} -r ^ {2}}

.

Et vigtigt specialtilfælde er koordinatligningen for enhedscirklen

x^{2}+y^{2}=1.

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

x ^ 2 + y ^ 2 = 1.

Funktionsligning

Da cirklen ikke er en funktionsgraf , kan den ikke repræsenteres af en funktionsligning . Som et midlertidigt, et par funktionelle ligninger

y=y_{M}\pm {\sqrt {r^{2}-(x-x_{M})^{2}}}

{\ displaystyle y = y_ {M} \ pm {\ sqrt {r ^ {2} - (x -x_ {M}) ^ {2}}}}

y = y_M \ pm \ sqrt {r ^ 2 - (x -x_M) ^ 2}

blive brugt. For enhedscirklen er dette forenklet til

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.

{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}

y = \ pm \ sqrt {1 - x ^ 2}.

Parametrisk repræsentation

En anden måde at beskrive en cirkel ved hjælp af koordinater er at bruge parametervisningen (se også polære koordinater ):

{\begin{aligned}x&=x_{M}+r\cos \varphi \\y&=y_{M}+r\sin \varphi \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = x_ {M} + r \ cos \ varphi \\ y & = y_ {M} + r \ sin \ varphi \ end {align}}}

\ begin {align} x & = x_M + r \ cos \ varphi \\ y & = y_M + r \ sin \ varphi \ end {align}

Her er koordinaterne $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ og $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ gennem parameteren $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ udtrykt af alle værdier med $0\leq \varphi <2\pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi <2 \ pi}$ $0 \ leq \ varphi <2 \ pi$ kan acceptere.

Hvis man også anvender disse ligninger specifikt til enhedscirklen, opnår man:

{\begin{aligned}x&=\cos \varphi \\y&=\sin \varphi \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos \ varphi \\ y & = \ sin \ varphi \ end {align}}}

\ begin {align} x & = \ cos \ varphi \\ y & = \ sin \ varphi \ end {align}

Det er også muligt at vise parametre uden at ty til en trigonometrisk funktion (rationel parameterisering), men hele sættet af reelle tal er påkrævet som parameterinterval og punkt $(x_{M}-r,y_{M})$ ${\ displaystyle (x_ {M} -r, y_ {M})}$ $(x_M-r, y_M)$ bruges kun som grænse for $t\to \pm \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ pm \ infty}$ $t \ til \ pm \ infty$ opnået.

{\begin{aligned}x&=x_{M}+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&=y_{M}+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = x_ {M} + r {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \\ y & = y_ {M} + r {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ end {justeret}}}

\ begin {align} x & = x_M + r \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} \\ y & = y_M + r \ frac {2t} {1 + t ^ 2} \ end { justere}

Følgende resulterer derefter i enhedscirklen:

{\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \\ y & = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ end {align}}}

\ begin {align} x & = \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} \\ y & = \ frac {2t} {1 + t ^ 2} \ end {align}

Kompleks repræsentation

Cirklen kan drejes rundt i det komplekse talplan $m\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {C}}$ med radius $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ ved ligningen

|z-m|=r

{\ displaystyle | zm | = r}

| z-m | = r

repræsentere. Parameterrepræsentationen opnås ved hjælp af den komplekse eksponentielle funktion

z=m+re^{i\varphi },\quad 0\leq \varphi <2\pi .

{\ displaystyle z = m + re ^ {i \ varphi}, \ quad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi.}

z = m + r e ^ {i \ varphi}, \ quad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi.

Trepunktsform af en cirkulær ligning

Koordinatligningen af cirklen gennem tre givne punkter $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}}$ der ikke ligger på en lige linje, er resultatet af omformning af 3-punktsformen (fjernelse af nævneren og kvadratisk tilføjelse):

{\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\;.

{\ displaystyle {\ frac {({\ color {green} x} -x_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) + ({\ color {red} y} -y_ { 1}) ({\ farve {rød} y} -y_ {2})} {({\ farve {rød} y} -y_ {1}) ({\ farve {grøn} x} -x_ {2}) -({\ color {red} y} -y_ {2}) ({\ color {green} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1})) (x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}))) (x_ {3} -x_ {2}) -(y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}} \;.}

{\ displaystyle {\ frac {({\ color {green} x} -x_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) + ({\ color {red} y} -y_ { 1}) ({\ farve {rød} y} -y_ {2})} {({\ farve {rød} y} -y_ {1}) ({\ farve {grøn} x} -x_ {2}) -({\ color {red} y} -y_ {2}) ({\ color {green} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1})) (x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}))) (x_ {3} -x_ {2}) -(y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}} \;.}

Cirkel gennem tre punkter

Trepunktsformen og koordinatligningen resulterer i cirklen gennem tre givne punkter $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}}$ med

z_{1}:={x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2},\quad z_{2}:={x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2},\quad z_{3}:={x_{3}}^{2}+{y_{3}}^{2}

{\ displaystyle z_ {1}: = {x_ {1}} ^ {2} + {y_ {1}} ^ {2}, \ quad z_ {2}: = {x_ {2}} ^ {2} + {y_ {2}} ^ {2}, \ quad z_ {3}: = {x_ {3}} ^ {2} + {y_ {3}} ^ {2}}

{\ displaystyle z_ {1}: = {x_ {1}} ^ {2} + {y_ {1}} ^ {2}, \ quad z_ {2}: = {x_ {2}} ^ {2} + {y_ {2}} ^ {2}, \ quad z_ {3}: = {x_ {3}} ^ {2} + {y_ {3}} ^ {2}}

og determinanterne

A:=\det {\begin{pmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad B:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad C:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}},\quad D:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}}\quad

{\ displaystyle A: = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} \\ z_ {1} & z_ {2} & z_ {3 } \ end {pmatrix}}, \ quad B: = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \\ z_ {1} & z_ {2} & z_ {3} \ end {pmatrix}}, \ quad C: = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \\ y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ slut {pmatrix}}, \ quad D: = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \ \ y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} \\ z_ {1} & z_ {2} & z_ {3} \ end {pmatrix}} \ quad}

{\ displaystyle A: = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} \\ z_ {1} & z_ {2} & z_ {3 } \ end {pmatrix}}, \ quad B: = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \\ z_ {1} & z_ {2} & z_ {3} \ end {pmatrix}}, \ quad C: = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \\ y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ slut {pmatrix}}, \ quad D: = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \ \ y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} \\ z_ {1} & z_ {2} & z_ {3} \ end {pmatrix}} \ quad}

for midtpunktet $(x_{m},y_{m})$ ${\ displaystyle (x_ {m}, y_ {m})}$ ${\ displaystyle (x_ {m}, y_ {m})}$ og radius $r\colon$ ${\ displaystyle r \ colon}$ ${\ displaystyle r \ colon}$

x_{m}=-{\frac {A}{2C}},\quad y_{m}=-{\frac {B}{2C}};\quad r^{2}={\frac {A^{2}+B^{2}+4CD}{4C^{2}}}

{\ displaystyle x_ {m} = - {\ frac {A} {2C}}, \ quad y_ {m} = - {\ frac {B} {2C}}; \ quad r ^ {2} = {\ frac {A ^ {2} + B ^ {2} + 4CD} {4C ^ {2}}}}

{\ displaystyle x_ {m} = - {\ frac {A} {2C}}, \ quad y_ {m} = - {\ frac {B} {2C}}; \ quad r ^ {2} = {\ frac {A ^ {2} + B ^ {2} + 4CD} {4C ^ {2}}}}

Hvis de tre givne punkter ligger på en lige linje, så $C=0$ ${\ displaystyle C = 0}$ ${\ displaystyle C = 0}$ .

Cirkelberegning

Cirkelens omkreds med d = 1

Cirkelnummer

Da alle cirkler er ens , er forholdet mellem omkreds og diameter konstant for alle cirkler. Den numeriske værdi af dette forhold bruges i elementær geometri som definition for antallet af cirkler $\pi =3{,}14159\dots$ ${\ displaystyle \ pi = 3 {,} 14159 \ dots}$ $\ pi = 3 {,} 14159 \ prikker$ Brugt. Dette er et transcendent tal, der også har vist sig at være af enestående betydning på mange områder inden for højere matematik.

omfang

I forbindelse med elementær geometri er $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ forholdet mellem omkredsen $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ til dens diameter $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , for alle cirkler. Dermed

U=\pi \,d=2\pi \,r.

{\ displaystyle U = \ pi \, d = 2 \ pi \, r.}

U = \ pi \, d = 2 \ pi \, r.

med $r={\tfrac {1}{2}}d$ ${\ displaystyle r = {\ tfrac {1} {2}} d}$ $r = \ tfrac {1} {2} d$ menes cirkelens radius.

Cirkulært område

Tegningen viser, at arealet af en cirkulær disk er mindre end

4r^{2}

{\ displaystyle 4r ^ {2}}

4r ^ 2

må være.

Fremstilling af en tilnærmelse til det cirkulære område

Området af det cirkulære område $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ ( Latinsk område: areal) er proportional med radiusens kvadrat $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ eller diameteren $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ af cirklen. Det er også kendt som indholdet i en cirkel.

For at opnå formlen for cirkelindholdet er grænseværdiovervejelser afgørende. Dette kan ses ganske tydeligt fra tegningen til højre:

Området af cirklen har samme nedbrydning som arealet i figuren til højre. Efterhånden som sektorinddelingen bliver finere, nærmer dette sig et rektangel med længden $\pi \,r$ ${\ displaystyle \ pi \, r}$ $\ pi \, r$ og bredden $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Arealformlen er således

A=\pi r^{2}={\frac {\pi \,d^{2}}{4}}\approx 0{,}78540\;d^{2}.

{\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi \, d ^ {2}} {4}} \ approx 0 {,} 78540 \; d ^ {2}.}

A = \ pi r ^ 2 = \ frac {\ pi \, d ^ 2} {4} \ approx 0 {,} 78540 \; d ^ 2.

Arealformlen kan eksempelvis bevises ved at integrere den cirkulære ligning eller ved hjælp af den tilnærmelse, der er beskrevet nedenfor, ved hjælp af almindelige polygoner.

diameter

Diameteren $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ af en cirkel med areal $EN.$ ${\ displaystyle A}$ $EN.$ og med radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ slipper igennem

d=2r=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}\approx 1{,}1284\;{\sqrt {A}}

{\ displaystyle d = 2r = 2 {\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}}} \ approx 1 {,} 1284 \; {\ sqrt {A}}}

d = 2r = 2 \ sqrt {\ frac A \ pi} \ approx 1 {,} 1284 \; \ sqrt A

Beregn.

krumning

En mindre elementær egenskab ved cirklen i forhold til de hidtil beskrevne mængder er dens krumning . For en præcis definition af krumningen kræves termer fra analyse , men det kan let beregnes på grund af cirkels symmetriegenskaber. Krumningen er tydelig på alle punkter $\mathrm {P}$ ${\ displaystyle \ mathrm {P}}$ $\ mathrm P$ hvor stærk cirklen er i punktets umiddelbare nærhed $\mathrm {P}$ ${\ displaystyle \ mathrm {P}}$ $\ mathrm P$ afviger fra en lige linje. Krumningen $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ af cirklen i punktet $\mathrm {P}$ ${\ displaystyle \ mathrm {P}}$ $\ mathrm P$ slipper igennem

\kappa (\mathrm {P} )={\frac {1}{r}}

{\ displaystyle \ kappa (\ mathrm {P}) = {\ frac {1} {r}}}

\ kappa (\ mathrm P) = \ frac {1} {r}

beregne, hvor $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ igen er cirkelens radius. I modsætning til andre matematiske kurver har cirklen den samme krumning på hvert punkt. Bortset fra cirklen har kun den lige linje en konstant krumning, med $\kappa =0$ ${\ displaystyle \ kappa = 0}$ $\ kappa = 0$ . For alle andre kurver er krumningen fra punktet $\mathrm {P}$ ${\ displaystyle \ mathrm {P}}$ $\ mathrm P$ afhængig.

Flere formler

Der henvises til i de følgende formler $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ sektorvinklen i radianer . Udpeget $\alpha '$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ $\ alpha '$ vinklen i grader , gælder konverteringen $\alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\alpha '$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ tfrac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}} \ alpha '}$ $\ alpha = \ tfrac {\ pi} {180 ^ {\ circ}} \ alpha '$ .

Formler for cirklen
Område af en cirkulær ring	$A=\pi (r_{a}^{2}-r_{i}^{2})$ ${\ displaystyle A = \ pi (r_ {a} ^ {2} -r_ {i} ^ {2})}$ $A = \ pi (r_a ^ 2-r_i ^ 2)$
Længden af en cirkelbue	$L_{B}=r\alpha$ ${\ displaystyle L_ {B} = r \ alpha}$ $L_B = r \ alfa$
Område cirkulær sektor	$A_{\mathrm {SK} }={\frac {r^{2}}{2}}\alpha$ ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {SK}} = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \ alpha}$ $A_ \ mathrm {SK} = \ frac {r ^ 2} {2} \ alpha$
Areal af et segment af en cirkel	$A_{\mathrm {SG} }={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\alpha -\sin \alpha \right)$ ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {SG}} = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \ cdot \ left (\ alpha - \ sin \ alpha \ right)}$ ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {SG}} = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \ cdot \ left (\ alpha - \ sin \ alpha \ right)}$
Længden af den cirkulære sener	$l_{\mathrm {KS} }=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}$ ${\ displaystyle l _ {\ mathrm {KS}} = 2r \ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}$ $l_ \ mathrm {KS} = 2r \ sin \ frac \ alpha 2$
Højde (cirkelsegment)	$h=r-r\cos {\frac {\alpha }{2}}$ ${\ displaystyle h = rr \ cos {\ frac {\ alpha} {2}}}$ $h = r-r \ cos \ frac \ alpha 2$

Område tilnærmelser

Siden cirkelnummeret $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ er et transcendent tal , er der ingen konstruktionsmetode med kompas og lineal, som man kan bestemme området præcist med. Derudover er transcendente tal også irrationelle , og har derfor $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ heller ingen endelig ekspansion af decimalfraktioner , hvorfor arealet af cirklen med en rationel radius heller ikke har nogen endelig ekspansion af decimalfraktioner. Af disse grunde er der udviklet forskellige tilnærmelsesmetoder til området og dermed også omkredsen af en cirkel den dag i dag. Nogle af tilnærmelsesmetoderne, såsom metoden forklaret i afsnittet Tilnærmelse ved hjælp af polygoner , kan give et vilkårligt præcist resultat ved at gentage dem flere gange.

Tilnærmelse med firkanter

En cirkel med en radius $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ bliver med en firkant af sidelængden $2r$ ${\ displaystyle 2r}$ $2r$ afgrænset. Det bliver en firkant med diagonalen $2r$ ${\ displaystyle 2r}$ $2r$ indskrevet. Arealet af den ydre firkant er $4r^{2}$ ${\ displaystyle 4r ^ {2}}$ $4r ^ 2$ , den af den indre ifølge den trekantede overfladeformel $2r^{2}$ ${\ displaystyle 2r ^ {2}}$ $2r ^ 2$ og middelværdien er således $3r^{2}$ ${\ displaystyle 3r ^ {2}}$ $3r ^ 2$ . Med denne tilnærmelse $3r^{2}$ ${\ displaystyle 3r ^ {2}}$ $3r ^ 2$ det cirkulære område bestemmes med en relativ fejl på mindre end 5%.

Tæller i et gitter

Die Kreisfläche lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihr viele kleine Quadrate unterlegt (z. B. mit Millimeterpapier ). Zählt man alle Quadrate, die vollständig innerhalb des Kreises liegen, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die den Kreis lediglich schneiden, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse ergibt eine Näherung für den Flächeninhalt des Kreises, deren Güte mit der Feinheit des Quadratrasters steigt.

Kreisflächen-Integration

Annäherung durch Integration

Man kann die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen zusammensetzen . Dazu verwendet man die Gleichungen

y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

y = \pm \sqrt{r^2 - x^2}

und

A_{K}=\pi r^{2}=\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x

A_{K}=\pi r^{2}=\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x

A_{K}=\pi r^{2}=\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x

.

Annäherung durch Vielecke

Annäherung an den Umkreis über ein Sechseck und ein Zwölfeck

Bei einer anderen Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist in den Kreis ein regelmäßiges Sechseck einzuzeichnen, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges Zwölfeck . Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort.

In jedem Sechseck sind die Seiten gleich lang wie der Umkreisradius. Die Seiten der folgenden Vielecke ergeben sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras jeweils aus den Seiten der vorhergehenden. Aus den Seiten lassen sich die Flächen der Vielecke durch Dreiecksflächen berechnung exakt bestimmen. Sie sind alle etwas kleiner als die Kreisfläche, der sie sich bei steigender Eckenzahl jedoch annähern.

Entsprechend kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis gezeichnet ist, dessen Seitenmitten also auf ihm liegen. Man erhält eine fallende Folge von Flächenmaßen, deren Grenzwert wiederum die Kreisfläche ist.

Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis

Symmetrie und Abbildungseigenschaften

Der Kreis ist eine geometrische Figur von sehr hoher Symmetrie . Jede Gerade durch seinen Mittelpunkt ist eine Symmetrieachse . Zudem ist der Kreis rotationssymmetrisch , dh, jede Drehung um den Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich selbst ab. In der Gruppentheorie werden die genannten Symmetrieeigenschaften des Kreises durch seine Symmetriegruppe charakterisiert. Formal ergibt sich dafür die orthogonale Gruppe $\mathrm {O} (2)$ $\mathrm {O} (2)$ $\mathrm O(2)$ , das ist die Gruppe der orthogonalen $2\times 2$ $2\times 2$ $2\times 2$ - Matrizen .

Alle Kreise mit dem gleichen Radius sind zueinander kongruent , lassen sich also durch Parallelverschiebungen aufeinander abbilden. Zwei beliebige Kreise sind zueinander ähnlich . Sie lassen sich stets durch eine zentrische Streckung und eine Parallelverschiebung aufeinander abbilden.

Kreiswinkel und Winkelsätze

Kreiswinkel : Der Umfangswinkel

\gamma

\gamma

\gamma

hängt nicht von der Lage des Punktes C auf dem Kreisbogen ab. Er ist halb so groß wie der Zentriwinkel

\varphi

\varphi

\varphi

und genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel

\delta

\delta

\delta

.

Halbkreis mit rechtwinkligen Dreiecken

Eine Kreissehne mit Endpunkten A und B teilt einen gegebenen Kreis in zwei Kreisbögen. Ein Winkel $\angle {\rm {ACB}}$ $\angle {\rm {ACB}}$ $\angle\rm ACB$ mit Scheitel C auf einem der Kreisbögen wird Umfangswinkel oder Peripheriewinkel genannt. Der Winkel $\angle {\rm {AMB}}$ $\angle {\rm {AMB}}$ $\angle {\rm {AMB}}$ mit Scheitel im Mittelpunkt M heißt Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel.

Im Spezialfall, dass die Sehne den Mittelpunkt enthält, also ein Durchmesser des Kreises ist, ist der Mittelpunktswinkel ein gestreckter Winkel mit 180°. In dieser Situation gilt eine grundlegende Aussage der Kreisgeometrie, der Satz von Thales: Er besagt, dass Umfangswinkel über einem Durchmesser stets rechte Winkel sind, also 90° betragen. Der Kreis um das rechtwinklige Dreieck wird in dieser Situation auch Thaleskreis genannt.

Auch im Fall einer beliebigen Kreissehne sind alle Umfangswinkel, die auf dem gleichen Kreisbogen liegen, gleich groß. Diese Aussage wird auch Umfangswinkelsatz genannt. Der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, heißt Fasskreisbogen. Liegen Umfangswinkel und Zentriwinkel auf der gleichen Seite der Sehne, dann ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel (Kreiswinkelsatz). Zwei Umfangswinkel, die auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergänzen einander zu 180°.

Der Umfangswinkel ist genauso groß wie der spitze Sehnentangentenwinkel zwischen der Sehne und der durch einen ihrer Endpunkte verlaufenden Tangente (Sehnentangentenwinkelsatz).

Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten

Für Kreise gilt der Sehnensatz , der besagt: Schneiden zwei Sehnen [AC] und [BD] einander in einem Punkt S, so gilt

{\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}},

{\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}},

\overline{\rm AS} \cdot \overline{\rm CS} = \overline{\rm BS} \cdot \overline{\rm DS},

dh, die Produkte der jeweiligen Sehnenabschnitte sind gleich.

Zwei Sehnen eines Kreises, die einander nicht schneiden, können verlängert werden zu Sekanten, die entweder parallel sind oder einander in einem Punkt S außerhalb des Kreises schneiden. Ist Letzteres der Fall, so gilt analog zum Sehnensatz der Sekantensatz

{\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}}.

{\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}}.

\overline{\rm AS} \cdot \overline{\rm CS}= \overline{\rm BS} \cdot \overline{\rm DS}.

Im Fall einer Sekante, die den Kreis in den Punkte A und C schneidet, und einer Tangente, die den Kreis im Punkt B berührt, gilt der Sekanten-Tangenten-Satz : Ist S der Schnittpunkt von Sekante und Tangente, so folgt

{\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}^{2}.

{\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}^{2}.

\overline {{\rm {AS}}}\cdot \overline {{\rm {CS}}}={\overline {{\rm {BS}}}}^{2}.

Umkreise und Inkreise

Sind A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, also ein nicht ausgeartetes Dreieck bilden, dann existiert ein eindeutig bestimmter Kreis durch diese Punkte, nämlich der Umkreis des Dreiecks ABC. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Ebenso kann jedem Dreieck ein eindeutig bestimmter Kreis einbeschrieben werden, der die drei Seiten berührt, dh, die Dreiecksseiten bilden Tangenten des Kreises. Dieser Kreis wird Inkreis des Dreiecks genannt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden .

In der Elementargeometrie werden noch weitere Kreise am Dreieck betrachtet: Die Ankreise liegen außerhalb des Dreiecks und berühren eine Seite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Ein weiterer interessanter Kreis am Dreieck ist der Feuerbachkreis , benannt nach Karl Wilhelm Feuerbach . Auf ihm liegen die drei Seitenmittelpunkte und die drei Fußpunkte der Höhen . Da auf ihm außerdem die drei Mittelpunkte der Strecken zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks liegen, wird der Feuerbachkreis auch Neunpunktekreis genannt. Sein Mittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt , der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden .

Im Gegensatz zu Dreiecken besitzen unregelmäßige Polygone (Vielecke) mit mehr als drei Ecken im Allgemeinen keinen Umkreis oder Inkreis. Für regelmäßige Polygone existieren beide, eingezeichnet oder nicht, allerdings stets. Ein Viereck , das einen Umkreis besitzt, wird Sehnenviereck genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen. Ein Viereck, das einen Inkreis besitzt, wird Tangentenviereck genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der Seitenlängen zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen Seitenlängen ist.

Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen

Die Kreisspiegelung, auch Inversion genannt, ist eine spezielle Abbildung der ebenen Geometrie, die eine „Spiegelung“ der euklidischen Ebene an einem gegebenen Kreis $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ mit Mittelpunkt ${\rm {M}}$ ${\rm {M}}$ $\rm M$ und Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ beschreibt. Ist ${\rm {P\neq M}}$ ${\rm {P\neq M}}$ $\rm P \neq M$ ein gegebener Punkt, dann ist sein Bildpunkt ${\rm {P'}}$ ${\rm {P'}}$ $\rm P'$ dadurch bestimmt, dass er auf der Halbgeraden ${\rm {MP}}$ ${\rm {MP}}$ $\rm MP$ liegt und sein Abstand von ${\rm {M}}$ ${\rm {M}}$ $\rm M$ die Gleichung

{\overline {\rm {MP}}}\cdot {\overline {\rm {MP'}}}=r^{2}

{\overline {\rm {MP}}}\cdot {\overline {\rm {MP'}}}=r^{2}

\overline{\rm MP} \cdot \overline{\rm MP'} = r^2

erfüllt. Die Kreisspiegelung bildet das Innere des gegebenen Kreises $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ auf sein Äußeres ab und umgekehrt. Alle Kreispunkte von $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ werden auf sich selbst abgebildet. Kreisspiegelungen sind winkeltreu , orientierungsumkehrend und kreistreu. Letzteres bedeutet, dass verallgemeinerte Kreise – das sind Kreise und Geraden – wieder auf verallgemeinerte Kreise abgebildet werden.

Die Hintereinanderausführung zweier Kreisspiegelungen ergibt eine Möbiustransformation. Möbiustransformationen – eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen der Ebene – sind daher ebenfalls winkeltreu und kreistreu, allerdings orientierungserhaltend.

Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen lassen sich besonders übersichtlich mit Hilfe komplexer Zahlen darstellen: Bei einer Kreisspiegelung eines Punktes $z\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}$ $z\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}$ $z\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}$ an dem Kreis $\{x\in \mathbb {C} :|x-z_{0}|=r\}$ $\{x\in \mathbb {C} :|x-z_{0}|=r\}$ $\{x\in \mathbb {C} :|x-z_{0}|=r\}$ lautet die Formel für den Bildpunkt $w\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}$ $w\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}$ $w\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}$

w=z_{0}+{\frac {r^{2}}{{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}}.

w=z_{0}+{\frac {r^{2}}{{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}}.

w = z_0 + \frac{r^2}{\bar z - \bar z_0}.

Für die Spiegelung am Einheitskreis gilt einfach $w=1/{\bar {z}}$ $w=1/{\bar {z}}$ $w = 1/ \bar z$ .

Möbiustransformationen der komplexen Ebene werden durch gebrochen lineare Funktionen der Gestalt

w={\frac {az+b}{cz+d}}

w={\frac {az+b}{cz+d}}

w = \frac{a z + b}{c z + d}

mit $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ und $ad\neq bc$ $ad\neq bc$ $ad \neq bc$ dargestellt.

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

In der Geometrie schlägt man Kreise mittels eines Zirkels .

Ein klassisches Problem der Geometrie ist die Konstruktion geometrischer Objekte mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Konstruktionsschritten aus einer gegebenen Punktemenge. In jedem Schritt dürfen dabei Geraden durch gegebene oder bereits konstruierte Punkte gezogen werden sowie Kreise um solche Punkte mit gegebenem oder bereits konstruiertem Radius gezogen werden. Die dadurch konstruierten Punkte ergeben sich als Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis. Naturgemäß spielen daher bei allen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Kreise eine wichtige Rolle.

Im Folgenden sollen exemplarisch einige Konstruktionen angesprochen werden, die im Zusammenhang mit der Geometrie von Kreisen von Bedeutung sind.

Thaleskreis

Der Thaleskreis über einer gegebenen Strecke

{\overline {\rm {AB}}}.

{\overline {\rm {AB}}}.

{\overline {\rm {AB}}}.

Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises durch Punkt

\mathrm {P}

\mathrm {P}

\mathrm{P}

an den Kreis

k .

{\displaystyle k.}

k.

Für die Konstruktion des Thaleskreises über einer gegebenen Strecke ${\overline {\rm {AB}}}$ ${\overline {\rm {AB}}}$ ${\overline {\rm {AB}}}$ wird zunächst der Mittelpunkt $\mathrm {M}$ $\mathrm {M}$ $\mathrm{M}$ dieser Strecke konstruiert, der auch der Mittelpunkt des Thaleskreises ist. Dazu werden um $\mathrm {A}$ $\mathrm {A}$ $\mathrm {A}$ und $\mathrm {B}$ $\mathrm {B}$ $\mathrm {B}$ jeweils zwei kurze Kreisbögen mit dem gleichen Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ geschlagen, wobei $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ so groß gewählt werden muss, dass die vier Kreisbögen sich in zwei Punkten $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ und $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ schneiden. Das ist z. B. für $r={\overline {\rm {AB}}}$ $r={\overline {\rm {AB}}}$ $r = \overline{\rm AB}$ der Fall. Die Strecke ${\overline {\rm {CD}}}$ ${\overline {\rm {CD}}}$ ${\overline {\rm {CD}}}$ schneidet dann ${\overline {\rm {AB}}}$ ${\overline {\rm {AB}}}$ ${\overline {\rm {AB}}}$ im Mittelpunkt $\mathrm {M}$ $\mathrm {M}$ $\mathrm{M}$ . Der gesuchte Thaleskreis ist nun der Kreis mit Mittelpunkt $\mathrm {M}$ $\mathrm {M}$ $\mathrm{M}$ und Radius ${\overline {\rm {AM}}}={\overline {\rm {MB}}}$ ${\overline {\rm {AM}}}={\overline {\rm {MB}}}$ $\overline{\rm AM} = \overline{\rm MB}$ .

Konstruktion von Tangenten

Gegeben sei ein Punkt $\mathrm {P}$ $\mathrm {P}$ $\mathrm{P}$ außerhalb eines Kreises $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ mit Mittelpunkt $\mathrm {M}$ $\mathrm {M}$ $\mathrm{M}$ und es sollen die beiden Tangenten an den Kreis konstruiert werden, die durch den Punkt $\mathrm {P}$ $\mathrm {P}$ $\mathrm{P}$ laufen. Diese elementare Konstruktionsaufgabe lässt sich einfach mit Hilfe des Satzes von Thales lösen: Man konstruiert den Thaleskreis mit der Strecke ${\overline {\rm {PM}}}$ ${\overline {\rm {PM}}}$ ${\overline {\rm {PM}}}$ als Durchmesser. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ sind dann die Berührpunkte der gesuchten Tangenten.

Flächenverdoppelung

Die Fläche des roten Kreises ist doppelt so groß wie die Fläche des kleinen, blauen Kreises.

Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt, wobei zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen liegen. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt. Dieses Verfahren funktioniert, da (nach dem Satz des Pythagoras )

R^{2}=r^{2}+r^{2}=2r^{2}

R^{2}=r^{2}+r^{2}=2r^{2}

R^2 = r^2+r^2 = 2 r^2

und damit der Flächeninhalt des großen Kreises

\pi R^{2}=2\pi r^{2}

\pi R^{2}=2\pi r^{2}

\pi R^2 = 2 \pi r^2

genau doppelt so groß ist wie der des kleinen Kreises.

Kreisteilung

Ein weiteres bereits in der Antike untersuchtes Konstruktionsproblem ist die Kreisteilung. Hierbei soll zu einer gegebenen natürlichen Zahl $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ einem gegebenen Kreis ein regelmäßiges $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -Eck einbeschrieben werden. Die auf dem Kreis gelegenen Eckpunkte teilen diesen dann in $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ gleich lange Kreisbögen. Diese Konstruktion ist nicht für alle $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ möglich: Mit Hilfe der algebraischen Theorie der Körpererweiterungen lässt sich zeigen, dass sie genau dann durchführbar ist, wenn $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ eine Primfaktorzerlegung der Form

n=2^{k}\cdot p_{1}\dotsm p_{m}

n=2^{k}\cdot p_{1}\dotsm p_{m}

n = 2^k \cdot p_1 \dotsm p_m

hat mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ $k\in \mathbb {N} _{0}$ $k \in \N_0$ und paarweise verschiedenen fermatschen Primzahlen $p_{1},\dots ,p_{m}$ $p_{1},\dots ,p_{m}$ $p_1,\dots,p_m$ , also Primzahlen der Form $2^{2^{r}}+1$ $2^{2^{r}}+1$ $2^{2^r}+1$ . Damit ist die Konstruktion also beispielsweise für $n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17$ ${\displaystyle n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17}$ $n = 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17$ möglich, jedoch nicht für z. B. $n=7,9,11,13,14$ ${\displaystyle n=7,9,11,13,14}$ $n=7,9,11,13,14$ . Carl Friedrich Gauß wies im Jahre 1796 nach, dass die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal möglich ist.

Kreisberechnung in der Analysis

In der modernen Analysis werden die trigonometrischen Funktionen und die Kreiszahl $\pi$ $\pi$ $\pi$ üblicherweise zunächst ohne Rückgriff auf die elementargeometrische Anschauung und auf spezielle Eigenschaften des Kreises definiert. So lassen sich etwa Sinus und Kosinus über ihre Darstellung als Potenzreihe definieren. Eine gängige Definition für den Wert von $\pi$ $\pi$ $\pi$ ist dann das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus.

Der Kreis als Kurve

In der Differentialgeometrie , einem Teilgebiet der Analysis, das geometrische Formen mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung untersucht, werden Kreise als spezielle Kurven angesehen. Diese Kurven lassen sich mit Hilfe der oben genannten Parameterdarstellung als Weg beschreiben. Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt eines Kreises mit Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ , dann ist durch die Funktion $f\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$ $f\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$ $f \colon [0, 2\pi] \to \R^2$ mit

f(t)={\begin{pmatrix}r\cos t\\r\sin t\end{pmatrix}}

f(t)={\begin{pmatrix}r\cos t\\r\sin t\end{pmatrix}}

f(t) = \begin{pmatrix} r \cos t \\ r \sin t \end{pmatrix}

eine solche Parametrisierung gegeben. Mit Hilfe der trigonometrischen Formel $\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$ $\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$ $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ folgt für die euklidische Norm der parametrisierten Punkte $|f(t)|=r$ ${\displaystyle |f(t)|=r}$ $|f(t)| = r$ , das heißt, sie liegen tatsächlich auf einem Kreis mit Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ . Da Sinus und Kosinus $2\pi$ $2\pi$ $2\pi$ - periodische Funktionen sind, entspricht das Definitionsintervall $[0,2\pi ]$ $[0,2\pi ]$ $[0,2\pi]$ von $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ genau einem Kreisumlauf.

Kreisumfang

Der Umfang des Kreises ergibt sich als Länge des Weges $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ durch Integration zu

U=L(f)=\int _{0}^{2\pi }|f'(t)|\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|{\begin{pmatrix}-r\sin t\\r\cos t\end{pmatrix}}\right|\,dt=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=r\int _{0}^{2\pi }1\,dt=2\pi r.

U=L(f)=\int _{0}^{2\pi }|f'(t)|\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|{\begin{pmatrix}-r\sin t\\r\cos t\end{pmatrix}}\right|\,dt=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=r\int _{0}^{2\pi }1\,dt=2\pi r.

U = L(f) = \int_0^{2\pi} |f'(t)| \, dt = \int_0^{2\pi} \left|\begin{pmatrix} -r \sin t \\ r \cos t \end{pmatrix}\right| \,dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 \sin^2 t + r^2\cos^2 t} \, dt = r \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2 \pi r.

Analog gilt für die Länge $s(t)$ ${\displaystyle s(t)}$ $s(t)$ des durch $f|_{[0,t]}$ $f|_{[0,t]}$ $f|_{[0,t]}$ gegebenen Teilkreisbogens $s(t)=rt$ ${\displaystyle s(t)=rt}$ $s(t) = r t$ . Dadurch erhält man als Parametrisierung des Kreises nach der Bogenlänge

{\hat {f}}(s)={\begin{pmatrix}r\cos(s/r)\\r\sin(s/r)\end{pmatrix}}

{\hat {f}}(s)={\begin{pmatrix}r\cos(s/r)\\r\sin(s/r)\end{pmatrix}}

\hat f(s) = \begin{pmatrix} r \cos (s/r) \\ r \sin(s/r)\end{pmatrix}

mit $s\in [0,2\pi r]$ $s\in [0,2\pi r]$ $s \in [0,2\pi r]$ .

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ der Kreisscheibe $K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}$ $K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}$ $K = \{(x,y) \in \R^2: x^2 + y^2 \leq r^2\}$ , also das Maß der Menge $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ , kann als (zweidimensionales) Integral

A=\int _{K}1\,d(x,y)

A=\int _{K}1\,d(x,y)

A = \int_K 1 \, d(x,y)

dargestellt werden. Um die etwas mühsame Berechnung dieses Integrals in kartesischen Koordinaten zu umgehen, ist es günstig, eine Transformation $x=\rho \cos \varphi$ $x=\rho \cos \varphi$ $x = \rho\cos\varphi$ , $y=\rho \sin \varphi$ $y=\rho \sin \varphi$ $y = \rho\sin\varphi$ auf Polarkoordinaten durchzuführen. Damit ergibt sich

A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d\varphi ={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\pi =\pi r^{2}.

A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d\varphi ={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\pi =\pi r^{2}.

A = \int_0^{2\pi} \int_0^r \rho \, d\rho \, d\varphi = \int_0^r \rho \, d\rho \cdot \int_0^{2\pi} d\varphi = \frac{1}{2}r^2 \cdot 2\pi = \pi r^2.

Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Kreisfläche besteht darin, die Sektorformel von Leibniz auf die Parameterdarstellung des Kreisrandes anzuwenden. Mit $x(t)=r\cos t$ $x(t)=r\cos t$ $x(t) = r \cos t$ , $y(t)=r\sin t$ $y(t)=r\sin t$ $y(t) = r \sin t$ erhält man damit ebenfalls

A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}r^{2}\int _{0}^{2\pi }dt=\pi r^{2}.

A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}r^{2}\int _{0}^{2\pi }dt=\pi r^{2}.

A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} x(t)y'(t) - x'(t)y(t)\, dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} r^2 \cos^2 t + r^2 \sin^2 t \, dt = \frac{1}{2} r^2 \int_0^{2\pi} dt = \pi r^2.

Krümmung

Für die oben hergeleitete Parametrisierung ${\hat {f}}(s)$ ${\hat {f}}(s)$ $\hat f(s)$ des Kreises nach seiner Bogenlänge ergibt sich

{\hat {f}}'(s)={\begin{pmatrix}-\sin {\frac {s}{r}}\\\cos {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\hat {f}}''(s)={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}}\\-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}.

{\hat {f}}'(s)={\begin{pmatrix}-\sin {\frac {s}{r}}\\\cos {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\hat {f}}''(s)={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}}\\-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}.

\hat{f}'(s) = \begin{pmatrix} -\sin \frac sr \\ \cos \frac sr\end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \hat{f}''(s) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{r}\cos \frac sr \\ -\frac{1}{r}\sin \frac sr\end{pmatrix}.

Für die Krümmung des Kreises erhält man daher

\kappa =|{\hat {f}}''(s)|={\sqrt {{\frac {1}{r^{2}}}\cos ^{2}{\frac {s}{r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\sin ^{2}{\frac {s}{r}}}}={\frac {1}{r}}.

\kappa =|{\hat {f}}''(s)|={\sqrt {{\frac {1}{r^{2}}}\cos ^{2}{\frac {s}{r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\sin ^{2}{\frac {s}{r}}}}={\frac {1}{r}}.

\kappa = |\hat{f}''(s)| = \sqrt{\frac{1}{r^2}\cos^2 \frac sr + \frac{1}{r^2}\sin^2 \frac sr} = \frac{1}{r}.

Die Krümmung des Kreises ist also konstant und der Krümmungsradius ${\tfrac {1}{\kappa }}=r$ ${\tfrac {1}{\kappa }}=r$ $\tfrac{1}{\kappa} = r$ ist gerade sein Radius.

In der Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine ebene Kurve bis auf Kongruenz durch ihre Krümmung eindeutig bestimmt ist. Die einzigen ebenen Kurven mit konstanter positiver Krümmung sind daher Kreisbögen. Im Grenzfall, dass die Krümmung konstant gleich 0 ist, ergeben sich Geradenstücke.

Isoperimetrisches Problem

Unter allen Flächen der euklidischen Ebene mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang. In der Ebene ist der Kreis daher die eindeutig bestimmte Lösung des sog. isoperimetrischen Problems. Obwohl diese anschaulich einleuchtende Tatsache schon den Mathematikern im antiken Griechenland bekannt war, wurden formale Beweise erst im 19. Jahrhundert erbracht. Da eine Kurve gesucht ist, die ein Funktional maximiert, nämlich den umschlossenen Flächeninhalt, handelt es sich dabei aus moderner Sicht um ein Problem der Variationsrechnung . Ein gängiger Beweis für stückweise stetige Kurven verwendet die Theorie der Fourierreihen . ^[17]

Verallgemeinerungen und verwandte Themen

Sphäre

Es ist möglich, den Kreis als Objekt der Ebene in den dreidimensionalen Raum zu verallgemeinern. Dann erhält man die Hülle einer Kugel . Dieses Objekt wird in der Mathematik Sphäre oder genauer 2-Sphäre genannt. Analog lässt sich die 2-Sphäre auf $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ Dimensionen zur $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -Sphäre verallgemeinern. In diesem Kontext nennt man den Kreis auch 1-Sphäre.

Kegelschnitte

Der Kreis als Kegelschnitt

In der ebenen Geometrie kann der Kreis als spezielle Ellipse aufgefasst werden, bei der die beiden Brennpunkte mit dem Kreismittelpunkt zusammenfallen. Beide Halbachsen sind dabei gleich dem Kreisradius. Der Kreis ist daher ein spezieller Kegelschnitt: Er entsteht als Schnitt eines geraden Kreis kegels mit einer Ebene senkrecht zu Kegelachse. Er ist damit ein Spezialfall einer zweidimensionalen Quadrik .

Hierbei ergibt sich eine weitere, äquivalente Definition für Kreise ( Kreis des Apollonios ): Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die der Quotient $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten konstant ist. Die beiden Punkte liegen auf einem von $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ ausgehenden Strahl im Abstand $r/q$ ${\displaystyle r/q}$ $r/q$ bzw. $r\cdot q$ $r\cdot q$ $r\cdot q$ und wechselseitig auf der Polaren des jeweils anderen Punktes als Pol. Ähnliche Definitionen gibt es auch für die Ellipse (konstante Summe), Hyperbel (konstante Differenz) und die Cassinische Kurve (konstantes Produkt der Abstände).

Kreise in der synthetischen Geometrie

In der synthetischen Geometrie können Kreise in bestimmten affinen Ebenen (zum Beispiel präeuklidischen Ebenen ) ohne einen Abstandsbegriff allein durch eine Orthogonalitätsrelation definiert werden, indem der Satz vom Umkreis (Mittellotensatz) zur Definition des Kreises verwendet wird. Dadurch kann dann ein schwächerer Begriff der „Abstands-“ oder „Längengleichheit“ von Punktepaaren $(A,B)$ ${\displaystyle (A,B)}$ $(A,B)$ in solchen Ebenen eingeführt werden. → Siehe dazu Präeuklidische Ebene .

Zeichnung im digitalen Raster

Für das Zeichnen von angenäherten Kreisen in einem Punktraster wurden mehrere Algorithmen entwickelt, siehe dazu Rasterung von Kreisen . Diese Verfahren sind insbesondere für die Computergrafik von Belang. Für die zweifarbige Rasterung von Kreisen reichen die Grundrechenarten aus.

Siehe auch

Literatur

Ilka Agricola , Thomas Friedrich : Elementargeometrie. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5 .
Christian Bär : Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0 .
Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1 .

Weblinks

Commons : Kreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Beweis der Transzendenz von e und π – im Beweisarchiv

Wiktionary: Kreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kreis. In: „Mathematische Basteleien“
Eric W. Weisstein : Circle . In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

↑ Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143.
↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3 , S. 143.
↑ Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 32–33.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 13.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 18.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 19–20.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 31–33.
↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie . 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3 , S. 145.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 49–50.
↑ ^a ^b In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath : The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91 ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat).
↑ Euklids Elemente . XII, § 2.
↑ Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
↑ Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 40–42.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 72–73.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 247–248.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 405–406.
↑ Hurwitz: Quelques applications geometriques des series de Fourier. Annales de l'Ecole Normale, Band 19, 1902, S. 357–408.
Der Beweis findet sich zum Beispiel in Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie. Band 1, Springer, 1924, S. 45.

[1] Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143.

[2] Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3 , S. 143.

[3] Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 32–33.

[4] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 13.

[5] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 18.

[6] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 19–20.

[7] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 31–33.

[8] Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie . 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3 , S. 145.

[9] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 49–50.

[Archimedes-10] In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath : The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91 ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat).

[11] Euklids Elemente . XII, § 2.

[12] Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.

[13] Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 40–42.

[14] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 72–73.

[15] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 247–248.

[16] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , S. 405–406.

[17] Hurwitz: Quelques applications geometriques des series de Fourier. Annales de l'Ecole Normale, Band 19, 1902, S. 357–408.
Der Beweis findet sich zum Beispiel in Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie. Band 1, Springer, 1924, S. 45.

[1], er

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]