Massens centrum

Centrum af masse (også nogle gange fokusere eller at skelne fra den geometriske tyngdepunkt også kaldet tyngdepunktet) af en krop er massen gennemsnit af positionerne for sine masse punkter . Ved kontinuerlige massefordelinger defineres det lokale middelværdi for densiteten som massens centrum. Med et homogent legeme (dvs. med samme densitet overalt) falder massecentret sammen med det geometriske tyngdepunkt . Stand-up-manden er et eksempel på en inhomogen krop.

Begrebet massemidtpunkt bruges i fysikken til at reducere et komplekst, udvidet stift legeme til et enkelt massepunkt for lettere beregning af dets bane, når en kraft påføres . Mange beregninger er også forenklet i tyngdepunktssystemet , hvor massecentret bruges som oprindelse for koordinaterne (se også flerkroppssystem ). Eksterne kræfter, der virker i massens centrum, kan ikke ændre objektets rotationstilstand, fordi de ikke udøver noget drejningsmoment på grund af manglen på en håndtag i tyngdepunktet. Økser gennem tyngdepunktet omtales også som tyngdeakser . ^[1]

I himmelsk mekanik kaldes massemidtpunktet for et system med flere himmellegemer barycenter .

Massens centrum for et legeme behøver ikke at være inde i kroppen. Eksempler på dette er torus , en boomerang , en kop eller tyngdepunktet for en høj jumper . Men hvis kroppen er konveks , er tyngdepunktet aldrig udenfor.

Massemidtpunkt for to punktmasser på en stang

Givet en stang af længde $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ . De to punktmasser er placeret på denne stang $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ og $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ på stederne $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ og $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ .

Fig. 1: Stang med to punktmasser og et massecenter

x_{s}

{\ displaystyle x_ {s}}

x_ {s}

(hermed

x_{m}

{\ displaystyle x_ {m}}

x_m

udpeget)

Massens centrum (massens centrum) $x_{s}$ ${\ displaystyle x_ {s}}$ $x_ {s}$ kan derefter beregnes som følger:

x_{s}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot a

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ cdot a}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ cdot a}

Masseforholdet er så at sige også en procentvis faktor $-en$ ${\ displaystyle a}$ $-en$ . Vil mængden $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ uendeligt stort, så tyngdepunktet skifter til stedet $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ . Men mængden vil $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ i forbindelse med $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ uendeligt stort, så tyngdepunktet skifter til stedet $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ .

Noget mere generelt:

Billede 2: Massemidtpunkt lidt mere generelt

Af figur 1 ses det $a=x_{2}-x_{1}$ ${\ displaystyle a = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle a = x_ {2} -x_ {1}}$ er gældende. I figur 2 er punktmasserne ikke længere ved elementets start- og slutpunkt. Da skalaen løber fra venstre mod højre på billederne, skal du bestemme afstanden mellem stangens startpunkt og massepunktet $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ tilføj dertil. Dette fører til følgende formel:

x_{s}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot (x_{2}-x_{1})+x_{1}={\frac {x_{1}\cdot m_{1}+x_{2}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1}) + x_ {1} = {\ frac {x_ {1} \ cdot m_ {1} + x_ {2} \ cdot m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1}) + x_ {1} = {\ frac {x_ {1} \ cdot m_ {1} + x_ {2} \ cdot m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Massemidtpunkt af flere punktmasser på en stang

For at fortsætte fra det foregående afsnit vil vi nu placere 3 punktmasser på en stang.

Fig. 3: Stang med tre punktmasser

For at bestemme massens centrum delte vi denne konstruktion i 2 delstænger. For at gøre dette skærer vi stangen på stedet $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ og del mængden $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ halvdelen på den ene del af stangen og den anden halvdel på den anden del af stangen. Først beregner vi tyngdepunkterne for delstængerne som følger, som kendt fra det foregående afsnit:

x_{s1}={\frac {0{,}5\cdot m_{2}}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}\cdot (x_{2}-x_{1})+x_{1}

{\ displaystyle x_ {s1} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2}} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1}) + x_ {1}}

{\ displaystyle x_ {s1} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2}} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1}) + x_ {1}}

x_{s2}={\frac {m_{3}}{0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}}\cdot (x_{3}-x_{2})+x_{2}

{\ displaystyle x_ {s2} = {\ frac {m_ {3}} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot (x_ {3} -x_ {2}) + x_ {2}}

{\ displaystyle x_ {s2} = {\ frac {m_ {3}} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot (x_ {3} -x_ {2}) + x_ {2}}

Med den samlede masse af delstængerne og massens centrum kan delstængerne nu opsummeres som en ny punktmasse:

m_{xs1}=m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}

{\ displaystyle m_ {xs1} = m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}

{\ displaystyle m_ {xs1} = m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}

m_{xs2}=0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}

{\ displaystyle m_ {xs2} = 0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}

{\ displaystyle m_ {xs2} = 0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}

Med disse nye værdier beregner man nu et andet massecenter, som i sidste ende er massemidtpunktet for de tre punktmasser:

x_{s}={\frac {m_{xs2}}{m_{xs1}+m_{xs2}}}\cdot (x_{s2}-x_{s1})+x_{s1}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {xs2}} {m_ {xs1} + m_ {xs2}}} \ cdot (x_ {s2} -x_ {s1}) + x_ {s1}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {xs2}} {m_ {xs1} + m_ {xs2}}} \ cdot (x_ {s2} -x_ {s1}) + x_ {s1}}

Når den bruges, ser den sådan ud:

{x_{s}={\frac {0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\cdot \left({\frac {m_{3}\cdot (x_{3}-x_{2})}{0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}}+x_{2}-{\frac {0{,}5\cdot m_{2}\cdot (x_{2}-x_{1})}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}-x_{1}\right)+{\frac {0{,}5\cdot m_{2}\cdot (x_{2}-x_{1})}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}+x_{1}}

{\ displaystyle {x_ {s} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}} {m_ {1} + m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot \ venstre ({\ frac {m_ {3} \ cdot (x_ {3} -x_ {2})} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} + x_ {2} - { \ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} - x_ { 1} \ højre) + {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ { 2}}} + x_ {1}}}

{\ displaystyle {x_ {s} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}} {m_ {1} + m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot \ venstre ({\ frac {m_ {3} \ cdot (x_ {3} -x_ {2})} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} + x_ {2} - { \ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} - x_ { 1} \ højre) + {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ { 2}}} + x_ {1}}}

Hvis du omformulerer denne ligning lidt, får du følgende resultat:

x_{s}={\frac {x_{1}\cdot m_{1}+x_{2}\cdot m_{2}+x_{3}\cdot m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {x_ {1} \ cdot m_ {1} + x_ {2} \ cdot m_ {2} + x_ {3} \ cdot m_ {3}} {m_ {1} + m_ {2} + m_ {3}}}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {x_ {1} \ cdot m_ {1} + x_ {2} \ cdot m_ {2} + x_ {3} \ cdot m_ {3}} {m_ {1} + m_ {2} + m_ {3}}}}

Hvis man sammenligner dette resultat med det fra det foregående afsnit, kan der ses en regelmæssighed. Hvis du nu fordeler n mange punktmasser på en stang, kan massens centrum bestemmes som følger:

x_{s}={\frac {1}{M}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}\cdot m_{i}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} \ cdot m_ {i}}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} \ cdot m_ {i}}}

det er $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ den samlede masse, dvs. summen af alle punktmasser:

M=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}

{\ displaystyle M = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {m_ {i}}}

{\ displaystyle M = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {m_ {i}}}

Massecenter med kontinuerlig massefordeling langs en stang

Her falder vi tilbage på formlen fra det foregående afsnit og danner grænseværdien. Dette giver en integreret repræsentation.

Massens centrum:

x_{s}={\frac {1}{M}}\cdot \int _{x_{1}}^{x_{2}}{x\cdot \mathrm {d} m}={\frac {1}{M}}\cdot \int _{x_{1}}^{x_{2}}{x\cdot \lambda (x)\mathrm {d} x}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {x \ cdot \ mathrm {d} m} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {x \ cdot \ lambda (x) \ mathrm {d} x}}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {x \ cdot \ mathrm {d} m} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {x \ cdot \ lambda (x) \ mathrm {d} x}}

Tæthedsfunktion:

{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} x}}=\lambda (x)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} x}} = \ lambda (x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} x}} = \ lambda (x)}

Samlet masse:

M=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\lambda (x)\mathrm {d} x}

{\ displaystyle M = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ lambda (x) \ mathrm {d} x}}

{\ displaystyle M = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ lambda (x) \ mathrm {d} x}}

Prøveberegning

Givet en stang af længde $l=1\;\mathrm {m}$ ${\ displaystyle l = 1 \; \ mathrm {m}}$ ${\ displaystyle l = 1 \; \ mathrm {m}}$ . Tætheden stiger proportionelt med stangens længde. Beregn nu stangens massemidtpunkt!

Tæthedsfunktion:

{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} x}}=\lambda (x)=c\;x

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} x}} = \ lambda (x) = c \; x}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} x}} = \ lambda (x) = c \; x}

Proportionalitetsfaktoren kaldes her vilkårligt $c=1{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m^{2}} }}$ ${\ displaystyle c = 1 {\ frac {\ mathrm {kg}} {\ mathrm {m ^ {2}}}}}}$ ${\ displaystyle c = 1 {\ frac {\ mathrm {kg}} {\ mathrm {m ^ {2}}}}}}$ valgt.

Samlet masse:

M=\int _{0}^{l}cx\;\mathrm {d} x={\frac {c}{2}}\cdot \left[x^{2}\right]_{0}^{l}=0{,}5\;\mathrm {kg}

{\ displaystyle M = \ int _ {0} ^ {l} cx \; \ mathrm {d} x = {\ frac {c} {2}} \ cdot \ venstre [x ^ {2} \ højre] _ { 0} ^ {l} = 0 {,} 5 \; \ mathrm {kg}}

{\ displaystyle M = \ int _ {0} ^ {l} cx \; \ mathrm {d} x = {\ frac {c} {2}} \ cdot \ venstre [x ^ {2} \ højre] _ { 0} ^ {l} = 0 {,} 5 \; \ mathrm {kg}}

Massens centrum:

x_{s}={\frac {1}{M}}\cdot \int _{0}^{l}{x\cdot cx\;\mathrm {d} x}={\frac {1}{M}}\cdot \left[{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{l}\approx 0{,}667\;\mathrm {m}

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {0} ^ {l} {x \ cdot cx \; \ mathrm {d} x} = {\ frac {1 } {M}} \ cdot \ venstre [{\ frac {1} {3}} x ^ {3} \ højre] _ {0} ^ {l} \ ca. 0 {,} 667 \; \ mathrm {m} }

{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {0} ^ {l} {x \ cdot cx \; \ mathrm {d} x} = {\ frac {1 } {M}} \ cdot \ venstre [{\ frac {1} {3}} x ^ {3} \ højre] _ {0} ^ {l} \ ca. 0 {,} 667 \; \ mathrm {m} }

Matematisk definition

Massens centrum ${\vec {r}}_{s}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s}}$ ${\ vec {r}} _ {s}$ er massen-vægtede gennemsnit af positionsmeldinger vektorer ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ af alle grundpunkter $\mathrm {d} m$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} m}$ $\ mathrm {d} m$ af en krop:

{\vec {r}}_{s}={\frac {1}{M}}\int _{K}{{\vec {r}}\,\mathrm {d} m}={\frac {1}{M}}\int _{K}{{\vec {r}}\,\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ mathrm {d} m} = { \ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ rho ({\ vec {r}}) \, \ mathrm {d} V}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ mathrm {d} m} = { \ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ rho ({\ vec {r}}) \, \ mathrm {d} V}}

det er $\rho ({\vec {r}})$ ${\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}})}$ $\ rho ({\ vec {r}})$ densiteten på plads ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ og $d V$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ et volumenelement . Nævneren $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ af disse udtryk er den samlede masse.

I tilfælde af et homogent legeme er densiteten $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ som en faktor foran integralet, falder massecentret derefter sammen med volumencentret (det geometriske tyngdepunkt). I mange tilfælde kan beregningen derefter forenkles; for eksempel hvis volumenets centrum ligger på en symmetriakse af kroppen, for eksempel i tilfælde af en kugle i midten.

I tilfælde af diskrete systemer kan volumenintegralet angives med en sum over positionsvektorerne ${\vec {r}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$ ${\ vec {r}} _ {i}$ af alle grundpunkter erstattes:

{\vec {r}}_{s}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\,{\vec {r}}_{i}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {i} m_ {i} \, {\ vec {r}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {i} m_ {i} \, {\ vec {r}} _ {i}}

hvori $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ summen af alle individuelle masser $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $m_ {i}$ er:

M=\sum _{i}m_{i}

{\ displaystyle M = \ sum _ {i} m_ {i}}

M = \ sum _ {i} m_ {i}

Udtrykket massemidtpunkt i forhold til tyngdepunktet

Gravitation virker på alle massepunkter i et legeme. Kun i et homogent gravitationsfelt er den samlede effekt, som om tyngdekraften virkede i massens centrum. Da tyngdefeltet ofte kan antages at være homogent, f.eks. B. i nærheden af jordens overflade, vilkårene tyngdepunkt og tyngdepunkt er ofte både udifferentierede benævnt tyngdepunktet. ^[2] ^[3] I et inhomogent felt er dette effektive punkt forskelligt fra massens centrum og kaldes tyngdepunkter i ikke-ensartede felter. ^[4] I et sådant tilfælde opstår der tidevandskræfter . ^[5]

Udtrykket massemidtpunkt i forhold til massens centrum

Hvis et legeme er homogent (dvs. hvis det består af et materiale, der har samme densitet overalt), falder dets massecenter sammen med dets geometriske tyngdepunkt. Hvis kroppen består af dele med forskellig densitet, kan massens centrum afvige fra volumenets tyngdepunkt. Hvis fordelingen af masse inden i kroppen er kendt, kan massens centrum beregnes ved integration . Dette var anledningen, der fik Isaac Newton til at udvikle beregning (på samme tid som Leibniz ).

Bestemmelse af massens centrum

Tyngdepunktet er under ophængningspunktet på "tyngdepunktet".

Tyngdepunktet er også under et andet ophængningspunkt. Tyngdepunktets position kan således bestemmes ud fra skæringspunktet mellem de to linjer.

Ovennævnte forklaringer fører til en enkel metode til den omtrentlige bestemmelse af massestadiet for ethvert stift legeme. Tilnærmelsen består i at se bort fra afvigelserne fra tyngdepunktet og tyngdepunktet og dermed også ændringerne i tyngdepunktets position, når kroppen roterer: Hvis kroppen er hængende på et hvilket som helst tidspunkt, vil det (omtrentlige) centrum for masse ligger (i hvile) på den lodrette linje (= "tyngdelinje") gennem ophængningspunktet (blå linje på billedet til højre).

Hvis du gentager dette med et andet ophængningspunkt, finder du (cirka) massens centrum som skæringspunktet mellem to sådanne lige linjer (“centroid lines”). Det faktum, at et sådant skæringspunkt faktisk eksisterer og er uafhængigt af valget af ophængspunkter, er dog mindre trivielt, end det første indtryk antyder.

Følgende metode til bestemmelse af massemidtpunktet for et smalt og aflangt objekt (f.eks. Lineal eller kost) er forbløffende: Placer objektet på tværs af de to pegefingre strakt fremad i samme højde, hvilket let er muligt, så længe fingrene stadig er langt fra hinanden er. Nu langsomt bringe dine pegefingre tættere på hinanden, indtil de rører, altid holde dem i samme højde som muligt. Hvis du gør dette langsomt nok, glider objektet langsomt hen over dine fingre uden at vippe til den ene side. Fingeren, som er tættere på massens centrum, udsættes for større tryk, hvilket fører til større friktion. Det betyder, at objektet primært glider over den anden finger. Dette regulerer systemet på en sådan måde, at begge fingre har nogenlunde samme friktion, og massens centrum er i deres centrum. Endelig rører pegefingrene hinanden, objektet er stadig vandret og tyngdepunktet er over de to fingre. Men hvis objektet er bøjet for meget, sker ovennævnte effekt, og tyngdepunktet er under støttepunktet.

Se også

litteratur

Fysik: et leksikon for al skolefysik . Schülerduden, Bibliographisches Institut, Mannheim 1974, ISBN 3-411-01122-X , s. 367–368.

Individuelle beviser

^ D. Gross, W. Hauger, J. Schröder og WA Wall: Technische Mechanik 1: Statik. Springer lærebog 2011, ISBN 9783642138058 , s. 114.
↑John McLester, Peter St. Pierre: Anvendt biomekanik: begreber og sammenhænge . Cengage Learning, 2008, ISBN 978-0-495-10586-2 , s.28 .
^ John Harris, Walter Benenson, Horst Stöcker: Håndbog i fysik . Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95269-7 , s.94 .
↑ Theo Koupelis, Karl F. Kuhn: I søgen af universet . Jones & Bartlett Learning, 13. april 2007, ISBN 978-0-7637-4387-1 , s.86 .
^ Philip Ball: Livets matrix: en biografi om vand . University of California Press, 2001, ISBN 978-0-520-23008-8 , s.37 .

[1] D. Gross, W. Hauger, J. Schröder og WA Wall: Technische Mechanik 1: Statik. Springer lærebog 2011, ISBN 9783642138058 , s. 114.

[McLesterPierre2008-2] John McLester, Peter St. Pierre: Anvendt biomekanik: begreber og sammenhænge . Cengage Learning, 2008, ISBN 978-0-495-10586-2 , s.28 .

[HarrisBenenson2002-3] John Harris, Walter Benenson, Horst Stöcker: Håndbog i fysik . Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95269-7 , s.94 .

[KoupelisKuhn2007-4] Theo Koupelis, Karl F. Kuhn: I søgen af universet . Jones & Bartlett Learning, 13. april 2007, ISBN 978-0-7637-4387-1 , s.86 .

[Ball2001-5] Philip Ball: Livets matrix: en biografi om vand . University of California Press, 2001, ISBN 978-0-520-23008-8 , s.37 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]