Masse (fysik)

Efternavn

Dimensioner

m

${\ displaystyle m}$ $m$

Størrelse og Enhedssystem	enhed	dimension
SI	kg	M.
cgs	G	M.

Massen, også forældet hvilemasse, er materiens egenskab. Både tyngdekræfterne, der virker på et legeme, og de tyngdekræfter, der forårsages af det, er proportionale med dets masse. Det bestemmer også den inerti, hvormed kroppens bevægelsestilstand reagerer på kræfter. Denne masses dobbelte rolle er indholdet af ækvivalensprincippet .

I de fleste fysiske størrelsessystemer er det en af de grundlæggende størrelser . Det er i overensstemmelse med det internationale enhedssystem i den angivne enhed kg . Formelsymbolet er for det meste $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .

Massen er en omfattende mængde . Hvis et system har en anden masse end nul, så er de to fysiske størrelser, der er forbundet med bevægelsen, momentum og kinetisk energi , proportional med den. Desuden bestemmer massen af et system dets hvileenergi . På grund af ækvivalensen mellem masse og energi er den eneste forskel mellem de to mængder masse og hvileenergi den konstante faktor $c^{2}$ ${\ displaystyle c ^ {2}}$ $c ^ {2}$ ( Lyshastighed i firkant). Massen af et legeme er uafhængig af dets bevægelse.

Uden for fysikken omtales masse også som vægt , især i dagligsproget. Det skal bemærkes, at dette ord også kan stå for vægt .

Udvikling af massebegrebet

Mass i klassisk mekanik

Det fysiske udtryk masse blev opfundet i midten af 1600 -tallet, da Johannes Kepler , Galileo Galilei , Isaac Newton , Christiaan Huygens (og andre) lagde grundlaget for moderne naturvidenskab ved at studere kropsbevægelser på jorden og på himlen . Ud fra observationer af, hvordan en krops hastighed ændres på grund af påvirkning eller kraftanvendelse, blev det konkluderet, at hvert legeme har en uforanderlig størrelse, der forårsager dens inerti. Dette svarede til det ældre filosofiske udtryk "quantitas materiae", som skulle betegne mængden af stof indeholdt i et legeme. Newton definerede denne størrelse ved at starte med densitet og volumen i et legeme og derefter kaldet det "masse". ^[1] Følgelig blev Newton styret af den dengang almindelige forståelse af, at rent stof eksisterede i form af små partikler af samme natur, som med æterfyldte rum i forskellige størrelser danner de forskellige virkelige legemer. Ud fra dette udviklede begrebet masse i klassisk mekanik sig endelig. Dens nøjagtige egenskaber er: ^[2]

Inerti: På grund af sin masse modsætter et legeme sig en kraft, der ændrer dets hastighed i størrelse og / eller retning med en modstand: Hastighedsændringen finder sted i retning af denne accelererende kraft og er omvendt proportional med massen.
Gravitationsladning: På grund af deres masser tiltrækker to kroppe hinanden, hvorved denne attraktionskrafts retning ligger langs forbindelseslinjen, og dens styrke er proportional med masserne af begge legemer.
Uforanderligt mål for mængden af stof: Massen af et legeme afhænger ikke af dets hastighed. I. E. det forbliver det samme, hvis man ændrer den referenceramme , hvori kroppen ses. I klassisk mekanik betyder denne ændring, at kroppens koordinater omdannes ved hjælp af en Galileo -transformation .
Additivitet: Massen af et sammensat legeme er summen af masserne af dets individuelle dele.
Bevaring af masse: Den samlede masse bevares i alle fysiske processer.

Feriebolig nr. 1 er en del af Newtons anden lov og præciserer betydningen af den fysiske mængde masse gennem sin inerti, men det forudsætter, at definitionen af den mængde kraft. Ejendom nr. 2 er en del af Newtons tyngdelov , som blev grundlaget for den præcise beskrivelse af tyngdekraften og planetarisk bevægelse . Det giver den krævede kraftdefinition ved at specificere tyngdekraften og omdanner således alle andre kræfter til målbare størrelser ved at sammenligne dem med vægten som følge af gravitation. Udtalelsen i tyngdeloven om, at det er massen defineret af inerti, der forårsager tyngdekraften, kaldes ækvivalens mellem inert og tung masse . Egenskaber nr. 3 og 4 for masse resulterer i newtonsk mekanik som en konsekvens af at definere ejendom nr. 1. Bevaring af masse (ejendom nr. 5) er en kendsgerning af erfaring, oprindeligt fra mekanikkens område, dens gyldighed i slutningen af 1700 -tallet (især af Antoine de Lavoisier ) kunne også udvides til at omfatte de kemiske processer. Tilsammen svarer de sidste tre egenskaber nøjagtigt til tanken om et uforgængeligt stof, som den materielle verden er lavet af.

Indtil omkring midten af 1700 -tallet blev de vigtige bevarelsesmængder momentum og kinetisk energi udarbejdet, som er forbundet med massen af et legeme i bevægelse:

Bevægelsesmængde: Ud over hastigheden tilhører en anden rettet mængde, momentum, bevægelsen af et legeme. Dens mængde er proportional med massen, dens retning er parallel med hastigheden. Ved hver proces bevares vektorsummen af impulser fra alle involverede kroppe.
Kinetisk energi: Bevægelsen af et legeme inkluderer også en uberørt bevaret mængde, den kinetiske energi . Den er proportional med massen og er nul, når kroppen hviler. Den samlede energi, dvs. summen af kinetisk energi og alle andre energiformer, bevares i hver proces.

Disse to bevarelseslove for momentum og energi er grundlæggende for både klassisk og moderne fysik og gælder i den givne formulering nøjagtigt på begge områder. På grundlag heraf kan der gives en ny definition af masse, der som følge heraf stemmer overens med de fem ovennævnte egenskaber, men ikke allerede forudsætter nogen af dem. ^[3] For at gøre dette har du brug for en præcis definition af, hvordan beskrivelsen af en fysisk proces skal ændres, når du skifter til en bevægelig referenceramme. Der er ingen grund til at ty til begrebet magt, som ifølge Ernst Mach , Gustav Kirchhoff , Heinrich Hertz m.fl. blev kritiseret i 1800 -tallet som uegnet til et grundbegreb, der var tilfredsstillende hvad angår videnskabsteorien .

Skift til moderne fysik

I den klassiske fysiks kontekst og dermed også i hverdagen gælder alle fem af massens ovennævnte egenskaber. I moderne fysik , som er kendetegnet ved relativitetsteorien og kvantefysikken , gælder de kun cirka.

Hendrik Lorentz opdagede i begyndelsen af det 20. århundrede, at for elektrodynamiske processer behøver en ændring af referencesystemet ikke at blive udført ved hjælp af Galileo -transformationen, men ved hjælp af Lorentz -transformationen . Albert Einstein indså, at dette gælder for alle fysiske fænomener, herunder mekanik. Dette gør forbindelsen mellem kraften og ændringen i hastighed forårsaget af den langt mere kompliceret end antaget i den klassiske definition af masse (ejendom nr. 1). Det følger også, at når et system ændrer sin indre energi (dette er det energiindhold, det har i sit hvilesystem), ændres dets masse proportionalt. Massen af et sammensat legeme afhænger derfor ikke kun af masserne af dets bestanddele, men også af de kinetiske og potentielle energier, de har, når kroppen som helhed er i ro. Et legeme mister masse, når det samles fra individuelle komponenter, når bindingsenergi frigives, dette kaldes en massedefekt . Omvendt stiger dens masse, når dens komponenter bevæger sig mere voldsomt, f.eks. Når den opvarmes. De relevante energiværdier opnås altid ved at gange massens værdi eller ændringen i masse med kvadratet af lysets hastighed . Denne omregningsfaktor er en universel konstant. Derfor kan ændringer i masse og energi slet ikke adskilles fra hinanden; der er snarere en generel ækvivalens mellem masse og energi .

Ækvivalensen mellem masse og energi gælder altid. Et legeme i hvile skal være i overensstemmelse med dets masse $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ en hvileenergi $E_{0}=m\,c^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m \, c ^ {2}}$ $E_ {0} = m \, c ^ {2}$ tilskrives (Einsteins ligning). Omvendt skal et system ifølge samme ligning altid tildeles en masse, hvis det har hvileenergi, dvs. hvis det stadig har energi ved nul totalt momentum. Dette forbliver normalt skjult i hverdagen, men er især tydeligt i den gensidige ødelæggelse ( tilintetgørelse ) af to massepåvirkede elementære i betragtning af processen i deres massesystem, så i resten af Zweiteilchensystemerne. Tilintetgørelsesstråling opstår med en energi, der er givet af restenergien fra det forsvundne topartikelsystem. Det har et totalt momentum på nul, ligesom topartikelsystemet før. Den samme masse skal tilskrives dette strålingsfelt som topartikelsystemet, fordi der ikke kan bestemmes nogen forskel. Selv masseløse objekter (f.eks. To eller flere lette kvanta ) kan danne systemer, der har en masse.

De ovennævnte klassiske egenskaber ved massen kan derfor kun forblive tilnærmelsesvis gyldige, nemlig for det klassiske eller ikke-relativistiske grænsetilfælde, dvs. for legemer med masse ved lav hastighed. I henhold til kravene til særlig og generel relativitet skal de omformuleres som følger:

Inerti: På grund af sin masse modsætter et system sig en kraft, der ændrer hastigheden i størrelse og / eller retning: Ændringen i hastighed er omvendt proportional med massen, men afhænger også i retning og størrelse af hastigheden og vinklen mellem kraft og hastighed.
Gravitationsladning: To systemer tiltrækker hinanden på grund af de masser, energier og impulser, de indeholder.
Varierende mængde masse: Massen af et system afhænger ikke af dets hastighed; det forbliver uændret, hvis man ændrer det referencesystem, hvori systemet ses ved hjælp af en Lorentz -transformation.
Additivitet: Massen af et sammensat system er lig med summen af masserne af dets individuelle dele, minus masseækvivalenten af bindingsenergien, der skulle tilføjes for fuldstændig adskillelse af de bundne individuelle dele plus masseækvivalenten af de kinetiske energier for de enkelte dele, der tilhører systemet som frie partikler.
Bevaring af energi: Summen af alle energier bevares i alle processer. Restenergierne forbundet med masserne er indeholdt i den. Summen af masserne alene bevares ikke altid.

I sidste ende defineres massen generelt ved hjælp af ligningen $E_{0}=m\,c^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m \, c ^ {2}}$ $E_ {0} = m \, c ^ {2}$ gennem resten energi. Således er massen en Lorentz -invariant , ligesom massen defineret af Newton er en Galileo -invariant . Derfor falder de to definitioner af masse ikke kun sammen i værdi, men deler også et dybtliggende forhold, hvilket også gør deres forskel klar: Begge definitioner af masse resulterer på samme måde fra bevaringsloven for momentum, når én har det i hvilesystemet formuleret og en anden gang i et referencesystem, der bevæger sig imod det (se nedenfor). Hvis man fuldender overgangen fra den ene beskrivelse til den anden med den kun tilnærmelsesvis korrekte Galileo -transformation, når man frem til det klassiske massebegreb; hvis man udfører det med Lorentz -transformationen, når man frem til det moderne massebegreb. ^[3] ^[4] ^[5]

Den oprindelige betydning af masse som et mål for mængden af stof kan ikke længere opretholdes. ^[3]

Forældet: "relativistisk masse" og "hvilemasse"

Med introduktionen af relativitetsteorien opstod behovet for at tilpasse massebegrebet baseret på klassisk mekanik. Om ækvivalensen mellem masse og energi var z. B. Lorentz introducerede en såkaldt "relativistisk masse" af et system, som efter multiplikation med faktoren $c^{2}$ ${\ displaystyle c ^ {2}}$ $c ^ {2}$ er lig med summen af hvileenergi og kinetisk energi. Den "relativistiske masse" blev efterfølgende defineret som masse . Derfor var det derefter nødvendigt at betegne den masse, der er resultatet af energien til systemet i hvile, så det ikke har nogen kinetisk energi som "hvilemasse". Da et systems kinetiske energi afhænger af det referencesystem, hvorfra det ses, er den "relativistiske masse" ikke egnet til universelt og direkte at karakterisere systemet.

I første halvdel af det 20. århundrede eksisterede de forskellige betegnelser side om side i specialkredse, indtil den moderne definition, der er gældende i dag, sejrede: masse er en systemegenskab, der er uafhængig af referencesystemet. Dette er massen, der tilhører hvileenergien ^[6] , svarende til den tidligere "hvilemasse". Udtrykket "hvilemasse" er derfor forældet. ^[7] ^[5] Einstein selv begrundede ordvalget i 1948: ^[8]

”Det er ikke godt fra mængden $M={\frac {m}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ ${\ displaystyle M = {\ frac {m} {\ sqrt {1 - {\ tfrac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}$ ${\ displaystyle M = {\ frac {m} {\ sqrt {1 - {\ tfrac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}$ at tale om en krop i bevægelse, som for $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ der kan ikke gives en klar definition. Det er bedre at begrænse dig selv til "hvilemassen" $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Derudover kan du give udtryk for momentum og energi, hvis du vil specificere inertiadfærd for hurtigt bevægelige kroppe. "

- Albert Einstein : Brev til Lincoln Barnett ^[7]

Det er derfor ikke muligt at tilføje masse til et system ved hjælp af acceleration alene.

Den nu historiske definition af masse i form af relativistisk masse, derimod, vedvarer i populærvidenskabelig litteratur og lærebøger. Det afspejles også i den populære betegnelse for masseenergiækvivalens $E=mc^{2}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2}}$ igen; det er rigtigt $E_{0}=mc^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}}$ , med $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E _ {{0}}$ som hvileenergi og $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ som masse.

Definition af masse ved hjælp af bevarelse af momentum

Afledningen af massebegrebet fra bevarelsen af momentum belyser både forskelle og ligheder mellem klassisk og relativistisk fysik. Som et resultat af afledningen ser man: Hvis hvert legeme individuelt et til sin hastighed ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ parallel størrelse ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ vec {p}}$ kan tildeles, så summen af disse to størrelser forbliver konstant i tilfælde af en uelastisk kollision , så skal hvert legeme have en værdi, der er uafhængig af referencesystemet $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ give med ${\vec {p}}=m\ {\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}}}$ (klassisk) eller ${\vec {p}}=m\ {\vec {v}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}}$ (relativistisk) gælder. Den ene betegner ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ vec {p}}$ end impulsen og $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ end kroppens masse. Dette giver en uafhængig definition af massen, som udelukkende er baseret på bevarelse af momentum. ^[3] Det fremgår også, at foruden summen af momenta i klassisk fysik, beholdes massen også, men i relativistisk fysik er summen af mængderne $m\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ${\ displaystyle m \ {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle m \ {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}$ , (bortset fra den universelle faktor $c^{2}$ ${\ displaystyle c ^ {2}}$ $c ^ {2}$ ) angiver de enkelte organers energier.

For denne afledning betragter man det fuldstændigt uelastiske sammenstød , dvs. to legemer ( $K_{1},K_{2}$ ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$ $K_ {1}, K_ {2}$ ) bevæger sig mod hinanden og bliver single ( $K_{1+2}$ ${\ displaystyle K_ {1 + 2}}$ $K _ {{1 + 2}}$ ) stå sammen. Impulserne ( ${\vec {p}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i}}$ ${\ vec p} _ {i}$ ) er hver parallel med hastigheden ( ${\vec {v}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {i}}$ ${\ vec {v}} _ {i}$ ) med oprindeligt ukendte faktorer ( $M_{i}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ $M_ {i}$ ). Bevarelse af momentum betyder:

{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}={\vec {p}}_{1+2}

{\ displaystyle {\ vec {p}} _ {1} + {\ vec {p}} _ {2} = {\ vec {p}} _ {1 + 2}}

{\ vec p} _ {1} + {\ vec p} _ {2} = {\ vec p} _ {{1 + 2}}

Dette giver ligningen:

M_{1}\ {\vec {v}}_{1}+M_{2}\ {\vec {v}}_{2}=M_{1+2}\ {\vec {v}}_{1+2}

{\ displaystyle M_ {1} \ {\ vec {v}} _ {1} + M_ {2} \ {\ vec {v}} _ {2} = M_ {1 + 2} \ {\ vec {v} } _ {1 + 2}}

{\ displaystyle M_ {1} \ {\ vec {v}} _ {1} + M_ {2} \ {\ vec {v}} _ {2} = M_ {1 + 2} \ {\ vec {v} } _ {1 + 2}}

Faktorerne $M_{i}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ $M_ {i}$ kan også afhænge af den respektive hastighed på en endnu ukendt måde. Men de er helt sikkert de samme, hvis begge kroppe er fuldstændig identiske: $M_{1}({\vec {v}})=M_{2}({\vec {v}})=:M({\vec {v}})$ ${\ displaystyle M_ {1} ({\ vec {v}}) = M_ {2} ({\ vec {v}}) =: M ({\ vec {v}})}$ $M_ {1} ({\ vec v}) = M_ {2} ({\ vec v}) =: M ({\ vec v})$ . I dette tilfælde, hvis kollisionen i hvilestellet ( ${\vec {v}}_{1+2}=0$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1 + 2} = 0}$ ${\ vec v} _ {{1 + 2}} = 0$ ) af kroppen dannet ved kollisionen $K_{1+2}$ ${\ displaystyle K_ {1 + 2}}$ $K _ {{1 + 2}}$ er set på:

M({\vec {v}}_{1})\cdot {\vec {v}}_{1}+M({\vec {v}}_{2})\cdot {\vec {v}}_{2}=0

{\ displaystyle M ({\ vec {v}} _ {1}) \ cdot {\ vec {v}} _ {1} + M ({\ vec {v}} _ {2}) \ cdot {\ vec {v}} _ {2} = 0}

{\ displaystyle M ({\ vec {v}} _ {1}) \ cdot {\ vec {v}} _ {1} + M ({\ vec {v}} _ {2}) \ cdot {\ vec {v}} _ {2} = 0}

Derfor følger det, at i dette referencesystem skal hastighederne for de to samme påvirkende legemer være modsatte og lige:

{\vec {v}}_{1}=-{\vec {v}}_{2}=:{\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1} = - {\ vec {v}} _ {2} =: {\ vec {v}}}

{\ vec v} _ {1} = - {\ vec v} _ {2} =: {\ vec v}

De to hastigheder er imidlertid ikke modsat de samme, hvis det samme stød i en med hastigheden $-{\vec {V}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {V}}}$ $- {\ vec V}$ bevægelig referenceramme betragtes. Kroppen bevæger sig i den efter påvirkningen $K_{1+2}$ ${\ displaystyle K_ {1 + 2}}$ $K _ {{1 + 2}}$ ved hastighed ${\vec {V}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}}}$ ${\ vec {V}}$ . Ligningen for bevarelse af momentum er nu:

M({\vec {v}}_{1}^{\,'})\cdot {\vec {v}}_{1}^{\,'}+M({\vec {v}}_{2}^{\,'})\cdot {\vec {v}}_{2}^{\,'}=M_{1+2}({\vec {V}})\cdot {\vec {V}}

{\ displaystyle M ({\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}) \ cdot {\ vec {v}} _ {1} ^ {\,'} + M ({\ vec {v }} _ {2} ^ {\, '}) \ cdot {\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'} = M_ {1 + 2} ({\ vec {V}}) \ cdot {\ vec {V}}}

{\ displaystyle M ({\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}) \ cdot {\ vec {v}} _ {1} ^ {\,'} + M ({\ vec {v }} _ {2} ^ {\, '}) \ cdot {\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'} = M_ {1 + 2} ({\ vec {V}}) \ cdot {\ vec {V}}}

Er i det ${\vec {v}}_{1}^{\,'}\ ,\ {\vec {v}}_{2}^{\,'}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '} \, \ {\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'}}$ ${\ vec v} _ {1} ^ {{\, '}} \, \ {\ vec v} _ {2} ^ {{\,'}}$ hastighederne for de to slaglegemer i den bevægelige referenceramme.

Overvejelse med klassisk fysik

Ifølge Galileo -transformation, der er gældende i klassisk fysik, gælder den simple tilføjelse af hastighederne

{\vec {v}}_{1}^{\,'}={\vec {v}}+{\vec {V}}\ \ {\vec {v}}_{2}^{\,'}=-{\vec {v}}+{\vec {V}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '} = {\ vec {v}} + {\ vec {V}} \ \ {\ vec {v}} _ {2} ^ {\, ​​'} = - {\ vec {v}} + {\ vec {V}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '} = {\ vec {v}} + {\ vec {V}} \ \ {\ vec {v}} _ {2} ^ {\, ​​'} = - {\ vec {v}} + {\ vec {V}}}

og følgelig

{\vec {v}}_{1}^{\,'}+{\vec {v}}_{2}^{\,'}=2\ {\vec {V}}.

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '} + {\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'} = 2 \ {\ vec {V}}.}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '} + {\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'} = 2 \ {\ vec {V}}.}

Denne ligning mellem de tre hastigheder er kun kompatibel med ovenstående ligning mellem de tre pulser, hvis

M({\vec {v}}_{1}^{\,'})=M({\vec {v}}_{2}^{\,'})\ ,

{\ displaystyle M ({\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}) = M ({\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'}) \,}

M ({\ vec v} _ {1} ^ {{\, '}}) = M ({\ vec v} _ {2} ^ {{\,'}}) \,

som

M_{1+2}=2\ M.

{\ displaystyle M_ {1 + 2} = 2 \ M.}

{\ displaystyle M_ {1 + 2} = 2 \ M.}

Fordi med to forskellige faktorer $M({\vec {v}}_{1}^{\,'})\neq M({\vec {v}}_{2}^{\,'})$ ${\ displaystyle M ({\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}) \ neq M ({\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'})}$ ${\ displaystyle M ({\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}) \ neq M ({\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'})}$ kan ikke også få ${\vec {V}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}}}$ ${\ vec {V}}$ parallelt vektorresultat. Fra den første ligning på den foregående linje følger det nu, at faktoren $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ er den samme for alle hastigheder. Det er identisk med massen kendt fra den ældre definition. Følgende gælder generelt (med de sædvanlige symboler):

{\vec {p}}=m\ {\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}}}

Med kendskab til denne ligning kan der tages hensyn til tilfælde af forskellige masser $m_{1}\neq m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ neq m_ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ neq m_ {2}}$ at blive generaliseret. Indsættelse i ligningen for bevarelse af momentum fører til resultatet:

M_{1+2}=m_{1}+m_{2}

{\ displaystyle M_ {1 + 2} = m_ {1} + m_ {2}}

{\ displaystyle M_ {1 + 2} = m_ {1} + m_ {2}}

I klassisk mekanik er massen følgelig en additiv konserveret mængde.

Overvejelse med relativistisk fysik

I dette tilfælde skal Lorentz -transformationen bruges i stedet for Galileo -transformationen. Så gælder den relativistiske tilføjelsessætning i stedet for den simple tilføjelse af hastighedsvektorerne. Heraf følger (efter en lang beregning): Ikke $({\vec {v}}_{1}^{\,'}+{\vec {v}}_{2}^{\,'})$ ${\ displaystyle ({\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '} + {\ vec {v}} _ {2} ^ {\,'})}$ $({\ vec v} _ {1} ^ {{\, '}} + {\ vec v} _ {2} ^ {{\,'}})$ er parallelt med ${\vec {V}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}}}$ ${\ vec {V}}$ men vektoren $\left({\tfrac {{\vec {v}}_{1}^{\,'}}{\sqrt {1-(v_{1}^{\,'}/c)^{2}}}}+{\tfrac {{\vec {v}}_{2}^{\,'}}{\sqrt {1-(v_{2}^{\,'}/c)^{2}}}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {{\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}} {\ sqrt {1- (v_ {1} ^ {\,'} / c) ^ { 2}}}} + {\ tfrac {{\ vec {v}} _ {2} ^ {\, '}} {\ sqrt {1- (v_ {2} ^ {\,'} / c) ^ { 2}}}} \ højre)}$ $\ venstre (\ tfrac {\ vec v ^ {\, '} _ 1} {\ sqrt {1- (v ^ {\,'} _ 1 / c) ^ 2}} + \ tfrac {\ vec v ^ { \, '} _2} {\ sqrt {1- (v ^ {\,'} _ 2 / c) ^ 2}} \ højre)$ . Multipliceret med en konstant, der allerede var inkluderet her på forhånd $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ der henvises til, skal den samlede impuls være $M_{1+2}\ ({\vec {V}})\ {\vec {V}}$ ${\ displaystyle M_ {1 + 2} \ ({\ vec {V}}) \ {\ vec {V}}}$ ${\ displaystyle M_ {1 + 2} \ ({\ vec {V}}) \ {\ vec {V}}}$ resultat. Følgelig er de to impulser fra det stødende legeme igennem

{\vec {p}}={\frac {m}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\ {\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ frac {m} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \ {\ vec {v}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ frac {m} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \ {\ vec {v}}}

givet. Dette gælder for små hastigheder hvor som helst ${\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\approx 1$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}} \ ca. 1}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}} \ ca. 1}$ kan sættes i den ikke-relativistiske formel ${\vec {p}}=m\ {\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ {\ vec {v}}}$ om hvad den konstante faktor $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ viser sig faktisk at være massen i en relativistisk definition. Ligningen for bevarelse af momentum er nu

{\frac {m\ {\vec {v}}_{1}^{\,'}}{\sqrt {1-(v_{1}^{\,'}/c)^{2}}}}+{\frac {m\,{\vec {v}}_{2}^{\,'}}{\sqrt {1-(v_{2}^{\,'}/c)^{2}}}}={\frac {M_{1+2}\,\,{\vec {V}}}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {m \ {\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}} {\ sqrt {1- (v_ {1} ^ {\,'} / c) ^ {2 }}}} + {\ frac {m \, {\ vec {v}} _ {2} ^ {\, '}} {\ sqrt {1- (v_ {2} ^ {\,'} / c) ^ {2}}}} = {\ frac {M_ {1 + 2} \, \, {\ vec {V}}} {\ sqrt {1- (V / c) ^ {2}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {m \ {\ vec {v}} _ {1} ^ {\, '}} {\ sqrt {1- (v_ {1} ^ {\,'} / c) ^ {2 }}}} + {\ frac {m \, {\ vec {v}} _ {2} ^ {\, '}} {\ sqrt {1- (v_ {2} ^ {\,'} / c) ^ {2}}}} = {\ frac {M_ {1 + 2} \, \, {\ vec {V}}} {\ sqrt {1- (V / c) ^ {2}}}}}

og dermed igen muliggør bestemmelsen af $M_{1+2}$ ${\ displaystyle M_ {1 + 2}}$ $M _ {{1 + 2}}$ . Det viser sig, at massen i relativistisk mekanik ikke er en additiv bevarelsesmængde, fordi følgende gælder:

{\frac {m_{1}}{\sqrt {1-(v_{1}^{\,'}/c)^{2}}}}+{\frac {m_{2}}{\sqrt {1-(v_{2}^{\,'}/c)^{2}}}}={\frac {M_{1+2}}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {m_ {1}} {\ sqrt {1- (v_ {1} ^ {\, '} / c) ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2}} { \ sqrt {1- (v_ {2} ^ {\, '} / c) ^ {2}}}} = {\ frac {M_ {1 + 2}} {\ sqrt {1- (V / c) ^ {2}}}}}

\ frac {m_1} {\ sqrt {1- (v_1 ^ {\, '} / c) ^ 2}} + \ frac {m_2} {\ sqrt {1- (v_2 ^ {\,'} / c) ^ 2}} = \ frac {M_ {1 + 2}} {\ sqrt {1- (V / c) ^ 2}}

Ifølge denne ligning er den ifølge den relativistiske formel $E={\dfrac {m\,c^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ${\ displaystyle E = {\ dfrac {m \, c ^ {2}} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle E = {\ dfrac {m \, c ^ {2}} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}$ beregnet energi er en additiv konserveringsmængde.

Positiv og negativ effektiv masse

Den effektive masse af partikler, som er særlig almindelig inden for faststoffysik , er en størrelse, der i nogle henseender er analog med deres masse. Det stammer fra partiklernes dispersionsforhold $E=f(p)$ ${\ displaystyle E = f (p)}$ ${\ displaystyle E = f (p)}$ opnået ved at sætte dette i et bestemt område gennem den ikke-relativistiske ligning $E_{\mathrm {kin} }={\tfrac {p^{2}}{2m_{\text{eff}}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ tfrac {p ^ {2}} {2m _ {\ text {eff}}}}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ tfrac {p ^ {2}} {2m _ {\ text {eff}}}}}}$ er tilnærmet. I modsætning til den reelle masse kan den effektive masse afhænge af momentum og kan endda blive negativ i visse værdiområder.

Masseskål

Fordi momentum af en massepartikel $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ der bevæger sig i fart $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ bevægede sig i relativistisk fysik

{\vec {p}}({\vec {v}})={\frac {m\,{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ vec {v}}) = {\ frac {m \, {\ vec {v}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ vec {v }} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ vec {v}}) = {\ frac {m \, {\ vec {v}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ vec {v }} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

er (afledning se firdobbelt momentum), energien og momentum afhænger af massen gennem energimomentforholdet

E^{2}-{\vec {p}}\,{}^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}

{\ displaystyle E ^ {2} - {\ vec {p}} \, {} ^ {2} \, c ^ {2} = m ^ {2} \, c ^ {4}}

{\ displaystyle E ^ {2} - {\ vec {p}} \, {} ^ {2} \, c ^ {2} = m ^ {2} \, c ^ {4}}

sammen. Ifølge denne ligning ligger de fysisk mulige energier af en massepartikel i det fire-dimensionelle rum for alle tænkelige energi- og momentumværdier $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ på en tredimensionel overflade, den såkaldte masseskål. Hun er en hyperboloid ( $y^{2}-x^{2}=1$ ${\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} = 1}$ $y ^ {2} -x ^ {2} = 1$ beskriver en hyperbola i $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ - $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ -Niveau).

Energi-momentum-forholdet gælder også for fotoner . De er masseløse og bevæger sig altid med lysets hastighed. Energien af en foton er nede på en faktor $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ mængden af dets momentum, dens masse forsvinder:

E_{\text{Photon}}=c\,|{\vec {p}}_{\text{Photon}}|\,,\,m_{\text{Photon}}=0

{\ displaystyle E _ {\ text {Photon}} = c \, | {\ vec {p}} _ {\ text {Photon}} | \ ,, \, m _ {\ text {Photon}} = 0}

{\ displaystyle E _ {\ text {Photon}} = c \, | {\ vec {p}} _ {\ text {Photon}} | \ ,, \, m _ {\ text {Photon}} = 0}

enheder

SI -basisenheden for masse er kilogrammet med enhedssymbolet kg. I forbindelse med forretningstransaktioner kræves det lovligt at anvende kilogrammet som masseenhed i de fleste industrialiserede lande. Historisk set var der utallige vægtmål i brug, hvoraf nogle svarede uspecifikt afhængigt af område, tid og produkt til dimensioner , pakningsenheder , lastekapacitet og andre ting og derfor er vanskelige at specificere præcist; se gamle dimensioner og vægte .

Atommassenheden (u eller amu) bruges i vid udstrækning til at angive massen af atomer og molekyler .

I partikelfysik er det sædvanligt at give en indikation i elektronvolt divideret med kvadratet af lysets hastighed (se masse-energi ækvivalens ).

Måling

Direkte massebestemmelse

Den direkte måling af massen udføres på hvilelegemet ved sammenligning med en referencemasse. To masser er ens, hvis de har samme vægt i det samme tyngdefelt . Dette kan kontrolleres med en strålebalance . Gravitationsfeltets styrke er irrelevant, det skal bare være forskelligt fra nul og det samme på placeringen af de to kroppe. For at bestemme masseenheden, se kilogram .

Strengt taget kan den direkte massebestemmelse kun finde sted i et vakuum. Inden for atmosfæren er det ikke massen, der bestemmes direkte, men vægtværdien , da forskellige masser har forskellig opdrift . Hvis tætheden af kroppen er høj nok, kan opdriften negligeres. I tilfælde af lav densitet (f.eks. For gasser) kan opdriften dog ikke negligeres.

Indirekte massebestemmelse

Massen kan også bestemmes ved hjælp af kræfter og accelerationer. I Newtons mekanik er enhver bevægelsesændring proportional med den kraft, der forårsagede ændringen i bevægelse (se nedenfor: ${\vec {F}}=m\ {\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \ {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \ {\ vec {a}}}$ ). Masse ist somit die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung:

m={\frac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {a}}|}}

m={\frac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {a}}|}}

m={\frac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {a}}|}}

Hierbei ist ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$ die durch eine Kraft ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ verursachte Beschleunigung .

Die meisten Messgeräte zur Bestimmung von makroskopischen Massen ( Waagen ) beruhen darauf, dass bei einer bekannten Beschleunigung die entsprechende Kraft gemessen wird. Im Schwerefeld der Erde mit der Fallbeschleunigung $g$ ${\displaystyle g}$ $g$ wird die Gewichtskraft gemessen. Da sich die gemessene Größe von der Masse nur durch einen konstanten Faktor unterscheidet, kann dass Messgerät auch in Einheiten der Masse kalibriert werden. Dies wird beispielsweise bei Federwaagen verwendet, deren Messprinzip auch den meisten mechanischen Haushaltswaagen zugrunde liegt. Auch elektronische Waagen, die Piezoelemente oder Dehnungsmessstreifen verwenden, messen eigentlich Kräfte, obwohl sie Massen anzeigen. Die Schwankungen der Fallbeschleunigung in Abhängigkeit vom geografischen Ort und der geografischen Höhe sind so gering, dass der systematische Fehler, der sich daraus ergibt, in den meisten Fällen vernachlässigt werden kann und auch wird.

Umgekehrt kann man auch die Masse bestimmen, indem man die Beschleunigung bei bekannter Kraft misst. Darauf beruhen verschiedene Bauformen von Massenspektrometern . So werden beispielsweise geladene Teilchen mit gegebener Geschwindigkeit im Magnetfeld eines Sektorfeld-Massenspektrometers umso stärker abgelenkt, je geringer ihre Masse ist. Aus dem Kurvenradius der Bahnkurve kann somit auf die Masse rückgeschlossen werden. Beim Flugzeitmassenspektrometer hingegen werden die geladenen Teilchen in einem elektrischen Feld beschleunigt. Ihre Endgeschwindigkeit ist dann umso größer, je geringer ihre träge Masse ist.

Die Masse von Himmelskörpern kann auch durch ihre Gravitationswirkung bestimmt werden. Man kann beispielsweise die Masse der Sonne mithilfe des Gravitationsgesetzes aus den Bahndaten der Planeten berechnen, weil deren Zentralbeschleunigung ausschließlich von der Masse und Entfernung des Zentralkörpers abhängt.

Bei homogenen Körpern bekannter Dichte kann die Masse auch durch Volumenmessung bestimmt werden. Am einfachsten gelingt dies bei Flüssigkeiten und Schüttgütern (z. B. Mehl, Zucker, Reis, …) durch geeichte Messbecher .

Klassische Physik

In der klassischen Physik ist die Masse eine Erhaltungsgröße . Das bedeutet, dass sich die Masse in einem geschlossenen System nicht ändert. Wenn beispielsweise ein Stück Holz verbrennt, dann haben nach der klassischen Physik die entstehenden Verbrennungsabgase und die Asche nach der Verbrennung exakt die gleiche Masse wie das Holzstück und der verbrauchte Luftsauerstoff vor der Verbrennung. Dies wird als selbstverständliche empirische Tatsache angenommen, ohne dafür eine Begründung zu geben.

Ebenso wenig erklärt die klassische Mechanik die Äquivalenz von schwerer und träger Masse .

Als schwere Masse bezeichnet man sowohl die Quelle der Gravitationskraft als auch die „Gravitationsladung“. Die von der Masse $M_{\mathrm {s} }$ $M_{\mathrm {s} }$ $M_{{\mathrm {s}}}$ auf die Masse $m_{\mathrm {s} }$ $m_{\mathrm {s} }$ $m_{{\mathrm {s}}}$ ausgeübte Kraft ist

{\vec {F}}=-\ G{\frac {m_{\mathrm {s} }M_{\mathrm {s} }}{|{\vec {r}}|^{2}}}\,{\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}},

{\vec {F}}=-\ G{\frac {m_{\mathrm {s} }M_{\mathrm {s} }}{|{\vec {r}}|^{2}}}\,{\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}},

{\vec {F}}=-\ G{\frac {m_{\mathrm {s} }M_{\mathrm {s} }}{|{\vec {r}}|^{2}}}\,{\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}},

wobei die Massen punkt- oder kugelförmig gedacht sind und ${\vec {r}}$ ${\vec {r}}$ ${\vec {r}}$ der Vektor von $M_{\mathrm {s} }$ $M_{\mathrm {s} }$ $M_{{\mathrm {s}}}$ nach $m_{\mathrm {s} }$ $m_{\mathrm {s} }$ $m_{{\mathrm {s}}}$ ist. $G$ ${\displaystyle G}$ $G$ ist die Gravitationskonstante , eine Naturkonstante .

Die träge Masse $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ ist in der newtonschen Mechanik das, was sich einer Beschleunigung widersetzt. Um den Bewegungszustand eines Körpers zu ändern, muss man daher eine Kraft ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ aufwenden. Je größer diese Kraft ist, umso stärker ändert sich der Impuls. Dies wird durch das 2. newtonsche Axiom , das Aktionsprinzip, ausgedrückt:

{\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} \ {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}

{\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} \ {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}

{\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} \ {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}

Daraus ergibt sich mit dem Impuls $p=m\,v$ $p=m\,v$ $p=m\,v$ für Körper mit konstanter Masse die Bewegungsgleichung zu „Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“, der „Grundgleichung der Mechanik“:

{\vec {F}}=m\ {\vec {a}}

{\vec {F}}=m\ {\vec {a}}

{\vec {F}}=m\ {\vec {a}}

Hier ist die träge Masse also der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung.

Spezielle Relativitätstheorie

Definition der Masse als Lorentzinvariante

In der speziellen Relativitätstheorie wird die Masse so definiert, dass sie eine lorentzinvariante Größe ist, die im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten mit der Masse der klassischen Physik übereinstimmt. Dazu geht man von der Energie-Impuls-Relation eines Systems aus und stellt sie nach der Masse $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ um:

m={\frac {1}{c}}\ {\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}}}

m={\frac {1}{c}}\ {\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}}}

m={\frac {1}{c}}\ {\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}}}

Darin ist $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ die Energie und $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ der Betrag des Impulses des Systems.

Damit ist die so definierte Größe $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ die durch die Konstante $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ dividierte Norm des relativistischen Vierervektors $(E/c,p)$ ${\displaystyle (E/c,p)}$ $(E/c,p)$ (siehe Energie-Impuls-Vektor ), folglich eine Lorentzinvariante . Diese Größe stimmt mit der im Gültigkeitsbereich der klassischen Mechanik definierten Masse überein, dh für Geschwindigkeiten, die klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind. Dies geht aus der Beziehung zwischen Impuls und Geschwindigkeit hervor:

p=m\ v\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

p=m\ v\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

p=m\ v\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

Der Faktor $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}={\frac {E}{m\,c^{2}}}$ $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}={\frac {E}{m\,c^{2}}}$ $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}={\frac {E}{m\,c^{2}}}$ heißt auch Lorentzfaktor .

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ also nicht wie bei Newton das Produkt von Masse $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ und Geschwindigkeit $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ . Die newtonsche Formel gilt nur als Näherung im nichtrelativistischen Grenzfall.

Relativistische Masse

Die relativistische Masse ist das Produkt von Lorentzfaktor γ und Ruhemasse m.

Um dennoch die newtonsche Formel beibehalten zu können, wurde der Begriff relativistische Masse

m_{\text{rel.}}(v)=m\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

m_{\text{rel.}}(v)=m\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

m_{\text{rel.}}(v)=m\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

eingeführt, sodass ${\vec {p}}=m_{\text{rel.}}\ {\vec {v}}$ ${\vec {p}}=m_{\text{rel.}}\ {\vec {v}}$ ${\vec {p}}=m_{\text{rel.}}\ {\vec {v}}$ gilt. In diesem Zusammenhang wird die Masse $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ oft als $m_{0}$ $m_{0}$ $m_{0}$ geschrieben und „Ruhemasse“ genannt (siehe oben unter „Wortgebrauch“ ), ^[9] denn für $v=0$ ${\displaystyle v=0}$ $v=0$ gilt

m_{\text{rel.}}=m_{0}

m_{\text{rel.}}=m_{0}

m_{\text{rel.}}=m_{0}

.

Der Begriff der relativistischen oder relativistisch veränderlichen Masse wird in der populären Literatur heute noch benutzt. In der Fachsprache wird er jedoch zunehmend vermieden, damit der Begriff der Masse konsequent für eine vom Beobachter unbeeinflusste Eigenschaft des Teilchens oder Systems verwendet werden kann. Zudem führt die relativistische Masse $m_{\text{rel.}}(v)$ $m_{\text{rel.}}(v)$ $m_{{{\text{rel.}}}}(v)$ an Stelle von $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ nur in den Gleichungen für den Impuls ${\vec {p}}$ ${\vec {p}}$ ${\vec {p}}$ und für die relativistische Energie $E=m_{\text{rel.}}(v)\ c^{2}$ $E=m_{\text{rel.}}(v)\ c^{2}$ $E=m_{\text{rel.}}(v)\ c^{2}$ zu richtigen Ergebnissen. Im newtonschen Gravitationsgesetz eingesetzt bringt sie aber falsche Ergebnisse hervor, ebenso im 2. newtonschen Gesetz, wenn man es als ${\vec {F}}=m_{\text{rel.}}(v)\cdot {\vec {a}}$ ${\vec {F}}=m_{\text{rel.}}(v)\cdot {\vec {a}}$ ${\vec {F}}=m_{{{\text{rel.}}}}(v)\cdot {\vec {a}}$ schriebe.

Der letztgenannte Mangel ergibt sich aus der Definition der Kraft ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ als die zeitliche Änderung des Impulses, in der speziellen Relativitätstheorie also:

{\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} \ {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\ {\vec {a}}+{\frac {m\ ({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})}{c^{2}\,\left({\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\right)^{3}}}\ {\vec {v}}

{\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} \ {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\ {\vec {a}}+{\frac {m\ ({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})}{c^{2}\,\left({\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\right)^{3}}}\ {\vec {v}}

{\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} \ {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\ {\vec {a}}+{\frac {m\ ({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})}{c^{2}\,\left({\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\right)^{3}}}\ {\vec {v}}

Bildet man hieraus die Größe $({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})$ $({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})$ $({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})$ und damit die Größe

\left({\vec {F}}-{\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})}{c^{2}}}\ {\vec {v}}\right),

\left({\vec {F}}-{\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})}{c^{2}}}\ {\vec {v}}\right),

\left({\vec {F}}-{\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})}{c^{2}}}\ {\vec {v}}\right),

so lässt sich nach der Beschleunigung ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$ umstellen:

{\vec {a}}={\frac {\sqrt {1-(v/c)^{2}}}{m}}\left({\vec {F}}-{\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})}{c^{2}}}\ {\vec {v}}\right)

{\vec {a}}={\frac {\sqrt {1-(v/c)^{2}}}{m}}\left({\vec {F}}-{\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})}{c^{2}}}\ {\vec {v}}\right)

{\vec {a}}={\frac {\sqrt {1-(v/c)^{2}}}{m}}\left({\vec {F}}-{\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})}{c^{2}}}\ {\vec {v}}\right)

Demnach hat die Beschleunigung grundsätzlich auch eine Komponente in Richtung der Geschwindigkeit. Diese ist für kleine Geschwindigkeiten $(v\ll c)$ $(v\ll c)$ $(v\ll c)$ aber zu vernachlässigen. Dann entspricht diese Gleichung der Grundgleichung der newtonschen Mechanik:

{\vec {a}}={\frac {1}{m}}\ {\vec {F}}

{\vec {a}}={\frac {1}{m}}\ {\vec {F}}

{\vec {a}}={\frac {1}{m}}\ {\vec {F}}

Man sieht aber, dass die Richtung der Beschleunigung nur dann parallel zur Kraft ist, wenn diese genau senkrecht oder parallel zur Geschwindigkeit einwirkt. Andernfalls hat die Beschleunigung auch einen Anteil, der parallel oder antiparallel zur Geschwindigkeit ist und mit zunehmender Geschwindigkeit anwächst. Zudem ergibt sich die Beschleunigung um den Faktor $(1-v^{2}/c^{2})$ $(1-v^{2}/c^{2})$ $(1- v^2/c^2)$ geringer, wenn die Kraft in oder entgegengesetzt zur Richtung der Geschwindigkeit einwirkt als senkrecht dazu. Welche Beschleunigung eine Kraft ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}$ bewirkt, hängt also nach Größe und Richtung von der Geschwindigkeit des Körpers ab. Es gibt keinen einfachen Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung wie in der newtonschen Mechanik. Die unterschiedliche Trägheit in Richtung der Bewegung und quer dazu hatte man zunächst mit den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse zu erfassen versucht, die aber heute nicht mehr verwendet werden.

In diesem und anderen Artikeln wird die Größe $m_{\text{rel.}}(v)$ $m_{\text{rel.}}(v)$ $m_{{{\text{rel.}}}}(v)$ nicht weiter verwendet, und das Symbol $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ für die Masse hat stets die Bedeutung der Ruhemasse, also $m=m_{0}.$ $m=m_{0}.$ $m=m_{0}.$ Zu beachten ist jedoch, dass mitunter, vor allem in älteren Texten, das Symbol $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ für die relativistische Masse steht.

Ruheenergie

Die Ruheenergie $E_{0}$ $E_{0}$ $E_{0}$ ist die Energie eines Körpers oder Systems in seinem Ruhesystem , dh in dem Bezugssystem, in dem sein Gesamtimpuls null ist. Die Ruheenergie ist eine Eigenschaft des Systems, die nicht von seinem Bewegungszustand abhängt. Aus der oben angegebenen Energie-Impuls-Relation folgt die berühmte einsteinsche Gleichung:

E_{0}=m\,c^{2}

E_{0}=m\,c^{2}

E_{0}=m\,c^{2}

Damit ist die Ruheenergie durch die Masse des Systems eindeutig bestimmt und umgekehrt. Beide Größen unterscheiden sich nur durch den konstanten Faktor $c^{2}$ $c^{2}$ $c^{2}$ und sind daher äquivalent, siehe Äquivalenz von Masse und Energie .

Die Ruheenergie von Teilchen wirkt sich insbesondere bei Erzeugungs- (z. B. Paarbildung ) und Vernichtungsvorgängen (z. B. Annihilation ) aus. Die Ruheenergie des Elektrons beträgt 0,511 MeV , diejenige eines Protons 938 MeV. Von der Ruheenergie eines Photons zu sprechen, ist ein Widerspruch in sich, denn es gibt kein Bezugssystem, in dem das Photon keinen Impuls hat. Richtig ist stattdessen für das Photon die Aussage $m=0$ ${\displaystyle m=0}$ $m=0$ .

Mehrteilchensysteme

Für ein System aus mehreren nicht wechselwirkenden Teilchen sind die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls die Summen der jeweiligen Größen aller Teilchen. Die Energie-Impuls-Relation lautet daher

\left(m_{\text{invariant}}\,c^{2}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{N}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}\,c^{2},

\left(m_{\text{invariant}}\,c^{2}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{N}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}\,c^{2},

\left(m_{{{\text{invariant}}}}\,c^{2}\right)^{2}=\left(\sum _{{i=1}}^{N}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{{i=1}}^{N}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}\,c^{2},

wobei $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ die Anzahl der Teilchen ist. Hierbei ist die invariante Masse des Mehrteilchensystems $m_{\text{invariant}}$ $m_{\text{invariant}}$ $m_{{\text{invariant}}}$ im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Massen der Einzelteilchen. Multipliziert man die invariante Masse mit dem konstanten Faktor $c^{2}$ $c^{2}$ $c^{2}$ , so ergibt sich daraus die Ruheenergie des Systems, in diesem Zusammenhang auch als Schwerpunktsenergie bezeichnet. Diese umfasst nicht nur die Ruheenergien der einzelnen Teilchen, sondern auch ihre Relativbewegung gegenüber dem Schwerpunkt. Zur Erläuterung stelle man sich ein Gefäß vor, das ein Gas enthält. Fügt man dem Gas Energie zu, indem man es komprimiert oder erhitzt, so hat das Gefäß als Ganzes eine erhöhte Schwerpunktsenergie und damit eine größere invariante Masse. Im Detail betrachtet verändert sich die Masse der einzelnen Gasmoleküle dabei nicht, wohl aber ihre kinetische Energie relativ zum gemeinsamen Schwerpunkt.

Die Schwerpunktsenergie ist – ebenso wie die invariante Masse – invariant unter Lorentztransformation . Sie gibt den Energiebetrag an, der für die Erzeugung neuer Teilchen bei einer Teilchenkollision zur Verfügung steht, und ist daher in der experimentellen Teilchenphysik von Bedeutung.

Massendefekt

Gibt ein geschlossenes System Energie über die Systemgrenzen z. B. in Form von Strahlung ab, so verringert sich der Energieinhalt des Systems und damit seine Masse. In diesem Sinne ist die Masse in der modernen Physik keine Erhaltungsgröße mehr, wenngleich sich dies in alltäglichen Situationen kaum bemerkbar macht.

Bei Kernreaktionen werden jedoch Energiemengen umgesetzt, die gegenüber der Ruheenergie der Kernbausteine nicht mehr zu vernachlässigen sind. Die Bindungsenergie führt dazu, dass ein Atomkern eine wägbar geringere Masse hat als die Summe seiner Bausteine. Die Differenz wird Massendefekt genannt. Die Bindungsenergie liegt bei den meisten Atomkernen zwischen 7 und 9 MeV pro Nukleon und bewirkt dadurch einen Massendefekt zwischen 0,7 und 0,9 Prozent. Sehr leichte Atomkerne ( ² H, ³ H, ³ He, Li, Be, B) weisen mit 1 bis 6 MeV geringere Bindungsenergien pro Nukleon und mit 0,1 und 0,6 Prozent geringere Massendefekte auf.

Die Bindungsenergie chemischer Bindungen liegt mit typischen 2 bis 7 eV pro Bindung (pro Nukleon wäre sie entsprechend dem Molekülgewicht noch einmal deutlich kleiner) um 7 bis 9 Größenordnungen darunter. Bei einigen Reaktionen liegen die Werte im Bereich der Nachweisgrenze aktueller Massekomparatoren ( $1\ldots 2\cdot 10^{-8}$ $1\ldots 2\cdot 10^{-8}$ $1\ldots 2\cdot 10^{{-8}}$ Prozent): Der größte chemische Massendefekt ist $2{,}25\cdot 10^{-7}$ $2{,}25\cdot 10^{-7}$ $2{,}25\cdot 10^{{-7}}$ Prozent bei der Bindung $\mathrm {2\ H\ \rightarrow \,H_{2}}$ $\mathrm {2\ H\ \rightarrow \,H_{2}}$ $\mathrm {2\ H\ \rightarrow \,H_{2}}$ . Zu $\mathrm {Li+F\ \rightarrow \ LiF}$ $\mathrm {Li+F\ \rightarrow \ LiF}$ ${\mathrm {Li+F\ \rightarrow \ LiF}}$ gehört ein Massendefekt von $2{,}47\cdot 10^{-8}$ $2{,}47\cdot 10^{-8}$ $2{,}47\cdot 10^{{-8}}$ Prozent. Aber bislang konnte noch kein chemischer Massendefekt durch Wägung nachgewiesen werden.

Da bei chemischer Bindung der Massendefekt so klein ist, dass er bei keiner Wägung zu bemerken wäre, konnte Ende des 18. Jahrhunderts von Antoine de Lavoisier der Massenerhaltungssatz aufgestellt werden. Diese Erkenntnis trug maßgeblich zur Abkehr von der Alchemie und Phlogistontheorie bei und wurde damit eine wichtige Grundlage der auf den Begriff der chemischen Elemente gestützten Chemie .

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der freie Fall von Körpern im Gravitationsfeld als kräftefrei verstanden. Eventuell wirkende Kräfte würden bewirken, dass die Bahnkurven vom freien Fall abweichen. Wird der Körper vom freien Fall abgehalten, ist eine Kraft nötig, deren Größe zur trägen Masse des Körpers proportional ist.

Die Weltlinien frei fallender Teilchen sind die Geraden (genauer: Geodäten ) der Raumzeit . Sie sind vollständig durch den anfänglichen Ort und die anfängliche Geschwindigkeit festgelegt und hängen nicht von anderen Eigenschaften wie Größe oder Masse des frei fallenden Teilchens ab ( Äquivalenzprinzip ). Da die Raumzeit gekrümmt ist, ergibt die Projektion der Geodäten auf den dreidimensionalen Ortsraum normalerweise keine Geraden, sondern beispielsweise Wurfparabeln.

Quelle der Gravitation ist in der Grundgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie der Energie-Impuls-Tensor, der sich aus Energiedichte, Impulsdichten, Energieströmen und Impulsströmen zusammensetzt. Da die Energie ruhender Körper durch ihre Masse bestimmt ist, bewirkt allein deren Masse die Gravitation. Kann man die Bewegung der gravitationserzeugenden Körper vernachlässigen und ist die Geschwindigkeit der frei fallenden Teilchen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so wirkt sich die Masse der gravitationserzeugenden Körper wie in Newtons Gravitationstheorie aus. Für Licht als Testteilchen trifft diese Einschränkung nicht zu: Es wird an der Sonne doppelt so stark abgelenkt, wie nach Newton zu erwarten wäre.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Durch Wechselwirkung mit dem Higgs-Feld , das indirekt durch die Beobachtung des Higgs-Bosons nachgewiesen wird, ^[10] erhalten sie eine Masse, da das Higgs-Feld auch im Vakuum nicht verschwindet. Nur die Masse des Higgs-Bosons selbst wird hierdurch nicht erklärt. In supersymmetrischen Theorien könnte ein ähnlicher Mechanismus auch durch andere Teilchen ( Goldstinos ) vermittelt werden (siehe auch Goldstonetheorem und Gravitino ). ^[11]

Die Massen der Baryonen , zu denen auch Proton und Neutron gehören, sind allerdings ca. 100-mal größer als die Massen der drei Quarks , aus denen sie bestehen. Die Baryonenmassen werden dynamisch erklärt (siehe auch: Gebundener Zustand ). Ansätze zur Berechnung liefern Gitterrechnungen in der Quantenchromodynamik (QCD). Halb anschaulich kann man mit der geringen Ausdehnung der Baryonen von etwa 10 ⁻¹⁵ m argumentieren: Wenn sich die Quarks im Baryon auf so kleinem Raum konzentrieren, haben sie eine so kurze De-Broglie-Wellenlänge, dass ihre kinetische Energie $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{kin}}$ $E_{{\text{kin}}}$ nach Einsteins Formel $E=m\,c^{2}$ $E=m\,c^{2}$ $E=m\,c^{2}$ erhebliche Masse bedeutet. Drei solcher Konstituenten-Quarks ergeben dann tatsächlich etwa die Masse des Protons oder Neutrons.

Die Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus. Es wird vermutet, dass schwach wechselwirkende massereiche Teilchen (englisch weakly interacting massive particles , abgekürzt WIMP) wie etwa das hypothetische leichteste supersymmetrische Teilchen (englisch lightest supersymmetric particle , abgekürzt LSP) die nicht sichtbare Dunkle Materie aufbauen könnten.

Sprachgebrauch: Masse und Gewicht

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die Masse eines Objekts auch als Gewicht bezeichnet. Beispiele sind das Übergewicht , Leergewicht , Abtropfgewicht oder Gewichtsangaben in Kochrezepten. Dies trifft auch auf viele Gesetze und Verordnungen zu. Beispiele sind das Deutsche Mutterschutzgesetz ^[12] und das Schweizer Straßenverkehrsgesetz . ^[13]

Beim Gleichsetzen von Masse und Gewichtskraft kann der Eindruck entstehen, die Masse hänge von der vor Ort herrschenden Schwerkraft ab. So ist die folgende Aussage missverständlich: „Auf dem Mond wiegt ein 60 kg schwerer Mensch nur ungefähr 10 kg.“ Klarer ist: „Ein Mensch mit einem ‚Gewicht' auf der Erde von 60 kg wiegt auf dem Mond ungefähr so viel, wie ein Mensch mit einem ‚Gewicht' von 10 kg auf der Erde wiegt.“

Siehe auch

Liste von Größenordnungen der Masse

Literatur

Max Jammer : Der Begriff der Masse in der Physik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964 (Concepts of Mass in Classical and Modern Physics, Harvard 1961, deutsch).
Gordon Kane: Das Geheimnis der Masse . In: Spektrum der Wissenschaft . Nr. 2 . Spektrum der Wissenschaft Verlag, 2006, ISSN 0170-2971 , S. 36–43 .

Weblinks

Commons : Masse – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Seite nicht mehr abrufbar , Suche in Webarchiven: @1 @2 Vorlage:Toter Link/www.ptb.de Seite der PTB zum Kilogramm (mit Hinweisen auf Projekte zur Neudefinition)
Versuche und Aufgaben zur Masse ( LEIFI )
Cornelius C. Noack: Was ist eigentlich eine ‚Ruhemasse'? (PDF; 279 kB).
The Problem of Mass for Quarks and Leptons. Vortrag (engl.) von Harald Fritzsch am 22. März 2000 im Kavli Institute for Theoretical Physics (Vortragsunterlagen/Audioaufzeichnung).
Lew Borissowitsch Okun : The Concept of Mass in the Einstein Year. (arXiv). PDF, 175 kB.

Einzelnachweise

↑ Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Vorrede zur 3. Auflage, Erklärungen, Deutsche Übersetzung.
↑ Lev B. Okun (2006): The Concept of Mass in the Einstein Year. Abgerufen am 28. Mai 2015.
↑ ^a ^b ^c ^d Hermann Weyl: Was ist Materie? (Kap 2.) . In: Die Naturwissenschaften . Band 12 , Nr. 29 , 1924, S. 585–593 .
↑ Peter Mittelstaedt: Klassische Mechanik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim ua 1994.
↑ ^a ^b Cornelius C. Noack: Was ist eigentlich eine ‚Ruhemasse'? (PDF; 279 kB), abgerufen am 28. Mai 2015.
↑ Wikipedia hält sich ausschließlich an die moderne Wortwahl.
↑ ^a ^b Lev B. Okun: The Concept of Mass. In: Physics Today. 43, 32 (1989). DOI: 10.1063/1.881171 PDF , abgerufen am 22. Dezember 2016.
↑ In diesem Zitat bedeutet ${\textstyle M=m/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ${\textstyle M=m/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ${\textstyle M=m/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ dasselbe wie ${\textstyle M=E/c^{2}}$ ${\textstyle M=E/c^{2}}$ ${\textstyle M=E/c^{2}}$ . Mit „momentum“ meint Einstein den Impuls des Körpers.
↑ In entsprechenden Texten wird der Buchstabe $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ oft für die relativistische Masse benutzt. In Wikipedia wird das zur Vermeidung von Verwechslungen nach Möglichkeit vermieden.
↑ CERN experiments observe particle consistent with long-sought Higgs boson. In: Pressemitteilung von CERN. 4. Juli 2012, abgerufen am 4. Juli 2012 (englisch).
↑ DELPHI Collaboration: P. Abreu ua: Search for the sgoldstino at √ s from 189 to 202 GeV . In: CERN-EP/2000-110 . 16. August 2000 (englisch, PDF, online ).
↑ Etwa § 11 Abs. 5 Nr. 1 MuSchG: „Lasten von mehr als fünf Kilogramm Gewicht“
↑ Etwa Art. 9: „Das höchstzulässige Gewicht für Fahrzeuge oder Fahrzeugkombinationen beträgt 40 t“, vgl. Text (PDF; 357 kB) des Schweizer Straßenverkehrsgesetzes.

[1] Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Vorrede zur 3. Auflage, Erklärungen, Deutsche Übersetzung.

[2] Lev B. Okun (2006): The Concept of Mass in the Einstein Year. Abgerufen am 28. Mai 2015.

[Weyl1924-II-3] Hermann Weyl: Was ist Materie? (Kap 2.) . In: Die Naturwissenschaften . Band 12 , Nr. 29 , 1924, S. 585–593 .

[Mittelstaedt94-4] Peter Mittelstaedt: Klassische Mechanik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim ua 1994.

[Noack1998-5] Cornelius C. Noack: Was ist eigentlich eine ‚Ruhemasse'? (PDF; 279 kB), abgerufen am 28. Mai 2015.

[6] Wikipedia hält sich ausschließlich an die moderne Wortwahl.

[Okun1989-7] Lev B. Okun: The Concept of Mass. In: Physics Today. 43, 32 (1989). DOI: 10.1063/1.881171 PDF , abgerufen am 22. Dezember 2016.

[8] In diesem Zitat bedeutet ${\textstyle M=m/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ${\textstyle M=m/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ${\textstyle M=m/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ dasselbe wie ${\textstyle M=E/c^{2}}$ ${\textstyle M=E/c^{2}}$ ${\textstyle M=E/c^{2}}$ . Mit „momentum“ meint Einstein den Impuls des Körpers.

[9] In entsprechenden Texten wird der Buchstabe $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ oft für die relativistische Masse benutzt. In Wikipedia wird das zur Vermeidung von Verwechslungen nach Möglichkeit vermieden.

[CERN20120704-10] CERN experiments observe particle consistent with long-sought Higgs boson. In: Pressemitteilung von CERN. 4. Juli 2012, abgerufen am 4. Juli 2012 (englisch).

[11] DELPHI Collaboration: P. Abreu ua: Search for the sgoldstino at √ s from 189 to 202 GeV . In: CERN-EP/2000-110 . 16. August 2000 (englisch, PDF, online ).

[12] Etwa § 11 Abs. 5 Nr. 1 MuSchG: „Lasten von mehr als fünf Kilogramm Gewicht“

[13] Etwa Art. 9: „Das höchstzulässige Gewicht für Fahrzeuge oder Fahrzeugkombinationen beträgt 40 t“, vgl. Text (PDF; 357 kB) des Schweizer Straßenverkehrsgesetzes.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]