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Leonhard Euler

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Leonhard Euler (Portræt af Jakob Emanuel Handmann , 1756) Eulers signatur.svg

Leonhard Euler ( latin Leonhardus Eulerus * 15. april 1707 i Basel , † 7. september . 18. / 18. september 1783 greg. I Sankt Petersborg ) var en schweizisk matematiker , fysiker , astronom , geograf , logiker og ingeniør .

Han gjorde vigtige og vidtrækkende opdagelser inden for mange grene af matematik, såsom beregning og grafteori . Samtidig leverede Euler fundamentale bidrag på andre områder såsom topologi og analytisk talteori . Han opfandt store dele af den matematiske terminologi og notation, der bruges på verdensplan den dag i dag. For eksempel introducerede Euler begrebet den matematiske funktion i analyse . Han er også kendt for sit arbejde inden for mekanik , fluiddynamik , optik , astronomi og musikteori .

Euler, der tilbragte det meste af sit liv i Sankt Petersborg og Berlin , var en af ​​de vigtigste matematikere i 1700 -tallet. Hans fremragende præstationer ebbede ikke ud efter hans blindhed i 1771 og blev allerede anerkendt af hans samtidige. I dag betragtes han som en af ​​de mest geniale og produktive matematikere nogensinde. Hans samlede skrifter, Opera omnia , omfatter indtil videre 76 bind - et matematisk værk, hvis omfang forbliver uovertruffen den dag i dag.

Til ære for Leonhard Euler fik to matematiske konstanter hans navn: Eulers nummer (Grundlaget for den naturlige logaritme ) og Euler-Mascheroni-konstanten fra talteori, som undertiden også kaldes Eulers konstant .

Leonhard Eulers arbejde inspirerede mange generationer af matematikere, herunder Pierre-Simon Laplace , Carl Gustav Jacobi og Carl Friedrich Gauß . Laplace siges at have sagt til sine elever: "Læs Euler, han er os alle herre!"

biografi

Barndom, ungdom og uddannelse

Leonhard Euler voksede op i præstegården i Riehen.
Leonhard Euler voksede op i præstegården i Riehen .

Euler var den ældste søn af pastor Paul III. Euler (1670–1745) og hans kone Margaretha Brucker (1677–1761), en pastors datter, blev født i Basel. Han havde to yngre søstre, Anna Maria og Maria Magdalena, og en yngre bror, Johann Heinrich. [1]

Leonhard Eulers far Paul var præst i landsbyens kirke Riehen .

Kort efter Leonhards fødsel flyttede familien Euler fra Basel til nabobyen Riehen , hvor Leonhard tilbragte det meste af sin barndom fra 1708 og fremefter. Det intellektuelle klima i sognets husstand var inspirerende: Eulers mor kom selv fra en uddannet familie, og faderen havde matematiske interesser og lyttede ikke kun til foredrag fra Jakob I Bernoulli , men skrev endda en matematisk afhandling i 1688. [2] Leonhard Euler gik på gymnasiet på Münsterplatz i Basel og modtog samtidig privatundervisning af teologen Johannes Burckhardt (1691–1743). Hans far havde arrangeret dette for ham, fordi matematiktimer på skolen var blevet aflyst. Det anses også for at være sikkert, at den unge Euler med succes studerede bogen " Behend und Nettschlich" af Christoph Rudolff (1499–1545) gennem de kunstfærdige regler for algebre, som almindeligvis kaldes Coß . [3] Den matematikglade far var venner med Bernoullis og især Europas førende matematiker Johann I Bernoulli , som senere ville få stor indflydelse på den unge Leonhard.

I 1720, som 13 -årig, tilmeldte han sig universitetet i Basel . Efter anmodning fra sin far, der havde planlagt en pastoralkarriere for sin søn, begyndte Euler at studere teologi såvel som det græske og hebraiske sprog. Han modtog sin kandidatgrad tre år senere. I den afhandlede afhandling sammenlignede han filosofierne i Descartes og Newton . I mellemtiden havde han taget ugentlige lektioner fra Johann Bernoulli, som genkendte og begyndte at promovere sin nye elevs ekstraordinære talent for matematik. [4] Bernoulli overbeviste derefter Paul Euler om, at Leonhard bedre ville henvende sig til matematik og fysik.

I 1726 gennemførte Euler endnu en afhandling med titlen De Sono , et arbejde om lydformidling . [5] I 1727 tog han først i konkurrencen om Paris Academy Award -delen, hvor det var nødvendigt at løse problemet med optimal placering af master. Hvert år udarbejdede Paris Akademi en tildelingsrapport, og rapporterne blev derefter offentliggjort i sine præmiebøger Pièces qui ont remporté le prix de l'académie royale des sciences de Paris (værker, der vandt prisen fra Royal Academy of Sciences i Paris). [6] Eulers indsendte arbejde tog kun tredjepladsen, men løste et problem. [6] Konkurrencen blev vundet af Pierre Bouguer , der senere blev kendt som "skibsbygningens far". Senere kunne Euler vinde konkurrencen i i alt tolv tilfælde. [7] Fra den første indkaldelse i 1720 til den største del af det attende århundrede blev Prix de Paris betragtet som den vigtigste videnskabelige pris i Europa. [6]

Tid i Sankt Petersborg

Omkring dette tidspunkt arbejdede Johann Bernoullis to sønner, Daniel og Nikolaus , på Imperial Russian Academy of Sciences i Sankt Petersborg . Den 31. juli 1726 døde Nicholas af blindtarmsbetændelse. [8] Da Daniel overtog sin brors stilling i matematik / fysikafdelingen, anbefalede han sin ven Euler at besætte den stilling, han havde fraflyttet inden for fysiologi . I november 1726 accepterede Euler tilbuddet, men forsinkede turen til Sankt Petersborg, mens han uden held ansøgte om et professorat i fysik ved universitetet i Basel. [8.]

Daniel Bernoulli

Euler ankom til Sankt Petersborg den 17. maj 1727. Han blev forfremmet fra sin juniorstilling i Akademiets medicinske afdeling til en stilling i matematikafdelingen. I løbet af denne tid boede han sammen med Daniel Bernoulli, som han ofte arbejdede tæt sammen med. Euler var allerede flydende russisk efter et kort ophold og bosatte sig i Sankt Petersborg. [9] Nogle kilder (primært ældre sekundære værker) hævder, at han blev læge i den russiske flåde (på grundlag af en præmie fra Paris Academy for skibsmaster og fysiologikurser ). Der er imidlertid ingen registrering af dette. [10]

Akademiet, der blev grundlagt af Peter den Store i Sankt Petersborg, skulle forbedre uddannelsen i Rusland og indhente det videnskabelige forspring i Vesteuropa. Til dette formål blev det gjort særligt attraktivt for udenlandske forskere som Euler. Akademiet havde rigelige økonomiske ressourcer og et omfattende bibliotek, der stammede fra Peters biblioteker og adelen. For at aflaste fakultetets undervisningsaktiviteter var der meget få studerende på akademiet. Akademiet lagde øget vægt på forskning og tilbød sine medlemmer både tid og frihed til at forfølge videnskabelige spørgsmål.[11]

Catherine I , der havde fortsat sin afdøde mands progressive politik og støttet Akademiet, døde på dagen for Eulers ankomst. Med fremkomsten af ​​den tolvårige Peter II fik den russiske adel indflydelse. Aristokratiet, der modsatte sig akademiets udenlandske akademikere, skar ned på finansieringen og forårsagede stigende vanskeligheder for Euler og hans kolleger.[11]

Efter Peter IIs død forbedrede betingelserne for videnskab lidt. Takket være hans præstationer rejste Euler sig hurtigt og blev udnævnt til professor i fysik i 1731. To år senere rejste Daniel Bernoulli, der ikke længere kunne udholde censuren og fjendtlighederne i Sankt Petersborg, til Basel. Euler tog til sidst professoratet for matematik som sin efterfølger i 1733. [12]

Den 7. januar 1734 blev han gift med Katharina Gsell (1707–1773), en datter af maleren Georg Gsell fra hans første ægteskab med Marie Gertrud van Loen. [13] Det unge par købte et hus på Neva . Af hendes 13 børn overlevede kun fem barndommen. [14] Charlotte Anna Wilhelmine (* 1773; † 1831), der var barnebarn af sønnen Johann Albrecht (* 1734; † 1800), var gift med Jakob Bernoulli (* 1759; † 1789) uden børn. [15]

Ifølge Eulers egen vurdering havde Petersborg -årene modnet ham til en stærk videnskabsmand. Dette fremgår af forskellige overlevende breve fra hans tid i Berlin. [16]

Tid i Berlin

Bekymret over den igangværende politiske uro og magtkampe som følge af Tsarina Anna I 's død i Rusland forlod Euler Sankt Petersborg den 19. juni 1741 for at påtage sig en stilling ved Royal Prussian Academy of Sciences i Berlin , som blev givet til ham af Frederik II. var blevet tilbudt af Preussen. Euler korresponderede der med Christian Goldbach og sammenlignede sine teorier med sine egne.

Desuden blev Euler bedt om at tjene som underviser for Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt , Friedrichs anden fætter. I begyndelsen af ​​1760'erne skrev Euler over 200 breve til hende, som senere blev samlet til en bog med titlen Breve til en tysk prinsesse om forskellige emner fra fysik og filosofi . [17] Dette værk indeholdt Eulers bemærkninger om forskellige emner inden for fysik og matematik og gav værdifuld indsigt i hans personlighed og religiøse overbevisning. Bogen blev mere populær end nogen af ​​hans matematiske værker og udkom i hele Europa ogUSA . Populariteten af ​​"Breve" vidner om Eulers evne til effektivt at formidle videnskabelige emner til lægfolk, noget der blev anset for sjældent blandt engagerede forskere. [18]

Portræt af Leonhard Euler ( Jakob Emanuel Handmann 1753). Det betændte højre øje kan ses.

Eulers syn forværredes i løbet af hans matematiske karriere. I 1738, tre år efter at han var kritisk syg i mellemtiden (det er ikke muligt at skelne fra Eulers læge på det tidspunkt [19] ), blev han næsten fuldstændig blind på sit højre øje. Euler bebrejdede dog det hårde arbejde med kartografi for Sankt Petersborg Akademi for dette. Hans syn i dette øje forværredes så meget under sit ophold i Tyskland, at Friedrich snart omtalte ham som "mine Cyclops ". [20] Euler kommenterede sit tab af syn: "Nu vil jeg have mindre distraktion". [21]

Friedrich II (portræt af Anton Graff , 1781) betragtes som en stor reformator.

På trods af Eulers enorme bidrag til akademiets ry, kom han i skænderi med Friedrich. Den preussiske konge havde en stor kreds af intellektuelle ved sit hof. Han fandt imidlertid matematikeren uopdyrket og dårligt informeret om ting ud over tal og værdier. I et brev til sin bror August Wilhelm skrev Friedrich:

“Kæreste bror! Jeg begyndte at tro, at din samtale med Herr Euler ikke ville opbygge dig. Hans epigrammer består i beregning af nye kurver, nogle keglesnit eller astronomiske målinger. Blandt de lærde er der enorme regnemaskiner, kommentatorer, oversættere og kompilatorer, der er nyttige i videnskabsrepublikken, men ellers alt andet end genial. De bruges som de doriske søjler i arkitekturen. De hører hjemme på den nederste etage som bærer af hele bygningen og de korintiske søjler, der danner dens udsmykning. "

- Friedrich II .: Oktober 1746 [22]

Som en simpel, from mand, der aldrig satte spørgsmålstegn ved den eksisterende sociale orden eller konventionelle overbevisninger, var Euler på mange måder det stik modsatte af Voltaire , der havde en høj prioritet ved Friedrichs hof. Euler var ikke en dygtig taler og gjorde det ofte til hans opgave at diskutere emner, han ikke vidste meget om, hvilket gjorde ham til genstand for latterliggørelse fra Voltaires side. [23] I striden mellem Pierre Maupertuis og Voltaire, kaldet akademistriden , var Euler en af ​​de få på Maupertuis side, sammen med Friedrich II. [24]

Friedrich havde ringe forståelse for Eulers måde at arbejde og udtrykke sig på. Blandt andet kunne Eulers forsøg på at behandle musik på grundlag af matematik kun fremkalde ondsindede bemærkninger fra Friedrich. [25] Han udtrykte også skuffelse over Eulers praktiske færdigheder som ingeniør :

«Je voulus faire un jet d'eau en mon Jardin; le Ciclope Euler calcula l'éffort des roues, pour faire monter l'eau dans un bassin, d'ou elle devoit retomber par des canaux, afin de jaillir à Sans-Souci. Mon Moulin a été éxécuté géométriquement, et il n'a pu élever une goutte d'eau à Cinquante pas du Bassin. Vanité des Vanités! Vanité de la géométrie. »

”Jeg ville have bygget et springvand i min have. Cyclops Euler beregnede hjulkræfterne, gennem hvilke vandet skulle stige i et bassin, derfra falde ned igen, strømme gennem kanaler og hoppe i Sanssouci . Min vandkunst var matematisk lagt op og kunne ikke løfte et fald halvtreds skridt i luften. O forfængelighed! O forfængelighed af geometri! "

- Frederik II : Til Voltaire 25. januar 1778 [26] [27]

Ifølge fysikeren Michael Eckert skyldes fejlen i byggeprojektet ikke Eulers beregningsfejl, men derimod byggemateriale af dårlig kvalitet. [28]

Årsagen til den sidste pause mellem Euler og Friedrich er imidlertid monarkens afslag på at udnævne Euler som hans efterfølger til posten som præsident for akademiet efter Pierre Maupertuis død. I stedet favoriserede Frederick den franske matematiker Jean-Baptiste le Rond d'Alembert . Da sidstnævnte ikke accepterede stillingen og i stedet foreslog Euler, ignorerede Friedrich dette. Som svar indsendte Euler en anmodning om afskedigelse, men hans anmodning mislykkedes. Friedrich lod ham kun gå efter et andet forsøg. [29] Kort efter Eulers afgang udnævnte Friedrich matematikeren Joseph-Louis Lagrange , med hvem Euler havde arbejdet med udviklingen af beregningen af ​​variationer , som præsident. [30]

Euler boede i Berlin i alt 25 år, hvor han skrev over 380 artikler. I Berlin udgav han to af hans mest kendte værker: Introductio in analysin infinitorum , en tekst udgivet i 1748 om funktioner og værket Institutiones calculi differentialis , [31], der omhandler differentialregning og blev udgivet i 1755. I 1755 blev han også valgt som udenlandsk medlem af Royal Swedish Academy of Sciences .

Tilbage til Sankt Petersborg og døden

Catherine II gav Euler en fantastisk modtagelse i Sankt Petersborg.

I 1760, da syvårskrigen var i gang, blev Eulers domstol i Charlottenburg plyndret af de fremrykkende russiske tropper. Da general Ivan Petrovich Saltykov fandt ud af om hændelsen, betalte han erstatning til Euler for sin tabte ejendom, hvor kejserinde Elizabeth fra Rusland senere tilføjede endnu en betaling på 4.000 rubler - et enormt beløb dengang. [32] Den politiske situation i Rusland stabiliserede sig efter Katarina den Stores tiltrædelse, så Euler i 1766 tog imod en invitation til at vende tilbage til Skt. Petersborg Akademiet. Euler satte betingelser: en årsløn på 3.000 rubler, pension til sin kone og et løfte om at udpege sine sønner til høje stillinger. Alle disse anmodninger blev imødekommet. [33] Han ville tilbringe resten af ​​sit liv i Rusland.

I 1771 blev han fuldstændig blind. En grå stær havde udviklet sig i hans venstre øje, som blev opdaget i 1766. Gendannelsen af ​​hans syn gennem operation på venstre øje forbedrede midlertidigt hans syn. Imidlertid blev han i oktober næsten helt blind for en komplikation, muligvis en infektion, og havde lejlighedsvis smerter. [34] Han var dengang 59 år gammel. Imidlertid syntes hans tilstand at have ringe effekt på hans produktivitet, da han kompenserede for meget med sine hovedregner og sin ekstraordinære hukommelse. Ved hjælp af sine skriftkloge kunne Euler endda øge sin publikationsrate. [35] Eulers havde et dobbelt navn, Euler-Schölpi, som stammer fra "schelb" og "crooked" og står for skæve eller skæve øjne. [36] Dette tyder på, at Eulers alle kan have haft en modtagelighed for øjenproblemer. [37]

På trods af at han var blind, blev næsten halvdelen af ​​hans livsværk skabt i anden gang i Petersborg. Han modtog hjælp fra sine sønner Johann Albrecht , Karl og Christoph og fra sin sekretær Nikolaus Fuss . [38] På trods af sin akademiske produktivitet blev han aldrig præsident for universitetet. Eulers forhold til direktøren for Petersborgakademiet, Vladimir Grigoryevich Orlov , der tiltrådte stillingen som 23 -årig, viste sig igen at være vanskelig. Euler trak sig hurtigt tilbage fra sine officielle akademiske pligter ved Petersborgakademiet, hvilket gav ham mere frihed til sit akademiske arbejde. [39]

Udover hans blindhed var hans andet ophold i Rusland også præget af andre afgørende begivenheder. En brand i Sankt Petersborg i 1771 kostede ham hans hjem og næsten hans liv. Hans bibliotek og møbler blev blandt andet offer for flammerne, men Vladimir Orlovs hurtige svar reddede mange manuskripter. Et tab var et arbejde med måneteori, der skulle have været udgivet af Paris Academy i 1772. Johann Albrecht Euler måtte derefter omskrive det ord for ord. [40] I 1773 døde hans første kone Katharina. [41] Tabet gjorde hjemmelivet ekstremt svært, da Katharina havde drevet hele husstanden. Euler var fast besluttet på at forblive uafhængig og ikke stole på sine sønner, selvom det dengang var ret almindeligt, at en ældre forælder boede sammen med børnene og var under deres omsorg. [41] Som i den første Sankt Petersborg periode arbejdede han i Kunstkammer .

Eulers grav på kirkegården i Alexander Nevsky -klosteret i Sankt Petersborg

Tre år efter sin kones død giftede Euler sig med sin halvsøster Salome Abigail Gsell (1723–1794), datter af Georg Gsell og hans tredje kone Maria Dorothea Gsell , [42] datter af Maria Sibylla Merian . Dette ægteskab varede indtil hans død. I 1782 blev han valgt til et æresmedlemmeligt udenlandsk medlem afAmerican Academy of Arts and Sciences . [43]

Den 18. september 1783 (i den gregorianske kalender ) efter frokost i Sankt Petersborg diskuterede Euler den nyopdagede planet Uranus og dens bane efter frokost med sin familie og kollega Anders Johan Lexell, da den kollapsede som følge af en hjerneblødning . Et par timer senere, omkring klokken elleve den nat, døde han. [44] Jacob von Staehlin skrev en kort nekrolog for Russian Academy of Sciences, og Nikolaus Fuss holdt en mere detaljeret lovtale på et mindemøde. I betragtning af Eulers bortgang skrev Marquis de Condorcet :

"[...] han stoppede med at regne og leve."

- Marquis de Condorcet [45]

Euler blev begravet ved siden af ​​sin kone på den lutherske Smolensk kirkegård på Vasilyevsky -øen i Sankt Petersborg. Det russiske videnskabsakademi lagde en sten på graven i 1837. I 1956, til minde om 250 -året for Eulers fødselsdag, blev gravstenen begravet igen sammen med hans rester i nekropolen på Lazarus -kirkegården i Alexander Nevsky -klosteret .

Titelside for «Eulogy to Mr. Leonhard Euler» 1783

Eulers banebrydende resultater på mange områder var allerede kendt for hans samtidige. Han blev fejret som "inkarnat analyse" og "alle matematikers sol". [47] I sin detaljerede lovtale understregede Nikolas Fuss Eulers indflydelse på videnskaben:

”Dette er Eulers bidrag til oplysning af hans alder, det er hans værker, der er udødelige værdige. Hans navn, som eftertiden vil forbinde med Galileos, Descartes, Leibnitz, Newtons og så mange andre stormænd, der har hædret menneskeheden gennem deres geni, kan kun slukkes med videnskaberne. [...] Få forskere har skrevet så meget som Euler, intet geometer dækkede så mange objekter på én gang, ingen spredte så meget lys over alle dele af matematikken. "

Denne nekrolog er en af ​​de mest berømte, der er kommet ned fra videnskabens historie. Den originale version blev skrevet på fransk og blev læst den 23. oktober 1783 (gregoriansk: 3. november) på Det kejserlige videnskabsakademi i Sankt Petersborg . [49]

Efter oktoberrevolutionen i 1917 vendte nogle af hans efterkommere tilbage til Schweiz fra Rusland, herunder forældrene til den senere nationale rådmand Alexander Euler (1929–2012). [50]

Videnskabeligt arbejde

Eulers forskning var meget forskelligartet. Han arbejdede inden for næsten alle områder af matematik og betragtes som en af ​​de mest produktive matematikere i historien. [51] [52] [53] Blandt andet udgav han om geometri , beregning , trigonometri , algebra og talteori samt kontinuummekanik , måneteori og andre fysikområder. Hans samlede værker af Opera omnia omfatter 74 bind. [54] I alt 866 publikationer af ham kendes. [55] Hans forfatterskab omfatter en anslået en tredjedel af hele kroppen af matematisk, fysisk og mekanisk forskning inden for de sidste tre fjerdedele af det 18. århundrede. [56] Eulers navn er forbundet med et stort antal resultater og videnskabelige emner.

To matematiske konstanter er opkaldt efter Leonhard Euler: Eulers nummer fra analyse og Euler-Mascheroni-konstanten γ (gamma) fra talteori, som nogle gange bare omtales som Eulers konstant og er omtrent lig med 0,57721.

Hans matematiske arbejde inspirerede mange generationer af matematikere. Blandt andet påvirkede han Pierre-Simon Laplace , Joseph-Louis Lagrange , Carl Friedrich Gauß , Carl Gustav Jacobi , Niels Henrik Abel , Évariste Galois , Karl Weierstraß og Bernhard Riemann . [57] [58]

Matematiske notationer

Euler introducerede flere notationskonventioner i sine mange lærebøger. På grund af den udbredte brug af bøgerne blev mange af hans notationer fast etableret. Han introducerede begrebet den matematiske funktion [59] og var den første til at skrive f (x) for at betegne den funktion f , der anvendes på argumentet x . Notationerne for de trigonometriske funktioner , bogstavet e for basen af den naturlige logaritme , det græske bogstav Σ ( sigma ) for summer og bogstavet i for betegnelsen af ​​den imaginære enhed stammer også fra ham. [60] Brugen af ​​det græske bogstav π til at angive forholdet mellem omkreds og diameter ( cirkelnummer ) blev også populær af Euler, selvom det oprindeligt går tilbage til den walisiske matematiker William Jones . [61]

Analyse

Euler kan ses som en af ​​grundlæggerne af analysen . På grund af fortsat forskning steg beregningen i det 18. århundrede. Især var Eulers venner, Bernoullis, ansvarlige for meget af de tidlige fremskridt på dette område. Takket være deres indflydelse blev studiet af calculus hovedfokus for Eulers arbejde.

Frem for alt var hans bevis på Taylor -serien af den eksponentielle funktion banebrydende

samt hans løsning på det såkaldte Basel-problem :

Geometrisk fortolkning af Eulers formel baseret på enhedscirklen .

Euler brugte først den eksponentielle funktion og logaritmer i analytiske beviser og definerede dem med succes for komplekse tal . Dette udvidede deres anvendelsesområde betydeligt. [60] Med dette fandt han det tætte forhold til de trigonometriske funktioner. For ethvert reelt tal (i radianer ) siger Eulers formel, at den komplekse eksponentielle funktion er ligningen

Opfylder. Et specielt tilfælde af ovenstående formel kaldes Eulers identitet

berømt.

Talteori

Eulers Interesse an der Zahlentheorie lässt sich auf den Einfluss von Christian Goldbach , einem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von Pierre de Fermat . Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.

Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert . Dabei fand er die Verbindung zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als Euler-Produktformel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt. Er verwendete analytische Methoden, um ein gewisses Verständnis für die Verteilung der Primzahlen zu gewinnen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des Primzahlsatzes . [62]

Euler bewies den kleinen fermatschen Satz , Fermats Satz über die Summe zweier Quadrate , und er leistete wichtige Beiträge zu Lagranges Vier-Quadrate-Satz . Er führte auch die Eulersche Phi-Funktion ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als Satz von Euler bekannt ist. Er trug wesentlich zur Theorie der vollkommenen Zahlen bei, die die Mathematiker seit Euklid fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und Mersenne-Primzahlen sogar eins zu eins ist, ein Ergebnis, das als Euklid-Euler-Satz bekannt ist. Euler vermutete auch das Gesetz der quadratischen Reziprozität , das später durch Carl Friedrich Gauß bewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie. 1772 hatte Euler bewiesen, dass 2.147.483.647 eine Mersenne-Primzahl ist. Sie galt bis 1867 als die grösste gefundene Primzahl. [63]

Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu Eulersche Zahlen (Begriffsklärung) .

Angewandte Mathematik

Zu Eulers grössten Erfolgen gehören analytische Lösungen praktischer Probleme und die Beschreibung zahlreicher Anwendungen der Bernoulli-Zahlen , Fourier-Reihen , Euler-Zahlen , der Konstanten e und π , der Kettenbrüche und Integrale . Er integrierte die Differentialrechnung von Leibniz mit der Method of Fluxions (Newtons Beschreibung der Ableitung ) und entwickelte Techniken, die die Anwendung der Mathematik auf physikalische Probleme erleichterten. Er machte grosse Fortschritte bei der Verbesserung der numerischen Approximation von Integralen. Die bemerkenswertesten dieser Annäherungen sind das explizite Euler-Verfahren und die Euler-Maclaurin-Formel . Er erkannte den Nutzen von Differentialgleichungen und führte die Euler-Mascheroni-Konstante ein:

die ua beim Zipfschen Gesetz , aber auch in zahlreichen weiteren Feldern, eine Rolle spielt. In anderen Arbeiten setzte Euler sich mit der Anwendung mathematischer Methoden in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften auseinander (zum Beispiel Bevölkerungswachstum, [64] Rentenrechnung , Lotterien , [65] Lebenserwartung und Lebensversicherung [66] ). Wegen seiner Beiträge zur Populationsdynamik ist die Euler-Lotka-Gleichung zum Teil nach ihm benannt.

Graphentheorie und Topologie

Karte von Königsberg zur Zeit Eulers: zu sehen sind die Grundrisse der Sieben Königsberger Brücken und der Fluss Pregel. Die Brücken sind mit Farbe hervorgehoben.

Im Jahr 1735 [67] (1736 erschienen und 1741 veröffentlicht) [68] mit der Arbeit Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis [69] präsentierte Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem . Die Stadt Königsberg in Preussen lag am Fluss Pregel und umfasste zwei grosse Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, da es keinen Eulerkreis für diesen Graphen gibt. Diese Lösung Eulers gilt als der erste Satz der Graphentheorie , insbesondere der planaren Graphentheorie . [70]

Euler entdeckte die Formel bezüglich Anzahl der Ecken ( E ), Kanten ( K ) und Flächen ( F ) eines konvexen Polyeders , [71] eines planaren Graphen. Die Konstante in dieser Formel wird heute als Euler-Charakteristik des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen Geschlecht des Objekts direkt in Zusammenhang. [72] Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch Cauchy [73] und L'Huilier , [74] markierte den Beginn der Topologie . [75]

Logik

Euler wird die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der syllogistischen Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden. In den Briefen an eine deutsche Prinzessin 101 bis 108, die im Februar und März 1761 verfasst wurden, stellte Euler die heute als Venn-Diagramme bezeichneten Diagramme vor, obwohl das eine falsche Bezeichnung ist. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass Johann Heinrich Lambert sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen Propositionen zu erklären. [76]

Physik und Astronomie

Euler hat sich in sehr vielen klassischen Gebieten der Physik verdient gemacht.

In Schriften wie Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736) und Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) wandte Euler die Mathematik auf Fragen der Physik an. Am 3. September 1750 las er vor der Berliner Akademie der Wissenschaften ein Mémoire, in dem er das Prinzip «Kraft gleich Masse mal Beschleunigung» im Kontext der «Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation» als eigene und neue Entdeckung vorstellte. [77]

Im Jahr 1757 veröffentlichte er wichtige Gleichungen, die den Fluss reibungsfreier elastischer Fluide beschreiben. Diese sind heute als Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik bekannt. Ausserdem arbeitete Leonhard Euler in der Mechanik auf den Gebieten der Turbinengleichung und der Kreiseltheorie ( Eulersche Kreiselgleichungen ).

Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft belasteten Stabes geht auf Euler zurück; er begründete damit die Stabilitätstheorie . Er half bei der Entwicklung der Euler-Bernoulli-Balkengleichung , die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde. Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der Astronomie an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern , das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der Sonnenparallaxe . [78] Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser Längengradtabellen bei. [79]

In der Optik veröffentlichte er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern . Er widersprach Newtons Korpuskeltheorie des Lichts, die damals vorherrschend war, in den Opticks . [80] Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er-Jahren trugen dazu bei, dass die von Christiaan Huygens vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde [81] , zumindest bis zur Entwicklung der Quantentheorie des Lichts. [82]

1745 übersetzte Euler das Werk New principles of gunnery des Engländers Benjamin Robins ins Deutsche, wobei er dessen Umfang stark erweiterte. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe «das erste Lehrbuch der Ballistik» geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren. [83]

Weniger bekannt sind seine Arbeiten zum Stabilitätskriterium von Schiffen, in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von Archimedes erneuerte. [84]

Mathematische Musiktheorie

Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa 30 000 Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat. [85] Einer seiner Schwerpunkte war die Zuordnung eines «Grades der Lieblichkeit» zu Mehrklängen wie musikalischen Intervallen oder auch Akkorden wie Dreiklängen. Dieser kann abstrakt als zahlentheoretische Funktion aufgefasst werden und impliziert mit steigenden Werten eine erhöhte Komplexität (also fallende Annehmlichkeit) des Klangs. [86]

Populäre Darstellungen und Themen

Besondere Bedeutung in der breiten Öffentlichkeit erlangte seine populärwissenschaftliche Schrift Lettres à une princesse d'Allemagne von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt , eine Nichte Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelt. [87] Darüber hinaus widmete er sich Aufgaben der Schachmathematik , zum Beispiel dem Springerproblem . [88] Er ist der Erfinder des lateinischen Quadrats , einer Vorform des Sudoku . [89]

Überzeugungen gegenüber Philosophie und Religion

Euler und sein Freund Daniel Bernoulli lehnten beide die Monadologie von Leibniz und die Philosophie von Christian Wolff ab. [90] Euler war davon überzeugt, dass Wissen (zumindest in Teilen) auf präzisen quantitativen Gesetzen beruht, etwas, was die Monadologie und die Wolffsche Wissenschaft nicht zu leisten vermochten. Eulers religiöse Neigungen könnten einen Einfluss auf seine Abneigung gegen diese Lehre gehabt haben; er ging sogar so weit, Wolffs Ideen als « heidnisch und atheistisch » zu bezeichnen. [91] Eine religiöse Überzeugung im Sinne des reformierten Glaubens wurde auch in seiner Grabrede betont. [92] Dies macht verständlich, dass er und der Aufklärer Voltaire , zeitgleich am preussischen Hof, keinen Konsens bezüglich Weltanschauung fanden.

In einem Brief vom August 1736 an den Danziger Mathematiker Karl Leonhard Gottlieb Ehler begann Euler, der wissenschaftliche Streitigkeiten meist vermied, vorsichtig mit der Kritik an Christian Wolffs Philosophia prima sive ontologia (1729), Cosmologia generalis (1731) und der «Theorie der positiven und negativen Unendlichkeit», die in der letzten Ausgabe von Elementa matheseos universae (1710) gegeben wurde. [93] Er akzeptierte nicht die Art und Weise, wie Wolff bei Verwendung der Regel von L'Hospital den Ausdruck interpretierte. Er stimmte zwar mit Leibniz und Wolff darin überein, dass infinitesimale Grössen «absolute Nullen» sind (diese Anschauung Eulers war ein Resultat von dessen «Nullenrechnung» [94] ), aber er war formal der Auffassung, dass das Verhältnis nur in besonderen Situationen eine feste «endliche Zahl» darstellt. Michael Segre zeigt, dass Euler dieses Problem später in seiner Institutiones calculi differentialis (1755) über die Schlussfolgerung und damit aufgriff. [95]

Vieles von dem, was über Eulers religiöse Überzeugungen bekannt ist, lässt sich aus seinen Briefen an eine deutsche Prinzessin und einem früheren Werk, der Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister , ableiten. Diese Werke zeigen, dass Euler ein gläubiger Christ war, der die Bibel als wegweisend empfand; die Rettung war in erster Linie ein Argument für die göttliche Verbalinspiration . [96] Euler war in aktiven Funktionen in der reformierten Gemeinde tätig. [97]

Es gibt eine berühmte Anekdote , [98] die von Eulers Auseinandersetzungen mit säkularen Philosophen über Religion inspiriert wurde und die während Eulers zweiter Amtszeit an der Sankt Petersburger Akademie spielt. In dieser soll Euler gegenüber Denis Diderot als Gottesbeweis die non sequitur : «Mein Herr! , also existiert Gott. Antworten Sie mir!» vorgebracht haben, woraufhin dieser nichts erwidern konnte und Russland gedemütigt verliess. Die Anekdote ist apokryph , da Diderot selbst in der Mathematik forschte. [99] Die Legende wurde offenbar zuerst von Dieudonné Thiébault erzählt (in seinem Buch Mes souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin im Jahr 1801 [98] ), mit weiteren starken Verzierungen durch Augustus De Morgan . [100] [101] Dies geschah möglicherweise, um die religiösen Überzeugungen Eulers hervorzuheben. [98] Für den angeblichen Vorfall liegen jedoch keine zeitgenössischen Quellen vor. [102]

Korrespondenzen

Euler unterhielt umfangreiche Kontakte und Korrespondenz mit vielen der bedeutendsten mathematischen Wissenschaftler der damaligen Zeit, darunter Christian Goldbach , Alexis Clairaut , Jean d'Alembert , Joseph Louis Lagrange und Pierre Simon Laplace . Es gab eine freundschaftliche Korrespondenz zwischen Euler und Goldbach sowie Euler und Clairaut, die sich mit aktuellen Problemen der Zahlentheorie, der mathematischen Analysis, der Differentialgleichungen, der Strömungsmechanik und der Himmelsmechanik befassten. Weder Meinungsverschiedenheiten noch Ansprüche des einen gegen andere dominierten den Austausch. Sie diskutierten vielmehr alle mathematischen Ideen und Probleme offen, oft schon deutlich vor ihrer Veröffentlichung.

Besonders Euler in Berlin und d'Alembert in Paris hatten über viele Jahre eine umfangreiche mathematische Korrespondenz. Im Jahre 1757 hatten sie dabei schliesslich doch eine starke Meinungsverschiedenheit, die zu einer Entfremdung darüber führte, ob diskontinuierliche oder nichtdifferenzierbare Funktionen zulässige Lösungen des Schwing saitenproblems sind. Auch über die Theorie der Präzession , der Tagundnachtgleichen und der Nutation der Erdachse gab es zwischen ihnen einen Prioritätsstreit. Nachdem d'Alembert 1763 Euler in Berlin besuchte, wurde ihr Verhältnis jedoch wieder vertrauter. 1759 beteiligte sich der junge Lagrange mit einem kontroversen Artikel, der sowohl von Euler als auch von d'Alembert kritisiert wurde, an der Diskussion der Lösungen. Lagrange schloss sich jedoch den meisten von Eulers Ansichten an. 1761 versuchte Lagrange, den Kritiken von d'Alembert und anderen zu begegnen, indem er eine andere Behandlung des Problems der schwingenden Saiten vorsah. Die Debatte dauerte weitere zwanzig Jahre, ohne dass eine Lösung gefunden wurde. Die strittigen Fragen wurden erst gelöst, als Joseph Fourier das Thema im nächsten Jahrhundert aufgriff.

Obwohl Euler einen wichtigen und wegweisenden Beitrag zur Variationsrechnung leistete, machte Lagrange im Alter von 19 Jahren die erste Formulierung der Gleichungen der analytischen Dynamik nach den Prinzipien der Variationsrechnung, und sein Ansatz war Eulers semi-geometrischen Methoden überlegen. So führte das klassische Euler-Lagrange-Variationsproblem der Bestimmung des Extremwertes einer Funktionalanalyse zu der berühmten Euler-Lagrange-Gleichung . [103]

Die wissenschaftliche Korrespondenz fusste in erster Linie auf zahlreichen Briefen. Besonders regen Austausch gab es mit Jean d'Alembert (mind. 39 Briefe), Daniel Bernoulli (mind. 100 Briefe), Johann I Bernoulli (mind. 38 Briefe), Alexis Clairaut (mind. 61 Briefe), Christian Goldbach (mind. 196 Briefe) sowie Pierre Louis Maupertuis (mind. 129 Briefe, davon 124 von Euler). [104]

alternative Beschreibung
Anzahl der Briefwechsel Eulers über die Jahre seines Lebens (diese Angaben stützen sich auf das chronologische Verzeichnis der ca. 3000 Briefe von und an Euler in der Opera omnia IV (Series Auqrta) A. 1. S. 513–554). Die gesamte Korrespondenz Eulers dürfte sich nach vorsichtiger Schätzung auf etwa das Doppelte belaufen. [105]

Legende in oberer Graphik: [105]
A: 1738 erkrankte Euler schwer und verlor die Sehkraft seines rechten Auges.
B: Im Januar 1745 wurde die Berliner Akademie eröffnet, und Euler, der sich seit 1741 in Berlin aufhielt, hatte als Direktor der Mathematischen Klasse viele administrative Arbeiten zu erledigen. Zudem erkrankte er in diesem Jahr ernsthaft.
C: In die Jahre 1751/52 fällt die aufreibende Kontroverse Maupertuis' mit JS Koenig, die den «Akademiestreit» zur Folge hatte.
D: 1753 lässt sich Maupertuis beurlauben und reist nach Frankreich. Euler obliegt – inoffiziell zwar, aber de facto – die Leitung der Akademie.
E: Der Siebenjährige Krieg (1756–1763) unterbindet – in der ersten Hälfte wenigstens – weitgehend den Postverkehr.
F: Eulers Zerwürfnis mit Friedrich II., das schliesslich
G: 1766 zur Abreise Eulers nach Petersburg führt.
H: Euler hat sich neu einzurichten, stark behindert durch den sich verschlimmernden Star am linken Auge.
J: 1771 gänzlicher Verlust der Sehkraft (vollständige Erblindung ).

Rezeption

Zeitgenössisch

Eulers Ansehen und Einfluss galten schon zu seinen Lebzeiten als äusserst gross. Etwa zwei Jahrzehnte lang war er der «geistige Führer der gebildeten Kreise» im protestantischen Teil Deutschlands. Wichtige Dienste leistete er als «goldene Brücke zwischen zwei Akademien», wovon seine Korrespondenzen ein ebenso eindrückliches Zeugnis ablegen wie die Tatsache, dass während seiner Berliner Zeit 1741–1766 in den Petersburger Akten (den Zeitschriftenbünden der Akademie) 109 Publikationen aus seiner Feder stammten, gegenüber 119 in den Memoires der Preussischen Akademie. Insgesamt gewann Euler zwölf internationale Akademiepreise, die acht Preise seiner Söhne Johann Albrecht (7) und Karl (1), zu denen er entscheidende Beiträge leistete, nicht mitgerechnet. Ludwig XVI. schenkte ihm für seine zweite Schiffstheorie 1000 Rubel , und Katharina II. bescherte ihn mit dem doppelten Betrag. [106]

Eulers erste Mondtheorie hatte eine nicht zu unterschätzende praktische Konsequenz: der Göttinger Astronom Tobias Mayer stellte 1755 nach Eulers Formeln Mondtafeln zusammen, die gestatteten, die Position des Erdtrabanten und damit die geographische Lange eines Schiffes auf hoher See mit einer damals in der Navigationslehre noch nie erreichten Exaktheit zu bestimmen. Das britische Parlament hatte 1714 einen beachtlichen Geldpreis für die Längenbestimmung auf hoher See unterhalb einer Fehlergrenze von einem halben Grad ausgesetzt. Dieser Preis wurde erstmals 1765 vergeben: die Witwe Mayers erhielt 3000 Pfund , und Euler für die den Mayerschen Tafeln zugrunde gelegte Theorie 300 Pfund. Diese Mondtafeln wurden in alle Navigationsalmanache aufgenommen und die Methode mehr als ein Jahrhundert lang in der Seefahrt genutzt. [107]

Pierre-Simon Laplace soll zu seinen Schülern gesagt haben:

« Lisez Euler, c'est notre maître à tous! »

„Lest Euler, er ist unser aller Meister!“

Im 19. Jahrhundert

Eulers Bücher, die sich nach Emil Fellmann «durchweg durch höchstes Streben nach Klarheit und Einfachheit auszeichnen» und die «ersten eigentlichen Lehrbücher im modernen Sinne darstellen», etablierten Euler nicht nur «zum Lehrer Europas seiner Zeit», sondern bis tief ins 19. Jahrhundert hinein: die Werke Bernhard Riemanns trügen so beispielsweise «unverkennbare Eulersche Züge». Henri Poincaré berichtet, dass nach Theodore Strong «Euler der Gott der Mathematik sei, dessen Tod den Niedergang der mathematischen Wissenschaften markiere». [106]

Im Gegensatz dazu stiessen Eulers Lehren «zweier Materien», einer «groben» und einer «subtilen», auf welche alle Erscheinungen zurückzuführen seien, im 19. Jahrhundert auf Ablehnung. Entsprechend wurden sie in dieser Zeit nicht weiter verfolgt. Eulers Gedanken zu so einer Dualität wurden posthum in seiner Anleitung zur Naturlehre veröffentlicht. Dabei sei die «grobe Materie» für «diverse Stoffe» (deren genaue Untersuchung Euler der Chemie überliess) und die «subtile Materie» (ein Äther ) für Schwerkraft , Elektrizität , Magnetismus und Optik verantwortlich. Es gilt jedoch als möglich, dass Bernhard Riemann die Anleitung studierte und von ihr beeinflusst war. [109]

Die Schriften Eulers sollen einen ganz besonderen Einfluss auf Carl Gustav Jacobi gehabt haben, einen der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er sammelte Bücher Eulers, studierte diese voller Eifer, und bemerkte 1849 in einem Brief an seinen Bruder:

„Es ist wunderbar, dass man noch heute jede seiner Abhandlungen nicht bloß mit Belehrung, sondern mit Vergnügen liest.“

Vergeblich versuchte er, die 1783 und 1785 in Petersburg erschienenen beiden Bände Opuscula analytica Eulers zu erhalten. Als Eulers Urenkel Paul Heinrich von Fuss ihm die Bände aus Petersburg sandte, antwortete Jacobi ihm am 3. Mai 1841 in einem Brief:

„Ich sah sie [die beiden Bände] zuerst vor zwei Jahren bei Crelle und entdeckte gleich etwas, was Dirichlet und ich bisher für unser Eigenthum gehalten hatten; anderes, indem es alte Ideen von mir befruchtete, kann mich vielleicht zu einer interessanten Entdeckung führen.“

Die Eulerschen Schriften wurden für Jacobi eine «Fundgrube der Anregung» und seine Resultate und Methoden führten Jacobi zu neuen «scharfsinnigen Entdeckungen». [111] Dies bezieht sich vor allen Dingen auf das von Jacobi gefundene Tripelprodukt , welches er als das «wohl das wichtigste und fruchtbarste, was [er] in reiner Mathematik erfunden habe» bezeichnete. [112] Dieses ist eine direkte Verallgemeinerung des Eulerschen Pentagonalsatzes und zieht wichtige Konsequenzen für die Theorie der Thetafunktionen nach sich.

Carl Friedrich Gauß lobte Eulers Arbeit und betonte ihren Wert für kommende Generationen von Mathematikern:

„Von keinem anderen Mathematiker älterer und neuerer Zeit kann man eine solche fast unbegreifliche Schnelligkeit in den schwierigsten Arbeiten bei einer solchen unerschöpflichen Fruchtbarkeit an neuen Ideen und Hilfsquellen rühmen. Alle Teile der Mathematik bearbeitete er, und die meisten erhielten unter seinen Händen eine ganz neue Gestalt.“

Carl Friedrich Gauß [113]

Im 20. Jahrhundert bis heute

Aus Sicht der heutigen Wissenschaftshistorie wird Leonhard Euler einschlägig eine sehr bedeutende Rolle bezüglich Fortschritt von Mathematik und Technik eingeräumt. Bezüglich seiner nicht mitunter strengen Ausführung analytischer Techniken werden jedoch vereinzelt «logische Lücken» moniert. Insbesondere sein Umgang mit dem unendlich Grossen stiessen auf Kritik, obgleich ihm wegen der trotz allem vielen korrekten Endergebnisse öfters eine grosse «analytische Kraft» zugesprochen wird.

Ronald Calinger ordnet das Phänomen Euler und seine Leistungen wie folgt in die Geschichte der Wissenschaft ein: In der Mathematik wurden mit Beginn der Aufklärung nur wenige grosse neue Errungenschaften oder grundlegende Innovationen erwartet. Das 17. Jahrhundert – als die meisten Fachleute auf diesem Gebiet aus der Aristokratie kamen oder Positionen in Medizin, Recht oder Religion innehatten – galt als ein «goldenes Zeitalter» der Mathematik. Mitte des Jahrhunderts hatten René Descartes und Pierre de Fermat unabhängig das geschaffen, was heute als analytische Geometrie bezeichnet wird. Diese Periode gipfelte in den Anfängen der Differentialrechnung in der Method of fluxions von Newton und dem Werk von Gottfried Wilhelm Leibniz . Viele gingen nun davon aus, dass es nur noch wenig von allgemeiner Bedeutung zu verfolgen gäbe. Doch andere Gelehrte erwarteten stattdessen eine «fruchtbare Ära» nicht nur in der Analysis, einschliesslich der Schaffung ihrer Kernzweige, sondern auch in der gesamten Mathematik – sowohl in Theorie als auch in Anwendung. Vor allem die umfangreichen Forschungen und Schriften Leonhard Eulers sollten sicherstellen, dass all dies geschehen würde.

Angetrieben von «enormer Energie», einer «Leidenschaft für die Mathematik» und die exakten Wissenschaften, einem «Engagement» für den Aufbau einer «starken institutionellen Basis» für diese Felder, und einer «beharrlichen Verteidigung» des reformierten Christentums , verfolgte Euler seit seiner Zeit in Basel mit Ausnahme einiger schwerer Fieberschübe «fleißig» ein «immenses Forschungs-, Rechen- und Schreibprogramm» in reiner und angewandter Mathematik und verwandten Feldern. Allein im Kalkül der Differentialrechnung lieferte er Hunderte von Entdeckungen und Beweisen, zusammen mit vielen «furchtlosen» Berechnungen zur Vereinfachung und Verdeutlichung von Techniken für Differentialrechnung , unendlichen Reihen und Integralrechnung . Er war der Haupterfinder der Kernzweige von Differentialgleichungen in einer semi-geometrischen analytischen Form und (zusammen mit Lagrange) später der analytischen Variationsrechnung . In Hunderten von Artikeln und einer Analysis-Trilogie, beginnend mit der zweibändigen Introductio in analysin infinitorum (Einführung in die Analyse des Unendlichen, E101 und E102, 1748), legte Euler Grundlagen: diese wurden von ihm «methodisch arrangiert», «ausgearbeitet» und «als Kalkül vermittelt». Er legte damit den Grundstein für das anfängliche Programm für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung . Als ein primäres Ergebnis seiner Studien verdrängte die Analysis die euklidische Geometrie von ihrer zwei Jahrtausende währenden Vorherrschaft in der Mathematik und war das Vorbild für die Vernunft im esprit géométrique der Epoche. In der reinen Mathematik tat Euler mehr: er leistete «wesentliche Fortschritte» in Zahlentheorie , Algebra , Kombinatorik , Graphentheorie ,Wahrscheinlichkeitsrechnung , Topologie und Geometrie , wie auch Pionierarbeit der Differentialgeometrie von Oberflächen. Auch in den exakten Wissenschaften der Mechanik, Optik und Astronomie war Euler «tief verwurzelt» und leistete Beiträge zur angewandten Mathematik, die in ihrer Kombination von Umfang und Tiefe «ihresgleichen suchten». [114]

Eulers Analysis aus heutiger Sicht

Nach Einschätzung von Alexander Gelfond war für Leonhard Euler die Mathematik «unzertrennlich mit ihren Anwendungen verbunden». Bei der Suche nach einem Algorithmus zur Lösung von Aufgaben hätten «an erster Stelle Methoden, die mit bequemsten, praktischen und einfachsten Operationen zum Ziel führten» gestanden. Euler habe in der Mathematik ein «mächtiges Hilfsmittel», das zum Aufsuchen von Lösungsalgorithmen «unumgänglich» ist, gesehen. Dies hätte stets im Vordergrund gestanden und habe «die algebraische und konstruktive Färbung» der Methoden die Euler in die Analysis einführte, bestimmt.

Bezüglich des Begriffs des Unendlichen führe Euler «statt irgendwelchen exakten Definitionen lange philosophische Erläuterungen» durch, die «das Wesen der Frage nicht erhellen». Er mache jedoch im Umgang mit unendlich wachsenden oder abnehmenden Grössen «keine Fehler», weil er stets die «Schnelligkeit des Anwachsens oder Abnehmens» dieser Grössen beachtet, wenn sie ihm z. B. in Form von Verhältnissen begegnen. An verschiedenen Stellen spreche «er auch über das Unendliche unendlich großer Ordnung im Vergleich zu einem andern Unendlich». So sage er beispielsweise in der Arbeit De summa seriei ex numeris primis formatae , dass «das Unendliche, das durch die Reihe

entsteht der Logarithmus desjenigen Unendlichen ist, das durch die harmonische Reihe

repräsentiert wird». Somit sei «die zweite Unendlichkeit von unendlich höherer Ordnung als die erstere». Aufkommende Probleme mit fehlender Konvergenz (etwa bei Werten der Riemannschen Zeta-Funktion an negativen Stellen) habe er stets «umgangen», indem er unter anderem «die sogenannte Abelsche Summationsmethode verwendet» und somit «um ein Jahrhundert vorweggenommen» habe. [115] Detlef Laugwitz bemerkt in diesem Kontext die Gewohnheit Eulers, Gleichheiten wie

oder auch

verwendet zu haben (wobei hier «größer als jede endliche Zahl ist»), was «zu mancher Kritik Anlass gegeben» habe. [116] Emil Fellmann verweist wegen Eulers Schwächen bezüglich des Umgangs mit dem Unendlichen auf das Fehlen einer axiomatischen Einführung der reellen Zahlen :

„Gewiss hat man oftmals – fast immer zu Unrecht – auf vermeintlich eindeutige Schwächen im Werk Eulers hingewiesen, hauptsächlich auf das angeblich unzulässige Umspringen mit dem Begriff des Unendlichen, sei es im Grossen (Reihentheorie) wie auch im Kleinen. Um Konvergenz- und Stetigkeitskriterien im modernen Sinne wie auch um die logisch exakte und geschlossene Fundierung der Analysis im Sinne der ars demonstrandi eines Cauchy, Bolzano oder Weierstrass konnte er sich gar nicht kümmern, da ein (im heutigen Sinne) strenger Beweis etwa fur das Cauchysche Konvergenzkriterium erst nach einer Definition der reellen Zahlen – also frühestens 1870 – ermöglicht wurde. Euler verliess sich – nur vereinzelt erfolglos – auf seine erstaunliche Instinktsicherheit und algorithmische Kraft.“

Emil Fellmann [117]

Thomas Sonar hebt in besonderer Weise die Bedeutung der Eulerschen «Nullenrechnung» als grosse Leistung hervor. Diese sei von Euler «zur höchsten Perfektion» gebracht worden. Dabei bezieht sich Sonar unter anderem auf Leibnizsche Beiträge zur Bewegungslehre, in der von «Rudimenten und Anfängen von Linien und Figuren» die Rede ist, welche «kleiner als jede angebbare Größe» sind. [118] Auf «irtuose» Weise gelänge es Euler mit diesem Werkzeug, als richtig bekannte unendliche Reihen für die Exponentialfunktion und den Logarithmus, aber auch Ableitungen wie

herzuleiten. [119]

Einschätzung der Arbeitsweise und Produktivität

Der Wissenschaftshistoriker Emil Fellmann nennt bezüglich des Phänomens der Produktivität und Arbeitsweise Eulers drei Schlüsselkomponenten. Erstens hätte Euler «die Gabe eines wohl einmaligen Gedächtnisses » besessen. Was Euler je gehört, gesehen oder geschrieben hatte, scheint sich «ihm für immer fest eingeprägt» zu haben. Davon gebe es «unzählige zeitgenössische Zeugnisse». Noch in hohem Alter solI er beispielsweise «seine Familienangehörigen, Freunde und Gesellschaften mit der wortgetreuen Rezitation jedes beliebigen Gesanges aus Vergils Aeneis entzückt haben, und Protokolle der Akademiesitzungen kannte er nach Jahrzehnten noch auswendig – von seinem Gedächtnis für mathematische Belange ganz zu schweigen». Als zweiten Punkt hebt Fellmann Eulers «seltene Konzentrationsfähigkeit» hervor. Lärm und Betrieb in seiner unmittelbaren Umgebung hätten ihn «kaum in seiner Gedankenarbeit gestört». Das Zitat: «Ein Kind auf den Knien, eine Katze auf dem Rücken, so schrieb er seine unsterblichen Werke» soll von Dieudonné Thiébault überliefert sein. Der dritte Schlüssel bestehe «ganz einfach in steter, ruhiger Arbeit». [120]

Ehrungen

Gedenktafel für Leonhard Euler (1707–1783), Dorfkirche Sankt Martin. Riehen, Schweiz
Gedenktafel, Dorfkirche St. Martin, Riehen , mit Aufschrift: Leonhard Euler (1707–1783): Mathematiker, Physiker, Ingenieur, Astronom und Philosoph, verbrachte in Riehen seine Jugendjahre. Er war ein grosser Gelehrter und ein gütiger Mensch.

Namensgeber für Preise und Auszeichnungen

Nach Leonhard Euler sind mehrere Mathematikpreise benannt. So wird seit 1991 von der Russischen Akademie der Wissenschaften die Leonhard-Euler-Goldmedaille für besonders herausragende Leistungen in den Bereichen Mathematik und Physik verliehen. Für besondere Leistungen im Bereich Kombinatorik verleiht das Institute of Combinatorics and its Applications seit 1993 jährlich die sog. Euler-Medaille .

Ebenfalls nach Leonhard Euler benannt ist der Euler Book Prize , der jährlich von der Mathematical Association of America für «ein hervorragendes Buch über Mathematik» vergeben wird. [121]

Ausstellungen, Kolloquien und Vorträge

Zu seinem 200. Todesjahr 1983 veranstaltete die Technische Universität Berlin ein Euler-Kolloquium , in welchem unter anderem Emil Fellmann , Erhard Heinz , Olli Lehto und Kurt Strebel Vorträge hielten. [122]

Anlässlich seines 300. Geburtstages widmete das Landesmuseum Braunschweig Leonhard Euler eine Ausstellung und Vortragsreihe. Dabei ging es «in der Erforschung, Darstellung und Vermittlung von wissenschaftsgeschichtlichen Fragestellungen um Kooperation unterschiedlicher Fachrichtungen, für die sich das «Projekt Euler» in hervorragender Weise angeboten habe.» [123] Ferner heisst es im Ausstellungsbericht:

„Euler war nicht nur herausragender Wissenschaftler mit internationaler Bedeutung, sondern darüber hinaus auch eine Persönlichkeit, die bereits im 18. Jahrhundert ein mit den Wissenschaftszentren Europas eng verbundenes Leben führte.“

Gerd Biegel et al. [124]

Andere Ausstellungen veranstalteten ua die Universität Basel [125] und die Universität Würzburg . [126]

Populärwissenschaftlich

Die Eulersche Identität in der Form wurde vom Nobelpreisträger Richard P. Feynman als «die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik» bezeichnet wegen ihrer genau einmaligen Verwendung von Addition , Multiplikation , Potenz und Gleichheit sowie der einmaligen Verwendung der wichtigen Konstanten 0, 1, e , i und π. [127] 1988 wählten die Leser des Mathematical Intelligencer sie (in der Form ) zur «schönsten mathematischen Formel aller Zeiten». Insgesamt war Euler für drei der fünf besten Formeln dieser Umfrage verantwortlich: gleich auf Platz zwei rangierte der Polyedersatz und auf Platz fünf das Basler Problem [128]

Euler ist Namensgeber des sog. Project Euler , einer Website, auf der eine Reihe von Problemen gestellt sind, welche zumeist mittels mathematischer Programmierung gelöst werden müssen. Ziel des Projektes ist es interessierte Menschen dabei zu unterstützen, spielerisch Programmierkenntnisse zu vertiefen oder bereits gelerntes aufzufrischen.

Die Euler-Scheibe (englisch Euler's Disc ) ist ein physikalisches Spielzeug für die Demonstration der Energiedissipation einer rotierenden Scheibe. Die Scheibe wurde etwa 1987 von Joe Bendik erfunden, die dieser nach Leonhard Euler benannte, weil Euler sich bereits mit mathematischen Aspekten dieses physikalischen Problems beschäftigt hatte. [129]

Leonhard-Euler-Teleskop

Ebenfalls nach Euler benannt ist das Leonhard-Euler-Teleskop, ein Spiegelteleskop mit 1,2-m-Apertur der Sternwarte Genf am La-Silla-Observatorium der Europäischen Südsternwarte.

Leonhard Euler als Namensgeber

Von Leonhard Euler entwickelte Methoden oder Ideen, die seinen Namen tragen, sind:

Gleichungen:

Formeln:

Sätze und Theoreme:

Konstanten und Zahlenfolgen:

Vermutungen:

Funktionen und (mathematische) Verfahren:

Geometrie und Topologie:

Graphentheorie:

Musiktheorie:

  • Eulersches Tonnetz , Darstellung des Tonumfanges der reinen Stimmung in einem zweidimensionalen Gitternetz aus reinen Quint- und Terzintervallen

Physik und Mechanik:

Sonstige Ehrungen und Widmungen

Gedenktafel am Haus Behrenstraße 21/22 in Berlin-Mitte mit Aufschrift: Hier wohnte von 1743 bis 1766 der Mathematiker Leonhard Euler (* 15.IV.1707; † 18.IX.1783) Seinem Andenken die Stadt Berlin 1907
Nach Leonhard Euler ist der Krater Euler auf dem Mond benannt.

Die Evangelisch-Lutherische Kirche in Amerika erinnert mit einem Gedenktag am 24. Mai an Leonhard Euler, gemeinsam mit Nikolaus Kopernikus . [130]

In Basel wurde 1875 zu Ehren von Leonhard Euler beim Eingang des Bernoullianums eine Büste aufgestellt. [131] Auf einer Texttafel wird darauf hingewiesen, dass das Bernoullianum in den Jahren 1872–1874 von Johann Jakob Stehlin der Jüngere (1826–1894) zur 400-Jahrfeier der Universität für die Naturwissenschaftlichen Disziplinen auf dem Areal des 1530 errichteten Wasenbollwerks erbaut wurde. [132]

An seine Tätigkeit und sein damaliges Wohnhaus in Berlin erinnert eine Gedenktafel an der Behrenstraße 21/22 , dem heutigen Haus der Bayerischen Vertretung in Berlin, die 1907 angebracht wurde.

Seit 1976 zeigte die Vorderseite der 10-Schweizer-Franken -Banknote das Porträt Eulers. Das Motiv den Scheins auf der Rückseite zeigte eine Wasserturbine (eine solche mit hohem Wirkungsgrad wurde von Euler erstmals konstruiert), unser Sonnensystem und der Strahlengang in einem Linsensystem . In der in den 1980er-Jahren entworfene Reserveserie (sog. Geheimreserve, die im Falle massenhafter Fälschungen im Umlauf gekommen wäre), war Leonhard Euler ebenfalls auf dem 10 Franken Schein abgebildet. Allerdings änderte sich sowohl Porträt als auch Motiv. Auf dem Reserveschein sind die Gammafunktion , das Sonnensystem und im Hintergrund eine Zahlentabelle abgebildet.

Weiterhin sind zu seinen Ehren ein Mondkrater (der Krater Euler ) und der Asteroid (2002) Euler benannt. Letzteres geschah im Jahr 2002 in Anerkennung «seiner Beiträge zur Mathematik und den Wissenschaften». [133]

Das Leonhard-Euler-Teleskop ist ein Spiegelteleskop der Sternwarte Genf am La-Silla-Observatorium der Europäischen Südsternwarte in Chile . [134] [135]

Auch eine Software für numerische und symbolische Berechnungen ( Euler Math Toolbox ) trägt seinen Namen. Die Pflanzengattung Euleria Urb. aus der Familie der Sumachgewächse (Anacardiaceae) wurde 1925 nach ihm benannt. [136]

Leonhard Euler wurde mehrfach auf Briefmarken geehrt: in der Schweiz 1957 und 2007, [137] in der DDR 1950, 1957 und 1983 und in der Sowjetunion 1983. 2007 wurde in Russland eine Gedenkmünze zu Ehren Eulers herausgegeben.

Unter anderem in Basel und Berlin wurden Strassen nach Leonhard Euler benannt. [138]

Schriften

Publikationen (Auswahl)

  • Mechanica sive motus scientia analytice exposita. 2 Bände, 1736 ( E015 , E016 ).
  • Tentamen novae theoriae musicae . 1739 ( E033 ).
  • Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gymnasii bey der Kayserlichen Academie der Wissenschafften in St. Petersburg. 2 Bände, Academische Buchdruckerey, Sankt Petersburg; Band 1 1738, Band 2 1740. ( Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv Band 1, Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv Band 2).
  • Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. 1741 ( E053 ).
  • Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. 1744 ( E065 ).
  • Introductio in analysin infinitorum. 2 Bände, 1748 ( E101 , E102 ).
  • Découverte d'un nouveau principe de Mécanique. In: Mémoires de l'académie des sciences de Berlin. Band 6, 1752, S. 185–217 (E177 ).
  • Institutiones calculi differentialis. 2 Bände, 1755 ( E212 ).
  • Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. 1765 ( E289 ).
  • Lettres à une princesse d'Allemagne. 3 Bände, 1768 ( E343 , E344 , E417 ).
  • Institutiones calculi integralis. 3 Bände, 1768–1770 ( E342 , E366 , E385 ).
  • Vollständige Anleitung zur Algebra. 2 Bände, 1770 ( E387 , E388 , Band 2 Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv ).

Deutsche Übersetzungen und Ausgaben seiner Werke

  • Leonhard Euler's vollständige Anleitung zur Integralrechnung , Hrsg. Joseph Solomon, 3 Bände, Wien 1828 bis 1830 (Band 1e-rara.ch , Band 1 archive.org , Band 2 archive.org , Band 3 archive.org ).
  • Leonhard Euler's Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft, 3 Bände, Hrsg. J. Ph. Wolfers, Greifswald 1848 bis 1853 (Band 1 archive.org , Band 2 archive.org , Band 3 archive.org ).
  • Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli: Abhandlungen über Variationsrechnung, 1. Teil, Ostwalds Klassiker 46, Leipzig 1894 ( archive.org ).
  • Euler: Zwei Abhandlungen über Sphärische Trigonometrie, Ostwalds Klassiker 73, Leipzig 1896 ( archive.org ).
  • Euler: Drei Abhandlungen über Kartenprojektion, Ostwalds Klassiker 93, Leipzig 1898 ( archive.org ).
  • Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven, Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910
  • Euler: Vollständigere Theorie der Maschinen, die durch Reaktion des Wassers in Bewegung versetzt werden (1754), Ostwalds Klassiker 182, Leipzig 1911
  • Euler: Drei Abhandlungen über die Auflösung der Gleichungen (1783, 1764, 1790) , Ostwalds Klassiker 226, Leipzig 1928
  • Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen, Teil 1, Einführung Wolfgang Walter, Springer 1983
  • Euler: Zur Theorie komplexer Funktionen, Einleitung AP Juschkewitsch, Ostwalds Klassiker 261, Akademische Verlagsgesellschaft 1983

Opera Omnia

Euler veröffentlichte rund zwei Dutzend Bücher und 500 wissenschaftliche Aufsätze. Der deutsche Mathematiker Ferdinand Rudio (1856–1929) initiierte die Herausgabe von Eulers sämtlichen Werken. Zu Lebzeiten Rudios wurden mehr als 30 Bände publiziert. Bis 2013 sind über 70 Einzelbände erschienen, ausserdem vier Bände aus dem umfangreichen Briefwechsel. Die Arbeiten erscheinen in der Originalsprache, meist Französisch oder Latein.

Die gesammelten Werke werden seit 1911 als Opera Omnia im Birkhäuser (Springer) Verlag herausgegeben durch die Euler-Kommission , die von Ferdinand Rudio gegründet wurde. Damals waren auch Adolf Krazer , Rudolf Fueter , Heinrich Weber , Paul Stäckel und Karl von der Mühll an der Herausgabe beteiligt. Zu den späteren Herausgebern von Einzelbänden gehörten Ludwig Schlesinger , Friedrich Engel , Andreas Speiser , Clifford Truesdell (Physik, Mechanik, der ganze Band 11-1 ist eine Geschichte der Elastizitätstheorie im 17. und 18. Jahrhundert, verfasst von Truesdell), [139] Alexander Michailowitsch Ljapunow , Georg Faber , August Gutzmer , Carl Boehm , Constantin Carathéodory , Henri Dulac , Max Herzberger , Emile Cherbuliez , Charles Blanc und Eric Aiton (Physik). Hauptherausgeber nach Rudio waren Andreas Speiser (ab 1928), Walter Habicht (ab 1965) und seit 1985 Hans-Christoph Im Hof . Weitere Herausgeber waren unter anderem Emil Fellmann , Adolf Juschkewitsch , Henri Dulac, Pierre Costabel , René Taton , Wladimir Iwanowitsch Smirnow , Alot T. Grigorjan, Joachim Otto Fleckenstein , Johann Jakob Burckhardt , Gleb K. Mikhailov, Franz Lemmermeyer , Andreas Kleinert und Martin Mattmüller.

Die Edition besteht aus

  • Reihe 1: Mathematik, 30 Bände (vollständig). Erster Band war 1911 die Anleitung zur Algebra. Band 16 besteht aus zwei Teilbänden.
  • Reihe 2: Mechanik und Astronomie, 27 Bände in 30 Teilbänden (vollständig).
  • Reihe 3: Physik und Sonstiges, 12 Bände (vollständig).
  • Reihe 4a: Briefwechsel. Geplant: 10 Bände für die rund 3100 Briefe mit rund 300 Korrespondenten. Bisher erschienen: 4 Bände.
  • Reihe 4b: Notizbücher, Tagebücher und Unveröffentlichtes (geplant). [140] [141]

Briefe

Beim Briefwechsel sind im Rahmen der Opera Omnia erschienen:

  • Band 1 (Zusammenfassung Inhalte, Übersicht, 1975),
  • Band 2 (mit Johann I. und Nikolaus I. Bernoulli),
  • Band 5 (mit Clairaut ,d'Alembert und Lagrange ) und
  • Band 6 (mit Maupertuis und Friedrich II.).

Ausserdem sind ausserhalb der Opera Omnia folgende Briefwechsel erschienen:

  • mit Goldbach (Akademie Verlag, Berlin 1965),
  • mit den Berliner und Petersburger Akademien (Akademie Verlag, Berlin, 3 Bände: 1959, 1961, 1976),
  • mit Tobias Mayer (American Elsevier, 1971).

Paul-Heinrich Fuss veröffentlichte 1845 Teile des Briefwechsels von Euler mit Goldbach, Nikolaus Fuss , Johann I, Nikolaus und Daniel Bernoulli. Im Band 14 der Werkausgabe von Lagrange ist auch der Briefwechsel mit Euler. [142]

Literatur

Monografien und Sammelbände

  • Gerd Biegel , Angela Klein, Thomas Sonar (Hrsg.): Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker (= Disquisitiones historiae scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Bd. 3). Braunschweigisches Landesmuseum, Braunschweig 2008, ISBN 978-3-927939-79-0 .
  • Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow , Gleb K. Michailow, Adolf Juschkewitsch : Euler and modern science. Mathematical Association of America, 2008.
  • Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer (Hrsg.): Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier 2007.
  • Horst Bredekamp , Wladimir Velminski (Hrsg.): Mathesis & Graphe. Leonhard Euler und die Entfaltung der Wissensysteme. Akademie-Verlag, Berlin 2010, ISBN 978-3-05-004566-5 .
  • Ronald S. Calinger: Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightment , Princeton University Press 2015
  • Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A tricentennial tribute. Imperial College Press, London 2010.
  • William Dunham : Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0 .
  • William Dunham (Hrsg.): The Genius of Euler. Reflections on his life and work , Mathematical Association of America 2007
  • Emil Fellmann (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. Gedenkband des Kantons Basel-Stadt. Birkhäuser, Basel 1983, ISBN 3-7643-1343-9 .
  • Emil A. Fellmann : Leonhard Euler. Rowohlt, Reinbek 1995, ISBN 3-499-50387-5 .
  • Emil Fellmann: Leonhard Euler , Birkhäuser 2007
  • Xavier Hascher, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique. CNRS Editions, Paris 2015, ISBN 978-2-271-08331-9 .
  • C. Edward Sandifer: How Euler did it. Mathematical Association of America 2007 (monatliche Kolumne von Sandifer in MAA Online 2003 bis 2007).
  • C. Edward Sandifer: How Euler did even more , Mathematical Association of America 2015
  • C. Edward Sandifer: The early math of Leonhard Euler , Mathematical Association of America 2007
  • Thomas Sonar : 3000 Jahre Analysis , Springer, 2011.
  • Otto Spiess : Leonhard Euler. Ein Beitrag zur Geistesgeschichte des 18. Jahrhunderts. Frauenfeld 1929.
  • Wilhelm Stieda : Die Übersiedlung Leonhard Eulers von Berlin nach St. Petersburg. Hirzel, Leipzig 1931 urn : nbn:de:hbz:061:1-13189 .
  • Dieter Suisky: Euler as physicist. Springer, Berlin 2009.
  • Margaret BW Tent: Leonhard Euler and the Bernoullis: Mathematicians from Basel. 2009, ISBN 978-1-56881-464-3 .
  • Rüdiger Thiele : Leonhard Euler. (= Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner . Band 56) BG Teubner, Leipzig 1982, ISBN 3-322-00576-3 .
  • VS Varadarajan : Euler through time: A new look at old themes. American Mathematical Society, 2006.
  • Andreas Verdun: Leonard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik , Springer-Spektrum 2015
  • Wladimir Velminski (Hrsg.): Leonhard Euler. Die Geburt der Graphentheorie. Kulturverlag Kadmos, Berlin 2009, ISBN 3-86599-056-8 .
  • Rudolf Wolf : Leonhard Euler von Basel. In: Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus. Orell, Füssli & Comp., Zürich 1862, S. 87–134 ( books.google.de ).

Sonstiges

  • Gustaf Eneström : Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers. Ergänzungsband 4 zum Jahresbericht der DMV. BG Teubner, Leipzig 1910 (erste Lieferung), 1913 (zweite Lieferung) – ( archive.org ).
  • Lutz Felbick : Lorenz Christoph Mizler de Kolof. Schüler Bachs und pythagoreischer «Apostel der Wolffischen Philosophie» (= Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Leipzig. Schriften. Bd. 5). Georg-Olms-Verlag, Hildesheim ua 2012, ISBN 978-3-487-14675-1 (Zugleich: Leipzig, Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Dissertation, 2011), S. 126–172 (Eulers Musiktheorie) Online-Version .
  • Günther Frei : Zahlentheorie, Analysis und vieles mehr – Die Bedeutung von Leonhard Euler für die heutige Zeit. In: Naturwissenschaftliche Rundschau. Band 60 (12). 2007, ISSN 0028-1050 . S. 629–635.
  • Rüdiger Thiele: The Mathematics and Science of Leonhard Euler (1707–1783). Kapitel 5 in Glen van Brummelen, Michael Kinyon (Hrsg.): Mathematics and the Historian's Craft. Springer, New York 2005, ISBN 978-0-387-25284-1 , S. 81–140.
  • André Weil : Zahlentheorie – ein Gang durch die Geschichte von Hammurabi zu Legendre. Birkhäuser 1992.
  • Patricia Radelet-de Grave: The Problem of the Elastica Treated by Jacob I Bernoulli and the Further Development of this Study by Leonhard Euler. In: Karl-Eugen Kurrer , Werner Lorenz , Volker Wetzk (Hrsg.): Proceedings of the Third International Congress on Construction History. Neunplus, Berlin 2009, ISBN 978-3-936033-31-1 , S. 1209–1217 ( bma.arch.unige.it PDF).

Nachschlagewerke

Weblinks

Commons : Leonhard Euler – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wikisource: Leonhard Euler – Quellen und Volltexte
Wikisource: Leonhardus Eulerus – Quellen und Volltexte (Latein)

Über Euler

Von Euler

Einzelnachweise

  1. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
  2. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
  3. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 16.
  4. Ioan James: Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, 2002, S. 2.
  5. Ian Bruce: Euler's Dissertation De Sono : E002. Translated & Annotated (PDF) .
  6. a b c Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 31.
  7. Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). In: Historia Mathematica. Band 23, Nr. 2, 1996, S. 121–166, doi:10.1006/hmat.1996.0015 , S. 156.
  8. a b Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). In: Historia Mathematica. 23, Nr. 2, 1996, S. 121–166. doi:10.1006/hmat.1996.0015 , S. 125.
  9. Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 63
  10. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 68
  11. a b Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) . Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 126
  12. Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) . Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 128–129
  13. IR Gekker, AA Euler: Leonhard Euler's family and descendants . In Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow , GK Michaĭlow, Adolf Pawlowitsch Juschkewitsch (Hrsg.): Euler and Modern Science. Übersetzt von Robert Burns. Mathematical Association of America, 2007, S. 402
  14. Nicolas Fuss: Eulogy of Euler by Fuss , abgerufen am 23. Jan. 2020
  15. Genealogische Liste der Nachkommenschaft von Leonhard Euler , euler.ch, abgerufen am 20. Februar 2020
  16. Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 63
  17. Leonhard Euler: Briefe an eine deutsche Prinzessin über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie ; Bd. 1.
  18. William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. 1999, S. XXIV–XXV
  19. Emil. René Bernoulli: Leonhard Eulers Augenkrankheiten . In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk , S. 473
  20. Thomas Sonar: 3000 Jahr Analysis , Springer, 2011, S. 458
  21. David S. Richeson (2012). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press, S. 17. Zitiert von Howard W. Eves (1969). In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes. Prindle, Weber, & Schmidt. S. 48
  22. EA Fellmann: Leonhard Euler. Reinbek, 1995. S. 85 f.
  23. William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, S. XXIV–XXV
  24. Emil. A. Fellmann: Leonhard Eulers Stellung in der Geschichte der Optik . In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk , S. 310
  25. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis , Springer, S. 457
  26. Deutsch in Karl Heinrich Siegfried Rödenbeck: Tagebuch oder Geschichtskalender aus Friedrich's des Großen Regentenleben (1740–1786). Bd. 3, S. 182–183
  27. Theodore Besterman (Hrsg.): The Complete Works of Voltaire . Band   129 : Correspondence and related documents, XLV September 1777-May 1778, letters D20780-D21221 . The Voltaire Foundation, Banbury 1976, D21010, Frederick II to Voltaire, 25 January 1778, S.   184–186 , hier S. 185 (englisch). I wanted to make a jet of water in my Garden; the Cyclop Euler calculated the effort of the wheels for raising the water to a basin, from where it should fall down through canals, in order to form a fountain jet at Sans-Souci. My mill was constructed mathematically, and it could not raise one drop of water to a distance of fifty feet from the basin. Vanity of Vanities! Vanity of mathematics.
  28. M. Eckert: Euler and the Fountains of Sanssouci , Arch. Hist. Exact Sci. 56 (2002) 451–468., S. 451 ff.
  29. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 137
  30. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis , Springer, S. 459
  31. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum , E212, Dartmouth.
  32. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 43–44
  33. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 47
  34. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 51
  35. Edna Ernestine Kramer: The Nature and Growth of Modern Mathematics , Princeton University Press, S. 217
  36. Fritz Nagel: Leonhard Euler und die Wonnen der Wissenschaft , Begleittext zur Ausstellung in der Universitätsbibliothek Basel vom 17.03. bis 9. Juni 2007, S. 15
  37. Ronald Calinger: Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment . Princeton University Press, 2016, S. 8
  38. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 53
  39. Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 69
  40. Ronald Calinger: Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment . Princeton University Press, 2016, S. 487
  41. a b Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 52
  42. Genealogische Liste der Nachkommenschaft von Leonhard Euler. Online auf: Euler.ch. (PDF; 1 MB), abgerufen am 24. Dezember 2016.
  43. Leonhard Euler: in the book of members of the AAAS
  44. Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 56
  45. Marquis de Condorcet: Leonhard Eulers Briefe über verschiedene Gegenstände aus der Naturlehre . Band   1 , S.   XIX ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  46. Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 57
  47. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
  48. N. Fuss: Lobrede auf Herrn Leonhard Euler , Digitalisat der Bayerischen Staatsbibliothek, München, S. 106–107.
  49. Werner Schaal: Lobrede auf einen großen Mathematiker . In: Forschungsstelle für Personalschriften (Akademie der Wissenschaften und der Literatur Mainz), Abgerufen am 16. Februar 2020
  50. Ruedi Brassel-Moser : Alexander Euler. In: Historisches Lexikon der Schweiz . 24. Oktober 2012 , abgerufen am 8. Februar 2020 .
  51. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis . Springer, S. 448.
  52. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute , S. vii
  53. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik , Springer, S. XI
  54. Walter Guatschi:Leonhard Euler: His Life, the Man, and His Works , SIAM Review, Bd. 50, Nr. 1, S. 3–33, doi:10.1137/070702710 , S. 3
  55. James J. Tattersall: Elementary Number Theory in Nine Chapters , S. 18
  56. W. Dunham: The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work , S. 15
  57. Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: CG Jacob Jacobi , Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98
  58. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute , S. xix
  59. Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. S. 17
  60. a b Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons. S. 439–45.
  61. Wolfram, Stephen. Mathematical Notation: Past and Future . Aufgerufen am 25. Januar 2020.
  62. Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. Kapitel 3 und 4.
  63. Caldwell, Chris: The largest known prime by year , abgerufen am 26. Januar 2020
  64. AJ Lotka: Studies on the mode of growth of material aggregates. American Journal of Science, 24, S. 199–216
  65. RE Bradley: Euler's analysis of the Genoese lottery , 2004.
  66. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute , S. 341
  67. Alexanderson, Gerald (July 2006): Euler and Königsberg's bridges: a historical view . Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (4): 567–573, doi:10.1090/S0273-0979-06-01130-X . S. 567
  68. Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae , Euler Archive
  69. L. Euler: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis , Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (CASP), Vol. 8
  70. Alexanderson, Gerald (July 2006): Euler and Königsberg's bridges: a historical view . Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (4): 567–573, doi:10.1090/S0273-0979-06-01130-X . S. 567
  71. David Richeson: The Polyhedral Formula. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 421.
  72. David Richeson: The Polyhedral Formula. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 430
  73. Cauchy, AL (1813): Recherche sur les polyèdres – premier mémoire . Journal de l'École Polytechnique. 9 (Cahier 16): S. 66–86.
  74. L'Huillier, S.-A.-J. (1861): Mémoire sur la polyèdrométrie . Annales de Mathématiques. 3: 169–89.
  75. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik , Springer, S. 10
  76. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 467
  77. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik , Springer, S. 11
  78. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik , Springer, S. 283
  79. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment , S. 384
  80. Christa Jungnickel, Russell McCormmach: Cavendish – The Experimental Life , S. 155
  81. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 67
  82. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute. S. 361.
  83. L. Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen: Erster Teil , Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, S. 11 (Einführung zur Reprintausgabe)
  84. Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft , Bouger und Euler: Zur Begründung der Theorie der hydrostatischen Schiffsstabilität, Band 98, 2004, S. 183
  85. Peter Pesic: Music and the Making of Modern Science , S. 133.
  86. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 73–74
  87. Ronald S Calinger, Ekaterina (Katya) Denisova, Elena N Polyakhova: Leonhard Euler's Letters to a German Princess , IOP Concise Physics, Morgan and Claypool Publishers, 2019
  88. Leonhard Euler: Solution d'une question curieuse que ne paroit soumise à aucune analyse , 1766
  89. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute , S. 162
  90. W. Breidert: Leonhard Euler and Philosophy . In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , S. 98
  91. Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) . Historia Mathematica. 23 (2), 1996: 121–66. doi:10.1006/hmat.1996.0015 . , S. 153–154
  92. Nikolaus von Fuss: Grabrede für Euler. (Nicht mehr online verfügbar.) 1783, archiviert vom Original am 24. März 2015 ; abgerufen am 22. Februar 2017 .
  93. Leonhard Euler: Opera omnia , ser. IVA, vol. 1, Briefwechsel , eds. Adolph Pavlovitch Jusˇkevicˇ et al., Basel: Birkhaüser, 1975. S. 115
  94. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis , Springer, S. 462
  95. Leonhard Euler: Opera omnia , ser. I, vol. 10, Institutiones calculi differentialis , ed. Gerhard Kowalewski, Leipzig: Teubner, 1913, esp. 69–71. S. 136
  96. Leonhard Euler: Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister . Leonhardi Euleri Opera Omnia (3. Auflage), 1960. 12.
  97. Michael Raith: Der Vater Paulus Euler. Zur geistigen Herkunft Leonhard Eulers , in Leonhard Euler 1707–1783 Beiträge zu Leben und Werk . S. 465
  98. a b c Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 501
  99. Jacques Marty: Quelques aspects des travaux de Diderot en Mathematiques Mixtes . Recherches Sur Diderot et Sur l'Encyclopédie. 4 (1), 1988: S. 145–147.
  100. Dirk J. Struik: A Concise History of Mathematics (3. überarbeitete Edition). Dover Books, 1967, S. 129
  101. RJ Gillings: The So-Called Euler-Diderot Anecdote . American Mathematical Monthly. 61 (2), Februar 1954: S. 77–80. doi:10.2307/2307789 .
  102. Dirk J. Struik: A Concise History of Mathematics . Dover, dritte überarbeitete Auflage, 1967, ( Online-Kopie ), S. 129
  103. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute , S. ix–x
  104. Leonhard Euler: Briefwechsel , Opera omnia, Series Quarta A, Vol, 1, S. 505–509
  105. a b Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk . In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 32
  106. a b Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk . In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 33
  107. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk . In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 71
  108. Dirk Jan Struik: Abriss der Geschichte der Mathematik. Springer, S. 139.
  109. David Speiser: Eulers Schriften zur Optik, zur Elektrizität und zum Magnetismus . In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 226
  110. W. Ahrens: Briefwechsel zwischen CGJ Jacobi und MH Jacobi. Leipzig 1907.
  111. a b Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: CG Jacob Jacobi , Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98
  112. Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: CG Jacob Jacobi , Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 100
  113. KR Biermann: CF Gauß als Mathematik- und Astronomiehistoriker. Historia Math. 10 (1983), 422–434.
  114. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 1–2
  115. Aleksander O. Gelfond: Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der mathematischen Analysis und seiner Einführung in die Analysis des Unendlichen In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 100–101
  116. Detlef Laugwitz: Die Nichtstandard-Analysis: Ideen und Methoden von Leibniz und Euler . In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 187–188
  117. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk . In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 34.
  118. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis . Springer, S. 415.
  119. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis . Springer, S. 462–464.
  120. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk . In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk , S. 31
  121. Euler Book Prize , Mathematical Association of America, abgerufen am 29. Februar 2020
  122. Eberhard Knobloch: Zum Werk Leonhard Eulers: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 in Berlin , Birkhäuser, 1984, S. XI
  123. Gerd Biegel, Angela Klein und Thomas Sonar (Hg.): Leonhard Euler 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker , Disquisitiones Historiae Scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte Bd. 3. Braunschweigisches Landesmuseum. Braunschweig 2008, S. 9
  124. Gerd Biegel, Angela Klein, Menso Folkerts, Karin Reich und Thomas Sonar: Euler-Ausstellung in Braunschweig , Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
  125. Ausstellung zu Eulers Leben und Werk . Abgerufen am 29. Februar 2020
  126. Ausstellung zum 300. Geburtstag von Leonhard Euler . Abgerufen am 29. Februar 2020
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  128. David Wells: Are these the most beautiful? Mathematical Intelligencer. 12 (3), 1990: 37–41. doi:10.1007/BF03024015
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