logaritme

Logaritmisk skala graduering af en diasregel (detaljer)

Graf over den logaritmiske funktion for base 2 (grøn), e (rød) og 1/2 (blå)

I et semi -logaritmisk plot (i forhold til x -aksen) bliver grafen for den logaritmiske funktion til en lige linje. Vist her som et eksempel for logaritmen til base 10 .

Som en logaritme (flertal: logaritmer; fra oldgræsk λόγος lógos , "forståelse, doktrin, relation" og ἀριθμός , arithmós, "nummer") af et tal kaldes eksponenten, hvormed et tidligere bestemt tal, basen, skal hæves til magten for at opnå det givne nummer, tallet . Logaritmer er kun defineret for positive reelle tal; basen skal også være positiv.

Logaritmen for et positivt reelt tal $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ til basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ det er værdien af eksponenten if $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ som en kraft til basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ er repræsenteret, så det tal $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ viser ligningen $b^{y}=x$ ${\ displaystyle b ^ {y} = x}$ $b ^ y = x$ løser. Man skriver $y=\log _{b}(x)$ ${\ displaystyle y = \ log _ {b} (x)}$ $y = \ log_b (x)$ ; for yderligere notationer se betegnelser . At tage logaritmen, det vil sige overgangen fra $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ til $\log _{b}(x)$ ${\ displaystyle \ log _ {b} (x)}$ $\ log_b (x)$ , er således en omvendt operation af eksponentiering . Funktionen, der givet en fast base $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ at tildele sin logaritme til hvert positivt tal kaldes basislogaritmefunktionen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Med logaritmer kan meget hurtigt voksende talrække vises tydeligt, da logaritmen for store tal stiger meget langsommere end tallene selv. Ligesom ligningen $\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$ ${\ displaystyle \ log _ {b} (x \ cdot y) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}$ $\ log_b (x \ cdot y) = \ log_b (x) + \ log_b (y)$ viser, kan man erstatte en multiplikation med den langt mindre beregningsmæssigt intensive tilføjelse ved at tage logaritmen. Logaritmer beskriver også mange tekniske processer og naturlige fænomener i en matematisk elegant måde, såsom opførslen af en halvleder diode , spiralen af et sneglehus eller opfattelsen af forskellige lydstyrkeniveauer af det menneskelige øre .

Tilsvarende matematiske beregninger er blevet afleveret fra Indien fra tiden før Kristi fødsel. Begrebet logaritme blev opfundet af John Napier i begyndelsen af 1600 -tallet. Til ære for Napier kaldes den naturlige logaritme (se nedenfor ) undertiden også for Napiers logaritme eller Nepiers logaritme .

oversigt

Brugen af logaritmen kan spores tilbage til indisk antik . Med fremkomsten af bankvirksomhed og astronomiens fremskridt i 1600 -tallets Europa blev logaritmen mere og mere vigtig. Dens funktionsværdier blev registreret i tabeller, de log borde, så de kunne slås op og ikke altid skal genberegnes. Disse tabeller blev til sidst afløst af diasregler og senere af lommeregnere . Skiftet fra tabeller til diasregler fandt sted på tyske skoler i 1960'erne, og skiftet til lommeregnere fra 1970'erne.

Centrale aspekter af livet kan beskrives ved hjælp af logaritmer. For eksempel øges styrken af et sanseindtryk som en funktion af en fysisk størrelse som lysstyrke eller volumen i overensstemmelse med forløbet af en logaritmefunktion. Det samme gælder den opfattede tonehøjde som en funktion af frekvensen af en tone.

Logaritmer fik deres historiske betydning gennem kontekst

\log(xy)=\log x+\log y,

{\ displaystyle \ log (xy) = \ log x + \ log y,}

\ log (xy) = \ log x + \ log y,

som gør det muligt at udtrykke en multiplikation ved en tilføjelse .

Formelt set er logaritmer alle løsninger $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ ligningen

a=b^{x}

{\ displaystyle a = b ^ {x}}

a = b ^ x

til givne størrelser $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ og $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Afhængigt af hvilket talområde og for hvilke størrelser denne ligning betragtes, har den ingen, flere eller præcis en løsning. Hvis løsningen er unik, udtrykkes den som logaritmen for $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ til basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ og man skriver

x=\log _{b}a

{\ displaystyle x = \ log _ {b} a}

x = \ log_b a

For eksempel er logaritmen 8 til base 2 3, skrevet $\log _{2}8=3$ ${\ displaystyle \ log _ {2} 8 = 3}$ $\ log_2 8 = 3$ , fordi det er $2^{3}=8$ ${\ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ $2 ^ 3 = 8$ .

Hvis ovenstående ligning følger $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ skal løses i stedet for efter $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ så løsningen er givet ved det $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ 'te rod $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ .

Den mest kendte og mest udbredte er logaritmen over de positive reelle tal , hvilket hovedsageligt er vist i det følgende.

historie

Titelside til Jost Bürgis logaritmetabel fra 1620

Indiske matematikere i det 2. århundrede f.Kr. Var de første til at nævne logaritmer. Selv i oldtiden brugte de base 2 -logaritmer til deres beregninger. I det 8. århundrede beskrev den indiske matematiker Virasena logaritmer for baser 3 og 4. Fra 1200 -tallet skabte arabiske matematikere hele logaritmiske tabeller.

Nicolas Chuquet udarbejdede klart lovene i regning for kræfter $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ ${\ displaystyle a ^ {n} \ cdot a ^ {m} = a ^ {n + m}}$ $a ^ n \ cdot a ^ m = a ^ {n + m}$ og $(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$ ${\ displaystyle (a ^ {n}) ^ {m} = a ^ {n \ cdot m}}$ $(a ^ n) ^ m = a ^ {n \ cdot m}$ ud gennem et sidestillet arrangement af en aritmetik og en geometrisk serie.

Den tyske matematiker Michael Stifel formulerede forholdene på samme måde i 1544 $q^{m}\cdot q^{n}=q^{m+n}$ ${\ displaystyle q ^ {m} \ cdot q ^ {n} = q ^ {m + n}}$ $q ^ m \ cdot q ^ n = q ^ {m + n}$ og ${\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {q ^ {m}} {q ^ {n}}} = q ^ {mn}}$ $\ tfrac {q ^ m} {q ^ n} = q ^ {m-n}$ sammen med andre forfattere fra 1500 -tallet. Reduktionen fra multiplikation til addition står ved siden af trigonometriske additionsformler i begyndelsen af logaritmernes udvikling. ^[1] ^[2] Stifel tillod kun heltalseksponenter. John Napiers (1550–1617) idé, på den anden side, var at tillade en kontinuerlig række værdier for eksponenterne.

I 1600 -tallet udviklede den schweiziske urmager Jost Bürgi (1552–1632) et nyt system til beregning af logaritmer, som han udgav i 1620 efter en lang tids arbejde. Men endnu før det, i 1614, udgav den skotske tænker John Napier en bog om logaritmer ^[3], som gjorde ham berømt som "opfinderen af logaritmer". Bürgi og Napier udviklede imidlertid deres arbejde og viden om logaritmer uafhængigt af hinanden.

Det græske ord "logaritme" betyder "forhold" på tysk og kommer fra Napier. Følgende gælder: Præcis så står den $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ til $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ i samme andel som $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ til $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ (som en formel : $a:b=c:d$ ${\ displaystyle a: b = c: d}$ $a: b = c: d$ ) hvis forskellene i deres logaritmer matcher (som en formel: $\log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)$ ${\ displaystyle \ log (a) - \ log (b) = \ log (c) - \ log (d)}$ $\ log (a) - \ log (b) = \ log (c) - \ log (d)$ ). Logaritmer herom blev for første gang udgivet under titlen Mirifici logarithmorum canonis descriptio, som kan oversættes med beskrivelse af den vidunderlige kanon af logaritmer . ^[4]

Efter at Oxford-professoren Henry Briggs (1561-1630) havde beskæftiget sig intensivt med denne skrifttype, kontaktede han forfatteren og foreslog at bruge base 10 til logaritmerne (forkortet lg). Disse spredte sig hurtigt og blev især værdsat i astronomi, hvilket Pierre-Simon Laplace også fandt i sammenligning med de tidligere anvendte trigonometriske tabeller: ^[5]

"L'invention des logarithmes, en réduisant le temps passé aux calculs de quelques mois à quelques jours, double pour ainsi dire la vie des astronomes."

"Ved at reducere den tid, der kræves til beregninger fra et par måneder til et par dage, fordoblet opfindelsen af logaritmer så at sige en astronomes levetid."

Bliver Eulers nummer $\mathrm {e}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$ $\ mathrm {e}$ - som blev bestemt af Leonhard Euler (1707–1783) i 1728 og udgivet for første gang i 1742 - brugt som grundlag for logaritmen, kaldes det den naturlige logaritme. Den naturlige logaritme forkortes med "ln".

Logaritmerne lagde det matematiske grundlag for den videre udvikling af den mekaniske diasregel ; fordi diasregelens funktion er baseret på princippet om addition og subtraktion af logaritmer.

Logaritme i anvendelse og natur

Tilfældet med en Nautilus viser en logaritmisk spiral

En logaritmisk spiral

En diasregel

Der er mange anvendelser af logaritmen i videnskaben, når værdiområdet omfatter mange størrelsesordener . Data er enten repræsenteret på en logaritmisk skala , eller der bruges logaritmisk definerede størrelser , såsom pH -værdien eller følsomheden af sanseorganerne .

I den levende natur

I den levende natur er der mange eksempler på logaritmiske spiraler , såsom: B. væksten af snegleskaller eller arrangementet af kernerne på solsikken .

Lydtryksniveau

Lydtryksniveauet bruges som et logaritmisk mål for at beskrive styrken af en lydhændelse. Den ekstra måleenhed decibel (dB) bruges til dette.

Følelse af lysstyrke

En logaritmisk evaluering har også vist sig for den sensoriske opfattelse af lysstyrke ( Weber-Fechner-loven ), da det menneskelige øje kan bygge op til 10,5 kræfter af ti i fysisk luminans mellem tusmørke og stærkt solskin.

PH -værdi

PH -værdien er målet for den sure eller basiske karakter af en vandig opløsning. Bemærk: I kemi identificeres logaritmiske skalaer generelt med en foregående p (for effekt), for eksempel for værdien p K _S eller p K _B.

Richterskala

Richter-skalaen, der bruges til at beskrive jordskælvsstyrker, er baseret på en decal-logaritmisk opdeling. Jordskælvsstyrken stiger derfor eksponentielt fra niveau til niveau.

Stjernens lysstyrke

Stjernens lysstyrker er givet i astronomiske størrelsesklasser , der repræsenterer et logaritmisk mål for den faktiske strålingsintensitet.

Slide -regel

Før elektroniske beregningsmaskiner var tilgængelige, blev lovene i logaritmer brugt til at forenkle multiplikationer for tilføjelser og divisioner for subtraktioner . Beregningen af kvadratroden er forenklet på logaritmens niveau til en division med to. Fordi logaritmen i sig selv ikke er så let at beregne, var diasregler med deres logaritmiske gradueringer og logaritmetabeller meget udbredte hjælpemidler.

Vækst- og forfaldsprocesser

Typiske opgaver i vækst- og henfaldsprocesser kan modelleres ved hjælp af logaritmens inverse funktion - den eksponentielle funktion. Se eksponentiel proces , absorption .

Antal cifre i et tal

Beregning af antal cifre til at repræsentere et naturligt tal i et sted værdi system. Til et naturligt tal $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ til basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ at repræsentere $1+\lfloor \log _{b}n\rfloor$ ${\ displaystyle 1+ \ lfloor \ log _ {b} n \ rfloor}$ $1+ \ lgulv \ log_b n \ rgulv$ Steder der er nødvendige. Parenteserne betyder afrunding til det næste hele tal, der er mindre end eller lig med.

For eksempel er $\log _{2}100\approx 6{,}64$ ${\ displaystyle \ log _ {2} 100 \ approx 6 {,} 64}$ $\ log_2 100 \ ca. 6 {,} 64$ . Ovenstående formel giver værdien 7. Så du har brug for 7 cifre for at repræsentere 100 i det dobbelte system, nemlig $100=1100100_{2}$ ${\ displaystyle 100 = 1100100_ {2}}$ $100 = 1100100_2$ . Hvis du derimod repræsenterer 100 i det hexadecimale system, skal du bruge to cifre, fordi $\log _{16}100\approx 1{,}66$ ${\ displaystyle \ log _ {16} 100 \ approx 1 {,} 66}$ $\ log_ {16} 100 \ ca. 1 {,} 66$ . det er $100=64_{16}$ ${\ displaystyle 100 = 64_ {16}}$ $100 = 64_ {16}$ .

Benfords lov

Fordelingen af cifrene i tal i empiriske datasæt, f.eks. Deres første cifre, følger en logaritmisk fordeling, Benfords lov .

Informationsenhed

Måling af mængden af information ; informationsteori siger, at hvis noget har sandsynlighed $s. s$ ${\ displaystyle p}$ $s. s$ forekommer, er kendskabet til den faktiske forekomst deraf en mængde information $\log _{2}{\tfrac {1}{p}}$ ${\ displaystyle \ log _ {2} {\ tfrac {1} {p}}}$ $\ log_2 \ tfrac 1p$ lidt resultater. For eksempel, hvis du får et "hoveder" -resultat af et rimeligt møntkast ( $p=0{,}5$ ${\ displaystyle p = 0 {,} 5}$ $p = 0 {,} 5$ ) mængden af oplysninger $\log _{2}2=1$ ${\ displaystyle \ log _ {2} 2 = 1}$ $\ log_2 2 = 1$ bit, og en bit er nok til at kode disse oplysninger.

Kryptografi

Den diskrete logaritme er betydeligt mere kompleks at beregne i endelige felter og elliptiske kurver defineret på dem end dens inverse funktion, den diskrete eksponentielle funktion . Sidstnævnte kan derfor anvendes som en så - kaldet en - måde funktion i kryptografi til kryptering .

Logaritmiske tidsskalaer

Logaritmiske tidsskalaer kan findes i teknologiens historie såvel som i den geologiske tidsskala .

Intervaller i musikteori

Intervaller har en eksponentiel frekvenskurve. Høringen opfatter dette imidlertid som lineært. Intervallernes størrelse fortolkes derfor som multiplikative faktorer på frekvenser og angives som rationelle tal eller som logaritmer. I dette tilfælde er oktaven opdelt i 1200 cent . Eksempel:

interval	Frekvensforhold	størrelse
1 oktav	2	1200 øre
2 oktaver	4.	2400 øre
3 oktaver	8.	3600 øre
...
ren større tredjedel	5: 4	$1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {5}{4}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 386{,}314\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {5} {4}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 386 {,} 314 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {5} {4}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 386 {,} 314 \, {\ text {Cent}}}$
perfekt femte	3: 2	$1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {3}{2}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 701{,}955\,{\text{Cent}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {3} {2}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 701 {,} 955 \, {\ text {Cent}}}$ ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} {\ big (} {\ tfrac {3} {2}} {\ big)} \, {\ text {Cent}} \ approx 701 {,} 955 \, {\ text {Cent}}}$

Grafisk fremstilling af funktioner

Til den grafiske fremstilling af funktioner bruges specielle matematiske papirer , såsom enkelt-logaritmisk papir ellerdobbelt-logaritmisk papir .

Betegnelser

Man skriver til logaritmen af $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ til basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$

x=\log _{b}a

{\ displaystyle x = \ log _ {b} a}

x = \ log_b a

og siger: " $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ er logaritmen for $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ til basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ " . $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ kaldes nummer eller forældet logaritme. ^[6] Resultatet $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ for at tage logaritmen angiver den eksponent, hvormed basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ skal hæve til nummerets magt $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ at opnå. ^[7]

For stederne før decimaltegnet i logaritmen bruges udtrykket karakteristisk (undertiden også kode ), dets steder efter decimalpunktet kaldes mantissen .

Kontrol på en lommeregner. LOG -nøglen står for logaritmen for base 10, uanset producenten, beregner LN den naturlige logaritme for base e . Derudover leveres den tilsvarende inverse funktion som den anden tildeling af de respektive taster (gul bogstav ovenfor), eksponentiel funktion for base 10 eller e.

$\operatorname {log} _{b}a$ ${\ displaystyle \ operatorname {log} _ {b} a}$ $\ operatorname {log} _b a$

Det generelle matematiske symbol for logaritmen i henhold til DIN 1302 . Det er mindre almindeligt at finde stavemåder, der afviger fra dette, som f.eks ${}_{b}\,\!\log a$ ${\ displaystyle {} _ {b} \, \! \ log a}$ ${} _b \, \! \ log a$ .

$\operatorname {log} a$ ${\ displaystyle \ operatorname {log} a}$ $\ operatorname {log} a$

Skiltet $\log$ ${\ displaystyle \ log}$ $\ log$ uden et bestemt grundlag bruges, hvis det anvendte grundlag er irrelevant, hvis det er aftalt særskilt, fremgår af konteksten eller bestemmes på grundlag af en konvention. I tekniske applikationer (f.eks. På de fleste lommeregnere) står der $\log$ ${\ displaystyle \ log}$ $\ log$ ofte for den dekadiske logaritme. I teoretiske afhandlinger, især om talteoretiske emner , står $\log$ ${\ displaystyle \ log}$ $\ log$ ofte for den naturlige logaritme.

Derudover er der specificeret særlige notationer for logaritmen i DIN 1302, afhængigt af applikationen:

$\operatorname {ln} a$ ${\ displaystyle \ operatorname {ln} a}$ $\ operatorname {ln} a$

Naturlig logaritme ( latin logarithmus naturalis ), logaritmen til basen $\mathrm {e}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$ $\ mathrm {e}$ , Eulers nummer 2.7182818… Det bruges i forbindelse med eksponentielle funktioner .

$\operatorname {lg} a$ ${\ displaystyle \ operatorname {lg} a}$ $\ operatorname {lg} a$

Dekadisk logaritme , også kendt som logaritmen for ti eller Briggs 'logaritme , logaritmen til basen 10. Den bruges i numeriske beregninger i decimalsystemet.

$\operatorname {lb} a$ ${\ displaystyle \ operatorname {lb} a}$ $\ operatorname {lb} a$

Binær logaritme, også kendt som logaritmen for to , logaritmen for base 2. Den bruges inden for datalogi til beregninger i det binære system. Udenfor får normen også den samme betydning $\operatorname {ld} a$ ${\ displaystyle \ operatorname {ld} a}$ $\ operatorname {ld} a$ - logaritme dualis - brugt.

Et lignende funktionssymbol er $\operatorname {li} a$ ${\ displaystyle \ operatorname {li} a}$ $\ operatorname {li} a$ for den integrerede logaritme . Denne funktion er imidlertid ikke en logaritmisk funktion.

definition

Matematisk kan logaritmen altid bruges som en familie af funktioner (hvis parametre med $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ udpeges) af $\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}$ $\ R ^ + \ til \ R$ blive forstået. Deres individuelle logaritmiske funktioner er kun forskellige (reelle, men ikke lig med nul) multipler af hinanden.

Det kan introduceres på forskellige måder i forhold til de positive reelle tal. Afhængigt af baggrunden og hensigten vælger du den ene eller den anden didaktiske tilgang. De forskellige definitioner af den virkelige logaritme svarer til hinanden og er lavet her med et særligt fokus på den naturlige logaritme, som forekommer naturligt fra matematikerens synspunkt, som det er tilfældet med den tilgang, der anvender antiderivativ af ${\tfrac {1}{t}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {t}}}$ $\ tfrac {1} {t}$ er genkendelig.

Som den inverse funktion af den eksponentielle funktion

Logaritmen til basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ er den inverse funktion af den generelle eksponentielle funktion til den positive base $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ :

x\mapsto b^{x}.

{\ displaystyle x \ mapsto b ^ {x}.}

x \ mapsto b ^ x.

Funktionerne $b^{x}$ ${\ displaystyle b ^ {x}}$ $b ^ x$ og $\log _{b}x$ ${\ displaystyle \ log _ {b} x}$ $\ log_b x$ er derfor invers funktioner af hinanden, dvs. at tage logaritmer vender eksponentiering og omvendt:

b^{\log _{b}x}=x\quad {\text{und}}\quad \log _{b}(b^{x})=x.

{\ displaystyle b ^ {\ log _ {b} x} = x \ quad {\ text {og}} \ quad \ log _ {b} (b ^ {x}) = x.}

b ^ {\ log_b x} = x \ quad \ text {og} \ quad \ log_b (b ^ x) = x.

Den naturlige logaritme stammer fra basen $b=\mathrm {e}$ ${\ displaystyle b = \ mathrm {e}}$ ${\ displaystyle b = \ mathrm {e}}$ , hvori

\mathrm {e} =2{,}718281828459\ldots

{\ displaystyle \ mathrm {e} = 2 {,} 718281828459 \ ldots}

{\ displaystyle \ mathrm {e} = 2 {,} 718281828459 \ ldots}

er Eulers nummer .

Som en løsning på en funktionel ligning

De logaritmiske funktioner er de ikke-trivielle, kontinuerlige løsninger $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ den funktionelle ligning

L(x\cdot y)=L(x)+L(y).

{\ displaystyle L (x \ cdot y) = L (x) + L (y).}

L (x \ cdot y) = L (x) + L (y).

Dine løsninger mødes altid $L(1)=0$ ${\ displaystyle L (1) = 0}$ $L (1) = 0$ og endda vise sig at være differentierbare. Den naturlige logaritme opnås derefter sammen med den yderligere betingelse

L'(1)=1.

{\ displaystyle L '(1) = 1.}

L '(1) = 1.

Den yderligere betingelse er en af grundene til at kalde den resulterende logaritme naturlig . Hvis du ville basere logaritmen på en anden $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ modtaget via den ekstra betingelse, så skulle man

L'(1)={\frac {1}{\ln b}}

{\ displaystyle L '(1) = {\ frac {1} {\ ln b}}}

L '(1) = \ frac 1 {\ ln b}

og ville have brug for den naturlige logaritme igen.

Den trivielle løsning af ovenstående funktionelle ligning er null -funktionen $L(x)=0$ ${\ displaystyle L (x) = 0}$ $L (x) = 0$ , der ikke betragtes som en logaritmisk funktion, og den eneste løsning på den funktionelle ligning, som også $L(0)$ ${\ displaystyle L (0)}$ $L (0)$ er defineret.

På grund af ovenstående funktionelle ligning formidler logaritmen derfor især en strukturbevarende kortlægning fra de positive reelle tal med deres multiplikative struktur til hele de reelle tal med deres additive struktur. Man kan også eksplicit kræve dette som betingelse og dermed nå frem til afledningen.

Som en isomorfisme

De reelt værdsatte logaritmer er præcis de kontinuerlige isomorfier

L\colon (\mathbb {R} ^{+}\!,\,\cdot \,)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+)

{\ displaystyle L \ colon (\ mathbb {R} ^ { +} \ !, \, \ cdot \,) \ longrightarrow (\ mathbb {R}, +)}

{\ displaystyle L \ colon (\ mathbb {R} ^ { +} \ !, \, \ cdot \,) \ longrightarrow (\ mathbb {R}, +)}

.

Denne definition definerer funktionen $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ bortset fra en multiplikativ konstant.

Den algebraiske tilgang understreger ligesom tilgangen via den funktionelle ligning logaritmens historiske betydning som beregningshjælpemiddel: Det gør det muligt at "konvertere" en multiplikation til en tilføjelse.

Som en antiderivativ af f med f ( x ) = 1 / x

Den naturlige logaritme som området under grafen på 1 / x

Funktionen

L\colon t\mapsto \int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle L \ colon t \ mapsto \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle L \ colon t \ mapsto \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x}

med $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ er bare den naturlige logaritme: det er $L=\ln$ ${\ displaystyle L = \ ln}$ $L = \ ln$ . Til logaritmen med basen $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ opnås ved at dele funktionen $L.$ ${\ displaystyle L}$ $L.$ af konstanten $L(b)=\ln b$ ${\ displaystyle L (b) = \ ln b}$ $L (b) = \ ln b$ . Som en forkert integreret del af $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ eller en vilkårlig (positiv) lavere integrationsgrænse, ville man kun få en ekstra additiv konstant, men altid kun logaritmen for basen $\mathrm {e}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$ $\ mathrm {e}$ at få.

Som en power -serie

Den naturlige logaritme kan bruges som en kraftserie iflg

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dotsb

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {x ^ {k}} {k}} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ dotsb}

\ ln (1 + x) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty (-1) ^ {k + 1} \ frac {x ^ k} k = x- \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 3} 3 - \ frac {x ^ 4} 4 + \ dotsb

der skal introduceres. Denne serie konvergerer til $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ og for $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ .

Til en numerisk beregning af værdien $\ln(1+x)$ ${\ displaystyle \ ln (1 + x)}$ $\ ln (1 + x)$ til $x>1$ ${\ displaystyle x> 1}$ $x> 1$ er forholdet $\ln(1+x)=-\ln {\Bigl (}1+{\Bigl (}-{\frac {x}{1+x}}{\Bigr )}{\Bigr )}$ ${\ displaystyle \ ln (1 + x) = - \ ln {\ Bigl (} 1 + {\ Bigl (} - {\ frac {x} {1 + x}} {\ Bigr)} {\ Bigr)}}$ $\ ln (1 + x) = - \ ln {\ Bigl (} 1 + {\ Bigl (} - {\ frac {x} {1 + x}} {\ Bigr)} {\ Bigr)}$ nyttig.

annotation

Disse definitioner kan også bruges til at opnå logaritmer om andre matematiske strukturer, som f.eks B. om de komplekse tal. Dette forudsætter, at de begreber, der bruges til definitionen, findes i den pågældende struktur.

For at definere den diskrete logaritme på en gruppe kan f.eks. Begreber som differentiering / integration ikke bruges, fordi de ikke engang findes der. (Definitionen finder sted der som inversionen af eksponentieringen med hele eksponenter, hvilket igen er defineret ved multipel brug af et link i gruppen.)

Beregningsregler og grundlæggende egenskaber

Logaritmiske love

I det følgende antages det altid, at variablerne $x,y,x_{i},r,a,b$ ${\ displaystyle x, y, x_ {i}, r, a, b}$ $x, y, x_i, r, a, b$ er forskellige fra nul; i tilfælde af den reelle logaritme antages tallene endda at være positive. Baserne $-en, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $væk$ af logaritmen må heller ikke være 1.

Produkter

Der er en nyttig regel til beregning med logaritmer af produkter

\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y

{\ displaystyle \ log _ {b} (x \ cdot y) = \ log _ {b} x + \ log _ {b} y}

\ log_b (x \ cdot y) = \ log_b x + \ log_b y

til bortskaffelse; eller mere generelt:

\log _{b}(x_{1}x_{2}\dotsm x_{n})=\log _{b}x_{1}+\log _{b}x_{2}+\dotsb +\log _{b}x_{n}

{\ displaystyle \ log _ {b} (x_ {1} x_ {2} \ dotsm x_ {n}) = \ log _ {b} x_ {1} + \ log _ {b} x_ {2} + \ dotsb + \ log _ {b} x_ {n}}

{\ displaystyle \ log _ {b} (x_ {1} x_ {2} \ dotsm x_ {n}) = \ log _ {b} x_ {1} + \ log _ {b} x_ {2} + \ dotsb + \ log _ {b} x_ {n}}

eller.

\log _{b}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}\log _{b}x_{i}.

{\ displaystyle \ log _ {b} \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log _ {b} x_ {i}.}

\ log_b \ prod_ {i = 1} ^ n x_i = \ sum_ {i = 1} ^ n \ log_b x_i.

Logaritmen for et produkt er summen af faktorernes logaritmer.

Kvotient

Kvotienterne stammer direkte fra logaritmerne for produkter. Her er bare den simple sag

\log _{b}{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ frac {x} {y}} = \ log _ {b} x- \ log _ {b} y}

\ log_b \ frac xy = \ log_b x - \ log_b y

angivet. Logaritmen for en kvotient er tællerens logaritme $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ minus nævneren logaritme $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Især (da $\log 1=0$ ${\ displaystyle \ log 1 = 0}$ ${\ displaystyle \ log 1 = 0}$ ):

\log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ frac {1} {x}} = - \ log _ {b} x}

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ frac {1} {x}} = - \ log _ {b} x}

Mere generelt stammer gensidighedsloven direkte fra ovenstående kvotregel:

\log _{b}{\frac {x}{y}}=-\log _{b}{\frac {y}{x}}

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ frac {x} {y}} = - \ log _ {b} {\ frac {y} {x}}}

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ frac {x} {y}} = - \ log _ {b} {\ frac {y} {x}}}

Summer og forskelle

En formel for logaritmer af summer (og forskelle) som f.eks $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ kan udledes af $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ er udelukket:

x+y=x\left(1+{\frac {y}{x}}\right).

{\ displaystyle x + y = x \ venstre (1 + {\ frac {y} {x}} \ højre).}

x + y = x \ venstre (1 + {\ frac yx} \ højre).

Dette resulterer i "reglen"

\log _{b}(x+y)=\log _{b}x+\log _{b}\left(1+{\frac {y}{x}}\right).

{\ displaystyle \ log _ {b} (x + y) = \ log _ {b} x + \ log _ {b} \ venstre (1 + {\ frac {y} {x}} \ højre).}

\ log _ {b} (x + y) = \ log _ {b} x + \ log _ {b} \ venstre (1 + {\ frac yx} \ højre).

Potenser

For kræfter med en reel eksponent $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ reglen gælder

\log _{b}\left(x^{r}\right)=r\log _{b}x.

{\ displaystyle \ log _ {b} \ left (x ^ {r} \ right) = r \ log _ {b} x.}

\ log_b \ venstre (x ^ r \ højre) = r \ log_b x.

Logaritmen for en effekt er derfor produktet af eksponenten og logaritmen for basen.

Dette kan også bruges til $r=-1$ ${\ displaystyle r = -1}$ $r = -1$

\log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ frac {1} {x}} = - \ log _ {b} x}

\ log_b \ frac 1x = - \ log_b x

bestemme.

Logaritmen for en brøkdel ${\tfrac {1}{x}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {x}}}$ $\ tfrac {1} {x}$ er den negative logaritme for nævneren $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ .

Disse beregningsregler kan udledes af magtlovene .

rod

Da rødder ikke er mere end kræfter med en brudt eksponent, resulterer beregningsreglen for logaritmen ovenfor i beregningsreglen

\log _{b}{\sqrt[{n}]{x}}=\log _{b}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\log _{b}x.

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{n}] {x}} = \ log _ {b} \ venstre (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = {\ frac {1} {n}} \ log _ {b} x.}

{\ displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{n}] {x}} = \ log _ {b} \ venstre (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = {\ frac {1} {n}} \ log _ {b} x.}

Grundkonvertering

At basere logaritmer $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ved hjælp af logaritmer af enhver base $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ for at beregne, bruger man forholdet

\log _{b}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}

{\ displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {\ log _ {a} x} {\ log _ {a} b}}}

\ log_b x = \ frac {\ log_a x} {\ log_a b}

fordi med $y=\log _{b}x$ ${\ displaystyle y = \ log _ {b} x}$ $y = \ log_b x$ transformationerne gælder

{\begin{aligned}b^{y}&=x\\\log _{a}b^{y}&=\log _{a}x\\y\log _{a}b&=\log _{a}x\\y&={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} b ^ {y} & = x \\\ log _ {a} b ^ {y} & = \ log _ {a} x \\ y \ log _ {a} b & = \ log _ {a} x \\ y & = {\ frac {\ log _ {a} x} {\ log _ {a} b}} \ end {justeret}}}

\begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align}

Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet:

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

oder

\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1

\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1

\log_a b \cdot \log_b a=1

Beispiel: $\log _{10}8={\frac {\log _{2}8}{\log _{2}10}}={\frac {\ln 8}{\ln 10}}$ $\log _{10}8={\frac {\log _{2}8}{\log _{2}10}}={\frac {\ln 8}{\ln 10}}$ $\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}$; für beliebige positive Zahlen $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ ist ${\frac {\ln x}{\log _{10}x}}=\ln 10\approx 2{,}302585$ ${\frac {\ln x}{\log _{10}x}}=\ln 10\approx 2{,}302585$ $\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585$

Nichtpositive Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für nichtpositive Zahlen, also Null und negative Zahlen , nicht definiert. Allerdings erfüllt $\log _{b}|x|$ $\log _{b}|x|$ $\log_b |x|$ obige Funktionalgleichung für $L(\cdot )$ $L(\cdot )$ $L(\cdot)$ , solange nur $x,y\not =0$ $x,y\not =0$ $x,y \not= 0$ ist, da diese dort eine Unstetigkeitsstelle hat. Ansonsten würde für $x=0$ ${\displaystyle x=0}$ $x=0$ ja für alle $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ stets $0=L(y)$ ${\displaystyle 0=L(y)}$ $0 = L(y)$ folgen, wenn man ihre Gültigkeit auf ganz $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ , also auch bei $x=0$ ${\displaystyle x=0}$ $x=0$ , verlangen würde.

$x=\log _{b}0$ $x=\log _{b}0$ $x=\log_b 0$ müsste dann $0=b^{x}$ $0=b^{x}$ $0=b^x$ bedeuten. Ist $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ ungleich Null, ist dies jedoch für kein reelles $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ lösbar.
(als Beispiel die negative Zahl −1) $x=\log _{b}(-1)$ $x=\log _{b}(-1)$ $x=\log_b(-1)$ müsste dann $-1=b^{x}$ $-1=b^{x}$ $-1=b^x$ bedeuten. Dies ist ebenfalls für keine reelle Zahl $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ möglich, wenn $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ größer Null ist.

In der Funktionentheorie , in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus ), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr. Auch in diesem Zusammenhang ist 0 keine isolierte Singularität , sondern ein Verzweigungspunkt .

Ableitung und Integral

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion . Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort ). Es ergibt sich

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}

{\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}}\ln(x)={\frac 1x}

für positives $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ . Für negatives $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ folgt daraus (wegen $-x>0$ ${\displaystyle -x>0}$ $-x>0$ und unter Anwendung der Kettenregel )

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(-x)={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)={\frac {1}{x}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(-x)={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)={\frac {1}{x}}

{\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}}\ln(-x)={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)={\frac 1x}

und wegen $|x|={\begin{cases}x,&{\text{für }}x>0\\-x,&{\text{für }}x<0\end{cases}}$ $|x|={\begin{cases}x,&{\text{für }}x>0\\-x,&{\text{für }}x<0\end{cases}}$ $|x|=\begin{cases} x, & \text{für }x>0\\-x, & \text{für }x<0\end{cases}$ lässt sich beides zu

\forall \ x\neq 0\colon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln |x|={\frac {1}{x}}

\forall \ x\neq 0\colon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln |x|={\frac {1}{x}}

\forall \ x\neq 0\colon {\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}}\ln |x|={\frac 1x}

zusammenfassen. Für allgemeine Logarithmen gilt:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}.

{\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}}\log _{b}|x|={\frac 1{x\ln b}}.

Für alle reellen $x\neq 0$ $x\neq 0$ $x\neq 0$ ist

\int _{-1}^{x}{{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t}=\ln |x|,

\int _{-1}^{x}{{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t}=\ln |x|,

\int_{-1}^x{\frac{1}{t}\,\mathrm dt} = \ln |x|,

wobei für positives $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ (wenn also über den Pol bei $t=0$ ${\displaystyle t=0}$ $t=0$ integriert wird) der Hauptwert des Integrals zu nehmen ist.

Die Stammfunktion (auch bekannt als unbestimmtes Integral ) des natürlichen Logarithmus lässt sich durch partielle Integration gewinnen:

{\begin{aligned}\int {\ln |x|\,\mathrm {d} x}&=\int 1\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|-\int x{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|\;-x+C.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\int {\ln |x|\,\mathrm {d} x}&=\int 1\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|-\int x{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|\;-x+C.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\int {\ln |x|\,\mathrm {d} x}&=\int 1\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|-\int x{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|\;-x+C.\end{aligned}}

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von de l'Hospital angewendet werden.

Beispiel: $\int _{0}^{1}{\ln x\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1,$ $\int _{0}^{1}{\ln x\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1,$ $\int_0^1{\ln x\,\mathrm dx} = [x\ln{x}-x]_0^1 = -1,$

da

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{1/x}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1/x}{-1/x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}-x\\&=0.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{1/x}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1/x}{-1/x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}-x\\&=0.\end{aligned}}

\begin{align} \lim_{x\to 0^+} x\ln x &= \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}\\ &= \lim_{x\to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2}\\ &= \lim_{x\to 0^+} -x\\ &= 0. \end{align}

Kurvendiskussion

Definitionsmenge : $\mathbb {R} ^{+}={\mathopen {]}}0,\infty {\mathclose {[}}$ $\mathbb {R} ^{+}={\mathopen {]}}0,\infty {\mathclose {[}}$ $\mathbb {R} ^{+}={\mathopen {]}}0,\infty {\mathclose {[}}$
Wertemenge : $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Nullstellenmenge bzw. Kurvenschnittpunkte mit den Koordinatenachsen : {1} bzw. (1|0)
Asymptotisches Verhalten :

\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}

\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}

\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}

\lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}

\lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}

\lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}

Erste Ableitung :

(\log _{b}|x|)'={\frac {1}{x\ln b}}

(\log _{b}|x|)'={\frac {1}{x\ln b}}

(\log_b |x|)' = \frac 1{x\ln b}

Extrempunkte : keine
Wendepunkte : keine
Monotonie : streng monoton steigend/wachsend (wenn $b>1$ ${\displaystyle b>1}$ $b > 1$ ) bzw. fallend (wenn $b<1$ ${\displaystyle b<1}$ $b < 1$ )
Flächeninhalt der Fläche zwischen Kurve, y-Achse und x-Achse bis x ≤ 1: ${\frac {1}{|\ln b|}}$ ${\frac {1}{|\ln b|}}$ $\frac {1}{|\ln b|}$
Krümmungs extremum bei $x_{k}={\frac {1}{{\sqrt {2}}|\ln b|}}$ $x_{k}={\frac {1}{{\sqrt {2}}|\ln b|}}$ $x_k=\frac{1}{\sqrt 2 |\ln b|}$ mit $\kappa (x_{k})=-{\frac {2\ln b}{3{\sqrt {3}}}}$ $\kappa (x_{k})=-{\frac {2\ln b}{3{\sqrt {3}}}}$ $\kappa(x_k) = -\frac{2\ln b}{3\sqrt 3}$

Natürlicher Logarithmus

Der Logarithmus zur Basis $\mathrm {e}$ $\mathrm {e}$ $\mathrm {e}$ (der Eulerschen Zahl ) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder oft auch „log“ (ohne Tiefstellung ) abgekürzt:

Wenn

y=\mathrm {e} ^{x}

y=\mathrm {e} ^{x}

y=\mathrm {e} ^{x}

, dann ist

x=\log _{\mathrm {e} }y=\ln y

x=\log _{\mathrm {e} }y=\ln y

x=\log _{\mathrm {e} }y=\ln y

– oder einfacher formuliert:

\ln(\mathrm {e} ^{x})=x

\ln(\mathrm {e} ^{x})=x

\ln(\mathrm {e} ^{x})=x

Die Zahl $\mathrm {e}$ $\mathrm {e}$ $\mathrm {e}$ ist z. B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion $\mathrm {e} ^{x}$ $\mathrm {e} ^{x}$ $\mathrm {e} ^{x}$ sich bei Ableitung nach $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ wieder selbst reproduziert, als Formel:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{x}.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{x}.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{x}.

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis $\mathrm {e}$ $\mathrm {e}$ $\mathrm {e}$ in vielen Zusammenhängen ( Integralrechnung , Differentialrechnung , Komplexe Zahlen , Trigonometrie ) auf natürliche Weise ohne Vorfaktoren auftreten. Insbesondere lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus $\ln$ $\ln$ $\ln$ ist eine Stammfunktion $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ der Kehrwertfunktion $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ mit $f(x)=x^{-1}={\tfrac {1}{x}}$ $f(x)=x^{-1}={\tfrac {1}{x}}$ $f(x)=x^{-1}=\tfrac{1}{x}$ , nämlich genau die mit $F(1)=0$ ${\displaystyle F(1)=0}$ $F(1)=0$ .

Berechnung des Logarithmus

Die Berechnung eines Logarithmus ist prinzipiell kompliziert. Sie lässt sich „mit Papier und Bleistift“ nur durch die vielfache Wiederholung bestimmter Rechenvorgänge erreichen, wobei das Ergebnis des gerade ausgeführten Schrittes als Ausgangsbasis für den nächsten Rechenschritt verwendet wird ( Iterative Vorgehensweise ). Meist kann man sich dem Wert nur annähern ( Approximation ) . Dazu gibt es verschiedene mögliche Vorgehensweisen, von denen einige im Folgenden dargestellt sind. Anfangs ist das Ergebnis dieser Teilschritte jeweils relativ weit entfernt von dem korrekten Ergebnis, wird aber bei jedem weiteren Rechenschritt genauer, es konvergiert zu dem korrekten Ergebnis. Solche iterativen Rechenoperationen sind sehr gut geeignet, um sie automatisch mit einem Taschenrechner oder Computer auszuführen, wo lediglich eine Taste gedrückt werden muss (falls auf dem Gerät vorgesehen), um den Logarithmus der eingegebenen Zahl zu einer festgelegten Basis (meist die Eulersche Zahl e (2,718…) oder die Zahl 10) zu berechnen. Die folgenden Rechenbeispiele sind jeweils nur zur Berechnung des Logarithmus einer beliebigen Zahl zur Basis e (natürlicher Logarithmus) oder 2 geeignet.

Potenzreihe

Illustration der ersten Teilsummen der von Nikolaus Mercator entdeckten Reihendarstellung des natürlichen Logarithmus; die Reihe konvergiert nur im nicht-schraffierten Bereich

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 ergibt sich für $-1<x\leq 1$ $-1<x\leq 1$ $-1 < x \leq 1$ als

{\begin{aligned}\ln(1+x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k+1}}{k+1}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \dotsb \\&\qquad \dotsb +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;+\;R_{n+1}(x)\,.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln(1+x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k+1}}{k+1}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \dotsb \\&\qquad \dotsb +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;+\;R_{n+1}(x)\,.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln(1+x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k+1}}{k+1}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \dotsb \\&\qquad \dotsb +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;+\;R_{n+1}(x)\,.\end{aligned}}

Sie konvergiert nicht sonderlich schnell an den Rändern des Konvergenzintervalls, das Restglied der $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -ten Partialsumme hat die Größe

|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}}.

|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}}.

|R_{n+1}(x)|\le\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}.

Diese Reihe lässt sich auch als Kettenbruch darstellen: ^[8]

\ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}

\ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}

\ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}

Mit Hilfe der Formel $\ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x)$ $\ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x)$ $\ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x)$ kann man die Berechnung des Logarithmus für beliebige $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ auf die für Werte im Interval ${\big [}{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {4}{3}}{\big ]}$ ${\big [}{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {4}{3}}{\big ]}$ ${\big [}{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {4}{3}}{\big ]}$ reduzieren, dh, man findet immer $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ und $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ mit $2^{-m}x=1+y$ $2^{-m}x=1+y$ $2^{-m}x=1+y$ und $|y|\leq {\tfrac {1}{3}}$ $|y|\leq {\tfrac {1}{3}}$ $|y|\le\tfrac13$

Illustration der Konvergenz der nebenstehenden artanh-Entwicklung für unterschiedliche Anzahl von Summanden

Mehr Flexibilität in der Reduktion auf Zahlen nahe 1 und eine Halbierung des Berechnungsaufwandes bietet folgende Reihendarstellung , die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens hyperbolicus $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ beruht,

{\begin{aligned}\ln x&=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\!\!+\,\,R_{n+1}(x)\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln x&=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\!\!+\,\,R_{n+1}(x)\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln x&=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\!\!+\,\,R_{n+1}(x)\end{aligned}}

mit der Restgliedabschätzung

|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2(2n+3)\,|x|}}\left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|^{2n+1}.

|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2(2n+3)\,|x|}}\left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|^{2n+1}.

|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2(2n+3)\,|x|}}\left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|^{2n+1}.

Die Reihe konvergiert für $x>0$ ${\displaystyle x>0}$ $x>0$ , zeigt für $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ und ${\tfrac {1}{x}}$ ${\tfrac {1}{x}}$ $\tfrac{1}{x}$ ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert umso besser, je näher $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man wieder

\ln x=2m\ln({\sqrt {2}})+\ln(2^{-m}x).

\ln x=2m\ln({\sqrt {2}})+\ln(2^{-m}x).

\ln x = 2m \ln(\sqrt 2) + \ln(2^{-m} x).

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ kann man immer erreichen, dass gilt ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}$ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}$ $\tfrac1{\sqrt2} \leq 2^{-m}x \leq \sqrt2$ und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für $2^{-m}x$ $2^{-m}x$ $2^{-m}x$ berechnet. Allerdings muss man zusätzlich noch eine Näherung für $\ln {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}\ln 2$ $\ln {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}\ln 2$ $\ln\sqrt 2=\tfrac12\ln 2$ berechnen, was über die gleiche Reihe erfolgt. Eine solche Transformation auf ein Intervall ${\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big ]}$ ${\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big ]}$ ${\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big ]}$ durch Skalierung von $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ mit $b^{2m}$ $b^{2m}$ $b^{2m}$ ist auch für andere Werte von $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ möglich, durch die besonders einfache Handhabung der 2 in binär dargestellten Zahlen wird selten ein anderer Faktor verwendet.

Additive Zerlegung

Der natürliche Logarithmus $\ln$ $\ln$ $\ln$ steht, wie im obigen Abschnitt erwähnt, mit dem Areatangens hyperbolicus $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ per

\ln x=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\qquad \,(0<x)

\ln x=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\qquad \,(0<x)

\ln x=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\qquad \,(0<x)

in Beziehung, was nach der anderen Seite aufgelöst

\operatorname {artanh} u={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+u}{1-u}}\qquad (-1<u<1)

\operatorname {artanh} u={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+u}{1-u}}\qquad (-1<u<1)

\operatorname {artanh} u={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+u}{1-u}}\qquad (-1<u<1)

ergibt.

Die Logarithmen der positiv-ganzzahligen Numeri lassen sich damit in aufsteigenden Einerstufen der Form

{\begin{aligned}\ln(n+1)&=\ln n+\ln {\frac {n+1}{n}}=\ln n+2\operatorname {artanh} {\frac {1}{2n+1}}\\&=2\sum _{\nu =1}^{n}\operatorname {artanh} {\frac {1}{2\nu +1}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln(n+1)&=\ln n+\ln {\frac {n+1}{n}}=\ln n+2\operatorname {artanh} {\frac {1}{2n+1}}\\&=2\sum _{\nu =1}^{n}\operatorname {artanh} {\frac {1}{2\nu +1}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln(n+1)&=\ln n+\ln {\frac {n+1}{n}}=\ln n+2\operatorname {artanh} {\frac {1}{2n+1}}\\&=2\sum _{\nu =1}^{n}\operatorname {artanh} {\frac {1}{2\nu +1}}\end{aligned}}

darstellen und ausrechnen. Dabei verbessert sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe

\operatorname {artanh} u=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{2k+1}}{2k+1}}=u+{\frac {1}{3}}u^{3}+{\frac {1}{5}}u^{5}+{\frac {1}{7}}u^{7}+\ldots

\operatorname {artanh} u=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{2k+1}}{2k+1}}=u+{\frac {1}{3}}u^{3}+{\frac {1}{5}}u^{5}+{\frac {1}{7}}u^{7}+\ldots

\operatorname {artanh} u=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{2k+1}}{2k+1}}=u+{\frac {1}{3}}u^{3}+{\frac {1}{5}}u^{5}+{\frac {1}{7}}u^{7}+\ldots

geringfügig mit wachsendem $n .$ ${\displaystyle n.}$ $n.$

Mithilfe des Additionstheorems

\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} {\frac {u+v}{1+uv}}

\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} {\frac {u+v}{1+uv}}

\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} {\frac {u+v}{1+uv}}

lässt sich $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ und damit auch $\ln$ $\ln$ $\ln$ additiv zerlegen. So ergeben sich beispielsweise die folgenden Identitäten für die natürlichen Logarithmen der ersten Primzahlen. Dabei werde der Übersichtlichkeit halber das Additionstheorem als Gruppengesetz $\oplus$ $\oplus$ $\oplus$ ^[9]

u\oplus v:=\tanh(\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v)={\frac {u+v}{1+uv}},

u\oplus v:=\tanh(\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v)={\frac {u+v}{1+uv}},

u\oplus v:=\tanh(\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v)={\frac {u+v}{1+uv}},

sowie seine $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -fache Vervielfältigung als

n\!\odot \!u:=\underbrace {u\oplus u\oplus \dotsb \oplus u} _{n{\text{-mal}}}=\bigoplus _{\nu =1}^{n}u

n\!\odot \!u:=\underbrace {u\oplus u\oplus \dotsb \oplus u} _{n{\text{-mal}}}=\bigoplus _{\nu =1}^{n}u

n\!\odot \!u:=\underbrace {u\oplus u\oplus \dotsb \oplus u} _{n{\text{-mal}}}=\bigoplus _{\nu =1}^{n}u

formuliert.

$\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 2\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 2\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 2\right)$	$={\tfrac {1}{3}}$ $={\tfrac {1}{3}}$ $={\tfrac {1}{3}}$	$=2\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{17}}$ $=2\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{17}}$ $=2\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{17}}$	$=\;\,7\!\odot \!{\tfrac {1}{19}}\;\ominus \;\;\,2\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$ $=\;\,7\!\odot \!{\tfrac {1}{19}}\;\ominus \;\;\,2\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$ $=\;\,7\!\odot \!{\tfrac {1}{19}}\;\ominus \;\;\,2\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$
$\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 3\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 3\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 3\right)$	$={\tfrac {1}{2}}$ $={\tfrac {1}{2}}$ $={\tfrac {1}{2}}$	$=3\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;2\!\odot \!{\tfrac {1}{17}}$ $=3\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;2\!\odot \!{\tfrac {1}{17}}$ $=3\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;2\!\odot \!{\tfrac {1}{17}}$	$=11\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;\;\,8\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;5\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$ $=11\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;\;\,8\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;5\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$ $=11\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;\;\,8\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;5\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$
$\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 5\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 5\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 5\right)$	$={\tfrac {2}{3}}$ $={\tfrac {2}{3}}$ $={\tfrac {2}{3}}$	$=4\!\odot \!{\tfrac {1}{5}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{161}}$ $=4\!\odot \!{\tfrac {1}{5}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{161}}$ $=4\!\odot \!{\tfrac {1}{5}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{161}}$	$=16\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;12\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$ $=16\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;12\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$ $=16\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;12\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},$
$\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 7\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 7\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 7\right)$	$={\tfrac {3}{4}}$ $={\tfrac {3}{4}}$ $={\tfrac {3}{4}}$	$=3\!\odot \!{\tfrac {1}{3}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{15}}$ $=3\!\odot \!{\tfrac {1}{3}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{15}}$ $=3\!\odot \!{\tfrac {1}{3}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{15}}$	$=14\!\odot \!{\tfrac {1}{15}}\;\oplus \;\;\,6\!\odot \!{\tfrac {1}{97}}\;\ominus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{127}}$ $=14\!\odot \!{\tfrac {1}{15}}\;\oplus \;\;\,6\!\odot \!{\tfrac {1}{97}}\;\ominus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{127}}$ $=14\!\odot \!{\tfrac {1}{15}}\;\oplus \;\;\,6\!\odot \!{\tfrac {1}{97}}\;\ominus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{127}}$ sowie
$\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 11\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 11\right)$ $\tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 11\right)$	$={\tfrac {5}{6}}$ $={\tfrac {5}{6}}$ $={\tfrac {5}{6}}$	$=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{10}}$ $=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{10}}$ $=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{10}}$	$=24\!\odot \!{\tfrac {1}{23}}\;\oplus \;11\!\odot \!{\tfrac {1}{65}}\;\ominus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{485}}.$ $=24\!\odot \!{\tfrac {1}{23}}\;\oplus \;11\!\odot \!{\tfrac {1}{65}}\;\ominus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{485}}.$ $=24\!\odot \!{\tfrac {1}{23}}\;\oplus \;11\!\odot \!{\tfrac {1}{65}}\;\ominus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{485}}.$

Für die praktische Rechnung sind Zerlegungen bevorzugt, deren Summanden eine Eins im Zähler haben. Wie beim Arkustangens bleiben bei der Verdoppelung

{\tfrac {1}{n}}=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2n}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{4n^{3}-3n}}

{\tfrac {1}{n}}=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2n}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{4n^{3}-3n}}

{\tfrac {1}{n}}=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2n}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{4n^{3}-3n}}

die Einsen im Zähler erhalten.

Grenzwerte nach Hurwitz

Für den natürlichen Logarithmus gelten die Grenzwerte

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)

sowie gleichbedeutend damit

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t^{1-h}}}\,\mathrm {d} t

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t^{1-h}}}\,\mathrm {d} t

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t^{1-h}}}\,\mathrm {d} t

die man leicht mit der Regel von de l'Hospital bestätigt.

Hierauf basieren die von Adolf Hurwitz für den natürlichen Logarithmus angegebenen Grenzwerte der Folgen $a_{n}$ $a_{n}$ $a_{n}$ bzw. $b_{n}$ $b_{n}$ $b_{n}$ , die über

{\begin{aligned}a_{n}&=2^{n}(x_{n}-1)\\b_{n}&=2^{n}\left(1-{\frac {1}{x_{n}}}\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}a_{n}&=2^{n}(x_{n}-1)\\b_{n}&=2^{n}\left(1-{\frac {1}{x_{n}}}\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}a_{n}&=2^{n}(x_{n}-1)\\b_{n}&=2^{n}\left(1-{\frac {1}{x_{n}}}\right),\end{aligned}}

wobei

x_{n+1}={\sqrt {x_{n}}}\quad {\text{mit}}\quad x_{0}=x

x_{n+1}={\sqrt {x_{n}}}\quad {\text{mit}}\quad x_{0}=x

x_{n+1}=\sqrt{x_n}\quad\text{mit}\quad x_0=x

definiert sind. Wegen $1-{\tfrac {1}{x}}\leq b_{n}\leq a_{n}<x-1$ $1-{\tfrac {1}{x}}\leq b_{n}\leq a_{n}<x-1$ $1-\tfrac1{x}\le b_n \le a_n < x-1$ und weil $a_{n}$ $a_{n}$ $a_{n}$ monoton fallend und $b_{n}$ $b_{n}$ $b_{n}$ monoton wachsend ist, folgt die Konvergenz dieser beiden Folgen. Aufgrund von $a_{n}=b_{n}x_{n}$ $a_{n}=b_{n}x_{n}$ $a_n=b_n x_n$ und $x_{n}\rightarrow 1$ $x_{n}\rightarrow 1$ $x_{n}\rightarrow 1$ ergibt sich die Gleichheit der beiden Grenzwerte:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=\ln x.

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=\ln x.

\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}b_n = \ln x.

Für eine praktische Berechnung von ln $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ sind diese Grenzwerte wegen der auftretenden Auslöschung jedoch nicht gut geeignet.

Berechnung einzelner Binärziffern

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Logarithmus besteht darin, nacheinander die Ziffern der Binärdarstellung des Logarithmus zur Basis 2 zu bestimmen. Dieses Verfahren ist besonders einfach auf Rechenwerken zu implementieren, da es aufwändige Divisionen vermeidet und auch leicht in Festkomma-Arithmetik umsetzbar ist.

Zunächst werden die Vorkommastellen des Zweierlogarithmus (immer im Dualsystem ) durch Abzählen der Vorkommastellen der Zahl $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ bestimmt und $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ durch Schieben auf Werte zwischen 1 und 2 normiert.

Der Logarithmus von $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ hat danach die Darstellung

{\begin{aligned}\log _{2}(x)&=0,b_{1}b_{2}b_{3}\cdots =\sum _{k>0}b_{k}2^{-k}{\text{ mit }}b_{k}\in \{0,1\}\\\log _{2}(x^{2})&=b_{1},b_{2}b_{3}\cdots \qquad {\text{ wegen }}\quad \log(x^{2})=2\log x.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\log _{2}(x)&=0,b_{1}b_{2}b_{3}\cdots =\sum _{k>0}b_{k}2^{-k}{\text{ mit }}b_{k}\in \{0,1\}\\\log _{2}(x^{2})&=b_{1},b_{2}b_{3}\cdots \qquad {\text{ wegen }}\quad \log(x^{2})=2\log x.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\log _{2}(x)&=0,b_{1}b_{2}b_{3}\cdots =\sum _{k>0}b_{k}2^{-k}{\text{ mit }}b_{k}\in \{0,1\}\\\log _{2}(x^{2})&=b_{1},b_{2}b_{3}\cdots \qquad {\text{ wegen }}\quad \log(x^{2})=2\log x.\end{aligned}}

Quadrieren von $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ schiebt den Logarithmus also um eine Binärstelle nach links, wodurch die Vorkommastelle möglicherweise Eins wird. Dies ist dann der Fall, wenn $x^{2}\geq 2$ $x^{2}\geq 2$ $x^{2}\geq 2$ ist. In diesem Falle wird $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ durch Division durch 2 wieder normiert, was keinen Einfluss auf die verbleibenden Nachkommastellen hat. Damit ergibt sich die folgende Skizze des Verfahrens:

 INPUT 1 ≤ x < 2
OUTPUT Nachkommastellen b _i der Binärdarstellung von log ₂ (x)

i ← 0
LOOP
   i ← i + 1
   x ← x ²
   IF x ≥ 2 THEN
      x ← x / 2
      b _i ← 1
   ELSE
      b _i ← 0
   END IF
END LOOP

Analogrechner

Vereinfachtes Schaltbild eines Logarithmierers

Zur Berechnung des Logarithmus mithilfe eines Analogrechners – also etwa der Erzeugung einer elektrischen Ausgangsspannung $U_{\text{a}}$ $U_{\text{a}}$ $U_{\text{a}}$ , die den Logarithmus des Nennwerts der Eingangsspannung $U_{\text{e}}$ $U_{\text{e}}$ $U_{\text{e}}$ annimmt – kann man sich den exponentiellen Verlauf der Strom-Spannungs-Kennlinie einer Diode zunutze machen. Die nebenstehende Skizze zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Logarithmierers mit einem Operationsverstärker , einer Diode $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ und einem Widerstand $R$ ${\displaystyle R}$ $R$ .

Komplexer Logarithmus

Riemannsche Fläche der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.

Hauptwert

\ln z

\ln z

\ln z

des Logarithmus

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl $w$ ${\displaystyle w}$ $w$ , welche die Gleichung

\mathrm {e} ^{w}=z

\mathrm {e} ^{w}=z

\mathrm {e} ^{w}=z

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ . Für jedes $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ existiert ein solches $w$ ${\displaystyle w}$ $w$ , das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen

\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1,\quad k\in \mathbb {Z}

\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1,\quad k\in \mathbb {Z}

\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1,\quad k\in \mathbb {Z}

,

nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus $w$ ${\displaystyle w}$ $w$ von $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ gefunden, so ist damit auch

w'=\,\!w+2k\pi \mathrm {i}

w'=\,\!w+2k\pi \mathrm {i}

w'=\,\!w+2k\pi \mathrm {i}

mit jeder ganzen Zahl $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ ein Logarithmus von $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ , denn es gilt

\mathrm {e} ^{w'}=\mathrm {e} ^{w+2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot 1=\mathrm {e} ^{w}=z

\mathrm {e} ^{w'}=\mathrm {e} ^{w+2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot 1=\mathrm {e} ^{w}=z

\mathrm {e} ^{w'}=\mathrm {e} ^{w+2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot 1=\mathrm {e} ^{w}=z

.

Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für $w$ ${\displaystyle w}$ $w$ solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z. B. den Streifen

\left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\operatorname {Im} \,w\leq \pi \right\}

\left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\operatorname {Im} \,w\leq \pi \right\}

\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}

verwenden. Ein Wert $w$ ${\displaystyle w}$ $w$ aus diesem Streifen heißt Hauptwert ( englisch principal value ) des Logarithmus, und man schreibt $w=\ln z$ $w=\ln z$ $w = \ln z$ . Stellt man $z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}$ $z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}$ $z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}$ in Polarform dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweiges der Logarithmusfunktion:

w=\ln |z|+\mathrm {i} \left(\arg z+2k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z}

w=\ln |z|+\mathrm {i} \left(\arg z+2k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z}

w=\ln |z|+\mathrm {i} \left(\arg z+2k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z}

mit der Argument -Funktion $\arg$ $\arg$ $\arg$ . Im Summanden $\ln |z|$ $\ln |z|$ $\ln |z|$ wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus $\ln$ $\ln$ $\ln$ verwendet. Für $k=0$ ${\displaystyle k=0}$ $k=0$ erhält man den Hauptzweig des komplexen Logarithmus zurück:

\ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \arg z

\ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \arg z

\ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \arg z

.

$\ln$ $\ln$ $\ln$ ist nicht stetig auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ $\mathbb C\setminus\{0\}$ . Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist $\ln$ $\ln$ $\ln$ auf dem Gebiet

\mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}

\mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}

\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}

stetig und sogar holomorph .

Zur Beachtung

Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus $\ln$ $\ln$ $\ln$ gelten nicht alle der weiter oben angeführten Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion . Sie gelten nur ${\text{mod }}2\pi \mathrm {i}$ ${\text{mod }}2\pi \mathrm {i}$ ${\text{mod }}2\pi \mathrm {i}$ . Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von

\ln(-1+\mathrm {i} )+\ln(-1+\mathrm {i} )={\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}+{\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}=\ln 2+{\frac {3\pi }{2}}\mathrm {i}

\ln(-1+\mathrm {i} )+\ln(-1+\mathrm {i} )={\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}+{\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}=\ln 2+{\frac {3\pi }{2}}\mathrm {i}

\ln(-1+\mathrm {i} )+\ln(-1+\mathrm {i} )={\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}+{\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}=\ln 2+{\frac {3\pi }{2}}\mathrm {i}

mit

\ln {\bigl (}(-1+\mathrm {i} )(-1+\mathrm {i} ){\bigr )}=\ln(-2\mathrm {i} )=\ln 2-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i}

\ln {\bigl (}(-1+\mathrm {i} )(-1+\mathrm {i} ){\bigr )}=\ln(-2\mathrm {i} )=\ln 2-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i}

\ln {\bigl (}(-1+\mathrm {i} )(-1+\mathrm {i} ){\bigr )}=\ln(-2\mathrm {i} )=\ln 2-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i}

zeigt, dass

\ln x+\ln y=\ln(x\cdot y)

\ln x+\ln y=\ln(x\cdot y)

\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)

nicht für alle von $0$ ${\displaystyle 0}$ $0$ verschiedenen komplexen Zahlen $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ und $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ richtig ist. Auch die Gleichung

y\cdot \ln x=\ln {x^{y}}

y\cdot \ln x=\ln {x^{y}}

y \cdot \ln x = \ln{x^y}

ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel

2\pi \mathrm {i} \ln \mathrm {e} =2\pi \mathrm {i} \;\neq \;0=\ln 1=\ln(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} })

2\pi \mathrm {i} \ln \mathrm {e} =2\pi \mathrm {i} \;\neq \;0=\ln 1=\ln(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} })

2\pi \mathrm {i} \ln \mathrm {e} =2\pi \mathrm {i} \;\neq \;0=\ln 1=\ln(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} })

beweist.

Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus
Betrag von $\ln z$ $\ln z$ $\ln z$
Realteil von $\ln z$ $\ln z$ $\ln z$
Imaginärteil von $\ln z$ $\ln z$ $\ln z$

Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen reellen Zahlen erklären:

\ln(-x)=\ln \left\vert -x\right\vert +\mathrm {i} \arg(-x)=\ln x+\mathrm {i} \pi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{+}\ .

\ln(-x)=\ln \left\vert -x\right\vert +\mathrm {i} \arg(-x)=\ln x+\mathrm {i} \pi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{+}\ .

\ln(-x)=\ln \left\vert -x\right\vert +\mathrm {i} \arg(-x)=\ln x+\mathrm {i} \pi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{+}\ .

Das setzt voraus, dass die Argument -Funktion $\arg$ $\arg$ $\arg$ negativen reellen Zahlen den Wert $\pi$ $\pi$ $\pi$ zuweist.

Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der Argument -Funktion zurückzuführen ist.

Diskrete Logarithmen

Diskrete Logarithmen sind Lösungen von Gleichungen der Form

a^{n}=\underbrace {a\circ a\circ \dotsb \circ a} _{n{\text{-mal}}}=b

a^{n}=\underbrace {a\circ a\circ \dotsb \circ a} _{n{\text{-mal}}}=b

a^{n}=\underbrace {a\circ a\circ \dotsb \circ a} _{n{\text{-mal}}}=b

über einer endlichen zyklischen Gruppe $(G,\circ )=\langle a\rangle$ $(G,\circ )=\langle a\rangle$ $(G,\circ) = \langle a \rangle$ . Der diskrete Logarithmus $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ von $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ zur Basis $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ ist modulo der Gruppenordnung von $G$ ${\displaystyle G}$ $G$ eindeutig bestimmt und existiert – da $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ ein Erzeuger der Gruppe ist – für alle Elemente der Gruppe.

Diskrete Logarithmen sind im Sinne der Komplexitätstheorie für viele Gruppen aufwändig zu berechnen und finden Anwendung in der Kryptographie , etwa in auf elliptischen Kurven basierenden Kryptosystemen .

Beispiel:

2^{x}{\bmod {1}}1=5

2^{x}{\bmod {1}}1=5

2^{x}{\bmod {1}}1=5

hat als Lösung den Wert 4, denn es gilt 2 ⁴ = 16, und 16 lässt den Rest 5 bei Division mit Rest durch 11. Die Lösung ist eindeutig modulo 10, also modulo der Gruppenordnung von $(\mathbb {Z} \,/\,11\,\mathbb {Z} )^{\times }$ $(\mathbb {Z} \,/\,11\,\mathbb {Z} )^{\times }$ $(\mathbb Z\,/\,11 \,\mathbb Z)^\times$ . Dementsprechend ist mit $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ auch $x\pm 10$ $x\pm 10$ $x\pm 10$ eine Lösung der Kongruenz.

Siehe auch

Literatur

Charles Naux: Histoire des Logarithmes de Neper a Euler. Tome I, II. Blanchard, Paris 1966, 1971.
Wolfgang Walter: Analysis I. Grundwissen Mathematik . Band 3. Springer, Berlin 1985, ISBN 3-540-12780-1 .
Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3 .
IN Bronstein , KA Semendjajew , G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik . 10., überarbeitete Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5790-7 .
Ernst Hairer , Gerhard Wanner : Analysis in historischer Entwicklung . Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13766-2 .

Weblinks

Wikibooks:

{\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}

${\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}$ ${\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}$ Mathematik für die Schule – Logarithmus

Wikibooks: Logarithmengesetze – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Logarithmus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Eric W. Weisstein : Logarithm . In: MathWorld (englisch).
Logarithmen
Logarithmen und Logarithmusgesetze. (Onlinekurs, Übungen, Applets und Links)

Einzelnachweise

↑ Zum Beispiel C. Knott (Hrsg.): Napier Tercentenary Volume. 1915, S. 83 f.
↑ Kathleen Clark, Clemency Montelle: Logarithms. The early history of a familiar function. Auf: MAA.org.
↑ John Napier: Mirifici logarithmorum canonis descriptio ejusque usus in utraque trigonometria etc. Edinburgh 1614 Englische Übersetzung von Ian Bruce von Napier: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. ua
↑ Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L). Abgerufen am 29. August 2009 (englisch).
↑ Citations - Pierre-Simon De Laplace (1749–1827). Abgerufen am 14. Juni 2018 (französisch).
↑ Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.
↑ Lothar Kusch: Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6 , S. 162 f.
↑ L. Lorentzen, H. Waadeland: A.2.2 The exponential function . (PDF) Continued Fractions . Atlantis Studies in Mathematics, 2008, S. 271. doi:10.2991/978-94-91216-37-4 .
↑ Da $\tanh$ $\tanh$ $\tanh$ und $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ Umkehrfunktionen voneinander sind, sind die Gruppenaxiome leicht nachgerechnet. Das Inverse $\ominus u$ $\ominus u$ $\ominus u$ von $u$ ${\displaystyle u}$ $u$ ist wegen der Ungeradheit dieser Funktionen $=-u.$ ${\displaystyle =-u.}$ $=-u.$

[1] Zum Beispiel C. Knott (Hrsg.): Napier Tercentenary Volume. 1915, S. 83 f.

[2] Kathleen Clark, Clemency Montelle: Logarithms. The early history of a familiar function. Auf: MAA.org.

[3] John Napier: Mirifici logarithmorum canonis descriptio ejusque usus in utraque trigonometria etc. Edinburgh 1614 Englische Übersetzung von Ian Bruce von Napier: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. ua

[4] Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L). Abgerufen am 29. August 2009 (englisch).

[5] Citations - Pierre-Simon De Laplace (1749–1827). Abgerufen am 14. Juni 2018 (französisch).

[Wissenschaftliche_Zeitschrift_der_Humboldt-Universität_zu_Berlin-6] Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.

[7] Lothar Kusch: Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6 , S. 162 f.

[Lorentzen_2008-8] L. Lorentzen, H. Waadeland: A.2.2 The exponential function . (PDF) Continued Fractions . Atlantis Studies in Mathematics, 2008, S. 271. doi:10.2991/978-94-91216-37-4 .

[9] Da $\tanh$ $\tanh$ $\tanh$ und $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ $\operatorname {artanh}$ Umkehrfunktionen voneinander sind, sind die Gruppenaxiome leicht nachgerechnet. Das Inverse $\ominus u$ $\ominus u$ $\ominus u$ von $u$ ${\displaystyle u}$ $u$ ist wegen der Ungeradheit dieser Funktionen $=-u.$ ${\displaystyle =-u.}$ $=-u.$

[1]

[2]

[3],

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]